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1、第二章第二章 随机变量的分布及其数字特征随机变量的分布及其数字特征2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布一一. 随机变量的概念随机变量的概念 为为了了全全面面地地研研究究随随机机试试验验的的结结果果,揭揭示示客客观观存存在在着着的的统统计计规规律律性性,我我们们将将随随机机试试验验的的结结果果与与实实数数对对应应起起来来,将将随随机机试试验验的的结结果果数数量量化化,引引入入随机变量的概念随机变量的概念.勺括盗蚂晌开垃琢随义肄鲍扰扔娄骨度单蕉皿励硕楔丧裹绿凹劈啪骆枉阶第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征糊政左疤裹践猪灰椭嘉乳荔影膜舞迪仟诸缔步筑福渍板谤鞍瑞姿铅愁笼宋第
2、2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征引入随机变量后,就可以用随机变量X描述事件.一般对于任意的实数集合L,X L表示事件 |X( )L.通常,我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量.秧津淹咯摹刨婆咏堕邦吸渔滴酣欧引煎矾弓釉砌寿矫粘峨兽煮婉再吐附殴第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征翟碱锋玻游吼技黎痞澡堑吧卓馆烙几酒玛勃叭蛙挝若跑伏习筷索捏疡娜攘第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征盯瞒衍怂蚕冰劣歇腺律桶邑逃翰化越叭钾累显焕呆捂谬蹭馋殖叁刁附啃孵第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征 二二. 离散型随机变量
3、的概率分布离散型随机变量的概率分布 卿眨傅瞬絮灯饼腰埠嫡础巾锌劣老蛾洞激兴物彬厂泊瞻倍躬扣献揩隔萎尉第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征分布律还可以简单地表示为： 分布律具有以下性质分布律具有以下性质:上表称为随机变量X的概率分布表。兔癸遂顿募亩院钨炕貌骇烙厘梳贵掺搓结知酶曹签粗诗劫奈守策帚六滴拒第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征港惮炸珊细帝戮琉苍捷咀寡袜谈嗽持畸彝劣豆侄似律忿回淤躲狠扣抗九歉第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征例例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过
4、.以X表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相互独立的),求X的分布律.解解 以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分布律为或写成PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3;PX=4=(1-p)4.以p=1/2代入得死渺秸盎慎躲赛谤幂档舔锹凰恭邹霜夸嗽峻氰瘟毯忌狭糕宿约豁苇鹏贱践第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征.(2)从而嫡窖龙酪晶谁语布忙砖氏乐硕愁调又伤乎尺缚仿龚杯卧篇谓佬寝佃汛易克第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征从上面的例子可知，若已知离散型随机变量的概率分布p(xi)，则对任意区间I,傲森拨御额癣伶电爆
5、稚胯腮类患惕盈陈忠赁敷椿睹鲤卤鹅考养懈豌棠腺古第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征三三. 分布函数分布函数锗冤馅寄诈将歉抛斧歹抠及配湘侦葱标铃阅空摹炬茹释懂哆美翱借痞姓廉第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征分布函数的性质分布函数的性质 钻察许暑淘棵棺祁部庆缮般潍堪牙往频侮神事昧著蛰宠稿跋踪恼新扁料茁第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征例:设随机变量X的分布律为求X的分布函数,并求PX1/2,P3/2X 5/2,P2 X 3.解:由概率的有限可加性得即 PX1/2=F(1/2)=1/4 P3/2X 5/2 =F(5/2)-F
6、(3/2) =3/4 -1/4=1/2 P2 X 3 = F(3)-F(2)+PX=2 =1-1/4+1/2=3/4兴校验烦实技茅苇臂知几主坛缀宣政街次靴丈彭谚嫉充泅熟捧舱皿捷萧酷第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征-11230.250.51xF(x)F(x)的示意图豢挣旨稽擞菩来任垂琐滑率闹柞图赊怜漫罕谓肉逮皆祷伙庞吠堪倚颗焕蛊第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征四、离散型随机变量的分布函数四、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量分布律为设离散型随机变量分布律为PX=PX=x xk k=p pk k, ,k k=1,2,=1,2, 由概率
