02计算机中数据信息的表示2.32.8

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1、2.3.1 2.3.1 加法器及其进位链加法器及其进位链一、FAa ai ib bi is si ic ci-1i-1c ci i图图3-1 3-1 全加器逻辑符号全加器逻辑符号ai bi ci-1sici0 0 0000 0 1100 1 0100 1 1011 0 0101 0 1011 1 0011 1 111表表3-1 3-1 全加器真值表全加器真值表22 七月 20241全加器的逻辑表达式为全加器的逻辑表达式为 (1) si=ai bi ci-1 ci=aibi+(ai bi)ci-1 (2) si=ai bi ci-1 ci=aibi+aici-1+bici-1aibici-1si

2、ci=1=1=1=1+ +& &aibici-1sici=1=1=1=1+ +& &22 七月 20242二、并行加法器及其进位链二、并行加法器及其进位链1. 1. 串行进位（行波进位）串行进位（行波进位）FAFAFAC1C2Cn-1CnA1B1A2B2AnBnS1S2SnC022 七月 20243cnc0c1city242n c2sns1sity242n s222 七月 20244l串行进位加法器的速度受限于进位位串行进位加法器的速度受限于进位位c ci i的传递。的传递。提高速度有两种途径：提高速度有两种途径：采用更高速的器件，减短采用更高速的器件，减短c ci i的传递时延。的传递时延

3、。改进进位链的结构，减少延迟级数。改进进位链的结构，减少延迟级数。22 七月 202452. 2. 并行进位（先行进位）并行进位（先行进位） ci=aibi+(ai bi)ci-1 ci=gi+pici-1例如：例如：4 4位的并行进位加法器位的并行进位加法器本地进位，本地进位，用用gi表示表示进位传递函数，进位传递函数，用用pi表示表示c1=g1+p1c0c2=g2+p2c1=g2+p2g1+p2p1c0c3=g3+p3c2 =g3+p3g2+p3p2g1+p3p2p1c0 c4=g4+p4c3 =g4+p4g3+p4p3g2+p4p3p2g1+p4p3p2p1c0aibiai bi22

4、七月 20246图图3-2 43-2 4位并行进位加法器的逻辑图位并行进位加法器的逻辑图22 七月 20247c4c0c1cityc2c3s4s1sitys2s32422 七月 202483. 3. 分组并行进位分组并行进位组内并行、组间串行组内并行、组间串行进位方式进位方式以以1616位加法器为例，可分为位加法器为例，可分为四组四组，每组四位。，每组四位。p组组内内并并行行：每每组组内内的的进进位位位位同同时时产产生生。即即c c1 1c c4 4同同时时产产生生，c c5 5c c8 8同同时时产产生生，c c9 9c c1212同同时时产产生生，c c1313c c1616同时产生。

5、同时产生。p组组间间串串行行：组组间间的的进进位位位位不不同同时时产产生生。例例如如c c5 5c c8 8迟于迟于c c1 1c c4 4产生。产生。22 七月 20249CLAc4a4 a1C0b4 b1CLAC8a8 a5b8 b5s4 s1s8 s5CLAc12a12 a9b12 b9s12 s9CLAa16 a13b16 b13s16 s13C16c4C8c12C1622 七月 202410 c c1616c c1212c c8 8c c4 4c c0 0c c1 1c ci ityty 22 七月 202411 s s1616s s1212s s8 8s s4 4s s1 1s s

6、i ityty 22 七月 202412 组内并行、组间并行组内并行、组间并行进位方式进位方式第一组：第一组：c4=g4+p4g3+p4p3g2+p4p3p2g1 + p4p3p2p1c0 c4=G1+P1c0依次类推：依次类推：第二组：第二组： c8=G2+P2c4=G2+P2G1+P2P1c0第三组：第三组： c12=G3+P3c8=G3+P3G2 +P3P2G1+P3P2P1c0第四组：第四组： c16=G4+P4c12=G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1+ P4P3P2P1c0小组本地进位，小组本地进位，用用G G1 1表示表示小组进位传递函小组进位传递函数，用数，用P P

7、1 1表示表示22 七月 202413图图3-3 组间并行进位逻辑组间并行进位逻辑22 七月 202414图图3-4 G1、P1的逻辑电路图的逻辑电路图22 七月 202415 c c1616c c1212c c8 8c c4 4c c0 0c c1 1c ci ityty 22 七月 202416 s s1616s s1212s s8 8s s4 4s s1 1s si ityty 22 七月 202417例：用例：用SN74181SN74181实现实现1616位的位的ALUALU（1 1）采用串行进位链）采用串行进位链SN74181c4a4 a1C0b4 b1SN74181C8a8 a5b

8、8 b5s4 s1s8 s5SN74181c12a12 a9b12 b9s12 s9SN74181a16 a13b16 b13s16 s13C1622 七月 202418（2 2）采用并行进位链）采用并行进位链并行进位并行进位链芯片链芯片22 七月 2024192.3.2 2.3.2 定点原码加减运算及实现定点原码加减运算及实现l特点：特点：（1 1）符号位不能和数据一起参加运算；）符号位不能和数据一起参加运算；（2 2）符号位和加减法指令共同作为运算）符号位和加减法指令共同作为运算的依据。的依据。 22 七月 202420l运算的规则：运算的规则：（1 1）加法：同号求和，异号求差；加

9、法：同号求和，异号求差；减法：异号求和，同号求差。减法：异号求和，同号求差。（2 2）求和时，两操作数的数值位相加得求和时，两操作数的数值位相加得到和的数值位；到和的数值位；数值最高位产生进位，则结果数值最高位产生进位，则结果溢出；溢出；和的符号位采用第一操作数和的符号位采用第一操作数( (被加数被加数/ /被减数被减数) )的符号。的符号。22 七月 202421（3 3）求差时，第一操作数的数值位加上第二操求差时，第一操作数的数值位加上第二操作数（加数作数（加数/ /减数）的数值位的补码。减数）的数值位的补码。分两分两种情况讨论：种情况讨论：最高数值位有进位，表明加法结果最

10、高数值位有进位，表明加法结果为正，所得数值位正确，结果的符号位采用为正，所得数值位正确，结果的符号位采用第一操作数的符号。第一操作数的符号。最高数值位无进位，表明加法结果为负最高数值位无进位，表明加法结果为负（补码形式），应对其求补，还原为绝对值（补码形式），应对其求补，还原为绝对值形式的数值位，结果的符号位为第一操作数形式的数值位，结果的符号位为第一操作数的符号变反。的符号变反。22 七月 202422例：已知例：已知XX原原0.11010.1101，YY原原1.10011.1001，求求XYXY原原。解：解：X+YX+Y原：原：对两数求差，对两数求差， .1101.1101 .1001

11、=.1101+.0111=1.0100 .1001=.1101+.0111=1.0100 X+Y X+Y原原0.0100 0.0100 XXYY原原：两数求和，：两数求和， .1101+.1001=1.0110 .1101+.1001=1.0110 因为数值最高位产生进位，即结果溢出。因为数值最高位产生进位，即结果溢出。结论：原码加减运算规则比较复杂。结论：原码加减运算规则比较复杂。22 七月 2024232.3.3 2.3.3 定点补码加减运算及实现定点补码加减运算及实现一、补码加减的基本依据一、补码加减的基本依据lxx补补yy补补 xxyy补补 (mod (mod M M) )lxx补补

12、yy补补 xx补补 -y-y补补 xx yy补补 (mod (mod M M) )22 七月 202424二、补码加减运算的基本规则二、补码加减运算的基本规则参加运算的各个操作数均以补码表示，运算结果仍参加运算的各个操作数均以补码表示，运算结果仍以补码表示。以补码表示。符号位与数值位一起参加运算。符号位与数值位一起参加运算。若求若求和和，则将两补码数直接相加，得到，则将两补码数直接相加，得到两数之和的两数之和的补码补码；若求；若求差差，则将，则将减数变补减数变补( (由由yy补补求求 yy补补) )，然后与被减数，然后与被减数相加相加，得到，得到两数之差的补码两数之差的补码。补码总是对

13、确定的模而言，若运算结果超过模补码总是对确定的模而言，若运算结果超过模( (有有从符号位上产生的进位从符号位上产生的进位) )，则将，则将模自动丢掉模自动丢掉。22 七月 202425例例1 1：已知：已知X X0.10110.1011，Y Y0.11010.1101，求，求X+YX+Y补补解：解：X X 补补 0.10110.1011， Y Y 补补 1.00111.0011 X X补补 0.10110.1011 +Y +Y补补 1.00111.0011 X X补补+Y+Y补补 1.11101.1110因此，因此，X+YX+Y补补1.11101.111022 七月 202426例例2 2：x

14、=+1001x=+1001，y=+0110y=+0110，求，求x yx y。解：解： xx补补=01001, y=01001, y补补=00110=00110 x+y x+y补补= x= x补补+ + yy补补= = 01001+00110=0111101001+00110=01111 x+y=+1111 x+y=+1111 -y -y补补=11010=11010 x-y x-y补补= x= x补补+ + -y-y补补= 01001+11010= = 01001+11010= 0001100011 x-y=+0011 x-y=+001122 七月 202427例例3 3：x=+0.1011x

