《高三数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件 .ppt（77页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系【知识梳理】【知识梳理】1.1.平面的基本性平面的基本性质质图图形形文字文字语语言言符号符号语语言言公公理理1 1如果一条直如果一条直线线上上的的_在一个平在一个平面内面内, ,那么那么这这条直条直线线在此平面内在此平面内 l公公理理2 2过过_上的三点上的三点, ,有且只有且只有一个平面有一个平面A,B,CA,B,C三点不共三点不共线线有且只有有且只有一个平面一个平面,使使A,B,CA,B,C两点两点不在一条直不在一条直线线图图形形文字文字语语言言符号符号语语言言公公理理2 2的的推推论论推推论论1 1经过经过一条直一条直线线和和_,_,有且有且只有一个
2、平面只有一个平面点点A A a aA A与与a a确定一个平确定一个平面面推推论论2 2两条两条_直直线线确定一个平面确定一个平面ab=Pab=P有有且只有一个且只有一个平面平面,使得使得a a,b,b推推论论3 3两条两条_直直线线确定一个平面确定一个平面abab有且有且只有一个平只有一个平面面,使得使得a a,b,b这这条直条直线线外外的一点的一点相交相交平行平行图图形形文字文字语语言言符号符号语语言言公公理理3 3如果两个不重合的如果两个不重合的平面有一个公共点平面有一个公共点, ,那么它那么它们们_过该过该点的公共点的公共直直线线PP且且PP=a,=a,且且PaPa有且只有有且只有一条
3、一条2.2.空空间间直直线线的位置关系的位置关系(1)(1)位置关系分位置关系分类类: :异面直线：不同在异面直线：不同在_内，没有公共点内，没有公共点. .位置位置关系关系共面直线共面直线_直线：同一平面内直线：同一平面内, ,有且只有一个有且只有一个公共点公共点; ;_直线：同一平面内直线：同一平面内, ,没有公共点没有公共点; ;相交相交平行平行任何一个平面任何一个平面(2)(2)平行公理和等角定理平行公理和等角定理: :平行公理平行公理: :平行于同一条直平行于同一条直线线的两条直的两条直线线_._.等角定理等角定理: :空空间间中如果两个角的两中如果两个角的两边边分分别对应别对应平行
4、平行, ,那么那么这这两个两个角角_._.(3)(3)异面直异面直线线所成的角所成的角: :定定义义: :已知两条异面直已知两条异面直线线a,b,a,b,经过经过空空间间任一点任一点O O作直作直线线aa,aa,bb,bb,把把aa与与bb所成的所成的_叫做异面直叫做异面直线线a a与与b b所所成的角成的角( (或或夹夹角角).).异面直异面直线线所成角的范所成角的范围围:_.:_.平行平行相等或互相等或互补补锐锐角角( (或直角或直角) )图图形形语语言言符号符号语语言言公共点公共点直直线线与与平平面面相相交交a=Aa=A_个个平平行行aa_个个在在平平面面内内a a_个个3.3.空间直线
5、与平面、平面与平面的位置关系空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1 10 0无数无数图图形形语语言言符号符号语语言言公共点公共点平平面面与与平平面面平平行行_个个相相交交=l_个个0 0无数无数【考点自【考点自测测】1.(1.(思考思考) )给给出下列命出下列命题题: :如果两个不重合的平面如果两个不重合的平面,有一条公共直有一条公共直线线a,a,就就说说平面平面,相交相交, ,并并记记作作=a;=a;两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A,A,就就说说,相交于相交于过过A A点的任点的任意一条直意一条直线线; ;两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A,A,就就说说,相交于相交于
6、A A点点, ,并并记记作作=A;=A;两个平面两个平面ABCABC与与DBCDBC相交于相交于线线段段BC;BC;两两相交的三条直两两相交的三条直线线最多可以确定三个平面最多可以确定三个平面. .其中正确的是其中正确的是( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】选选D.D.根据平面的性质公理根据平面的性质公理3 3可知可知对对; ;对于对于,其错误其错误在于在于“任意任意”二字上二字上; ;对于对于,错误在于错误在于=A=A上上; ;对于对于,应应为平面为平面ABCABC和平面和平面DBCDBC相交于直线相交于直线BC;BC;两两相交的三条直线可以两两相交的三条直线可以确定
7、一个或三个平面确定一个或三个平面, ,所以所以正确正确. .2.(20132.(2013安徽高考安徽高考) )在下列命在下列命题题中中, ,不是公理的是不是公理的是( () )A.A.平行于同一个平面的两个平面相互平行平行于同一个平面的两个平面相互平行B.B.过过不在同一条直不在同一条直线线上的三点上的三点, ,有且只有一个平面有且只有一个平面C.C.如果一条直如果一条直线线上的两点在一个平面内上的两点在一个平面内, ,那么那么这这条直条直线线上所有上所有的点都在此平面内的点都在此平面内D.D.如果两个不重合的平面有一个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点, ,那么它那么它们们有且只有一有且
8、只有一条条过该过该点的公共直点的公共直线线【解析】【解析】选选A.A.因为因为B,C,DB,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真是经过人类长期反复的实践检验是真实的实的, ,不需要由其他判断加以证明的命题和原理不需要由其他判断加以证明的命题和原理, ,是公理是公理. .而而A A平平行于同一个平面的两个平面平行是定理而不是公理行于同一个平面的两个平面平行是定理而不是公理. .3.(20143.(2014台州模台州模拟拟) )对对于空于空间间中的两条直中的两条直线线,“,“这这两条直两条直线为线为异面直异面直线线”是是“这这两条直两条直线线没有公共点没有公共点”的的( () )A.A.充分不必