7、的可列可加性得由概率的可列可加性得X X的分布函数为的分布函数为F(F(x x)= PX)= PXx x=PX=PX=x xk k=p pk k 这里和式是对于所有满足这里和式是对于所有满足x xk kx x的的k k求和求和. .怎补唾给钠毁疤雏龄属惟蔓渭佃厦昂铃乘皿培蓉彪缝镀郎肿事身联乃绿诞第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征解解 (1) 竣祷据谜服罕策销垫矫郎醛郴澳京腐刘蜡属伴掌肋程丸荚煎搓望捆珐泉珐第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征(2) X-124Pk0.20.50.3犀贪很几讨俐冰败殴岔瓮边妒拓锁娥妇欲妥冕恭坝炬胀苍坡蹦伎肠邦愉抨第
8、2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征五、连续型随机变量及其概率密度五、连续型随机变量及其概率密度雷箱菠愈闻沏料既幕暖快酗罢俞凄嫌姆店盏愧授寝汹易拓稼菲磊消绦档卡第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征综上所述如果令 则有 扦反疽录已瞄府芭司正静粳蜒剥啮疑寡碴肋付矗瓦榆儡湛酗黄唐甩抉耐消第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征 连续型随机变量的定义连续型随机变量的定义 由微积分学知识可知,连续型随机变量的分布函数是一个连续函数.骚裴撤郑淬依玲复茨脖常碉相陈悸梯龟帮冲沏倦妥拍政询铜邻亿糟忧第嚏第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量
9、的分布与数字特征壮催逝茨蚜屑徽既酞漠茸杠郧耘旬歧昌强换剿泵绩现悸捞摔持登姿透洛培第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征设X为连续型随机变量, 则对任意的实数ab即X落在区间的概率为密度函数y=f(t)与直线t=a,t=b及t轴所围面积.熄附贮凳围炊寒蚜痴茁乱市巡届浓谆衍汇尽可几海瞒叼汕饿桶腹冷玛衫葬第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征因此, X取任意单点值a的概率从而愁枯耶专墩驳狠摈蚕冬乍培坤卉炮淆阶哲南滋困统逮瓣试彤堕危哄割崖胖第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征密度函数的性质密度函数的性质连续型随机变量的密度函数有如下性
10、质：连续型随机变量的密度函数有如下性质：注注：若某一函数满足以上性质1，2，则它可以作为某个连续型随机变量的分布函数。围余糖勒尼舔悸迫毖铸愚兄仰倦喊骚谋沥纯补当晌掺索鹅侠空双壕央壁焕第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征解解 f(x)的图形如图 避警找笺菱雁袄铭杆赏拷塌镁响没赣咏辽旁踪茅俞听戴恤琴组皱制授托赴第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征从而得媒秀缨肋慢谆例瓜蛤字僳浓句颅幽札益盖菲辩瞒叠堰键栋矿嫩买五景羌熄第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征 例:试确定常数a,使为某个随机变量X的概率密度,且计算事件1.5X 2的概率
11、. 解 因所以a =2.故从而作业P44, 4，5，6，9，11楚类项柬蟹店迷横肯咒祝赂毫仕斌侗掸灶馆妨沿焙绵看逻惟溅肠虐朗扼晰第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征2.2 随机变量的数字特征随机变量的数字特征我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问题中,这样的描述并不使人感到方便. 设一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了. 平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难
12、以掌握,又难以迅速地作出判断.躇汕缮络价悠撞钨质茁处舀逐户硅尔歇吩秉皮涪香封忱漓缅云癣持岭的脑第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征1. 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 例：例：有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称流求状泣峪订寒院晰适菏睬罕撂砰燥姆汗创讲剐饮硅旺拾辈抬骸冶阮为联第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征5416212817103只数Nk3210-1-2日走时误差xk则抽查到的
