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1、第第1 1页页第五章第五章 利率风险和管理利率风险和管理（下）（下）第第2 2页页主要内容主要内容l第一节第一节 久期概述久期概述l第二节第二节 运用久期模型进行免疫运用久期模型进行免疫复习复习l重定价缺口（敏感型资金缺口）管理重定价缺口（敏感型资金缺口）管理l到期日期限缺口管理到期日期限缺口管理第第4 4页页第一节第一节 久期概述久期概述第第5 5页页久期的概念久期的概念 久期（久期（durationduration）也称为持续期，是美国经济）也称为持续期，是美国经济学家学家Frederick MacaulayFrederick Macaulay于于19361936年首先提出的。年首先提出的
2、。与到期期限比，久期是一种更准确地测定资产和与到期期限比，久期是一种更准确地测定资产和负债敏感度的方法。负债敏感度的方法。因为它不仅考虑了资产（或因为它不仅考虑了资产（或负债）的到期期限问题，还考虑到了每笔现金流负债）的到期期限问题，还考虑到了每笔现金流的情况。的情况。例例l银行发放一笔金额为银行发放一笔金额为10001000元的元的1 1年期贷款。假设贷款利年期贷款。假设贷款利率为率为12%12%，年初发放贷款，要求在，年初发放贷款，要求在6 6月底时偿还一半本月底时偿还一半本金，另外一半在年底时付清。利息每金，另外一半在年底时付清。利息每6 6个月支付一次。个月支付一次。l在在6 6月底和
3、年底银行从贷款中收到的现金流。月底和年底银行从贷款中收到的现金流。l与付息债券之间的差异？与付息债券之间的差异？l哪一笔现金流更重要？如何体现这种相对重要性呢？哪一笔现金流更重要？如何体现这种相对重要性呢？第第6 6页页CF1/2=560CF1=53001/2年1年图图5.1 1年期贷款应收到的现金流年期贷款应收到的现金流现值分析现值分析lCF1/2=560 PV1/2=560/(1+0.06)=528.30(元)lCF1=530 PV1 =560/（1+0.06）2 =471.70（元）lCF1/2 +CF1 =1090 PV1/2 + PV1 =1000(元)l对相对重要性而言，除了考虑折
4、现率外？还应该考虑哪些因素？l信用风险，期限溢价等第第7 7页页第第8 8页页l久期是利用现金流的相对现值作为权重的久期是利用现金流的相对现值作为权重的加权平均到加权平均到期期限。期期限。l久期与到期日期限之间的区别？久期与到期日期限之间的区别？在货币时间价值的基础上，久期测定了金融机构要收回在货币时间价值的基础上，久期测定了金融机构要收回贷款初始投资所需要的时间。在久期内所收到的现金流贷款初始投资所需要的时间。在久期内所收到的现金流反映了对初始贷款投资的收回，而从久期未到到期日之反映了对初始贷款投资的收回，而从久期未到到期日之间所收到的现金流才是金融机构赚取的利润。间所收到的现金流才是金融机
5、构赚取的利润。到期日期到期日期限限= =投资收回时间（久期）投资收回时间（久期）+ +利润时间利润时间久期久期第第9 9页页时间（时间（t t） 权重（权重（w w）T=1/2年 T=1年 1.0 100%例（续）例（续）l金融机构分别在半年末和一年末的时候收到了两笔现金流。久期分析金融机构分别在半年末和一年末的时候收到了两笔现金流。久期分析的是根据每一个时点上现金流现值的重要性来确定每笔现金流的权重。的是根据每一个时点上现金流现值的重要性来确定每笔现金流的权重。l从现值的角度看，从现值的角度看，t=1/2年和年和t=1年的现金流的相对重要性如表年的现金流的相对重要性如表5.1所示。所示。t=
6、1/2年和年和t=1的现金流的重要性的现金流的重要性例（续）例（续）l 以以W W1/21/2和和W W1 1作为权数，来计算久期，或者说是计算贷款作为权数，来计算久期，或者说是计算贷款的平均到期期限：的平均到期期限：=0.52831/2+0.47171=0.7359(=0.52831/2+0.47171=0.7359(年年) )l尽管贷款的期限是一年，但是它的久期仅为尽管贷款的期限是一年，但是它的久期仅为0.73590.7359年，年，这是因为有这是因为有52.83%52.83%的现金流是在半年末的时候就收到的现金流是在半年末的时候就收到了，久期也就小于到期期限。了，久期也就小于到期期限。第