9、要条件充分不必要条件 B. B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件 D. D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选A.A.若两条直线异面若两条直线异面, ,则一定无公共点则一定无公共点, ,两条直线无公两条直线无公共点时共点时, ,这两条直线可能平行这两条直线可能平行, ,故选故选A.A.4.4.直直线线a,b,ca,b,c两两平行两两平行, ,但不共面但不共面, ,经过经过其中两条直其中两条直线线的平面的的平面的个数个数为为( () )A.1A.1B.3B.3C.6C.6D.0D.0【解析】【解析】选选B.B.如图所示如图所示, ,可知有可知有3 3
10、个平面个平面. .5.(20145.(2014石家庄模石家庄模拟拟) )如如图图所示所示, ,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分分别别是是AB,ADAB,AD的中点的中点, ,则则异面直异面直线线B B1 1C C与与EFEF所成的角的大小所成的角的大小为为. .【解析】【解析】连接连接BD,BBD,B1 1D D1 1, ,如图所示如图所示, ,易证易证EFBD,BDBEFBD,BDB1 1D D1 1, ,故故CBCB1 1D D1 1就是异面就是异面直线直线B B1 1C C与与EFEF所成的角或所成角的补角所成的角或
11、所成角的补角. .连接连接D D1 1C C知知CBCB1 1D D1 1为正三角形为正三角形, ,故故B B1 1C C与与EFEF所成的角为所成的角为60.60.答案答案: :6060考点考点1 1 平面的基本性平面的基本性质质及其及其应应用用【典例【典例1 1】(1)(1)给给出以下命出以下命题题: :不共面的四点中不共面的四点中, ,其中任意三点不共其中任意三点不共线线; ;若点若点A,B,C,DA,B,C,D共面共面, ,点点A,B,C,EA,B,C,E共面共面, ,则则点点A,B,C,D,EA,B,C,D,E共面共面; ;若直若直线线a,ba,b共面共面, ,直直线线a,ca,c共
12、面共面, ,则则直直线线b,cb,c共面共面; ;依次首尾相接的四条依次首尾相接的四条线线段必共面段必共面. .正确命正确命题题的个数是的个数是( () )A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3(2)(2014(2)(2014宁波模宁波模拟拟) )如如图图, ,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分分别别是是ABAB和和AAAA1 1的中点的中点, ,求求证证:E,C,D:E,C,D1 1,F,F四点共面四点共面. .【解题视点】【解题视点】(1)(1)根据确定平面的公理及推论进行判断根据确定平面的公理及推论进行判断.
13、 .(2)(2)根据中位线定理可证明根据中位线定理可证明EFCDEFCD1 1, ,即可证得结论即可证得结论. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.假设其中有三点共线假设其中有三点共线, ,则该直线和直线则该直线和直线外的另一点确定一个平面外的另一点确定一个平面. .这与四点不共面矛盾这与四点不共面矛盾, ,故其中任意三故其中任意三点不共线点不共线, ,所以所以正确正确.从条件看出两平面有三个公共点从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,A,B,C,但是若但是若A,B,CA,B,C共线共线, ,则结论不正确则结论不正确. .对于对于,b,b与与c c可能异面可能异面,不正确不正确
14、.不正确不正确, ,因为此时所得的四边形的四条边可以不因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上在一个平面上, ,如空间四边形如空间四边形. .(2)(2)如图如图, ,连接连接CDCD1 1,EF,A,EF,A1 1B,B,因为因为E,FE,F分别是分别是ABAB和和AAAA1 1的中点的中点, ,所以所以EFAEFA1 1B B且且EF= AEF= A1 1B.B.又因为又因为A A1 1D D1 1BC,BC,且且A A1 1D D1 1=BC,=BC,所以四边形所以四边形A A1 1BCDBCD1 1是平行四边形是平行四边形. .所以所以A A1 1BCDBCD1 1, ,所以所以
15、EFCDEFCD1 1, ,即即EFEF与与CDCD1 1确定一个平面确定一个平面.且且E,F,C,DE,F,C,D1 1,即即E,C,DE,C,D1 1,F,F四点共面四点共面. .【互【互动动探究】探究】本例第本例第(2)(2)题题的条件不的条件不变变, ,如何如何证证明明“CE,D“CE,D1 1F,DAF,DA交交于一点于一点”?”?【证明】【证明】由例题解析可知由例题解析可知,EFCD,EFCD1 1, ,且且EF= CDEF= CD1 1, ,所以四边形所以四边形CDCD1 1FEFE是梯形是梯形. .所以所以CECE与与D D1 1F F必相交必相交. .设交点为设交点为P,P,
16、如图如图, ,则则PCEPCE 平面平面ABCD,ABCD,且且PDPD1 1F F 平面平面A A1 1ADDADD1 1. .又因为平面又因为平面ABCDABCD平面平面A A1 1ADDADD1 1=AD,=AD,所以所以PAD,PAD,所以所以CE,DCE,D1 1F,DAF,DA交于一点交于一点. .【规律方法】【规律方法】1.1.证明空间点共线问题的方法证明空间点共线问题的方法(1)(1)公理法公理法: :一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点, ,再再根据公理根据公理3 3证明这些点都在这两个平面的交线上证明这些点都在这两个平面的交线上.