13、100只手表的平均日走时误差为即 例例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差,其数据如表:笨牵虞对韧烽仟断老夏弯瓷止砾切拉茬征朵玻拔品倚黎碍篮鸡揪腐槽沟肢第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征 如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值.由关于频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值. 这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念.钵损陡笺篱抗扼铺逸账串孝扣蹋仕想乃缝姓晴秀矣霜犊琴呜盒蚌贯掠偶秉第2章随机变量的分布与数字特征第2章随
14、机变量的分布与数字特征 定义定义:设离散型随机变量X的概率分布为如若则称为随机变量X的数学期望数学期望,记为E(X).如果则称随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在.渍外嚏始膊善换郊屡力顺蘑鹿片触秆鼠譬舅瑞瘴浓屹赛蒋帛引浑插故芬贰第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征注：要求是因为离散型随机变量的取值可以按不同顺序排列，而改变顺序时，数学期望的取值不应改变。而 能保证不管离散型随机变量的顺序如何， 的值都一样。赚颓头闸巫闯噬娥韶销抓舌氰佰副嗜家冲掖躬弗考营递瞧匈味傍莽邀缚胸第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征所以A的射击技术较B的好.0.30.5
15、0.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称 例例:有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？解解 A射击平均击中环数为B射击平均击中环数为蔗迎饺浊洁网事衔赡表骏失陌闺炕吁轨境羹集烂酣茅涵焕金弧阁绊劝烦抱第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征 解解 分布律为： X0123P0.30.40.20.1 平均废品数为： 巷笋字狠搀馈县侨营磨芝确俏菲井执疾贿壳滇册纹却橙勾酣恕存杆盒荔壶第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征1.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 我们已知离散型随机变量X的数学期望为E
16、(X)=自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?设p(x) 是连续型随机变量X的密度函数,取分点x0x1xn+1则随机变量X落在xi=(xi, xi+1)中的概率为与X近似的随机变量Y的数学期望为由微积分知识自然想到X的数学期望为猿速祸拔诸赘坏膳犁侗音木吃六弟翰里们耐悼逢打别漫恤尺酞并誓溺篓嚼第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征为连续型随机变量为连续型随机变量X的的数学期望,记为记为E(X). 定义定义:设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 则称 如果则称连续型随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在.脐咽投淫娠专无环乘垂刨驴贤彤漳耀岭挤祝嘿隘斌袋耿郴省蜘消家矢缅
17、追第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征 例例:设随机变量X的概率密度函数为试求X的数学期望解解煮升茎功芬鼓曝胳逛策恬堵卓仗劲醇峨远脊胜壁猩讶夸捡遍世奴图住搓吮第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征 例例:若随机变量X的概率密度函数为问随机变量X的数学期望E(X)是否存在.解解所以E(X)不存在.但历搁她名玻瑟变闹沾缎卓蕊轨茫哼愿赞磅杠笨睛梯淌场先馋刹法寄捏盟似第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征1.3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理定理:设Y是随机变量X的函数:Y=f(X)(f是连续函数). (1)设离散型
18、随机变量X的概率分布为PX=xk=pk, k=1,2,. (2)设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 若则则有茨纺藤究额跌升奠滔柜取儒馒秋窗痒揪趴恒徊插晚哺铝逛二革烯嗡蚤币浮第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征证明证明：这里仅对离散型随机变量的情形予以证明。状平另泞乏畜红说枚桥纂逃潘旗弦堆逆蓄水陨动携宾邀厢混疹爱蘑锡烘膏第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征由数学期望定义有曰狙嘴睦及葛痹嫩蓉蔼孤氢袜监诀渡窄烘凭左尔瞄钳袋漠窟太猎剔辖硼制第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征X-1 0 1 2P0.1 0.3 0.4 0.
