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1、一、问题的提出一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题如图如图,取极限得取极限得2021/3/1112.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放2021/3/112如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即2021/3/113二、导数的定义二、导数的定义定义定义2021/3/114其它形式其它形式即即2021/3/115关于导数的说明：关于导数的说明：2021/3/116注意注意: :2021/3/117播放播放2
2、.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2021/3/1182.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:2021/3/1192021/3/11102021/3/1111三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步骤:例例1 1解解2021/3/1112例例2 2解解2021/3/1113例例3 3解解更一般地更一般地例如例如,2021/3/1114例例4 4解解2021/3/1115例例5 5解解2021/3/1116例例6 6解解2021/3/1117四、导数的几何意义四、导数的几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为2021/3
3、/1118例例7 7解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为2021/3/1119五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证2021/3/1120连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如,注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.2021/3/112101例如例如,2021/3/1122例如例如,011/1/2021/3/11232021/3/1124例例8 8解解2021/3/1125六、小结六、小结1. 导数的实质导数的实质:
4、增量比的极限增量比的极限;3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.2021/3/1126思考题思考题2021/3/1127思考题解答思考题解答2021/3/11282021/3/11292021/3/11302021/3/1131练习题答案练习题答案2021/3/1132一、和、差、积、商
5、的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理2021/3/1155证证(3)(3)证证(1)(1)、(2)(2)略略. .2021/3/11562021/3/1157推论推论2021/3/1158二、例题分析二、例题分析例例1 1解解例例2 2解解2021/3/1159例例3 3解解同理可得同理可得2021/3/1160例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5解解同理可得同理可得2021/3/1161例例6 6解解2021/3/11622021/3/1163三、小结三、小结注意注意:分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.2021/3/1164思考题思考
6、题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.2021/3/1165思考题解答思考题解答令令切点为切点为所求切线方程为所求切线方程为和和2021/3/1166练练 习习 题题2021/3/11672021/3/1168练习题答案练习题答案2021/3/1169一、反函数的导数一、反函数的导数定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.2021/3/1170证证于是有于是有2021/3/1171例例1 1解解同理可得同理可得2021/3/1172例例2 2解解特别地特别地2021/3/1173二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则定理
7、定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )2021/3/1174证证2021/3/1175推广推广例例3 3解解2021/3/1176例例4 4解解例例5 5解解2021/3/1177例例6 6解解例例7 7解解2021/3/1178三、小结三、小结反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;已能求导的函数
8、已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.2021/3/1179思考题思考题2021/3/1180思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处可导，处可导，2021/3/1181练练 习习 题题2021/3/11822021/3/1183练习题答案练习题答案2021/3/11842021/3/1185初等函数的求导问题初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数
9、的导数公式2021/3/11862.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu= = =可导，则可导，则（1） vuvu = = )(, （2）uccu = = )(（3）vuvuuv + + = = )(, （4）)0()(2 - - = = vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )2021/3/11873.复合函数的求导法则复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.2021/3/1188例例1 1解解2021/
10、3/1189例例2 2解解2021/3/1190小小结结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.2021/3/1191思考题思考题幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（ ）.2021/3/1192思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例在在 处不可导，处不可导，在定义域内处处可导，在定义域内处处可导，2021/3/1193练练 习习 题题2021/3/1194练习题答练习题答案案2021/3/1195一、高阶
11、导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义2021/3/1196记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,2021/3/1197二、二、 高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1解解1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2021/3/1198例例2 2解解2021/3/1199例例3 3解解注意注意: : 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4
12、阶后阶后,不要急于合不要急于合并并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法数学归纳法证明证明)2021/3/11100例例4 4解解同理可得同理可得2021/3/11101例例5 5解解2021/3/111022. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式2021/3/11103例例6 6解解2021/3/111043.3.间接法间接法: :常用高阶导数公式常用高阶导数公式 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.2021/3/11105例例7 7解
13、解2021/3/11106例例8 8解解2021/3/11107三、小结三、小结高阶导数的定义；高阶导数的定义；高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.2021/3/11108思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，求求 .2021/3/11109思考题解答思考题解答可导可导不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求2021/3/11110练练 习习 题题2021/3/111112021/3/111122021/3/11113练习题答案练习题答案2021/3/111142021/3/11115一、隐函数的导数
