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1、第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换主要内容主要内容1、拉氏变换的概念和存在定理、拉氏变换的概念和存在定理 2 2、拉氏变换的性质、拉氏变换的性质 3 3、卷积和卷积定理、卷积和卷积定理4 4、拉氏逆变换及其应用、拉氏逆变换及其应用11 1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念1、问题的提出、问题的提出 傅傅氏氏变换变换具有广泛的应用具有广泛的应用，但但有前提条件有前提条件，除了满足狄氏条件之外，还要求函数绝对可积除了满足狄氏条件之外，还要求函数绝对可积：即即 实际上这个条件非常强，对函数的要求较高，实际上这个条件非常强，对函数的要求较高，因而一些常见的函数都不满足这一点因而一些常见的函数都
2、不满足这一点. .这就限制了这就限制了傅氏变换的应用傅氏变换的应用. .2 另外，通常在实际应用中的许多以时间另外，通常在实际应用中的许多以时间t t为自为自变量的函数往往在变量的函数往往在t0t0时收敛时收敛, 且有且有6所以所以例例2 2 求指数函数求指数函数解：解：根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, 有有这个积分在这个积分在Re(s)k时收敛时收敛, 且有且有所以所以 k为为复数复数时上式也成立时上式也成立, , 只是只是收敛区间收敛区间为为Re(s)Re(k).73 3、拉氏变换存在定理、拉氏变换存在定理f( (t t) )满足什么条件时它的拉氏变换存在满足什么条件时它的拉氏变换存
3、在? ? 有下面的有下面的定理：定理：拉氏变换的存在定理拉氏变换的存在定理 若函数若函数f( (t t) )满足满足: :（1 1） 在在t t 0 0的任一有限区间上分段连续；的任一有限区间上分段连续；（2 2） 当当t t时时, , f( (t t) )的增长速度不超过某一指的增长速度不超过某一指数函数数函数, , 即存在常数即存在常数M 00及及c c 0, 0, 使得使得| |f(t t)|)| M ect, 0, 0 t t c上一定存在上一定存在, 并且在并且在Re(s)c的的半平面内半平面内, F(s)为为解析函数解析函数.8注注 定理的条件是定理的条件是充分充分的的. .例例3
4、 3 求求 f(t)=sin kt (k为实数为实数) 的拉氏变换的拉氏变换.解：解：根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, 有有9解解解解：所以所以同理可得同理可得例例4 4 求幂函数求幂函数 f(t)=tm (m为正整数为正整数)的拉氏变换的拉氏变换. .注意到注意到所以所以10例例5 5 求周期性三角波求周期性三角波 且且 f(t+2b)= f(t)的拉氏变换的拉氏变换.bOb2b3b4btf(t)11一般地，一般地，一般地，一般地，若若 f( (t t) )是是周期为周期为T T的的函数，则函数，则必须指出必须指出，当，当 f( (t t) )在在t t= =0 0有界时，积分有界时，
5、积分这是因为这是因为但是，但是，当当 f(t)在在t=0处包含脉冲函数时处包含脉冲函数时，则，则12 为了考虑这一情况为了考虑这一情况, , 需将进行拉氏变换的函数需将进行拉氏变换的函数f( (t t) )在在t t 0 0时有定义扩大为当时有定义扩大为当t t 00及及t t=0=0的任意一个邻域的任意一个邻域内有定义内有定义. . 这样这样, , 原来的拉氏变换的定义原来的拉氏变换的定义但为了书写方便起见但为了书写方便起见, , 仍写成仍写成(1)(1)式的形式式的形式. .例如：例如：13实际应用中，有拉氏变换表可以查用实际应用中，有拉氏变换表可以查用.本讲小结本讲小结1、理解拉氏变换的
6、定义；、理解拉氏变换的定义；2、掌握拉氏变换存在定理、掌握拉氏变换存在定理.142 2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质 说明：凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏说明：凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理的条件，并且把这些函数的增长指变换存在定理的条件，并且把这些函数的增长指数都统一地取为数都统一地取为C.证明：根据定义和积分的性质即可证明证明：根据定义和积分的性质即可证明. .1、线性性质、线性性质拉氏逆变换也有类似的性质，请自己写出来拉氏逆变换也有类似的性质，请自己写出来. .152、微分性质、微分性质证明证明：根据定义，有：根据定义，有推论推论16 此性质可以将此性质可以将f( (t)
7、 )的微分方程转化为的微分方程转化为F( (s) )的代数的代数方程方程. .因此，它对微分方程求解有着重要的作用因此，它对微分方程求解有着重要的作用. .特别地，若特别地，若例例1 1 已知已知求求解：解：因为因为则则17例例2 2 利用微分性质求利用微分性质求的拉氏变换，其中的拉氏变换，其中为正整数为正整数. .解：解：因为因为所以所以于是于是18 以上是象原函数的微分公式以上是象原函数的微分公式. . 此外，根据拉氏此外，根据拉氏变换的存在定理，还可以得到变换的存在定理，还可以得到象函数的微分性质象函数的微分性质：一般地，有一般地，有例例3 3 求求的拉氏变换的拉氏变换.解：解：因为因为
8、所以所以193 3、积分性质、积分性质证明证明：设：设则则于是于是即即20重复应用上式，可以得到重复应用上式，可以得到另外，关于像函数的积分，有如下公式：另外，关于像函数的积分，有如下公式：特别地，在特别地，在* *式中令式中令s=0s=0，则，则21例例4 4 求求的拉氏变换的拉氏变换.解：解：因为因为所以所以于是于是思考题：思考题：224 4、位移性质、位移性质或者或者证明：证明：根据定义，得根据定义，得23例例5 5 求求的拉氏变换的拉氏变换.解解：因为因为所以所以例例6 6 求求的拉氏变换的拉氏变换.解解：因为因为所以所以245 5、延迟性质、延迟性质或者或者6 6、相似性质、相似性质25练习题练习题 求下列函数的拉氏变换：求下列函数的拉氏变换：本讲内容小结：本讲内容小结： 主要介绍了拉氏变换的几个性质主要介绍了拉氏变换的几个性质. .重点掌握重点掌握微分性质；积分性质；位移性质微分性质；积分性质；位移性质. .26