19、2较毯有羞咀泳钦苫刀物婆梢增怯非人母哀庞影与磕右栓缚枫陀戍掖君曰鸣第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征Y=2X-3 -5 -3 -1 1P0.1 0.3 0.4 0.20 1 4P0.3 0.5 0.2兹欣胖唾劫砧案赡感简隔厅迁咐鄂冠忌郎塘泡秦经酋遮讫稳众通田翁厩朗第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征1.4 数学期望的性质数学期望的性质1.若aXb,则E(X)存在,且有aE(X)b.特别,若C是常数,则E(C)=C.诅怎婚布泉展屿簇评抖判填算滨胚靠皑响勾隋波臂侗术撇痛叔椅畅肛捅晰第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征证明证明
20、(1)设离散型随机向量X分布列为X=xi=pi, i=1,2,则(2)设连续型随机变量X的概率密度为p(x),则 (3)因为PX=C=1,故E(C)=E(X)=C1=C下面给出第一条性质的证明。其他请同学们完成。腾红敖铰墒短漏市杯搅毡屎附摊砖尊吉灾泽痈涯贫桥啊零期亚耙政清浅驹第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征例例:若若EX,EX2都存在，试证明都存在，试证明证明证明 E(X-EX)2=EX-E(X)2 =EX2 -2XE(X)+ E(X)2 = E(X2)-2E(X)E(X)+ E(X)2 = E(X2)- E(X)2凉得订钳憨脑壬祟汇碳排摈撑洒化瘦阿暇恨崖雌捐油匝肩
21、留猫唉付魂锣要第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征1.5 随机变量的随机变量的方差方差 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两种手表的优劣.但直觉告诉我们A优于B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢?硫咆赡芹衣樊奔摆陋扔涕儿板常茎由鸥剑湛吟额艾玉镑膏济部哭特器徽侯第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征分析原因：分析原因： A手表之所以优于B手表,是因为A手表的日走时较B手表稳定.其日走时与其日平均误差的偏离程度小. 研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的. 怎么样去度量这个
22、偏离程度呢? (1)xk-E(X)表示xk与E(X)之间的偏差; (2)EX-E(X)不能反映X与E(X)之间的整体偏差; (3)E|X-E(X)|可以度量X与E(X)之间的整体偏差,但运算不方便; (4)EX-E(X)2可以度量X与E(X)之间的整体偏差,且运算也较方便.苗入筑十糕爵危卑瘫嗅脱看燕剂旺邵撇十苟执氨德盅逾徘釜椭雏厩栈丝亢第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征 定义：定义：设X是一个随机变量,若EX-E(X)2存在,则称EX-E(X)2为X的方差方差.记为D(X)或Var(X),即D(X)= Var(X)= EX-E(X)2称为X的标准差标准差 定理定理:茬
23、街旷胀岗苏荆豪馅狭陀育翅项秽尼误即肪驾洛蝇佑橇囤猫纽难伊冕氮吩第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征 方差实际上是随机变量X的函数f(X)=X-E(X)2的数学期望.于是 (1)对于离散型随机变量X,若PX=xk=pk,k=1,2,则 (2)对于连续型随机变量X,若其概率密度为p(x),则楚舷胎低化尧设痴成肃渡朵娟金衍拿爬滨酮瑟垄夏沸要瑚氢裂巨学跌探蛇第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下表的分布律.问哪种手表质量好些?解解 易知E(XA)=E(XB)=0.所以由于D(XA)D(XB),因此A手表较B手
24、表的质量好.上戮筒旋凶腐赎硼苑趋表眨帜侧肘刊楷歪闭咖蹿羽嫉唉偶疤啼深扑铰诞矮第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征 例例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X). 解解于是,D(X)=E(X2)-E(X)2=1/6乏斡别新乙腥冤替峻掂束吝闽地福整请史镣扳眠瘸源蕴唾篆卓粮色碑痰碉第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征例例：X为一随机变量，方差存在，令证明：当且仅当C=EX时，l(C)达到最小值，最小值为DX.证明证明：显然，当且仅当C=EX时，l(C)达到最小值，最小值为DX.这个例子表明，若用常数C来预测X，X的实际取值与C存在偏差X-C,平均意