15、=+0.1011，y=+0.0110y=+0.0110，求，求x+yx+y。解：解： xx补补=0.1011, y=0.1011, y补补=0.0110=0.0110 x+y x+y补补= x= x补补+ y+ y补补=0.1011+ =0.1011+ 0.0110=1.00010.0110=1.0001 x+y=-0.1111 x+y=-0.1111例例4 4：x=x=10101010，y=y=11011101，求，求x+yx+y。解：解： xx补补=10110, y=10110, y补补=10011=10011 x+y x+y补补= x= x补补+ y+ y补补=10110+10011=

16、1 =10110+10011= 1 0100101001 x+y=+1001 x+y=+1001错！错！正溢出正溢出错！错！负溢出负溢出22 七月 202428三、溢出判别与变形补码三、溢出判别与变形补码l设设xx补补x x0 0.x.x1 1x x2 2xxn n ，yy补补y y0 0.y.y1 1y y2 2yyn n， ss补补=x=x补补yy补补s s0 0.s.s1 1s s2 2ssn n ; ; OVR OVR为溢出判别信号，且当为溢出判别信号，且当OVROVR1 1时，表示溢出。时，表示溢出。l两种判断溢出的方法：两种判断溢出的方法：(1) (1) 根据符号根据符号x x0

17、0、y y0 0及及s s0 0判别溢出判别溢出 OVROVR x x0 0y y0 0s s0 0 x x0 0y y0 0s s0 0 (x(x0 0ss0 0)(y)(y0 0 s s0 0) )&=1=1x0s0y0OVR22 七月 202429l 即即x x0 0和和y y0 0均与均与s s0 0不同时，产生溢出，且不同时，产生溢出，且x x0 0= y= y0 0 =0=0时为时为正正溢出；溢出；x x0 0= y= y0 0 =1=1时为时为负负溢出。溢出。22 七月 202430(2) (2) 采用变形补码运算采用变形补码运算l变形补码的实质是变形补码的实质是双符号位补码双符

18、号位补码。即即xx变形补变形补x x0 0x x0 0.x.x1 1x x2 2xxn n ，yy变形补变形补y y0 0y y0 0.y.y1 1y y2 2yyn n设设ss变形补变形补 xx变形补变形补+y+y变形补变形补= s= sf1f1s sf2f2.s.s1 1s s2 2ssn n l变形补码的溢出判断条件：变形补码的溢出判断条件： OVROVRs sf1f1ssf2f2=1OVRsf1sf222 七月 202431l当当s sf1f1s sf2f2时，出现溢出。其中：时，出现溢出。其中： s sf1f1s sf2f20 01 1 表示表示正正溢出溢出 s sf1f1s sf2

19、f21 10 0 表示表示负负溢出溢出例：例：x x0.10100.1010，y y0.10010.1001，求，求x xy y？解：解：xx变形补变形补00.101000.1010，yy变形补变形补00.1001 00.1001 ss变形补变形补xxyy变形补变形补00.101000.101000.100100.1001OVR=sOVR=sf1f1ssf2f21 1 溢出！溢出！00.101000.100101.0011正溢出正溢出22 七月 202432练习练习1. 1. 分别用两种判别溢出的方法判别下列运算是分别用两种判别溢出的方法判别下列运算是否发生溢出。否发生溢出。x x0.1001

20、0.1001，y y0.01010.0101，求，求x xy y？x x0.11010.1101，y y0.10110.1011，求，求x xy y？不溢出不溢出负溢出负溢出22 七月 202433lAA补补BB补补AABB补补 lAA补补BB补补 AA补补-B-B补补 AA补补BB补补1 1( (末位末位) ) AABB补补2.3.4 补码加减的硬件实现补码加减的硬件实现22 七月 202434FAFAFAC1C2Cn-1CnA1B1A2B2AnBnS1S2SnC0图图3-7 3-7 采用串行进位的补码加减运算逻辑电路采用串行进位的补码加减运算逻辑电路=1=1=1MM=M=0 0，做，做加加

21、M=M=1 1，做，做减减22 七月 202435l加法器加法器：F FA+BA+B。lADDADD、SUBSUB、1C01C0：控制信号控制信号l dstdst、srcsrc：数据输：数据输入端入端lPSWPSW：标志寄存器，：标志寄存器，保存运算结果的状态保存运算结果的状态22 七月 202436ldstdstsrcsrc：dstdst端数据送入端数据送入A A端，使端，使ADDADD控制控制信号有效，即信号有效，即srcsrc端的数据送入端的数据送入B B端。端。ldstdstsrcsrc：dstdst端数据送入端数据送入A A端，使端，使SUBSUB控制控制信号有效，即信号有效，即sr

22、csrc端的数据取反后送入端的数据取反后送入B B端，端，并使并使1C01C0控制信号有效。控制信号有效。减法和加法运算都是通过同一个电路实现减法和加法运算都是通过同一个电路实现的，通过发出不同的控制信号来实现不同的的，通过发出不同的控制信号来实现不同的运算操作。运算操作。 22 七月 202437PSWPSW标志位标志位lSFSF（Sign FlagSign Flag）符号标志。）符号标志。lSFSF1 1表示结果为负数表示结果为负数lSFSF0 0表示结果为正数表示结果为正数lZFZF（Zero FlagZero Flag）零标志。）零标志。lZFZF1 1表示结果为零表示结果为零lZF

23、ZF0 0表示结果非零表示结果非零lOFOF（Overflow FlagOverflow Flag）溢出标志。）溢出标志。lOFOF1 1表示结果溢出表示结果溢出lOFOF0 0表示结果不溢出表示结果不溢出22 七月 202438lCFCF（Carry FlagCarry Flag）进位标志。）进位标志。l加法运算时，加法运算时，CFCF1 1表示有进位，表示有进位，CFCF0 0表示没有进表示没有进位；位；l减法运算时，减法运算时，CFCF1 1表示没有借位，表示没有借位，CFCF0 0表示有借表示有借位。位。 22 七月 2024392.4 2.4 定点数移位运算定点数移位运算l是计算机中

24、基本运算之一是计算机中基本运算之一l和加减运算相结合可实现乘除运算。和加减运算相结合可实现乘除运算。l包括逻辑移位、算术移位和循环移包括逻辑移位、算术移位和循环移位。位。40一、逻辑移位一、逻辑移位数据为无符号数或纯逻辑代码，移位时不考数据为无符号数或纯逻辑代码，移位时不考虑符号。虑符号。l逻辑左移：将寄存器的每一位数据向左移动逻辑左移：将寄存器的每一位数据向左移动一个位置，最低位补一个位置，最低位补0 0，最高位移至进位位；，最高位移至进位位；l逻辑右移：将寄存器的每一位数据向右移动逻辑右移：将寄存器的每一位数据向右移动一个位置，最低位移至进位位，最高位补一个位置，最低位移至进位位，最高位补

25、0 0。22 七月 202441例：逻辑左移一位，最高位移至进位位。例：逻辑左移一位，最高位移至进位位。逻辑右移一位，最低位移至进位位。逻辑右移一位，最低位移至进位位。22 七月 202442二、算术移位数据为有符号数二、算术移位数据为有符号数真值真值码制码制移位后空位填补的代移位后空位填补的代码码正数正数原码、补码、原码、补码、反码反码0 0负数负数原码原码0 0补码补码左移补左移补0 0右移补右移补1 1反码反码1 122 七月 202443例：例：XX补补=11010100 =11010100 算术左移一位后得：算术左移一位后得：算术右移一位后得：算术右移一位后得：例：例：XX反反=1

26、1010100=11010100算术左移一位后得：算术左移一位后得：算术右移一位后得：算术右移一位后得：22 七月 202444例：例：XX原原=11010100 =11010100 算术左移一位后得：算术左移一位后得：算术右移一位后得：算术右移一位后得：例：例：XX补补=00110100 =00110100 算术左移一位后得：算术左移一位后得：算术右移一位后得：算术右移一位后得：22 七月 202445三、循环移位三、循环移位:数据首尾相连进行移位。数据首尾相连进行移位。小循环左移：最高位移至进位位，同时移至最低小循环左移：最高位移至进位位，同时移至最低位。位。小循环右移：最低位移至进位位，

27、同时移至最高小循环右移：最低位移至进位位，同时移至最高位。位。大循环左移：最高位移至进位位，进位位移至最大循环左移：最高位移至进位位，进位位移至最低位。低位。大循环右移：最低位移至进位位，进位位移至最大循环右移：最低位移至进位位，进位位移至最高位。高位。22 七月 2024462.5 2.5 定点乘法运算及实现定点乘法运算及实现一、原码乘法运算一、原码乘法运算设被乘数设被乘数xx原原x x0 0.x.x1 1x x2 2xxn n，乘数，乘数yy原原y y0 0.y.y1 1y y2 2yyn n，乘积乘积zz原原xx原原yy原原z z0 0.z.z1 1z z2 2zz2n2n。l两个数的原

28、码乘法运算包括：两个数的原码乘法运算包括：（1 1）乘积的符号处理）乘积的符号处理 z z0 0x x0 0yy0 0（2 2）两数绝对值相乘）两数绝对值相乘22 七月 202447例：例：x x-0.1101-0.1101，y y-0.1011 -0.1011 求求xyxy?解：解：xx原原1.1101 1.1101 ，yy原原1.1011 1.1011 z z0 0=11=0=11=0|x|y|= 0.11010.1011|x|y|= 0.11010.1011 =0. 10001111 =0. 10001111 xy xy +0. 10001111+0. 1000111111011101