7、第1010页页到期日期限缺口管理无法完全规避利率风险到期日期限缺口管理无法完全规避利率风险l一笔利率为一笔利率为12%12%的的10001000元元1 1年期定期存款。年期定期存款。l假设金融机构应在年底向存款人一次性支付本金假设金融机构应在年底向存款人一次性支付本金10001000元元和利息和利息120120元，即元，即CFCF1 1=1120=1120元。元。l1 1=1120/1.12=1000=1120/1.12=1000元，元，W W1 1=PV=PV1 1/PV/PV1 1=1=1。lD DD D=W=W1 11=11=11=11=1年年l到期日期限缺口为零，到期日期限缺口为零，M
8、 ML L-M-MD D=1-1=0=1-1=0。l但久期缺口仍然存在：但久期缺口仍然存在：D DL L-D-DD D=0.7359-1=-0.2641=0.7359-1=-0.2641。第第1111页页久期的定义久期的定义l久期的一般公式久期的一般公式l lD D为久期（以年为单位）为久期（以年为单位）l 为证券在为证券在t t期期末收到的现金流期期末收到的现金流lN N为证券的年限为证券的年限l 为贴现因子，等于为贴现因子，等于 ，其中，其中R R为债券的年收为债券的年收益率或者说是当前市场的利率水平益率或者说是当前市场的利率水平l 为从时期为从时期t=1t=1到到t=Nt=N的求和符号的
9、求和符号l 是在是在t t时期期末的现金流的现值，等于时期期末的现金流的现值，等于第第1212页页每年付每年付2 2次利息次利息l对每半年支付一次利息的债券来说，久期公式变为：对每半年支付一次利息的债券来说，久期公式变为：l lt=1/2,1,3/2,Nt=1/2,1,3/2,Nl注意：久期公式的分母是在该证券持有期内所有现金注意：久期公式的分母是在该证券持有期内所有现金流现值的和，而分子是每笔现金流的现值与收到该笔流现值的和，而分子是每笔现金流的现值与收到该笔现金流所需时间的乘积的和。现金流所需时间的乘积的和。第第1313页页l定理一：只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到：只有贴现债券的马考
10、勒久期等于它们的到期时间。期时间。 l定理二：直接债券的马考勒久期小于或等于它们的：直接债券的马考勒久期小于或等于它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的直接债到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的马考勒久期等于它们的到期时间，并等于券的马考勒久期等于它们的到期时间，并等于1 1 。l定理三：统一公债的马考勒久期等于：统一公债的马考勒久期等于 久期定理久期定理l定理四：在到期时间相同的条件下，息票率越高，定理四：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。久期越短。l l定理五：在息票率不变的条件下，到期时期越长，定理五：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。（令我们
11、感到意外的是，处于严久期一般也越长。（令我们感到意外的是，处于严重折价状态的债券，到期时间越长，久期可能反而重折价状态的债券，到期时间越长，久期可能反而越短）越短）l定理六：在其他条件不变的情况下，债券的到期收定理六：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。益率越低，久期越长。息票债券的久期息票债券的久期l【例【例1 1】假设投资者持有面值为】假设投资者持有面值为100100元，票面利率为元，票面利率为10%10%，期限为，期限为3 3年，每年付息一次的息票债券。该债券年，每年付息一次的息票债券。该债券的到期收益率（或目前的市场利率）为的到期收益率（或目前的市场利率）为8%8%
12、。l表表5.2 5.2 票面利率为票面利率为10%10%的的3 3年期息票债券的久期年期息票债券的久期第第1616页页 t t CF CFt t DF DFt t CF CFt tDFDFt tCFCFt tDFDFt ttt 1 10 0.9259 9.26 9.26 2 10 0.8573 8.57 17.14 3 110 0.7938 87.32 261.96 105.15 288.36 l【例例2 2】假设投资者持有面值为假设投资者持有面值为100100元，票面利率为元，票面利率为10%10%，期限为，期限为2 2年，每半年付一次息的息票债券。当前年，每半年付一次息的息票债券。当前市场