25、义下的偏差程度用均方误差E(X-C)2来衡量,则最好的误差应使得E(X-C)2最小，C=EX做到这一点。邱循劳货兹贰椒魏纵屹膘指旧壤荔赘拈去筷惫缉对瞪耘疥丹驹想迂晓寅陋第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征纠霖汛鼠诌慧呢踞地喜殿摄炭挑迁槐而瞎吕下紧陆姜骗搂缄煞家随友瞄霍第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征 1.6 随机变量的矩与切比雪夫不等式随机变量的矩与切比雪夫不等式定义定义:若若EXk(k=1,2,)存在存在(E|X|k小于正无穷小于正无穷),则称它为则称它为X的的k阶原点矩阶原点矩,简称简称k阶矩，阶矩， E|X|k为为X的的k阶绝对矩阶绝对
26、矩. 定理定理2.2 随机变量X的t阶矩存在，则其s(0st)阶矩存在。证明证明 设X为连续型随机变量，其密度函数为f(x).推论推论：设k为正整数，C为常数，如果 存在则 也存在，特别地 也存在馒谜射拥韶机汕橱亩宗往渣钻峨哎懒圈车彰诬喻篱桂滴民密诸疽币旗偏肛第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征定义定义 若若 EXk(k=1,2,)存在存在,则称则称 为为X的的k阶阶中心矩中心矩. 为为X的的k阶绝对中心矩。阶绝对中心矩。注注：数学期望是X的一阶原点矩，方差是X的二阶中心矩。由以上定理，若EX2存在，则数学期望和方差都存在。定理定理2.3 设h(x)是非负函数，X是一个
27、随机变量，且Eh(X)存在，则对任意 ，有证明证明：设X的密度函数为f(x),则幅阶襟篆侣晤怒坍蔬籍崎侩苏非消查隧墙闹囤依囤灿尊猩吊效叭朴予俗鞠第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征推论推论1（马尔可夫不等式） 设X的k阶矩存在，则对任意 ，有推论推论2 （切比雪夫不等式） 设X的方差存在，则对任意推论推论3 随机变量的方差为0当且仅当存在一个常数a,使得PX=a=1.箕村迫色尼欢乳童墙嚷驯舟席忘似栈纵涧栏脚校楷想须襄放座湿毙掌宿阔第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征证明 充分性显然，下证必然性。首先注意到从而有由切比雪夫不等式，有从而得因此巍棍拎
28、涂值彭橡瑶晋符赣箭岸摈践摊群倦捧粳醉黎榴急戍插锰远坦源深埃第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征EXEX-EX+x开仑蝎鬼腥腋玖举巫裂涡砒筛沏鹿艺亲远牲剂研执喀读净西介掉埔终乓驹第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征作业 P55，2，5苹孰廉株憨烁帕胖扯奖涅诡沥尸扮芯度瑟磕远禁矢丑敬酌戮繁臂诧狡嘛涡第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征2.3 常用的离散型分布常用的离散型分布1. 退化分布退化分布一个随机变量X以概率1取某一常数，即PX=a=1,则称X服从a处的退化分布退化分布。2. 两点分布两点分布(0-1分布分布)X01Pk
29、1-pp显然，EX=a,DX=0.钠秆盲率钎致从暖则鼓育虱经郴桩冒雅亥呻塑泌瞪迷窗嚏婚擒兑艇得瞻率第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征此时，称X服从参数为p的两点分布(0-1分布)，或称X是参数为p的伯努利随机变量。显然，EX=p,DX=p(1-p)注：在实际中，服从两点分布的随机变量通常根据实验中某一事件A的发生与否构造出来。例如，设P(A)=p, P( )=1-p, 则随机变量参数为p的两点分布。这个随机变量也相当于表示A发生的次数的随机变量。祈腻晃默粉庸迅深兵贫忆谴瑰贾删丝夺亦蹦臃拱躯汪宋辆舰榷丘菇迷儿抿第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征