29、1011101111011101110111010000000011011101.手算算法手算算法：.22 七月 2024481. 1. 原码一位乘法原码一位乘法（1 1）递推公式）递推公式|x|y|x|y|= |x| = |x| 0.y0.y1 1y y2 2yyn n= = |x|(2|x|(2-1-1y y1 1+ +2 2-2-2y y2 2+2 2-n-ny yn n) ) = = 2 2-1-1|x|x|y y1 1+ +2 2-2-2|x|x|y y2 2+2 2-n-n|x|x|y yn n = = 2 2-1-1|x|x|y y1 1+ +2 2-1-1|x|x|y y2 2

30、+2 2-(n-1)-(n-1)|x|x|y yn n = = 2 2-1-1|x|x|y y1 1+ +2 2-1-1|x|x|y y2 2+ +2 2-1-1|x|x|y y3 3+ + 2 2-1-1|x|x|y yn-1n-1+ +2 2- -1 1|x|x|y yn n+0+0 Z0Z1ZnZ222 七月 202449递推公式：递推公式： Z Z0 0=0=0 Z Z1 1= 2= 2-1-1|x|y|x|yn n+Z+Z0 0 Z Z2 2= 2= 2-1-1|x|y|x|yn-1n-1+Z+Z1 1 Z Zi i= 2= 2-1-1|x|y|x|yn-i+1n-i+1+Z+Zi-

31、1i-1 Z Zn n= 2= 2-1-1|x|y|x|y1 1+Z+Zn-1n-1 22 七月 202450l(1101)(1101)2 2(1011)(1011)2 2的手算式的手算式110110111101110111010000Xy0 20Xy1 21Xy2 22Xy3 230+Xy0 20+ Xy1 21 + Xy2 22 + Xy3 23XY=y3y2y1y0机算与手算的区别：机算与手算的区别：多项相加改为两项逐次累多项相加改为两项逐次累加，只需要普通加法器；加，只需要普通加法器；左移改为右移，只需要左移改为右移，只需要n n位加法器；位加法器；乘数乘数Y Y与积的低与积的低n n

33、然后将后将本次部分积连同本次部分积连同| |乘数乘数| |及及C Cj j一起一起逻辑右移逻辑右移一位；一位；若若判判别别位位为为0 0，则则在在前前次次部部分分积积上上加加0 0（或或不不加加），然后将本次部分积连同然后将本次部分积连同| |乘数乘数| |及及C Cj j一起逻辑右移一位。一起逻辑右移一位。重复重复, ,直到运算直到运算n n次为止。次为止。（n n为乘数数值部分的长度为乘数数值部分的长度） 22 七月 202452例例1 1：x x-0.1101-0.1101，y y-0.1011-0.1011，求，求xyxy? ?解：解：z z0 0=11=0=11=0C Cj j部分

34、积部分积| |乘数乘数| |说明说明0 0 .0000.000010111011yyn n=1, =1, +|x|, +|x|, 1 1+ + .1101.11010 0 .1101.11011 10 0 .0110 .0110 11011101yyn n=1, =1, +|x|, +|x|, 1 1+ + .1101.11011 1 .0011.00111 10 0 .1001 .1001 11101110yyn n=0, =0, 1 11 10 0 .0100 .0100 11111111yyn n=1, =1, +|x|, +|x|, 1 1+ + .1101.11011 1 .0001

35、.00011 10 0 .1000 .1000 1111 1111 xy xy +0. 10001111+0. 1000111122 七月 202453例例2：x+1001，y-0111，求，求xy? xy-00111111例例3：x+0.11101，y+0.10011，求，求xy? xy+0.100010011122 七月 202454（3 3）原码一位乘法的硬件实现）原码一位乘法的硬件实现&+X/+0A(部分积)Bn-1B1B0 (乘数Y)CF全加器控制门C(被乘数X)计数器&QRSMUL积时钟脉冲右移22 七月 202455例：例：x x0.11010.1101，y y-0.1011-0

36、.1011，求，求xyxy? ?解：解：解：解：z z0 0=01=1=01=1部分积部分积乘乘数数操作说明操作说明 0 0 0 01 0 1 1Y0=1,+|X|+ 1 1 0 1 1 1 0 10 0 0 1 11 0 0 0 11+ 1 1 0 1+ 1 1 0 1 0 1 1 001 1 0 1 1 0 0 101 1 1 0 0 1 0 001 1 1 1 1 0 0 001 1 1 1 Y0=1,+|X|Y0=1,+|X|1Y0=0,111积高部积高部积低部积低部Z原原=1.10001111Y0计数器计数器01230CF22 七月 2024562. 2. 原码两位乘法原码两位乘法

37、l原码两位乘法的思想原码两位乘法的思想每次判每次判别乘数的别乘数的两位两位，将一位乘，将一位乘法中的两步用一步替代，以提高乘法速度。法中的两步用一步替代，以提高乘法速度。22 七月 202457l递推公式递推公式Z Z0 0=0=0Z Z1 1= 2= 2-1-1|x|y|x|yn n+Z+Z0 0 Z Z2 2= 2= 2-1-1|x|y|x|yn-1n-1+Z+Z1 1 原码一位乘法：原码一位乘法：P Pi i= 2= 2-2 -2 (2y(2yn-2i+1n-2i+1+ y+ yn-2i+2n-2i+2)|x|+P)|x|+Pi-i-1 1 原码两位乘法递推公式：原码两位乘法递推公式：

38、y yn-1n-1y yn nP P0 0=0=0P P1 1= 2= 2-1-1|x|y|x|yn-1n-1+ + 2 2-1-1|x|y|x|yn n+P+P0 0 = 2 = 2-2 -2 (2y(2yn-1n-1+ y+ yn n)|x|+P)|x|+P0 0 22 七月 2024582-2(Pi-1|x|) 0 12-2(Pi-12|x|) 1 0 2-2(Pi-13|x|) 1 12-2(Pi-10) 0 0部分积部分积 Piyn-1 yn=2 2-2-2 ( (Pi-1|x|) |x|设一个设一个欠帐触发器欠帐触发器C CJ J。若。若C CJ J1 1，则下次需多，则下次需多加

39、一个加一个|x|, C|x|, CJ J0 0，下次就不多加，下次就不多加|x|x|。22 七月 202459yn-1ynCJ 推导推导操作说明操作说明 0 0 0Pi=2-2Pi-1 ，CJ0 0 0 1Pi=2-2 (Pi-1 |x|) |x|，，CJ0 0 1 0Pi=2-2 (Pi-1 |x|) |x|，，CJ0 0 1 1Pi=2-2 (Pi-1 2|x|) 2|x|，，CJ0 1 0 0Pi=2-2 (Pi-1 2|x|) 2|x|，，CJ0 1 0 1Pi=2-2 (Pi-1|x|) +|x| -|x|补补，，CJ1 1 1 0Pi=2-2 (Pi-1|x|) +|x

40、| -|x|补补，，CJ1 1 1 1Pi=2-2 Pi-1+|x| ，CJ1原码两位乘法的运算规则原码两位乘法的运算规则2 22 22 22 22 22 22 22 222 七月 202460算法规则：算法规则：增设欠账触发器增设欠账触发器C CJ J且初始化为且初始化为0 0，初始化部分积为，初始化部分积为0 0。部分积部分积和和|x|x|均采用均采用三个符号位三个符号位( (初始值为初始值为000)000)。若数值位位数若数值位位数n n为奇数为奇数，需在，需在|y|y|前增设一位前增设一位符号符号位且置位且置0 0，形成偶数位，若为偶数则不加符号位。，形成偶数位，若为偶数则不加符号位

41、。判断判断y yn-1n-1y yn nC CJ J，并采取相应的操作。其中右移指，并采取相应的操作。其中右移指部部分积连同分积连同|y|y|右移。右移。重复重复，若，若n n为偶数为偶数，则共做，则共做n/2n/2次次运算；若运算；若n n为奇为奇数数，则共做，则共做(n+1)/2(n+1)/2次运算，但次运算，但最后一次仅右移最后一次仅右移1 1位位。注意：若最后一次运算后，注意：若最后一次运算后，C CJ J仍为仍为1 1，则需做，则需做+|x|+|x|。22 七月 202461例：例： xx原原0.1101 0.1101 ，yy原原1.11111.1111，求，求xyxy? ?解：解：

42、|x|x|原原000.1101000.1101，|y|y|原原0.11110.1111 2|x| 2|x|原原001.1010001.1010， |x|x|补补111.0011 111.0011 z z0 001011 1xyxy原原1.110000111.11000011 xyxy0.110000110.11000011000.0000000.0000111.0011111.001111 11 11 011 0部分积部分积C CJ J|y|y|x|x|111.0011111.001111111.11001.110011 11 11 11 1 111111.11111.111100 11 00

43、 11 1 1000.1101000.1101|x|x|000.1100000.110000110011 说说明明yyn-1n-1y yn nC CJ J=110, -|x|, =110, -|x|, ,C,CJ J1 12 22 22 2yyn-1n-1y yn nC CJ J=111, =111, ,C,CJ J1 12 2CCJ J1 1 +|x| +|x|22 七月 202462二、补码乘法运算二、补码乘法运算1. 1. 补码一位乘法（补码一位乘法（布斯乘法）布斯乘法）（1 1）递推公式）递推公式l以定点小数为例，设被乘数以定点小数为例，设被乘数 xx补补x x0 0.x.x1 1x