14、一、隐函数的导数定义定义: :隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.2021/3/11116例例1 1解解解得解得2021/3/11117例例2 2解解所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点.2021/3/11118例例3 3解解2021/3/11119二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数
15、.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :2021/3/11120例例4 4解解等式两边取对数得等式两边取对数得2021/3/11121例例5 5解解等式两边取对数得等式两边取对数得2021/3/11122一般地一般地2021/3/11123三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?2021/3/11124由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得2021/3/111252021/3/11126例例6 6解解2021/3/11127 所求切线方程为所求切线方
16、程为2021/3/11128例例7 7解解2021/3/111292021/3/11130例例8 8解解2021/3/11131四、相关变化率四、相关变化率相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?2021/3/11132例例9 9解解仰角增加率仰角增加率2021/3/11133例例1010解解水面上升之速率水面上升之速率4000m2021/3/11134五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐
17、函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率; ; 解法解法: : 通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系, , 用链用链式求导法求解式求导法求解. .2021/3/11135思考题思考题2021/3/11136思考题解答思考题解答不对不对2021/3/11137练练 习习 题题2021/3/111382021/3/111392021/3/111402021/3/11141练习题答案练习题答案2021/3/111422
18、021/3/11143一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.2021/3/11144再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?2021/3/11145二、微分的定义二、微分的定义定义定义( (微分的实质微分的实质) )2021/3/11146由定义知由定义知: :2021/3/11147三、可微的条件三、可微的条件定理定理证证(1) 必要性必要性2
19、021/3/11148(2) 充分性充分性2021/3/11149例例1 1解解2021/3/11150四、微分的几何意义四、微分的几何意义MNT）几何意义几何意义:(:(如图如图) ) P 2021/3/11151五、微分的求法五、微分的求法求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2021/3/111522. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2021/3/11153例例2 2解解例例3 3解解2021/3/11154六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性结论结论：微分形式的不变
20、性微分形式的不变性2021/3/11155例例4 4解解例例3 3解解2021/3/11156例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.2021/3/11157七、小结七、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:2021/3/111
21、58导数与微分的区别导数与微分的区别:2021/3/11159思考题思考题2021/3/11160思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 2021/3/11161练练 习习 题题2021/3/111622021/3/11163练习题答案练习题答案2021/3/111642021/3/11165一、计算函数增量的近似值一、计算函数增
22、量的近似值例例1 1解解2021/3/11166二、计算函数的近似值二、计算函数的近似值例例1 1解解2021/3/111672021/3/11168常用近似公式常用近似公式证明证明2021/3/11169例例2 2解解2021/3/11170三、误差估计三、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：问题问题:
23、在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?2021/3/11171办法办法: :将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. .通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.2021/3/11172例例3 3解解2021/3/11173四、小结四、小结近似计算的基本公式近似计算的基本公式2021/3/11174练习题练习题2021/3/111752021/3/11176练习题答案练习题答案第二章习题课2021/3/11177求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系
24、高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分一、主要内容2021/3/111781 1、导数的定义、导数的定义定义定义2021/3/111792.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:2021/3/111802 2、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）2021/3/111813 3、求导法则、求导法则(1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则反函数的求导法则2021/3/11182(3) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则(4) 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后
25、利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围: :2021/3/11183(5) (5) 隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6) (6) 参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则2021/3/111844 4、高阶导数、高阶导数记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)2021/3/111855、微分的定义微分的定义定义定义( (微分的实质微分的实质) )2021/3/111866 6、导数与微分的关
26、系、导数与微分的关系定理定理7 7、 微分的求法微分的求法求法求法: :计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.2021/3/11187基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2021/3/11188 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则8 8、 微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性2021/3/11189二、典型例题例例1 1解解2021/3/11190例例2 2解解2021/3/11191例例3 3解解分析分析:不能用公式求导不能用公式求导.2021/3/11192例例4 4解解两边取对数两边取对数2021/3/11193例例5 5解解先去掉绝对值先去掉绝对值2021/3/111942021/3/11195例例6 6解解2021/3/11196例例7 7解解2021/3/11197测测 验验 题题2021/3/111982021/3/111992021/3/112002021/3/112012021/3/112022021/3/112032021/3/11204测验题答案测验题答案2021/3/112052021/3/11206