17、 .(2)(2)纳入直线法纳入直线法: :选择其中两点确定一条直线选择其中两点确定一条直线, ,然后证明其余点然后证明其余点也在该直线上也在该直线上. .2.2.点、线共面的常用判定方法点、线共面的常用判定方法(1)(1)纳入平面法纳入平面法: :先确定一个平面先确定一个平面, ,再证明有关点、线在此平面再证明有关点、线在此平面内内. .(2)(2)辅助平面法辅助平面法: :先证明有关的点、线确定平面先证明有关的点、线确定平面,再证明其余再证明其余元素确定平面元素确定平面,最后证明平面最后证明平面,重合重合. .(3)(3)反证法反证法. .提醒提醒: :在选择已知条件确定平面时在选择已知条件
18、确定平面时, ,要看其余的点或线在确定的要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明平面内是否能证明. .【变变式式训练训练】如如图图, ,空空间间四四边边形形ABCDABCD中中,E,F,E,F分分别别是是AB,ADAB,AD的中点的中点,G,H,G,H分分别别在在BC,CDBC,CD上上, ,且且BGGC=DHHC=12.BGGC=DHHC=12.(1)(1)求求证证:E,F,G,H:E,F,G,H四点共面四点共面. .(2)(2)设设EGEG与与FHFH交于点交于点P.P.求求证证:P,A,C:P,A,C三点共三点共线线. .【证明】【证明】(1)(1)因为因为E,FE,F分别为分别为AB,
19、ADAB,AD的中点的中点, ,所以所以EFBD.EFBD.在在BCDBCD中中, ,则则GHBD,GHBD,所以所以EFGH.EFGH.所以所以E,F,G,HE,F,G,H四点共面四点共面. .(2)(2)因为因为EGFH=P,PEG,EGEGFH=P,PEG,EG 平面平面ABC,ABC,所以所以PP平面平面ABC.ABC.同理同理PP平面平面ADC.ADC.则则P P为平面为平面ABCABC与平面与平面ADCADC的公共点的公共点. .又平面又平面ABCABC平面平面ADC=AC,ADC=AC,则则PAC,PAC,所以所以P,A,CP,A,C三点共线三点共线. .【加固【加固训练训练】1
20、.(20131.(2013江西高考江西高考) )如如图图, ,正方体的底面与正四面正方体的底面与正四面体的底面在同一平面体的底面在同一平面上上, ,且且ABCD,ABCD,正方体的六个面所在的平面正方体的六个面所在的平面与直与直线线CE,EFCE,EF相交的平面个数分相交的平面个数分别记为别记为m,n,m,n,那么那么m+n=(m+n=() )A.8A.8B.9B.9C.10C.10D.11D.11【解析】【解析】选选A.A.取取CDCD中点中点G,G,连接连接EG,FG,EG,FG,可知可知CDCD平面平面EFG,EFG,因为因为ABCD,ABCD,所以所以ABAB平面平面EFG,EFG,容
21、易知道平面容易知道平面EFGEFG与正方体的左右两与正方体的左右两个侧面平行个侧面平行, ,所以所以EFEF与正方体的两个侧面平行与正方体的两个侧面平行, ,观察可知观察可知n=4;n=4;又又正方体的底面与正四面体的底面共面正方体的底面与正四面体的底面共面, ,所以过点所以过点A A可作可作AHCE,AHCE,易知易知CECE与正方体的上底面平行与正方体的上底面平行, ,在下底面内在下底面内, ,与其他四个面相交与其他四个面相交, ,所以所以m=4,m=4,即得即得m+n=8.m+n=8.2.2.如如图图, ,已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1
22、 1中中,E,F,E,F分分别为别为D D1 1C C1 1,C,C1 1B B1 1的中点的中点,ACBD=P,A,ACBD=P,A1 1C C1 1EF=Q.EF=Q.求求证证: :(1)D,B,F,E(1)D,B,F,E四点共面四点共面. .(2)(2)若若A A1 1C C交平面交平面DBFEDBFE于于R R点点, ,则则P,Q,RP,Q,R三点共三点共线线. .【证明】【证明】(1)(1)连接连接B B1 1D D1 1, ,因为因为E,FE,F分别为分别为D D1 1C C1 1,C,C1 1B B1 1的中点的中点, ,所以所以EFDEFD1 1B B1 1, ,又又D D1
23、1B B1 1DB,DB,则则EFDB,EFDB,所以所以D,B,F,ED,B,F,E四点共面四点共面. .(2)(2)因为因为ACBD=P,AACBD=P,A1 1C C1 1EF=Q,EF=Q,所以所以PP平面平面DBFE,PDBFE,P平面平面A A1 1ACCACC1 1, ,QQ平面平面DBFE,QDBFE,Q平面平面A A1 1ACCACC1 1, ,又又A A1 1CC平面平面DBFE=R,DBFE=R,所以所以RR平面平面DBFE,RDBFE,R平面平面A A1 1ACCACC1 1, ,所以所以P,Q,RP,Q,R在平面在平面DBFEDBFE与平面与平面A A1 1ACCAC