44、x2 2xxn n，乘数为，乘数为 yy补补y y0 0. y. y1 1y y2 2yyn n，乘积为，乘积为zz补补xyxy补补。22 七月 202463 设被乘数设被乘数x x的符号任意，乘数的符号任意，乘数y y为正数，即：为正数，即： y y0 00 0 ，yy补补0. y0. y1 1y y2 2yyn ny y x x补补2 2x x2 2n+1n+1x x （mod 2mod 2） xx补补yy补补(2(2n+1n+1x) y =2x) y =2n+1n+1y yxyxy 2(y2(y1 1y y2 2yyn n) )xy xy （mod mod 2 2）其中其中y y1 1

45、y y2 2yyn n为大于为大于0 0的正整数，根据模的正整数，根据模2 2性质有：性质有： 2(y2(y1 1y y2 2yyn n) )2 2 （mod mod 2 2）得得xx补补yy补补2 2xyxyxyxy补补（mod 2mod 2） xyxy补补xx补补yy补补xx补补0. y0. y1 1y y2 2yyn n22 七月 202464 设被乘数设被乘数x x的符号任意，乘数的符号任意，乘数y y为负数，即：为负数，即： y y0 0 1,1, yy补补1 1. y. y1 1y y2 2yyn n2 2y y （Mod 2Mod 2） y y 1. y1. y1 1y y2

46、 2yyn n2 2 0. y0. y1 1y y2 2yyn n1 1 xy xyx0. yx0. y1 1y y2 2yyn nx x，得：得： xyxy补补x0. yx0. y1 1y y2 2yyn n 补补xx补补 0. y0. y1 1y y2 2yyn n0 0，由（，由（1 1）得：）得： x(0. yx(0. y1 1y y2 2yyn n)补补xx补补0. y0. y1 1y y2 2yyn n xyxy补补xx补补0. y0. y1 1y y2 2yyn nxx补补 yy0 022 七月 202465 设被乘数设被乘数x x和乘数和乘数y y的符号任意，综合的符号任意，

47、综合(1)(1)、(2) (2) ，可得：，可得： xyxy补补xx补补0. y0. y1 1y y2 2yyn nxx补补yy0 0 xx补补(-y(-y0 0+ +2 2-1-1 y y1 1+ +2 2-2-2 y y2 2+2+2-n-ny yn n) ) xx补补-y-y0 0+ +(y(y1 1 - - 2 2-1-1 y y1 1) )+ +(2(2-1-1y y2 2 - - 2 2-2-2 y y2 2) )+ (2+ (2-(n-1) -(n-1) y yn n - - 2 2-n-n y yn n) xx补补(y(y1 1- - y y0 0) +2) +2-1-1(y(

48、y2 2 -y-y1 1) + 2) + 2-(n-1) -(n-1) ( y( yn n -y-yn-1n-1) ) + 2+ 2-n-n ( 0-y ( 0-yn n) ) xx补补(y(y1 1- - y y0 0) +2) +2-1-1(y(y2 2 -y-y1 1) + 2) + 2-(n-1) -(n-1) ( y( yn n -y-yn-1n-1) ) + 2+ 2-n-n ( ( -y-yn n) )( y( y1 1- - y y0 0) x) x补补+2+2-1-1(y(y2 2 -y-y1 1) x) x补补+ 2+ 2-1-1(y(y3 3 yy2 2) x) x补补+

49、 +2 +2-1-1(y(yn+1 n+1 yyn n) x) x补补+0 +0 Z0Z1y yn+1n+1ZnZn+122 七月 202466递推公式：递推公式： ZZ0 0 补补=0=0 Z Z1 1 补补= 2= 2-1-1(y(yn+1 n+1 yyn n)x)x补补+Z+Z0 0 补补 ( (y yn+1 n+1 = 0= 0) ) Z Zi i 补补= 2= 2-1-1(y(yn-i+2 n-i+2 yyn-i+1n-i+1)x)x补补+Z+Zi-1i-1 补补 Z Zn n 补补= 2= 2-1-1(y(y2 2 yy1 1)x)x补补+Z+Zn-1n-1 补补 Z Zn+1n+

50、1 补补= = (y(y1 1yy0 0) )xx补补+Z+Zn n 补补22 七月 202467补码一位乘法的操作补码一位乘法的操作y yn-i+1 n-i+1 y yn-n-i+2 i+2 推导推导操作说明操作说明 0 0 0 0ZZi i 补补= 2= 2-1-1 Z Zi-1i-1 补补+0+0+0+0， 0 0 1 1ZZi i 补补= 2= 2-1-1 Z Zi-1i-1 补补+ + xx补补 + x+ x补补， 1 1 0 0ZZi i 补补= 2= 2-1-1 Z Zi-1i-1 补补- - xx补补 + -x+ -x补补， 1 1 1 1ZZi i 补补= 2= 2-1-1

51、Z Zi-1i-1 补补+0+0+0+0，1 11 11 11 1y yn n y yn+1n+122 七月 202468（2 2）补码一位乘法的算法规则）补码一位乘法的算法规则参加运算的数均以补码表示，结果仍以补码表示。参加运算的数均以补码表示，结果仍以补码表示。增设增设y yn+1n+1，且初始化为，且初始化为0 0，部分积初始化为，部分积初始化为0 0。部分积部分积与与被乘数被乘数采用采用双符号位双符号位，且符号位参加运，且符号位参加运算。算。判别判别y yn ny yn+1n+1，并采取相应的操作。其中，右移指将，并采取相应的操作。其中，右移指将部分积部分积连同连同乘数乘数（包括包括

52、y yn+1n+1 ）一起）一起算术右移算术右移。重复重复，共做，共做n+1n+1次操作，次操作，最后一次不移位！最后一次不移位！ 22 七月 202469例例1 1：x x0.1101 y0.1101 y0.1011 0.1011 求求xyxy? ?解：解：xx补补1111.0011.0011， yy补补1.01011.0101，-x-x补补00.1101 00.1101 部分积部分积乘数乘数说明说明yyn ny yn+1n+1=10, +-x=10, +-x补补, , 1 100.000000.00001.01011.0101y yn+1n+10 0+ 00.1101+ 00.11010

53、0.110100.11011 100.0110 11.010 100.0110 11.010 1yyn ny yn+1n+1=01, +x=01, +x补补, , 1 1+ 11.0011+ 11.001111.100111.10011 111.1100 111.01 0 11.1100 111.01 0 yyn ny yn+1n+1=10, +-x=10, +-x补补, , 1 1+ 00.1101+ 00.110100.100100.10011 100.0100 1111.0 100.0100 1111.0 1yyn ny yn+1n+1=01, +x=01, +x补补, , 1 1+ 1

54、1.0011+ 11.001111.011111.01111 111.1011 11111. 011.1011 11111. 0yyn ny yn+1n+1=10, +-x=10, +-x补补, ,不移位不移位！ + 00.1101+ 00.110100.100000.1000xyxy补补0 0.10001111.10001111 xyxy+0.10001111+0.1000111122 七月 202470例例2：x+1001，y-0111 求求xy? xy-00111111例例3：x+0.11101，y+0.10011 求求xy? xy+0.100010011122 七月 202471（3

55、3）补码一位乘法的原理框图）补码一位乘法的原理框图A(部分积部分积)B(乘数乘数y) B0CF全加器全加器控制门控制门C(被乘数被乘数X)计数器计数器&Q1 RSMUL积积时钟脉冲时钟脉冲右移右移B-1译译码码器器100100，1122 七月 202472（4 4）补码一位乘法逻辑结构图）补码一位乘法逻辑结构图zf1 zf2 A zfnyf B yn yn+1Xf1 xf2 C xfn计数器计数器 CR加法器加法器右移右移C C &ynyn+1&ynyn+11 &22 七月 2024732. 2. 补码两位乘法补码两位乘法p递推公式递推公式补码补码一位一位乘法：乘法：ZZ0 0 补补=0=0

56、ZZ1 1 补补= 2= 2-1-1(y(yn+1n+1-y-yn n )x )x补补+Z+Z0 0 补补 ZZ2 2 补补= 2= 2-1-1(y(yn n-y-yn-1n-1 )x )x补补+Z+Z1 1 补补 PP0 0 补补=0=0PP1 1 补补= 2= 2-2-2(y(yn+1n+1+y+yn n-2y-2yn-1n-1 )x )x补补+ +PP0 0 补补 PPi i 补补= 2= 2-2-2(y(yn-2i+3n-2i+3+y+yn-2i+2n-2i+2-2y-2yn-2i+1n-2i+1 )x)x补补 +P+Pi-1i-1 补补补码两位乘法补码两位乘法递推公式：递推公式：2

57、2 七月 202474PiPiPiPiPiPiPiPiPi-1Pi-1Pi-1Pi-1Pi-1Pi-1Pi-1Pi-1Pi-1Pi-1Pi-1Pi-1Pi-1Pi-1Pi-1Pi-122 七月 202475l算法规则算法规则增设增设y yn+1 n+1 ，且初始化为，且初始化为0 0，部分积初始化为，部分积初始化为0 0。部分积与被乘数采用三位符号位，若数值位数部分积与被乘数采用三位符号位，若数值位数n n为为奇数，则乘数采用奇数，则乘数采用1 1位符号位，若位符号位，若n n为偶数，则乘为偶数，则乘数采用双符号位。数采用双符号位。判断判断y yn-1n-1y yn ny yn+1n+1，并采