13、利率为市场利率为12%12%。 表表5.35.3 票面利率为票面利率为10%10%，到期收益率为，到期收益率为12%12%的两年期息票债券的两年期息票债券的久期的久期第第1717页页 t t CF CFt t DF DFt tCFCFt tDFDFt tCFCFt tDFDFt ttt 1/2 5 0.9434 4.72 2.36 1 5 0.8900 4.45 4.45 3/2 5 0.8396 4.20 6.30 2 105 0.7921 83.17 166.34 96.54 179.45零息债券的久期零息债券的久期l零息债券是指以低于面值的价格发行的，在到期时按零息债券是指以低于面值的价
14、格发行的，在到期时按照面值支付的债券。这些债券在发行日和到期日之间照面值支付的债券。这些债券在发行日和到期日之间不会产生现金流，即不会产生支付。假设每年利率为不会产生现金流，即不会产生支付。假设每年利率为复利，投资者愿意购买该债券的当前价格将会等于该复利，投资者愿意购买该债券的当前价格将会等于该债券的现值。债券的现值。lR-R-要求的复利利率，要求的复利利率，N-N-期限年数，期限年数，P-P-价格，价格，F F为票面为票面面值面值l由于证券的所有现金流只发生在到期日，所以由于证券的所有现金流只发生在到期日，所以D DB B=M=MB B, ,即零息债券的久期一定等于到期期限即零息债券的久期一
15、定等于到期期限第第1818页页l【例三例三】假设投资者持有面值为假设投资者持有面值为100100元的零息债券，元的零息债券，期限为期限为5 5年，市场利率为年，市场利率为10%10%。由于该债券不付息，在。由于该债券不付息，在整个债券期限中，只会在第整个债券期限中，只会在第5 5年底产生现金流，如表年底产生现金流，如表5.45.4所示。所示。 表表5.4 5.4 期限为期限为5 5年底零息债券的久期年底零息债券的久期第第1919页页 t t CF CFt t DF DFt t CF CFt tDFDFt tCFCFt tDFDFt ttt 5 100 0.6209 62.09 310.45永久
16、性公债的久期永久性公债的久期l永久性公债是指每年支付固定利息而永远不会到期的债永久性公债是指每年支付固定利息而永远不会到期的债券，其到期期限（券，其到期期限（M MC C）为无穷大）为无穷大l虽然永久性公债是没有到期日的，但其久期（虽然永久性公债是没有到期日的，但其久期（D DC C）是有）是有期限的。期限的。l数学推导数学推导第第2020页页债券票面利率、到期收益率、到期期限的变化对久期的影响债券票面利率、到期收益率、到期期限的变化对久期的影响l（一）久期与票面利率（一）久期与票面利率l例例2 2中，息票率为中，息票率为10%10%，期限为，期限为2 2年，每半年支付利息年，每半年支付利息一
17、次，市场利率为一次，市场利率为12%12%，久期为，久期为1.8591.859。l在其他情况不变的条件下，如果票面利率减少到在其他情况不变的条件下，如果票面利率减少到8%8%，债券的久期的计算如表债券的久期的计算如表5.55.5所示。所示。第第2121页页第第2222页页 t t CF CFt t DF DFt tCFCFt tDFDFt tCFCFt tDFDFt ttt 1/2 4 0.9434 3.77 1.89 1 4 0.8900 3.56 3.56 3/2 4 0.8396 3.36 5.04 2 104 0.7921 82.38 164.764 93.07 175.25l 因此可
18、得出这样的结论，在其他条件不变时，证券的票面利率或承诺的利率越高，久期越小,用数学的表达式如下l经济直觉( (二二) )久期与到期收益率久期与到期收益率l在其他情况不变的条件下，如果债券的到期收益率增加到在其他情况不变的条件下，如果债券的到期收益率增加到16%16%，债券的久期计，债券的久期计算如表算如表5.65.6所示。所示。 表表5.65.6 票面利率为票面利率为10%10%，到期收益率为，到期收益率为16%16%的两年期息票债券的久期的两年期息票债券的久期 对比表对比表5.35.3和表和表5.65.6，可以得出这样的结论：在其他条件不变时，债券到期收，可以得出这样的结论：在其他条件不变时