24、C1 1的交线上的交线上, ,因此因此P,Q,RP,Q,R三点共线三点共线. .考点考点2 2 空空间间直直线线的位置关系的位置关系【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014新新乡乡模模拟拟) )已知已知m,nm,n为为异面直异面直线线,m,m平面平面,n,n平面平面,=,=l, ,则则l( () )A.A.与与m,nm,n都相交都相交B.B.与与m,nm,n中至少一条相交中至少一条相交C.C.与与m,nm,n都不相交都不相交D.D.与与m,nm,n中的一条直中的一条直线线相交相交(2)(2)如如图图所示所示, ,正方体正方体ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1
25、D D1 1中中,M,N,M,N分分别别是是A A1 1B B1 1,B,B1 1C C1 1的中的中点点. .问问: :AMAM和和CNCN是否是异面直是否是异面直线线? ?说说明理由明理由. .DD1 1B B和和CCCC1 1是否是异面直是否是异面直线线? ?说说明理由明理由. .【解题视点】【解题视点】(1)(1)采用反证法进行判断采用反证法进行判断. .(2)(2)通过说明通过说明MNAC,MNAC,说明说明AM,CNAM,CN共面共面, ,从而判断从而判断. .由图易判断由图易判断D D1 1B B和和CCCC1 1是异面直线是异面直线, ,可用反证法证明可用反证法证明. .【规范
26、解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.若若m,nm,n都不与都不与l l相交相交, ,因为因为m m ,n,n ,=,=l, ,所以所以mml,n,nl, ,所以所以mnmnl, ,这与这与m,nm,n为异面直线矛盾为异面直线矛盾, ,故故l与与m,nm,n中至少一条相交中至少一条相交. .( (2)2)不是异面直线不是异面直线. .理由理由: :连接连接MN,AMN,A1 1C C1 1,AC.,AC.因为因为M,NM,N分别是分别是A A1 1B B1 1,B,B1 1C C1 1的中点的中点, ,所以所以MNAMNA1 1C C1 1. .又因为又因为A A1 1A A C C1 1
27、C,C,所以所以A A1 1ACCACC1 1为平行四边形为平行四边形, ,所以所以A A1 1C C1 1AC,AC,所以所以MNAC,MNAC,所以所以A,M,N,CA,M,N,C在同一平面内在同一平面内, ,故故AMAM和和CNCN不是异面直线不是异面直线. .是异面直线是异面直线. .理由理由: :因为因为ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体是正方体, ,所以所以B,C,CB,C,C1 1,D,D1 1不共面不共面. .假设假设D D1 1B B与与CCCC1 1不是异面直线不是异面直线, ,则存在平面则存在平面,使使D D1 1B B 平面平面,
28、CC,CC1 1 平面平面,所以所以D D1 1,B,C,C,B,C,C1 1,这与这与B,C,CB,C,C1 1,D,D1 1不共面矛盾不共面矛盾. .所以假设不成立所以假设不成立, ,即即D D1 1B B和和CCCC1 1是异面直线是异面直线. .【易错警示】【易错警示】反证法证直线异面反证法证直线异面如本例如本例(2)(2)中用反证法证明异面中用反证法证明异面, ,不论是从共面的角度不论是从共面的角度, ,还还是从平行、相交的角度否定是从平行、相交的角度否定, ,都要说清楚都要说清楚, ,得出矛盾得出矛盾. .【规律方法】【规律方法】异面直线的判定方法异面直线的判定方法(1)(1)判定
29、定理判定定理: :平面外一点平面外一点A A与平面内一点与平面内一点B B的连线和平面内不经的连线和平面内不经过点过点B B的直线是异面直线的直线是异面直线. .(2)(2)反证法反证法: :先假设两条直线不是异面直线先假设两条直线不是异面直线, ,即两条直线平行或即两条直线平行或相交相交, ,由假设出发由假设出发, ,经过严格的推理经过严格的推理, ,导出矛盾导出矛盾, ,从而否定假设从而否定假设, ,肯定两条直线异面肯定两条直线异面. .此法在异面直线的判定中经常用到此法在异面直线的判定中经常用到. .【变变式式训练训练】(2014(2014丽丽水模水模拟拟) )l1 1, ,l2 2,
30、,l3 3是空是空间间三条不同的直三条不同的直线线, ,则则下列命下列命题题正确的是正确的是( () )A.A.l1 1l2 2, ,l2 2l3 3l1 1l3 3B.B.l1 1l2 2, ,l2 2l3 3l1 1l3 3C.C.l1 1l2 2l3 3l1 1, ,l2 2, ,l3 3共面共面D.D.l1 1, ,l2 2, ,l3 3共点共点l1 1, ,l2 2, ,l3 3共面共面【解析】【解析】选选B.B.因为线线垂直不具有传递性因为线线垂直不具有传递性, ,所以选项所以选项A A错误错误; ;易易知选项知选项B B正确正确; ;当当l1 1, ,l2 2, ,l3 3为三棱