59、长22 七月 202477一、原码除法运算及实现一、原码除法运算及实现设设被被除除数数 x x 原原 x x0 0. . x x1 1x x2 2 x xn n，除除数数 y y 原原y y0 0. .y y1 1y y2 2y yn n， x x / /y y 原原得得商商 q q 原原= =q q0 0. .q q1 1q q2 2q qn n , , 余余数数 r r 原原= = r r0 0. .r r1 1r r2 2r r2 2n n。两个数的原码除法运算包括：两个数的原码除法运算包括：(1) (1) 符号单独处理：符号单独处理： (2) (2) 绝对值相除：绝对值

60、相除：|x|/|y|x|/|y|，得到，得到|q|q|和和|r|r|。q q0 0x x0 0yy0 0， r r0 0 x x0 022 七月 202478例：例：x=+0.1011x=+0.1011，y=-0.1101y=-0.1101，求，求x/y=?x/y=?解：解：|x|y|x|y|不发生溢出不发生溢出 xx原原=0.1011=0.1011，yy原原=1.1101 q=1.1101 q0 00 1=10 1=1， r r0 0x x0 0 0 0 |x|/|y|: |x|/|y|:0.10110.10110.11010.11010.0.0 01 1- 0.- 0.0 01101110

61、10.010010.01001 0 01 1- 0.- 0.0000110111010.0001010.000101 0 00 00 01 1- 0.- 0.00000000110111010.000001110.00000111|q|q|r|r|qq原原= =1 1.1101.1101，rr原原= =0 0.00000111.00000111，q= q= - -0.11010.1101，r=r=+ +0.000001110.00000111手算过程：手算过程：2-1|y|2-2|y|2-4|y|22 七月 2024791. 1. 原码恢复余数法原码恢复余数法算法规则：算法规则：判溢出；判溢

62、出；求符号位；求符号位；余数初始化为余数初始化为| |被除数被除数| |，商初始化为，商初始化为0 0；余数减去余数减去| |除数除数| |，即，即|x|-|y|= |x|x|-|y|= |x|+-|y|+-|y|补补；若所得余数为若所得余数为正正，表示，表示够减够减，相应位上商为，相应位上商为1 1，余数连，余数连同商一起同商一起左移左移一位，再一位，再减减去去| |除数除数| |；若所得余数为；若所得余数为负负，表示表示不够减不够减，相应位上商为，相应位上商为0 0，余数加上，余数加上| |除数除数|(|(恢复余恢复余数数) )，然后连同商一起左移一位，再减去，然后连同商一起左移

63、一位，再减去| |除数除数| |；重复第重复第步，直到求得商的各位为止。若最后一次余步，直到求得商的各位为止。若最后一次余数为数为负负，上商后仍需恢复余数。最后，上商后仍需恢复余数。最后余数需乘上余数需乘上2 2n n。22 七月 202480前例：前例：x=+0.1011x=+0.1011，y=-0.1101y=-0.1101，求，求x/y=x/y=?解：解：|x|=|x|=0000.1011, |y|=.1011, |y|=0000.1101, -|y|.1101, -|y|补补= =1111.0011.0011余数余数商商说明说明 00.10100.1011 1 0.00000.000

64、0 + -|y| + -|y|补补+ + 11.001111.0011 11.11111.1110 0 R Ri i为负为负, ,商商0,+|y|, ,+ 0,+|y|, ,+ -|y|-|y|补补1 1 0.0000.0000 0+ + 00.110100.1101 00.10100.1011 11 1 01.0110 01.0110 0.000.000 00 0+ + 11.001111.0011 00.10000.1001 1 R Ri i为正为正, ,商商1, ,+ -|y|1, ,+ -|y|补补1 1 0.000.0001011 1 01.0010 01.0010 0.00.001

65、010 0+ + 11.001111.0011 00.01000.0101 1 0.00.0011011 R Ri i为正为正, ,商商1, ,+ -|y|1, ,+ -|y|补补1 11 1 00.1010 00.1010 0.0.0110110 0+ + 11.001111.0011 11.11011.1101 1 0. 0. 01100110+ + 00.110100.1101 00.10100.1010 0 R Ri i为负为负, ,商商0,+|y|, ,+ 0,+|y|, ,+ -|y|-|y|补补1 11 1 01.0100 01.0100 0 0. . 1101100 0+ +

66、11.001111.0011 00.01100.0111 1 R Ri i为正为正, ,商商1, 1, 结束！结束！ 0 0. . 11011101 |q|=0.1101 |q|=0.1101 |r|=0.01112 |r|=0.01112-4-4 =0.00000111 =0.00000111 q=-0.1101 q=-0.1101 r=+0.00000111 r=+0.0000011122 七月 202481例：例：x=x=0.101100.10110，y= y= 0.110110.11011，求，求x/y=x/y=?解：解：|q|=0.11010|q|=0.11010，|r|=0.000

67、102|r|=0.000102-5-5 q=+0.11010 q=+0.11010 ，r=-0.00000 00010r=-0.00000 00010注意：注意：1 1）最后一次若余数为负，则上商后还需恢复余数；）最后一次若余数为负，则上商后还需恢复余数；2 2）所得余数要所得余数要22-n-n才是最终的余数。才是最终的余数。22 七月 202482在恢复余数法中：在恢复余数法中：l余数为正时，需做余数余数为正时，需做余数左移左移、相减相减，共两步操作；，共两步操作；l余数为负时，需做余数为负时，需做相加相加、左移左移、相减相减，共三步操作。，共三步操作。l由于操作步骤的不一致，控制复杂。且恢

68、复余数的由于操作步骤的不一致，控制复杂。且恢复余数的过程也降低了除法速度。因此在实际应用中，很少过程也降低了除法速度。因此在实际应用中，很少采用恢复余数法。采用恢复余数法。22 七月 2024832. 2. 原码不恢复余数法（原码不恢复余数法（原码加减交替除法原码加减交替除法）在恢复余数法中：在恢复余数法中：l余数余数R Ri i00时，商时，商1 1， 2R2Ri i 2R 2Ri i -|y|-|y|l余数余数R Ri i0 0时，商时，商0 0， R Ri i +|y|+|y| 2 2 (R (Ri i +|y|)=2R+|y|)=2Ri i +2|y| +2|y| 2R 2Ri i

69、+2|y| +2|y|-|y|-|y|= = 2R2Ri i +|y| +|y| 2R 2Ri i 2R 2Ri i +|y|+|y|不恢复余数法的思想：不恢复余数法的思想：22 七月 202484l原码不恢复余数法的算法规则原码不恢复余数法的算法规则判溢出；判溢出；求符号位；求符号位；余数余数| |被除数被除数| |，商，商0 余数减去余数减去| |除数除数| |，即，即|x|-|y|= |x|x|-|y|= |x|+-|y|+-|y|补补；若所得余数为若所得余数为正正，表示，表示够减够减，相应位上商为，相应位上商为1 1，将余数，将余数连同商连同商左移左移一位一位减去减去| |除

70、数除数| |；若所得余数为；若所得余数为负负，表示，表示不够减不够减，相应位上商为，相应位上商为0 0，将余数连同商，将余数连同商左移左移一位一位加上加上| |除数除数| |；重复第重复第步，直到求得商的各位为止。若最后一次余步，直到求得商的各位为止。若最后一次余数为数为负负，上商后仍需，上商后仍需恢复余数恢复余数。余数需乘上余数需乘上2 2n n。22 七月 202485前例：前例：x=+0.1011x=+0.1011，y=-0.1101y=-0.1101，求，求x/y=x/y=? q=-0.1101q=-0.1101，r=+0.00000111r=+0.00000111前例：前例：x=x

71、=0.101100.10110，y= y= 0.110110.11011，求，求x/y=x/y=? q=+0.11010 q=+0.11010 ，r=-0.00000 00010r=-0.00000 00010练习：练习：x=x=0.11010.1101，y= 0.1111y= 0.1111，求，求x/y=x/y=? q=-0.1101 q=-0.1101 ，r=-0.0000 1101r=-0.0000 110122 七月 202486原码不恢复余数法的硬件实现原码不恢复余数法的硬件实现&1QQBiA0控制门逻辑控制门逻辑DSDAA0DS计数器计数器&QRDS1控制门控制门B(除数除数)左移

72、左移时钟脉冲时钟脉冲(被除数被除数/商商)(被除数被除数/余数余数)A0=0 D+BA0=1 D-B22 七月 202487原码不恢复余数法的硬件实现原码不恢复余数法的硬件实现22 七月 202488二、补码除法运算二、补码除法运算1. 1. 补码不恢复余数除法补码不恢复余数除法(1) (1) 比较规则比较规则如何判别是否够减如何判别是否够减px x、y y同号时，应做同号时，应做xx补补 - y- y补补进行比较进行比较 x x0 0，y y0 0 且且|x|x|y|y|，够减够减设设x=0.1101x=0.1101，y=0.1011y=0.1011，即，即xx补补=0.1101=0.110

73、1， yy补补= =0 0.1011.1011r rxx补补yy补补x x 0 0，y y 0 0 且且|x| |x| |y|y|，够减够减设设x=x=0.10110.1011，y=y=0.10010.1001，即，即xx补补=1.0101=1.0101， yy补补= =1 1.0111.0111r rxx补补yy补补0.11010.1101+ 1.0101+ 1.01010.00100.00101.01011.0101+ 0.1001+ 0.10011.11101.11100.11010.11011.01011.0101 0 0.0010.00101. 01011. 01010.10010.

