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1、第三节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一型曲面积分 第十一章 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想, 可得求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 采用7/22/2024高等数学D113对
2、面积曲面积分定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” 都存在,的曲面积分其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积是封闭的，则记为f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一型曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.则有 线性性质.在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片
3、光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分定理定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分而(光滑)机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分说明说明:可有类似的公式. 如：1) 如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参
4、数的二重积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分例例1. 计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解解: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分思考思考:若 是球面被平行平面 z =h 截出的上下两部分, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分例例2. 计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解解: 设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分例例3.
5、设计算解解: 锥面与上半球面交线为为上半球面介于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 若例3 中被积函数改为计算结果如何 ? 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分例例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.解解: 设 的方程为利用对称性可知重心的坐标而球面参数方程:思考题思考题: 例 3 是否可用球面参数方程来计算 ?例3 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分例例5. 计算解解: 取球面参数方程, 其
6、中机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分例例6. 计算其中 是球面利用对称性可知解解: 显然球心为半径为利用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分例例7. 计算其中 是介于平面之间的圆柱面分析分析: 若将曲面分为前后(或左右)则解解: 取曲面面积元素两片, 则计算稍繁. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分例例8. 求椭圆柱面位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解解: 取机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/
7、22/2024高等数学D113对面积曲面积分例例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 结束 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km )解解: 建立坐标系如图, 覆盖曲面 的半顶角为 , 利用球面参数方程, 则卫星覆盖面积为7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 以上的面积, 故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 说明说
8、明: 此题也可用二重积分求 A . 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分内容小结内容小结1. 定义:2. 计算: 设则(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分1.计算 在 xoy 面上的投影域为这是 的面积 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分2. 求抛物面壳机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分3. 设一卦限中的部分, 则有( ).( 2000 考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分补充题补充题 1. 已知曲面壳求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影为 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分2. 设 是四面体面, 计算解解: 在四面体的四个面上同上平面方程投影域机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/22/2024高等数学D113对面积曲面积分