31、柱的三条侧棱时为三棱柱的三条侧棱时, ,l1 1, ,l2 2, ,l3 3就不共就不共面面, ,所以选项所以选项C C错误错误; ;当当l1 1, ,l2 2, ,l3 3为三棱锥的三条侧棱时为三棱锥的三条侧棱时, ,l1 1, ,l2 2, ,l3 3就不共面就不共面, ,所以选项所以选项D D错误错误. .【加固【加固训练训练】1.1.用用a,b,ca,b,c表示三条不同的直表示三条不同的直线线,表示平面表示平面, ,给给出下列命出下列命题题: :若若ab,bc,ab,bc,则则ac;ac;若若ab,bc,ab,bc,则则ac;ac;若若a,b,a,b,则则ab;ab;若若a,b,a,b
32、,则则ab.ab.其中真命其中真命题题的序号是的序号是( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】选选C.C.平行关系的传递性平行关系的传递性. .举反例举反例: :在同一平面在同一平面内内,ab,bc,ab,bc,有有ac.ac.举反例举反例: :如图的长方体中如图的长方体中,a,b,a,b,但但a a与与b b相交相交. .垂直于同一平面的两直线互相平行垂直于同一平面的两直线互相平行. .故故正确正确. .2.(20132.(2013唐山模唐山模拟拟) )如果两条异面直如果两条异面直线线称称为为“1“1对对”,”,那么在正那么在正方体的十二条棱中共有异面直方体的十二条棱中共
33、有异面直线线( () )A.12A.12对对B.24B.24对对C.36C.36对对D.48D.48对对【解析】【解析】选选B.B.如图所示如图所示, ,与与ABAB异面的直线有异面的直线有B B1 1C C1 1,CC,CC1 1,A,A1 1D D1 1,DD,DD1 1四条四条, ,因为各棱具有相同因为各棱具有相同的位置且正方体共有的位置且正方体共有1212条棱条棱, ,排除两棱的重排除两棱的重复计算复计算, ,共有异面直线共有异面直线 =24( =24(对对).).3.3.如如图图所示所示, ,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,
34、M,N分分别为别为棱棱C C1 1D D1 1,C,C1 1C C的中的中点点, ,有以下四个有以下四个结论结论: :直直线线AMAM与与CCCC1 1是相交直是相交直线线; ;直直线线AMAM与与BNBN是平行直是平行直线线; ;直直线线BNBN与与MBMB1 1是异面直是异面直线线; ;直直线线AMAM与与DDDD1 1是异面直是异面直线线. .其中正确的其中正确的结论为结论为( (注注: :把你把你认为认为正确的正确的结论结论序号都填序号都填上上).).【解析】【解析】因为点因为点A A在平面在平面CDDCDD1 1C C1 1外外, ,点点M M在平面在平面CDDCDD1 1C C1
35、1内内, ,直线直线CCCC1 1在平面在平面CDDCDD1 1C C1 1内内,CC,CC1 1不过点不过点M,M,所以所以AMAM与与CCCC1 1是异面直线是异面直线, ,故故错错; ;取取DDDD1 1中点中点E,E,连接连接AE,AE,则则BNAE,BNAE,但但AEAE与与AMAM相交相交, ,故故错错; ;因为因为B B1 1与与BNBN都在平面都在平面BCCBCC1 1B B1 1内内,M,M在平面在平面BCCBCC1 1B B1 1外外,BN,BN不过点不过点B B1 1, ,所以所以BNBN与与MBMB1 1是异面直线是异面直线, ,故故正确正确; ;同理同理正确正确, ,
36、故填故填.答案答案: :考点考点3 3 异面直线所成的角异面直线所成的角【考情】【考情】从近几年的高考从近几年的高考试题试题来看来看, ,异面直异面直线线所成的角是高考的所成的角是高考的热热点点, ,题题型既有型既有选择题选择题又有填空又有填空题题, ,也有解答也有解答题题, ,难难度度为为中低档中低档题题; ;客客观题观题主要考主要考查查异面直异面直线线所成的角所成的角, ,主主观题较观题较全面考全面考查查立体几何立体几何的有关知的有关知识识、异面直、异面直线线所成的角的求法等所成的角的求法等. . 高频考点高频考点通关通关 【典例【典例3 3】(1)(2014(1)(2014宁波模宁波模拟
37、拟) )在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分分别为别为A A1 1B B1 1,BB,BB1 1的中点的中点, ,则则异面直异面直线线AMAM与与CNCN所成角的余弦所成角的余弦值为值为( () )(2)(2014(2)(2014广州模广州模拟拟) )已知三棱已知三棱锥锥A-BCDA-BCD中中,AB=CD,AB=CD,且直且直线线ABAB与与CDCD成成6060角角, ,点点M,NM,N分分别别是是BC,ADBC,AD的中点的中点, ,求直求直线线ABAB和和MNMN所成的角所成的角. .【解题视点】【解题视点】(1)(1)