74、10011 1.1110.1110补码加减交替法补码加减交替法22 七月 202489xx0 0，y y0 0 且且|x|x|y|y|，不够减不够减设设x x0.10010.1001，y y0.11110.1111，即，即xx补补=0.1001=0.1001，yy补补= =0 0.1111.1111r rxx补补yy补补0.10010.10011.00011.0001xx0 0，y y0 0 且且|x|x|y|y|，不够减不够减设设x x0.01100.0110，y y0.10100.1010，即，即xx补补=1.1010=1.1010，yy补补= =1 1.0110.0110r rxx补补y

75、y补补1.10101.10100.10100.1010结论结论1 1：l当当x x与与y y同号时，做同号时，做xx补补yy补补进行比较进行比较l若所得余数与除数若所得余数与除数同号同号，表示，表示够减够减l若所得余数与除数若所得余数与除数异号异号，表示，表示不够减不够减0.10010.1001+ 1.0001+ 1.00011.10101.10101.10101.1010+ 0.1010+ 0.10100.01000.01001 1.1010.10100 0.0100.010022 七月 202490lx x、y y异号时，应做异号时，应做xx补补 + y+ y补补进行比较进行比较 x x0

76、 0，y y0 0 且且|x|x|y|y|，够减够减设设 x x0.10110.1011，y y0.00110.0011，即，即xx补补=0.1011=0.1011，yy补补1 1.1101.1101r rxx补补yy补补0.10110.10111.11011.1101 x x0 0，y y0 0 且且|x|x|y|y|，够减够减设设 x x0.10110.1011，y y0.00110.0011，即即xx补补1.01011.0101，yy补补0 0.0011.0011r rxx补补yy补补1.01011.01010.00110.00110.10110.1011+ 1.1101+ 1.1101

77、0.10000.10001.01011.0101+ 0.0011+ 0.00111.10001.10000 0.1000.10001 1.1000.100022 七月 202491 x x0 0，y y0 0 且且|x|x|y|y|，不够减不够减设设x x0.01100.0110，y y0.11010.1101，即，即xx补补0.01100.0110，yy补补1 1.0011.0011r rxx补补yy补补0.01100.01101.00111.0011 x x0 0，y y0 0 且且|x|x|y|y|，不够减不够减设设x x0.00010.0001，y y0.10010.1001，即，即x

78、x补补1.11111.1111，yy补补0 0.1001.1001r rxx补补yy补补1.11111.11110.10010.1001结论结论2 2：l当当x x与与y y异号时，做异号时，做xx补补yy补补进行比较进行比较l若所得余数与除数若所得余数与除数异号异号，表示，表示够减够减l若所得余数与除数若所得余数与除数同号同号，表示，表示不够减不够减0.01100.0110+ 1.0011+ 1.00111.10011.10011.11111.1111+ 0.1001+ 0.10010.10000.10001 1.1001.10010 0.1000.100022 七月 202492(2) (

79、2) 上商规则上商规则每次加减所得的余数与除数每次加减所得的余数与除数同号同号时，上商为时，上商为1;1; 每次加减所得的余数与除数每次加减所得的余数与除数异号异号时，上商为时，上商为0 0。(3) (3) 商符的处理商符的处理p商符是第一次比较上商的结果。商符是第一次比较上商的结果。p商符可用于判断商是否溢出商符可用于判断商是否溢出当当x x、y y同号同号时，商符为时，商符为1 1，表示溢出；，表示溢出；当当x x、y y异号异号时，商符为时，商符为0 0，表示溢出。，表示溢出。22 七月 202493(4) (4) 新余数的求法新余数的求法每次加减所得的余数与除数每次加减所得的余数

80、与除数同号同号时，将余数时，将余数左左移移一位，一位，减去减去除数。除数。每次加减所得的余数与除数每次加减所得的余数与除数异号异号时，将余数时，将余数左左移移一位，一位，加上加上除数。除数。22 七月 202494(5) (5) 商的校正商的校正根据上商规则可知：根据上商规则可知：l商为正时，按上商规则所得的商是正确的；商为正时，按上商规则所得的商是正确的；l商为负时，由于是商为负时，由于是按反码上商按反码上商的，与正确的补码相差末的，与正确的补码相差末位的位的“1”1”，所以要进行商的校正。校正方法有两种。，所以要进行商的校正。校正方法有两种。末位恒置末位恒置1 1法法l最末位商不是

81、通过比较上商，而是固定置为最末位商不是通过比较上商，而是固定置为1 1。l这种方法的最大误差为这种方法的最大误差为2 2n n( (对定点小数而言对定点小数而言) )，所以在，所以在精度要求不高的情况下，通常都采用此方法。精度要求不高的情况下，通常都采用此方法。22 七月 202495校正法校正法l若若在在所所要要求求的的位位数数内内能能够够除除尽尽，则则除除数数为为正正时，商不必校正；除数为负时，商加时，商不必校正；除数为负时，商加2 2n n校正。校正。l若若在在所所要要求求的的位位数数内内不不能能除除尽尽，则则商商为为正正时时，不必校正；商为负时，则商加不必校正

82、；商为负时，则商加2 2n n校正。校正。l校正法无误差，用于在精度要求较高的情况。校正法无误差，用于在精度要求较高的情况。22 七月 202496(6) (6) 余数的处理余数的处理采用采用校正法校正法时，若要求保留余数，则当时，若要求保留余数，则当最后最后一次比较结果为不够减时，需要恢复余数一次比较结果为不够减时，需要恢复余数，即：，即：lx x、y y同号时，若最后一次余数与同号时，若最后一次余数与y y异号，表示不异号，表示不够减，则需恢复余数，即够减，则需恢复余数，即+y+y补补。lx x、y y异号时，若最后一次余数与异号时，若最后一次余数与y y同号，表示不同号，表示不够减，则

83、需恢复余数，即够减，则需恢复余数，即yy补补。另外，所得余数要另外，所得余数要22-n-n才是最终的余数。才是最终的余数。22 七月 202497(7) (7) 补码补码不恢复余数法不恢复余数法的算法的算法若若x x、y y同号，则做同号，则做xx补补 yy补补；若若x x、y y异号，则做异号，则做xx补补+y+y补补；若所得余数与除数若所得余数与除数同号同号，则上商为，则上商为1 1，将余数连同，将余数连同商商左移左移一位，一位，减去减去除数；除数；若所得余数与除数若所得余数与除数异号异号，则上商为，则上商为0 0，将余数连，将余数连同商同商左移左移一位，一位，加上加上除数；除数

84、；重复重复，直到求得商的各位为止。最后对商进行，直到求得商的各位为止。最后对商进行校正。若需保留余数，需对余数作必要的处理。校正。若需保留余数，需对余数作必要的处理。22 七月 202498例：例：x=0.1011，y=-0.1101，求，求x/y=? 末位恒置末位恒置1法：法：q补补=1.0011, q=-0.1101 校正法：校正法：q补补=1.0011，r补补=0.01112-4 q=-0.1101, r=+0.0000 0111例：例：x=-0.10110，y=-0.11011，求，求x/y=? 末位恒置末位恒置1法：法：q补补=0.11011, q=+0.11011 校正法：校正

85、法：q补补=0.11010，r补补=1.111102-5 q=+0.11010, r=-0.00000 0001022 七月 2024992. 2. 布斯除法布斯除法若余数（初始为若余数（初始为xx补补）与除数）与除数同号同号，则上商为，则上商为1 1，将余数连同商将余数连同商左移左移一位，一位，减去减去除数；除数；若余数（初始为若余数（初始为xx补补）与除数）与除数异号异号，则上商为，则上商为0 0，将余数连同商，将余数连同商左移左移一位，一位，加上加上除数；除数；重复重复，直到求得商的各位为止。，直到求得商的各位为止。将商符变反将商符变反，以得到正确的商符。最后对商进行，以得到正

86、确的商符。最后对商进行校正。若需保留余数，需对余数作必要的处理。校正。若需保留余数，需对余数作必要的处理。22 七月 2024100例：例：x= - 0.1001x= - 0.1001，y=+0.1111y=+0.1111，求，求x/y=x/y=?（采用布（采用布斯除法算法，商的校正采用校正法，保留余数）斯除法算法，商的校正采用校正法，保留余数） qq补补= =1 1.0111.0111，rr补补=1.01112=1.01112-4 -4 =1.11110111=1.1111011122 七月 20241012.7 2.7 浮点数的四则运算浮点数的四则运算一、浮点加减运算一、浮点加减运算l设有