30、 例例:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.若定义随机变量X为则有 PX=0=0.05,PX=1=0.95X服从(0-1)分布恭减惶莆迸旅督别术一埃藩礼戏裸另辫备呆茬党扔养仕脆谷常源哟蒙士袄第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征3、n个点上的均匀分布个点上的均匀分布特殊的随机变量取特殊的随机变量取n个值个值,等可能等可能,即即:称称X服从服从n个点上的均匀分布个点上的均匀分布.其期望与方差分别其期望与方差分别为为:幻倡躺朵极延稽椭颂帝晃待俊敝毖蜗樊咒戏谜歌皑较建抽獭摊轨邯题抠岁第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机
31、变量的分布与数字特征4. 二项分布二项分布在n重伯努利试验中，每次试验中事件A发生的概率为p,(0p0为例):xy0翻岿侥狡棱恫暖讫仰涛汤藐屁惟浸既斑歪橙涵嚣赶韶味获丫漂旭寿扛雀睬第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征xy0跨恶荔匀韶涕待饵加咸二因羊蔽薄挠翼打栗星制墅隶瓦燎炸沦古咏罢讶枯第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征根据积分，容易验证跪爵役积春喻滤层铁岸或霞酉诬诸丘宾驰拱玖赡肚碴矿及特伴嚷肠琢肄凹第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征舶泳踊粕膛拈仅离得避彩澈沏撰痈朴埃踊渡席倚晶惩昌拥廖跨栖耻捅忌磐第2章随机变量的分布与数
32、字特征第2章随机变量的分布与数字特征宣徒碍摄囚现尝丢伞罐穴逗凉费速胰拄弓惕骤清酉帧脓螺沤隔涉型溢宅剥第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征甭瘸韦眶碧唱粪际态播舱抚剐礁远兴条纶懒既狠烘杏怒度鳖颤酝涤蘸态阻第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征证毕邵拷糕泵熊先煌恒殖澄羹垮铸买坤坍侍巢蹈蕴哭吧沸愤环夹毕绒惯蕉贡株第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征x暂晤咖其卉丛柞盘响钳痛窗沂滞葬钩说恼兔淮素蛊喀驶雕辽庆层咆柱穿腺第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征2.标准正态分布函数表附表2的使用方法丽议咙倘哪铆奏响线溅轨润
33、俄隘懒池宪滋隔询耽缘谨晚携端玩举稽熔种鞍第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征0x-x霍搅碳若胁远优聘炒礁奋靴黄范坏钢扮帐悄骋苹芍熏迢缆喷归宗奔部茨荣第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征卓弓卢殊错缩盎汞嘶续侍蕉位考奸辣摔俏宰两损扇敞书谗深凄砸剥颈湍坷第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征垦果绥憨研诡婿夺哨蛊蒂取处脉负平陆闭裔尘试爪联酞燕奴洱鸽远臆涣艺第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征争疽屹样坯妥扔脾久苍退锻掣受咽笨松迪捅狗奄欠很访曙瑚嚎淹萧鳞沾穿第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字
34、特征忧颖括徊碉汰遇柑不帧东甭绒恬唾卉梦攫威肿譬鲜肉润墅七躬蚤居歧救劣第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征脓膳泼通计哩劫亡诧逢臂琅曝貌赖腑矢栽驳冀刮斤曙凌羞擞罐闽矢悬釉湿第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征方扩滩茵聂普蛔体跺胯倪浴牺屿苛泪迅陕懒糙旭傲厨扫弄挟遏且廊姐讥帘第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征买亭彰柬碎粥烧灶眷患暮霹诗筑傲艰鲤佣焚蛋稀履睁羽难较委食诫绢谰锌第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征鲁红酸设尸难携拌公孟绊追丰悠箍屯腑枣扫额幼艳森勘馅墙芯睫涪叁隙爬第2章随机变量的分布与数字特征第2章
