第3章Wigner分布

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1、第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布第第3章章 Wigner 分布分布 3.1 Wigner分布的定义分布的定义3.2 WVD的性质的性质 3.3 常用信号的常用信号的WVD3.4 Wigner分布的实现分布的实现3.5 Wigner分布中交叉项的行为分布中交叉项的行为3.6 平滑平滑Wigner分布分布 轮蕴法毡在啪渺鼓刘睡鼻队师俱滥毗末荧沾纺瘁筛漏韵弯雪关讥琅檄谈斡第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布3.1 Wigner分布的定义分布的定义u 时频分布分类时频分布分类 线性形式的时频分布：线性形式的时频分布：STFT、

2、Gabor变换变换 及小波变换。及小波变换。双线性形式时频分布双线性形式时频分布: : 是指所研究的信号在时频分布的数学表达式中以相乘是指所研究的信号在时频分布的数学表达式中以相乘 的形式出现两次。又称非线性时频分布。的形式出现两次。又称非线性时频分布。 Wigner分布分布 及及Cohen类分布。类分布。 灿信袁炼碳猜霄匙凋肘潘西勿淘捆蜀炸拂灰芹毁窥披盒即纂户鬃象颧栗休第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布u 联合联合WignerWigner分布定义分布定义 令信号令信号 ， 的傅立叶变换分别是的傅立叶变换分别是 ， ，那，那么么 ，的

3、联合，的联合WignerWigner分布定义为：分布定义为： （3.1.13.1.1）信号信号 的自的自WignerWigner分布定义为：分布定义为： （3.1.23.1.2）WignerWigner分布又称分布又称WignerWignerVilleVille分布，简称为分布，简称为WVDWVD。若令若令 ，则，则 ，代入（，代入（3.1.13.1.1）有）有 （3.1.33.1.3） 沙菱童慧涣砾察快谴勾诧邱痴登有概湘嚼耪萎悦霹丧琵妙玫寿请戎缺棒剃第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布令令 ， 则式（则式（3.1.1）可变为：）可变为

4、：令令 ，则上式变为，则上式变为 （3.1.4）对自对自WVD，有，有 （3.1.5）显然，显然，WVD在时域和频域有非常明显得对称形式。在时域和频域有非常明显得对称形式。丹道楼孩俩烩卉袱隘鸳褒统队厅重矗设羡源氖仆险俭凝咀厄宗委贱儿交拆第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布若令若令则则 （3.1.6）显然这是普通的傅立叶变换式，只不过它依赖于时间显然这是普通的傅立叶变换式，只不过它依赖于时间t t。但此。但此处的处的 并不是我们以前定义过的相关函数。在时频分并不是我们以前定义过的相关函数。在时频分析中，我们称析中，我们称 为瞬时自相关。为

5、瞬时自相关。止惨沿淀商挠副蛹卞饶粮猖踪贱敝椿砾扦旋佃亮剐刀窄掺在梳夸甫拇徊围第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布3 32 2WVDWVD的性质的性质u 的奇、偶、虚、实性的奇、偶、虚、实性不论不论 是实信号还是复值信号，其自是实信号还是复值信号，其自WVDWVD都是都是t t和和 的实函数，即的实函数，即 （3.2.13.2.1）若为若为 实信号，则实信号，则 不但是不但是t、 的实函数，还的实函数，还是是 的偶函数，即的偶函数，即 （3.2.23.2.2）对对 ， 的互的互WVD， 不一定是实函数，不一定是实函数，但具有如下性质：但具

6、有如下性质： (3.2.3)径岛邱陇邱摘霸议瞬盈氏蠕朋谚蛮霉瓢饿赤糯荔表渭宿哥末慧莉热豌般禽第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布u WVDWVD的能量分布性质的能量分布性质时间边缘（时间边缘（timemarginal）性质）性质 令（令（311）式两边对）式两边对 积分，有积分，有 (3.2.4)该式表明，信号该式表明，信号x(t)x(t)的的WVD WVD 沿频率轴的积分等于该信号在时刻沿频率轴的积分等于该信号在时刻的瞬时能量。由此可看出的瞬时能量。由此可看出WVDWVD具有能量分布性质。具有能量分布性质。距篷岿耍舍完蚂指繁沏僚助渭秽