87、两个浮点数设有两个浮点数x x与与y y，分别为，分别为x=Sx=Sx x22e ex x ，y=Sy=Sy y22e ey y 。l两个浮点数加减运算的步骤如下：两个浮点数加减运算的步骤如下：1 1对阶对阶l目的：目的：l方法：方法：将两浮点数的将两浮点数的小数点对齐小数点对齐，即，即使两数阶码相等使两数阶码相等。小小阶阶向向大大阶阶看看齐齐，即即将将阶阶码码小小的的数数的的尾尾数数向向右右移移位位，每每右右移移一一位位，阶阶码码加加 1 1，右右移移位位数数等等于于两两数数阶阶码码之之差差的的绝绝对对值值 | | e e| | 。22 七月 20241022 2尾数尾数求和求和/ /差差

88、l若求若求和和，则将，则将对阶后对阶后的两数尾数直接相加，得到两浮点的两数尾数直接相加，得到两浮点数之和的尾数；数之和的尾数；l若求若求差差，则将对阶后的减数的尾数，则将对阶后的减数的尾数变补变补，然后与被减数，然后与被减数的尾数相加，得到两浮点数之差的尾数。的尾数相加，得到两浮点数之差的尾数。3 3结果规格化结果规格化l目的：目的：l规格化数的定义：规格化数的定义：充分利用尾数的位数，保留更多有效数字，以提高精度。充分利用尾数的位数，保留更多有效数字，以提高精度。原码原码表示中，满足表示中，满足1/2|S|1/2|S|1 1的数为规格化数；的数为规格化数；补码补码表示中，满足一表示中，满足一

89、1S1S1/21/2和和1/2S1/2S1 1的数为规格化数。的数为规格化数。22 七月 2024103l规格化方法：规格化方法：若尾数和若尾数和/ /差发生溢出，则称差发生溢出，则称向左破坏规格化向左破坏规格化。此时必须向右进行规格化（此时必须向右进行规格化（右规右规）。方法是将）。方法是将尾数尾数向向右移右移一位，恢复正确的符号，一位，恢复正确的符号，阶码加阶码加1 1。若尾数和若尾数和/ /差未发生溢出，但不是规格化数，差未发生溢出，但不是规格化数，则称则称向右破坏规格化向右破坏规格化。此时必须向左进行规格。此时必须向左进行规格化（化（左规左规）。方法是将）。方法是将尾数尾数向向左移左移

90、位，每左移位，每左移1 1位阶码位阶码减减1 1，直到尾数满足规格化要求为止。，直到尾数满足规格化要求为止。22 七月 20241044 4舍入舍入l为减少为减少对阶对阶和和向右规格化向右规格化时，因尾数右移而造成的误差，时，因尾数右移而造成的误差，可进行舍入处理。可进行舍入处理。l舍入原则：舍入原则：误差不超过所允许的范围，一般要求不超过最低位的误差不超过所允许的范围，一般要求不超过最低位的1 1。误差应有正有负，不会产生积累误差。误差应有正有负，不会产生积累误差。l舍入方法：舍入方法：(1) (1) 恒舍法（恒舍法（截断法截断法）将移出的部分一律舍去，保留的部分不作任何改变。将移出的

91、部分一律舍去，保留的部分不作任何改变。22 七月 2024105(2) 0(2) 0舍舍1 1入法入法l若右移时被丢掉数位的若右移时被丢掉数位的最高位最高位为为0 0，则，则舍舍去；若右移时去；若右移时被丢掉数位的被丢掉数位的最高位最高位为为1 1，则将，则将1 1加加到尾数的最低位。到尾数的最低位。l这种方法精度较高，但在加这种方法精度较高，但在加1 1时，会产生进位，使运算时，会产生进位，使运算速度减慢。速度减慢。(3) (3) 末位恒置末位恒置1 1法法l不管右移丢失数据的最高位是不管右移丢失数据的最高位是0 0还是还是1 1 ，均，均将尾数的最将尾数的最低位恒置为低位恒置为1 1。l这

92、种方法简单，且没有积累误差，是常用的舍入方法。这种方法简单，且没有积累误差，是常用的舍入方法。22 七月 2024106例：例： S补补=0.10011，则，则1） S补补= l截断法：截断法： = l0舍舍1入法：入法：=l末位恒置末位恒置1法：法：= 2） S补补= l截断法：截断法： = l0舍舍1入法：入法：=l末位恒置末位恒置1法：法：= 0.010010.010100.010010.000100.000100.000110.01001 10.00010 01122 七月 2024107l例：若例：若X=0.1101012X=0.1101012+01+01,Y=,Y=0.101010

93、20.1010102+10+10, ,求求X+Y,X-YX+Y,X-Y的浮点数。设其浮点数格式为：阶码的浮点数。设其浮点数格式为：阶码4 4位，双位，双符号、补码表示；尾数符号、补码表示；尾数8 8位，双符号、补码表示。位，双符号、补码表示。l解：解：先将两浮点数表示为规格化的浮点数：先将两浮点数表示为规格化的浮点数： XX浮浮=00 01=00 01；00 11010100 110101 Y Y浮浮=00 10=00 10；11 01011011 010110 1 1）对阶）对阶求阶差求阶差E=0001E=0001补补-0010-0010补补=1111=1111补补=-1=-1ExEy,Ex

94、Ey,按小阶对大阶原则，按小阶对大阶原则，X X的尾数右移的尾数右移1 1位，阶码加位，阶码加1 1，尾数舍入采用末位恒置尾数舍入采用末位恒置1 1法，则：法，则：XX浮浮=00 10=00 10；00 01101100 01101122 七月 20241082 2）尾数求和（差）尾数求和（差）l3 3）结果规格化及判溢）结果规格化及判溢lX+YX+Y的结果是非规格化的数，需左规。因此将结果尾数左移两的结果是非规格化的数，需左规。因此将结果尾数左移两位，阶码减位，阶码减2 2，得，得 X+YX+Y浮浮=0000=0000；，；，阶码未超出阶码未超出-Emax-Emax，无下溢无下溢lX-Y

95、X-Y的结果需要右规，将尾数右移的结果需要右规，将尾数右移1 1位，阶码加位，阶码加1 1，得：，得：X-YX-Y浮浮=0011=0011；，阶码未超出；，阶码未超出+Emax+Emax，未溢出未溢出+即即X+YX+Y浮浮=0010=0010；即即X-YX-Y浮浮=0010=0010；22 七月 20241094 4）舍入）舍入l由于由于X+YX+Y是左规，结果不需要舍入；是左规，结果不需要舍入；lX-YX-Y为右规，若采用末位恒置为右规，若采用末位恒置1 1法，则法，则 X-YX-Y浮浮=0011=0011；。；。l若采用若采用0 0舍舍1 1入法，则结果相同。入法，则结果相同。22 七月

96、2024110例例：设设浮浮点点数数的的阶阶码码为为5 5位位，尾尾数数为为6 6位位，阶阶码码和和尾尾数数均均采采用用补码补码表示；表示；下下列列数数据据x x、y y中中的的指指数数和和小小数数部部分分均均为为二二进进制制真真值值。舍入时采用舍入时采用截断法截断法。 x x-0.1101102-0.1101102+0110+0110，y y-0.1110112-0.1110112+1000+1000，求求x xy y？ x+yx+y-0.1001012-0.1001012+1001 +1001 ，x-yx-y0.10110120.1011012+1000+1000 x x-0.1001

97、012-0.1001012+0001+0001，y y 0.11010120.1101012-0001 -0001 ，求，求x xy y？ x+yx+y-0.1100002-0.11000020 0 ，x-yx-y-0.1100102-0.1100102+0001+00011 1位位5 5位位6 6位位数符数符阶码阶码尾数尾数22 七月 2024111二、浮点乘除运算二、浮点乘除运算设有两个浮点数设有两个浮点数x x与与y y，分别为，分别为x=Sx=Sx x22e ex x ，y=Sy=Sy y22e ey y ，则，则: :(1) x(1) xy=( Sy=( Sx xSSy y )2)

98、2( (e ex x + +e ey y) )l若运算结果为非规格化数，则需对结果规格化。若运算结果为非规格化数，则需对结果规格化。(2) x/y=( S(2) x/y=( Sx x/S/Sy y )2)2( (e ex x - - e ey y) )l由于在定点小数除法中，要求由于在定点小数除法中，要求| |被除数被除数| | |除数除数| |，因此，因此，当当|S|Sx x|S|Sy y| |时需调整被除数。由于尾数都表示为规格时需调整被除数。由于尾数都表示为规格化数，所以一般只需将化数，所以一般只需将S Sx x右移一位，阶码右移一位，阶码e ex x加加1 1 ，满足，满足|S|Sx

99、x| |S|Sy y| |后，即可进行除法运算。后，即可进行除法运算。22 七月 2024112三、移码加减运算三、移码加减运算 eex x 移移eey y 移移 eex xe ey y 移移 eex x 移移eey y 移移(2(2m me ex x) ) (2(2m me ey y) ) 2 2m m22m m(e(ex xe ey y) e ex x 移移eey y 移移 eex xe ey y 移移 eex x 移移eey y 移移 (2(2m me ex x) )(2(2m me ey y) ) 2 2m m(e(ex xe ey y) )2 2m m ?2 2m meex xe e

100、y y 移移eex xe ey y 移移2 2m m结论结论：将两移码数之和的：将两移码数之和的符号位取反符号位取反后得到两数和的移码；后得到两数和的移码；将两移码数之差的将两移码数之差的符号位取反符号位取反后得到两数差的移码。后得到两数差的移码。22 七月 2024113l移码加减运算还可用下式实现：移码加减运算还可用下式实现： eex xe ey y 移移 eex x 移移eey y 补补证明：证明：eex x 移移eey y 补补2 2m me ex x2 2m m1 1e ey y 2 2m m1 122m m(e(ex xe ey y) eex xe ey y 移移 (mod 2(