19、，债券到期收益率增加，则久期越小，即益率增加，则久期越小，即 第第2323页页 t t CF CFt t DF DFt tCFCFt tDFDFt tCFCFt tDFDFt ttt 1/2 5 0.9259 4.63 2.32 1 5 0.8573 4.29 4.29 3/2 5 0.7938 3.97 5.96 2 105 0.7350 77.18 154.35 90.07 166.92( (三三) )久期与到期期限久期与到期期限l在其他情况不变的条件下，我们分别计算债券到期期限在两年的基础上缩在其他情况不变的条件下，我们分别计算债券到期期限在两年的基础上缩短一年和增加一年时债券的久期，如
20、表短一年和增加一年时债券的久期，如表5.75.7和表和表5.85.8所示。所示。 表表5.75.7票面利率为票面利率为10%10%，到期收益率为，到期收益率为12%12%的的1 1年期息票债券的久期年期息票债券的久期第第2424页页 t t CF CFt t DF DFt tCFCFt tDFDFt tCFCFt tDFDFt ttt 1/2 5 0.9439 4.72 2.36 1 105 0.8900 93.45 93.45 98.17 95.81l表表5.8 5.8 票面利率为票面利率为10%10%，到期收益率为，到期收益率为12%12%的的3 3年期息票债券的久期年期息票债券的久期l通
21、过对比表通过对比表5.75.7、表、表5.35.3、表、表5.85.8我们可以知道，当固定收益的证券或资产的我们可以知道，当固定收益的证券或资产的到期期限增加时，久期则以一个递减的速度增加：到期期限增加时，久期则以一个递减的速度增加：第第2525页页 t t CF CFt t DF DFt tCFCFt tDFDFt tCFCFt tDFDFt ttt 1/2 5 0.9434 4.72 2.36 1 5 0.8900 4.45 4.45 3/2 5 0.8396 4.20 6.30 2 5 0.7921 3.96 7.92 5/2 5 0.7473 3.74 9.34 3 105 0.705
22、0 74.03 222.09 95.10 252.46期限久期0债券期限与久期的关系债券期限与久期的关系久期的特征久期的特征l1 1、证券的票面利率越高，它的久期越短；、证券的票面利率越高，它的久期越短；l2 2、证券的到期收益率越高，它的久期越短；、证券的到期收益率越高，它的久期越短；l3 3、随着固定收益资产或负债到期期限的增加，久期、随着固定收益资产或负债到期期限的增加，久期会以一个递减的速度增加。会以一个递减的速度增加。第第2727页页久期的经济含义久期的经济含义l复习：弹性的概念复习：弹性的概念l久期的本质就是弹性。久期的本质就是弹性。l数学推导。数学推导。第第2828页页修正久期修
23、正久期l修正的久期修正的久期第第2929页页l久期、修正久期的经济含义：资产或负债对利率的久期、修正久期的经济含义：资产或负债对利率的敏感程度。敏感程度。第二节第二节 运用久期模型进行免疫运用久期模型进行免疫第第3131页页久期和远期支付的免疫久期和远期支付的免疫l养老基金和人寿保险公司管理者面临如何进行多种资养老基金和人寿保险公司管理者面临如何进行多种资产的组合选择，以使他们在将来某个时期能够获得足产的组合选择，以使他们在将来某个时期能够获得足够的投资收益来向受益人或投保人支付退休金或保险够的投资收益来向受益人或投保人支付退休金或保险金的问题金的问题l假设有一份假设有一份5 5年期的保单，保
24、险公司向客户承诺年期的保单，保险公司向客户承诺5 5年后年后一次性支付一笔款项。为了简化，我们假设保险公司一次性支付一笔款项。为了简化，我们假设保险公司应在应在5 5年期满后支付年期满后支付14961496元作为退休保险的一次性返元作为退休保险的一次性返还，它恰好等于用还，它恰好等于用10001000元投资于票面利率元投资于票面利率8%8%的按复利的按复利计算的计算的5 5年期债券。当然，保险公司实际支付的金额年期债券。当然，保险公司实际支付的金额可能会更大，但在这个例子中我们假设支付的总额不可能会更大，但在这个例子中我们假设支付的总额不会发生变化。会发生变化。第第3232页页l策略一策略一