38、由由M,NM,N分别为分别为A A1 1B B1 1,BB,BB1 1的中点的中点, ,可取可取ABAB的中点的中点E,EBE,EB的中点的中点F,F,利用直线平行的传递性利用直线平行的传递性, ,确定异面直线确定异面直线AMAM与与CNCN所所成的角成的角. .(2)(2)取取ACAC的中点的中点PP连接连接PMPM连接连接PNPN得得ABAB与与CDCD所成的角所成的角得得ABAB与与MNMN所成的角所成的角. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.如图如图, ,取取ABAB的中点的中点E,E,连接连接B B1 1E,E,则则AMBAMB1 1E.E.取取EBEB的中点的中点F
39、,F,连接连接FN,FN,则则B B1 1EFN,EFN,因此因此AMFN,AMFN,连接连接CF,CF,则直线则直线FNFN与与CNCN所夹锐角或直角为异面直线所夹锐角或直角为异面直线AMAM与与CNCN所成所成的角的角.设设AB=1,AB=1,在在CFNCFN中中, ,由余弦定理由余弦定理cos=|cosCNF|=cos=|cosCNF|=(2)(2)如图如图, ,取取ACAC的中点的中点P.P.连接连接PM,PN,PM,PN,则则PMAB,PMAB,且且PM= AB,PM= AB,PNCD,PNCD,且且PN= CD,PN= CD,所以所以MPNMPN为为ABAB与与CDCD所成的角所成
40、的角( (或其补角或其补角).).则则MPN=60MPN=60或或MPN=120,MPN=120,若若MPN=60,MPN=60,因为因为PMAB,PMAB,所以所以PMNPMN是是ABAB与与MNMN所成的角所成的角( (或其补角或其补角).).又因为又因为AB=CD,AB=CD,所以所以PM=PN,PM=PN,则则PMNPMN是等边三角形是等边三角形, ,所以所以PMN=60,PMN=60,即即ABAB和和MNMN所成的角为所成的角为60.60.若若MPN=120,MPN=120,则易知则易知PMNPMN是等腰三角形是等腰三角形. .所以所以PMN=30,PMN=30,即即ABAB和和MN
41、MN所成的角为所成的角为30.30.综上综上, ,直线直线ABAB和和MNMN所成的角为所成的角为6060或或30.30.【通关【通关锦锦囊】囊】 重点重点题题型型破解策略破解策略以柱体、以柱体、锥锥体体为载为载体体一般直接利用一般直接利用图图形中已有的平行形中已有的平行线线平移平移, ,得到得到异面直异面直线线所成的角或是通所成的角或是通过连过连接四接四边边形的形的对对角角线线, ,利用利用对对角角线线的交点确定平行关系的交点确定平行关系几何几何图图形中形中含有中点含有中点构造三角形找中位构造三角形找中位线线, ,然后利用中位然后利用中位线线的性的性质质, ,将异面直将异面直线线所成的角所成
42、的角转转化化为为平面平面问题问题, ,解三角解三角形求之形求之条件中条件中给给出出比例关系比例关系根据条件中根据条件中给给出的比例关系将异面直出的比例关系将异面直线线所成的所成的角角转转化化为为平面平面问题问题, ,再利用相似三角形的性再利用相似三角形的性质质求出相求出相应线应线段段长长度度, ,解三角形求角解三角形求角【特别提醒】【特别提醒】求异面直线所成的角应注意角的范围是求异面直线所成的角应注意角的范围是 其其余弦值一定为非负余弦值一定为非负. .【关注【关注题题型】型】 以三以三视图视图为载为载体体将三将三视图还视图还原成几何体原成几何体, ,利用几何体的平行关利用几何体的平行关系或特
43、殊点确定异面直系或特殊点确定异面直线线所成的角所成的角折叠折叠问题问题根据折叠的根据折叠的图图形确定几何体形确定几何体, ,利用几何体的平利用几何体的平行关系或特殊点确定异面直行关系或特殊点确定异面直线线所成的角所成的角【通关【通关题组题组】1.(20141.(2014温州模温州模拟拟) )直三棱柱直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, ,若若BAC=90,BAC=90,AB=AC=AAAB=AC=AA1 1, ,则则异面直异面直线线BABA1 1与与ACAC1 1所成的角等于所成的角等于( () )A.30A.30B.45B.45C.60C.60D.90D.90【解
44、析】【解析】选选C.C.分别取分别取AB,AAAB,AA1 1,A,A1 1C C1 1的中点的中点D,E,F,D,E,F,则则BABA1 1DE,ACDE,AC1 1EF.EF.所以异面直线所以异面直线BABA1 1与与ACAC1 1所成的角为所成的角为DEF(DEF(或其或其补角补角),),设设AB=AC=AAAB=AC=AA1 1=2,=2,则则DE=EF= ,DF= ,DE=EF= ,DF= ,由余弦定理得由余弦定理得, ,cosDEF=cosDEF=则则DEF=120,DEF=120,从而异面直线从而异面直线BABA1 1与与ACAC1 1所成的角为所成的角为60.60.2.(201