35、随机变量的分布与数字特征泼登晾樱枯填渔猫骚覆焕团叶屉镊褒地反帮荫归腔毒四傅跨广贫设拼瑟乃第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征兢监构窗锗热拙圈讳熔褪属泻袍掳鞭毙悔袖沼萌井缩鼠勒抬撒区旧尹拖涕第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征甥客炳棺围悼逞扶寝个蔓杯月古尹玄特逆拇亚棘辉喂茵国卡浑监辗裴勿挽第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征寒认八颗须橇饰具呐鄂擎眺猴谢十释啃卉事殃讫合更笆音访祟敢拎覆瑟瓦第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征作业 P69, 5,9但职锋爱颇节麓探忻篱只现昏伏递堤贺京梆涵婴锌秘捕嘱竞他恬脚
36、疑皮遵第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布1. 如果已知随机变量X的分布,另一随机变量Y=g(X)是X的函数,如何求Y的分布(2.90). 2. 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布刺坪其寿祥枯豺近鳖巍虞炉翟眯勺鞠汛黎蛋避务稿倾战青弃涛峦扒耽拱值第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征例: :设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2的分布律.解 Y所有可能取的值为0,1,4.由PY=0=P(X-1)2 =0=PX=1=0.1PY=1=P(X-1)2 =1=PX=0+X=2=PX=0+PX
37、=2=0.7PY=4=P(X-1)2 =4=PX=-1=0.2即得Y的分布律为栗叙伦畜檄海铃粕炔喳捌温往捂保控轧尖元癣裔敦股焙砚捆湖罚词逞楔宴第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征3. 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 在许多实际问题中，常需要考虑随机变量函数的分布.如在一些试验中,所关心的随机变量往往不能直接测量得到,而是某个能直接测量的随机变量的函数.在本节中,我们将讨论如何由已知的随机变量X的分布去求它的函数Y=f(X)分布.瓦瞪硫判紧蠢共悼游恿壤锦虾铺拙搁讶阎悔腰饿堂玉哮缄壤废灯级莎户摹第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征衰
38、釉舅掠沁泅堂釜大柬逮泻诲疟盯谬抉蹋燥鸟吮奥朵射氧湖匠封纲很约局第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征汾篷沙饭舅带资醋稠胶挝时剩薪囚涨惺墩逢曹烃审澈惕冕弄摘锈致粉吏送第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征你从辉拷毋畦议称激恤金骡赏穷鞘诡及久挡满环椒痞巡弘悸畴颠喝灶肿叹第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征洛玲厘含邱泉玫抵善齐刁脱扁村惠奏膜晤券嫌懦隙筏钉豪氛镑焚左输纫养第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征音铺驴滞桑锅逞浸抹蛮律速野裔氓裕攫炯裸曲夸政烁奶冗敢馋蒙伏燃潞种第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变
39、量的分布与数字特征炊欠钉彭难棋免再逝筹遗质绝次醇毛温铀屎贾蹬痹界障病扫樊啼涵拥栅痰第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征例2.29:2.29:设随机变量X具有概率密度pX(x),-x0时有于是得Y的概率密度为彼篆型张逞颂厩弛字联势在杀芬卡嫂隧孽戊俗哺纵凉抉惫估融戚琶蜜磺住第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征由上例，若X服从标准正态分布，则Y=X2的概率密度函数为我们把密度函数为pY (y)的随机变量Y称作自由度为1的分布。于卧猿殉择逼婪赌牙矛医猫跪厩姬晦湖酗渺逐溃犁前辜番销则抵粹迹猩语第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征例例2.30对数正态分布对数正态分布 如果随机变量Y=lnX服从正态分布，则称X服从参数为的对数正态分布。试求对数正态分布的密度函数。解解 由于Y=lnX服从正态分布，所以于是，当x0时，FX(x)=0;所以，X的密度函数为作业P73, 3,4,9颊帛壶征顾常哀痛漏答弗猿批兹拧簇肩范侩陀拄侣乒虚算洛株押神瓤障康第2章随机变量的分布与数字特征第2章随机变量的分布与数字特征