25、购买期限为购买期限为5 5年期的零息债券年期的零息债券l假设面值为假设面值为10001000元，到期收益率为元，到期收益率为8%8%的的5 5年期贴现债券的年期贴现债券的当前价格为当前价格为680.58680.58元，即元，即P=680.58P=680.58（元）如果保险公司以（元）如果保险公司以10001000元的总成本购买了这样的债券，那么该项投资在元的总成本购买了这样的债券，那么该项投资在5 5年年后将刚好产生后将刚好产生14691469元的现金流。原因是债券组合的久期与元的现金流。原因是债券组合的久期与保险公司保费的返还期相匹配。保险公司保费的返还期相匹配。l策略二策略二 购买久期为购
26、买久期为5 5年的息票债券年的息票债券l通过计算可以知道面值为通过计算可以知道面值为10001000元，期限为元，期限为6 6年，票面利率年，票面利率为为8%8%，到期收益率为，到期收益率为8%8%的债券的久期为的债券的久期为4.9934.993年，约为年，约为5 5年。年。如果公司购买了该债券，无论市场利率如何变化，在如果公司购买了该债券，无论市场利率如何变化，在5 5年年后保险公司都能获得后保险公司都能获得14961496元的现金流。原因是利率变动带元的现金流。原因是利率变动带来的再投资收入的增加或减少都恰好被出售债券的收入的来的再投资收入的增加或减少都恰好被出售债券的收入的减少或增加所抵
27、消。减少或增加所抵消。第第3333页页金融机构整个资产负债表的免疫金融机构整个资产负债表的免疫l资产和负债市场价格的变化是如何与久期联系在一起的资产和负债市场价格的变化是如何与久期联系在一起的第第3434页页l式中式中k=L/Ak=L/A是对金融机构财务杠杆的测定，即金融机是对金融机构财务杠杆的测定，即金融机构用于支持资产的负债与资产的比例。利率变化对金构用于支持资产的负债与资产的比例。利率变化对金融机构净值的影响可以分为以下三个部分：融机构净值的影响可以分为以下三个部分：l（1 1）杠杆修正的久期缺口）杠杆修正的久期缺口=D=DA A-D-DL Lkk（持续性缺口或（持续性缺口或净值缺口）。
28、该缺口以年为单位，反映金融机构资产净值缺口）。该缺口以年为单位，反映金融机构资产和负债之间久期的不匹配程度。缺口的绝对值越大，和负债之间久期的不匹配程度。缺口的绝对值越大，金融机构就越多地暴露在利率风险下。金融机构就越多地暴露在利率风险下。第第3535页页l（2 2）金融机构的规模。）金融机构的规模。A A是以市场价格为表示的金融是以市场价格为表示的金融机构的资产价值，它反映了金融机构的规模。规模越机构的资产价值，它反映了金融机构的规模。规模越大，可能暴露在利率风险下的净值的规模就越大。大，可能暴露在利率风险下的净值的规模就越大。l（3 3）利率的变化程度为）利率的变化程度为 ，利率的变动越大
29、，金融，利率的变动越大，金融机构的风险暴露越大。机构的风险暴露越大。l这样，我们可以把金融机构的净值暴露表示为：这样，我们可以把金融机构的净值暴露表示为：lE=-(E=-(杠杆修正的久期缺口杠杆修正的久期缺口) ) 资产规模资产规模利率变动利率变动第第3636页页久期缺口管理的缺陷久期缺口管理的缺陷l首先，找到具有相同久期的资产和负债并引入到金融首先，找到具有相同久期的资产和负债并引入到金融机构的资产负债组合中是件很费时费力的事情机构的资产负债组合中是件很费时费力的事情l其次，银行和储蓄机构拥有的一些帐号，如支票存款其次，银行和储蓄机构拥有的一些帐号，如支票存款和储蓄存款，这些帐号现金流发生的
30、时间不确定，致和储蓄存款，这些帐号现金流发生的时间不确定，致使久期的计算出现困难。使久期的计算出现困难。l此外，久期模型假设资产（负债）的市场价格和利率此外，久期模型假设资产（负债）的市场价格和利率之间为线性关系，即假定利率上升或下降相同的幅度之间为线性关系，即假定利率上升或下降相同的幅度所引起的资产（负债）价格下降或上升的幅度相同。所引起的资产（负债）价格下降或上升的幅度相同。而实际中，它们之间的关系往往是非线性的。通常情而实际中，它们之间的关系往往是非线性的。通常情况下，同等幅度的利率上升引起的资产价值的下降幅况下，同等幅度的利率上升引起的资产价值的下降幅度要小于同等幅度的利率下降引起的资产价值的上升度要小于同等幅度的利率下降引起的资产价值的上升幅度幅度第第3737页页l凸度是指债券价格变动率与收益率变动关系曲线的曲凸度是指债券价格变动率与收益率变动关系曲线的曲度等于债券价格对收益率二阶导数除以价格，即：度等于债券价格对收益率二阶导数除以价格，即： 凸度凸度价格敏感度与久期、凸度的关系价格敏感度与久期、凸度的关系