101、mod 2m m1 1) ) e ex xe ey y 移移 eex x 移移 e ey y 补补证明：证明：eex x 移移 e ey y 补补2 2m me ex x2 2m m1 1( (e ey y) ) 2 2m m1 122m m(e(ex xe ey y) eex xe ey y 移移 (mod 2(mod 2m m1 1) )结论结论：将：将加数或减数的移码符号位取反后加数或减数的移码符号位取反后进行加减。进行加减。2 2m m1 1eex xe ey y 移移 2 2m m1 1eex xe ey y 移移22 七月 20241142.8 2.8 运算器的组织运算器的组织l

102、运算器是计算机硬件系统中的主要功能部件，也是运算器是计算机硬件系统中的主要功能部件，也是CPUCPU的核心部件。的核心部件。l运算器有以下几个方面的功能运算器有以下几个方面的功能: :l（1 1）对数据进行算术运算和逻辑运算以及移位的）对数据进行算术运算和逻辑运算以及移位的操作操作l（2 2）暂时存放参加运算的数据及运算的中间结果）暂时存放参加运算的数据及运算的中间结果l（3 3）反映运算结果的状态）反映运算结果的状态22 七月 20241152.8.1 2.8.1 逻辑运算与算术逻辑单元逻辑运算与算术逻辑单元ALUALU 一、逻辑运算一、逻辑运算（1 1）逻辑与）逻辑与-按位与按位与又称逻辑

103、乘，常用记号又称逻辑乘，常用记号“”、“”“”、“”“”和和“AND”AND”等表示。等表示。00=000=0，01=001=0，10=010=0，11=111=1。（2 2）逻辑或）逻辑或-按位或按位或又称逻辑加，常用记号又称逻辑加，常用记号“+”+”、“”“”、“”“”和和“OR”OR”等等表示。表示。0+0=00+0=0，0+1=10+1=1，1+0=11+0=1，1+1=11+1=1。（3 3）逻辑非）逻辑非-按位求反按位求反又称逻辑求反，常用数据上加横线表示，或用又称逻辑求反，常用数据上加横线表示，或用“NOT”NOT”表示。表示。（4 4）逻辑异或）逻辑异或-按位异或按位异或又称

104、按位加、半加和，常用记号又称按位加、半加和，常用记号“”“”或或“XOR”XOR”表示。表示。 22 七月 2024116例例设设X X，Y Y，求，求XYXY，X+YX+Y，X X，XYXY。解：解：XY = 01100011011000 = 0010000XY = 01100011011000 = 0010000X+Y = 0110001+1011000 = 1111001X+Y = 0110001+1011000 = 1111001X= 0110001 = 1001110X= 0110001 = 1001110XY = 01100011011000 =1101001XY = 01100

105、011011000 =110100122 七月 2024117二、一个典型的ALU电路结构&22 七月 2024118加法运算0ADDdst+src 22 七月 2024119带进位的加法运算CFADCADCdst+src+CF 22 七月 2024120减法运算1SUBSUBdst+src+1 22 七月 20241212.8.2 2.8.2 定点运算器定点运算器一、定点运算器结构一、定点运算器结构1. 1. 单总线结构的运算器单总线结构的运算器l例如要完成例如要完成: :(R0) + (R1) (R0) + (R1) (R2)(R2)l操作：操作：1.1.(R0)A,(A)ALU;(R0

106、)A,(A)ALU;2.2.(R1)ALU, ADD, ALUC; (R1)ALU, ADD, ALUC; 3.3.(C)R2; (C)R2; GR: 通用寄存器组通用寄存器组A,B,C: 暂存器暂存器R0R1R2R3寄存器A寄存器CGRADDIBALU22 七月 20241221. 1. 单总线结构的运算器单总线结构的运算器GR:GR:通用寄存器组通用寄存器组A,B,C:A,B,C:暂存器暂存器GRALU寄存器A 寄存器BADDIBl例如要完成例如要完成: :(R0) + (R1) (R2)(R0) + (R1) (R2)l操作：操作：1.1.(R0)A,(A)ALU;(R0)A,(A)AL

107、U;2.2.(R1)B,(B)ALU;(R1)B,(B)ALU;3.3.ADD,ALUR2;ADD,ALUR2;l结论：结论：1 1）在单总线结构的运）在单总线结构的运算器中，执行一次运算器中，执行一次运算需要三步算需要三步; ;2 2）在）在ALUALU的两个输入的两个输入端和一个输出端至少端和一个输出端至少需要设置两个暂存器需要设置两个暂存器R0R1R2R322 七月 20241232. 2. 双总线结构运算器双总线结构运算器l1 1）在双总线结构的运算器中，可以有两个数据同时传）在双总线结构的运算器中，可以有两个数据同时传输。执行一次操作需要两步输。执行一次操作需要两步2 2）ALUAL

108、U的三个端口中应当至少设置一个暂存器的三个端口中应当至少设置一个暂存器3 3）通用寄存器应为双端口器件，分别面向两套总线）通用寄存器应为双端口器件，分别面向两套总线GRALU暂存器CADDIB1IB2(a)GRALU暂存器AADDIB1IB2(b)例如同样是完成例如同样是完成 (R0)+(R1)(R2)(R0)+(R1)(R2)22 七月 20241243. 3. 三总线结构运算器三总线结构运算器l三总线结构运算器可使操作进一步加快。三总线结构运算器可使操作进一步加快。l例如要完成同样操作例如要完成同样操作(R0)+(R1)(R2),(R0)+(R1)(R2),仅需一仅需一步操作：步操作：l(

109、R0)ALU,(R1)ALU,ADD,ALUR2(R0)ALU,(R1)ALU,ADD,ALUR2lALUALU的三个不同端口不需要再设置暂存器。的三个不同端口不需要再设置暂存器。l通用寄存器采用三端口器件，分别连接三套总线，其中通用寄存器采用三端口器件，分别连接三套总线，其中两个端口只读，一个端口只写。两个端口只读，一个端口只写。ALUGRADDDIB1IB2IB322 七月 2024125内部总线的结构小结内部总线的结构小结l结构结构l 单总线、双总线、三总线单总线、双总线、三总线l性能（并行性）性能（并行性）l 三总线最快三总线最快l硬件复杂性硬件复杂性l 寄存器结构：单端口、双端口、三

110、端口寄存器结构：单端口、双端口、三端口l 总线数量总线数量22 七月 2024126二、定点运算器举例二、定点运算器举例22 七月 2024127组成组成：l暂存器暂存器A A的作用是存放参加运算的数据；的作用是存放参加运算的数据；lALUALU是算术逻辑单元，实现算术运算和逻辑运算；是算术逻辑单元，实现算术运算和逻辑运算；lSHIFTERSHIFTER是移位寄存器，可以实现算术左移、右是移位寄存器，可以实现算术左移、右移，或者直送的功能，分别由控制信号移，或者直送的功能，分别由控制信号SLSL、SRSR、SVSV来控制；来控制；lPSWPSW是程序状态字寄存器，用来保存是程序状态字寄存器，用

111、来保存ALUALU运算结运算结果的状态；果的状态；lGRSGRS是通用寄存器组，包含若干个寄存器，可以是通用寄存器组，包含若干个寄存器，可以存放参与运算的数据或结果。存放参与运算的数据或结果。22 七月 2024128运算流程：运算流程：例例写出（写出（R1R1）+ +（R2R2）R3R3的运算流程。的运算流程。解：解：R1AR1A； R2ALU.srcR2ALU.src，ADDADD，ALUSHIFTERALUSHIFTER，结果状态置结果状态置PSWPSW； SHIFTERR3SHIFTERR3。22 七月 2024129例例写出（写出（R1R1）/2/2（R2R2） R3R3的运算流

112、的运算流程。程。解：解：R1AR1A； ADDADD，ALUSHIFTERALUSHIFTER； SHIFTERSHIFTER（SRSR），），SHIFTERASHIFTERA； R2ALU.srcR2ALU.src， SUBSUB，ALUSHIFTERALUSHIFTER，结果状态置，结果状态置PSWPSW； SHIFTERR3SHIFTERR3。22 七月 2024130例例写出（写出（R1R1）OROR（R2R2） R3R3的运算流程。的运算流程。解：解：R1A R1A ； R2ALU.srcR2ALU.src，OROR，ALUSHIFTERALUSHIFTER；（注：逻辑运算结果不要设置标志位）（注：逻辑运算结果不要设置标志位） SHIFTERR3SHIFTERR3。22 七月 2024131例例写出（写出（R1R1）+1 R2+1 R2的运算流程。的运算流程。解：解：R1AR1A； INCINC，ALUSHIFTERALUSHIFTER，结果状态置，结果状态置PSWPSW； SHIFTERR2SHIFTERR2。注意：单操作数运算时操作数一定要送到注意：单操作数运算时操作数一定要送到ALUALU的的dstdst端。端。22 七月 20241322.8.3 2.8.3 浮点运算器的组成与结构浮点运算器的组成与结构22 七月 2024133

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02计算机中数据信息的表示2.32.8

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