45、42.(2014金金华华模模拟拟) )如如图图所示所示, ,在正三棱柱在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,D,D是是ACAC的中点的中点,AA,AA1 1AB= AB= 则则异面直异面直线线ABAB1 1与与BDBD所成的角所成的角为为. .【解析】【解析】如图所示如图所示, ,取取A A1 1C C1 1的中点的中点D D1 1, ,连接连接B B1 1D D1 1, ,由于由于D D是是ACAC的中点的中点, ,所以所以B B1 1D D1 1BD,BD,所以所以ABAB1 1D D1 1即为异面直线即为异面直线ABAB1 1与与BDBD所成的角或其补角所成的
46、角或其补角. .连接连接ADAD1 1, ,设设AB=a,AB=a,则则AAAA1 1= a,= a,所以所以在在ABAB1 1D D1 1中中, ,由余弦定理得由余弦定理得cosABcosAB1 1D D1 1= = 所以所以ABAB1 1D D1 1=60.=60.所以异面直线所以异面直线ABAB1 1与与BDBD所成的角为所成的角为60.60.答案答案: :60603.(20143.(2014宁波模宁波模拟拟) )一个正方体一个正方体纸纸盒展开后如盒展开后如图图所示所示, ,在原正在原正方体方体纸纸盒中有如下盒中有如下结论结论:ABEF;AB:ABEF;AB与与CMCM所成的角所成的角为
47、为60;EF60;EF与与MNMN是异面直是异面直线线;MNCD.;MNCD.以上四个命以上四个命题题中中, ,正确命正确命题题的序号是的序号是. .【解析】【解析】由展开后的图形可还原成如图由展开后的图形可还原成如图所示的纸盒所示的纸盒, ,显然显然ABEF,ABEF,所以所以正确正确; ;ABCM,ABCM,所以所以错误错误; ;由异面直线的定义由异面直线的定义可知可知,EF,EF与与MNMN是异面直线是异面直线, ,所以所以正确正确; ;同理同理MNMN与与CDCD也是异面直也是异面直线线, ,且所成角为且所成角为90,90,所以所以错误错误. .答案答案: :【加固【加固训练训练】1.
48、(20141.(2014惠州模惠州模拟拟) )如如图图是三棱是三棱锥锥D-ABCD-ABC的三的三视视图图, ,点点O O在三个在三个视图视图中都是所在中都是所在边边的中点的中点, ,则则异面直异面直线线DODO和和ABAB所所成角的余弦成角的余弦值值等于等于( () )【解析】【解析】选选A.A.由题意得如图的直观图由题意得如图的直观图, ,从从A A出发出发的三条线段的三条线段AB,AC,ADAB,AC,AD两两垂直且两两垂直且AB=AC=2,AD=1,AB=AC=2,AD=1,O O是是BCBC中点中点, ,取取ACAC中点中点E,E,连接连接DE,DO,OE,DE,DO,OE,则则OE
49、=1,OE=1,又可知又可知AE=1,AE=1,由于由于OEAB,OEAB,故故DOEDOE即为所求两异面直线所成的即为所求两异面直线所成的角或其补角角或其补角. .在直角三角形在直角三角形DAEDAE中中,DE= ,DE= ,由于由于O O是中点是中点, ,在直角在直角三角形三角形ABCABC中可以求得中可以求得AO= ,AO= ,在直角三角形在直角三角形DAODAO中可以求得中可以求得DO= .DO= .在三角形在三角形DOEDOE中中, ,由余弦定由余弦定理得理得cosDOE= cosDOE= 故所求余弦值为故所求余弦值为2.(20142.(2014成都模成都模拟拟) )若两条异面直若两
50、条异面直线线所成的角所成的角为为60,60,则则称称这这对对异面直异面直线为线为“黄金异面直黄金异面直线对线对”,”,在在连连接正方体各接正方体各顶顶点的所点的所有直有直线线中中,“,“黄金异面直黄金异面直线对线对”共有共有对对. .【解析】【解析】正方体如图正方体如图, ,若要出现所成角为若要出现所成角为6060的异面直线的异面直线, ,则直线需为面对角线则直线需为面对角线, ,以以ACAC为例为例, ,与之构成黄金异面直线对的直线有与之构成黄金异面直线对的直线有4 4条条, ,分别分别是是AB,BC,AD,CD,AB,BC,AD,CD,正方体的面对角线正方体的面对角线有有1212条条, ,
51、所以所求的黄金异面直线对共有所以所求的黄金异面直线对共有 =24 =24对对( (每一对每一对被计算两次被计算两次, ,所以记好要除以所以记好要除以2).2).答案答案: :24243.(20133.(2013长长沙模沙模拟拟) )如如图图, ,在正三角形在正三角形ABCABC中中,D,E,F,D,E,F分分别为别为各各边边的中点的中点,G,H,G,H分分别为别为DE,AFDE,AF的中点的中点, ,将将ABCABC沿沿DE,EF,DFDE,EF,DF折成正四折成正四面体面体P-DEF,P-DEF,则则四面体中异面直四面体中异面直线线PGPG与与DHDH所成的角的余弦所成的角的余弦值为值为.
52、.【解析】【解析】如图如图, ,连接连接HE,HE,取取HEHE的中点的中点K,K,连接连接GK,PK,GK,PK,则则GKDH,GKDH,故故PGKPGK即为所求的异面直线所成的角即为所求的异面直线所成的角或者其补角或者其补角. .设这个正四面体的棱长为设这个正四面体的棱长为2,2,在在PGKPGK中中, ,故故cosPGK=cosPGK=即异面直线即异面直线PGPG与与DHDH所成的角的余弦值是所成的角的余弦值是答案答案: :【巧思妙解【巧思妙解8 8】巧用补形法求异面直线所成的角巧用补形法求异面直线所成的角【典例】【典例】(2014(2014银银川模川模拟拟) )如如图长图长方体方体AC
53、AC1 1中中, ,AB=12,BC=3,AAAB=12,BC=3,AA1 1=4,N=4,N在在A A1 1B B1 1上上, ,且且B B1 1N=4,N=4,则则异异面直面直线线BDBD1 1与与C C1 1N N所成角的余弦所成角的余弦值为值为( () )【解析】【解析】常规解法常规解法: :选选B.B.如图所示如图所示, ,在在ABAB上取点上取点N N1 1使得使得BNBN1 1= AB,= AB,连接连接ADAD1 1, ,在在ADAD1 1上取点上取点E E使得使得EDED1 1= = AD AD1 1, ,连接连接ENEN1 1,CN,CN1 1,CE,CE,则则ENEN1
54、1BDBD1 1,CN,CN1 1CC1 1N,N,所以所以ENEN1 1C C为异面直线为异面直线BDBD1 1与与C C1 1N N所成角所成角( (或或其补角其补角).).因为因为连接连接BCBC1 1, ,在在BCBC1 1上取点上取点F,F,使得使得FCFC1 1= BC= BC1 1, ,连接连接EF,CF,EF,CF,可知可知EFFC,CF=EFFC,CF=所以所以EC=EC=在在ENEN1 1C C中中, ,由余弦定理得由余弦定理得cosENcosEN1 1C =C =所以所以BDBD1 1与与C C1 1N N所成角的余弦值为所成角的余弦值为巧妙解法巧妙解法: :选选B.B.
55、补一个与原长方体相同的补一个与原长方体相同的, ,并与原长方体有公共面并与原长方体有公共面BCBC1 1的长方体的长方体B B1 1F,F,如图所示，连接如图所示，连接C C1 1E,NE,E,NE,则则C C1 1EBDEBD1 1，于是，于是NCNC1 1E E即为异面直线即为异面直线BDBD1 1与与C C1 1N N所成角所成角( (或其补或其补角角).).在在NCNC1 1E E中，根据已知条件可求中，根据已知条件可求C C1 1N N5 5，C C1 1E E1313，ENEN由余弦定理，得由余弦定理，得cosNCcosNC1 1E E所以所以BDBD1 1与与C C1 1N N所
56、成角的余弦值为所成角的余弦值为 【解法分析】【解法分析】常规常规解法解法1.1.利用定义法求异面直线所成的角利用定义法求异面直线所成的角, ,是以是以“运动运动”的的观点观点, ,用平移转化的方法用平移转化的方法, ,使之成为相交直线所成的使之成为相交直线所成的角角, ,是求异面直线所成的角的常规思路是求异面直线所成的角的常规思路. .2.2.解法体现了化归思想解法体现了化归思想, ,但不易找到异面直线所成的但不易找到异面直线所成的角角巧妙巧妙解法解法1.1.将长方体将长方体ACAC1 1平移到平移到BCFE-BBCFE-B1 1C C1 1F F1 1E E1 1的位置的位置, ,其目的其目
57、的是发现两条异面直线的关系是发现两条异面直线的关系. .2.2.处充分利用了用定义确定异面直线所成的角的处充分利用了用定义确定异面直线所成的角的方法方法, ,直观方便直观方便, ,运算简单运算简单【小【小试试牛刀】牛刀】在在长长方体方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AB=AA,AB=AA1 1=2,AD=1,=2,AD=1,则则异面异面直直线线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦所成角的余弦值为值为. .【解析】【解析】常规解法常规解法: :如图如图, ,连接连接B B1 1D D1 1与与A A1 1C C1 1, ,交于点交于点O
58、 O1 1, ,取取BBBB1 1的中点的中点M,M,连连接接O O1 1M,M,则则O O1 1MDMD1 1B,B,于是于是AA1 1O O1 1M M即为异面直线即为异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角所成的角( (或其补角或其补角),),连接连接A A1 1M,M,在在A A1 1O O1 1M M中中, ,A A1 1O O1 1= =由余弦定理得由余弦定理得cosAcosA1 1O O1 1M =M =所以异面直线所以异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为答案答案: :巧妙解法巧妙解法: :补一个与原长方体相同的补一个与原长方体相同的并与原长方体有公共面并与原长方体有公共面BCBC1 1的长方体的长方体B B1 1F,F,位置如图所示位置如图所示. .连接连接A A1 1E,CE,C1 1E,E,则则AA1 1C C1 1E E即为异面直线即为异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角所成的角( (或其补角或其补角).).在在AA1 1C C1 1E E中中, ,由余弦定理得由余弦定理得cosAcosA1 1C C1 1E=E=所以异面直线所以异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为答案答案: :