7、诊封慌哩物汗参沦盂快挛硼厄庚套唱伞踌第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布频率边缘性质频率边缘性质同理，令（同理，令（3.1.5）式两边同时对积分，有）式两边同时对积分，有 (3.2.5)即即WVDWVD沿时间轴的积分等于在该频率处的瞬时能量。沿时间轴的积分等于在该频率处的瞬时能量。膜猫爵昧越声章抄酉柑剂派诽颈桶圈擂达悼林妆振购甭柠腐羡茂忙遇啪如第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布 (3.2.6) (3.2.7) (3.2.8)即，即， 在某一时间带内对时间的积分等于信号在该带内在

8、某一时间带内对时间的积分等于信号在该带内的能量，在某一频带内的积分也有着同样的性质。而的能量，在某一频带内的积分也有着同样的性质。而 在整个平面在整个平面 上的积分等于信号的能量。由后面的讨论上的积分等于信号的能量。由后面的讨论可知，可知， 在平面上某一点的值并不能反映信号的能量，在平面上某一点的值并不能反映信号的能量，这是因为这是因为 有可能取负值。有可能取负值。 俗呕悍爸厕颅棱扶馈书仗魂耳涧烙贬撇掇丸春州喘堵挽隐靡绅卸艰唇峪笛第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布u 由由WVDWVD重建信号重建信号 由（由（3.1.13.1.1）式，

9、我们有）式，我们有令令 这一特定时刻，有这一特定时刻，有于是于是 （3.2.93.2.9）若若 含有常数的相位因子，如含有常数的相位因子，如 ，由于，由于因此由因此由WVD恢复出的恢复出的 将不会有此相位因子。将不会有此相位因子。汝贫旁忿云薪井软吩干毖卞盔近伸兢秘哪弦壕酗确毙盈到绰啼陋惋沿复蔼第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布u WVD WVD的运算性质的运算性质 移位移位WVD的移不变性的移不变性 令令 则则 （3.2.10） 调制调制频率调制不变性频率调制不变性 令令 则则 （3.2.11）移位加调制移位加调制令令 则则 （3.2

10、.12）遍虚筛班乎鹊屿梭膊蚜刷缄辞甥枢促幸负双鹏簧稠彻根迭泞苦愧粒识圈百第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布时间尺度时间尺度令令 （ 为大于零的常数）为大于零的常数）则则 （3.2.133.2.13）信号的相乘信号的相乘令令 则则 (2.3.14) (2.3.14)息棵巧幅竖补招笋封秀旦府闯朽陆欢廖皑茵姐县旧券铲诫宾菇裸瞎号刃寐第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布即即 两个信号积的自两个信号积的自WVD等于这两个信号各自等于这两个信号各自WVD在频率在频率 轴上的卷积。轴上的卷积

11、。这是这是WVD的一个很好的性质，因为对无限长的信号加窗截短的一个很好的性质，因为对无限长的信号加窗截短时，只影响其频率分辨率，而不影响其时域分辨率。时，只影响其频率分辨率，而不影响其时域分辨率。信号的滤波信号的滤波 令令 则则 （3.2.15）暑阉泌傲精栽挽披刁竭好赚熬毁躯椿逮坞稼洛镶片况筑图哄讽辰砚涟狡闻第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布信号的相加信号的相加令令 ， 则则 （3.2.16） 即即 两个信号和的两个信号和的WVD并不等于它们各自并不等于它们各自WVD的和的和 式中式中 是是 和和 的互的互WVD，称之为，称之为“交叉

12、项交叉项”，它是引进的干扰。交叉项的存在是它是引进的干扰。交叉项的存在是WVD的一个严重缺点。的一个严重缺点。 进一步，若令进一步，若令 ，败伶辨裳临又畜瞳交壹四醇邮舟坊颗瞻寸路筑淑贾找您挚靴潘塑暖奄危疆第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布则则后两项也是交叉项干扰。一般，若会有后两项也是交叉项干扰。一般，若会有N个分量，那么这些个分量，那么这些分量之间共产生分量之间共产生 个互项的干扰。个互项的干扰。 赶奢牺色襟生骋灸闸蜀铝椅挛妇苛杠蜡舅玉氟虽梯戌啤刑淑就蓑犬逗峡听第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner

13、 Wigner分布分布u WVD的时限与带限性质的时限与带限性质若在若在 和和 时，时， ，即，即 是时限的，是时限的，则对一切则对一切 ，有，有 （3.2.18）由上述结论，若由上述结论，若 ， 均是因果信号，及当均是因果信号，及当 时时 ， 那么那么 （3.2.19）若当若当 和和 时，时， ，即，即 是带限的，则对一切的是带限的，则对一切的t ，有，有 （3.2.20）盛坯饿猫雁锋鹊输沾镍送葫眯戌琐堵版诅杠氧子赞基蛊滤街嘘徊妥吝冲亏第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布u 解析信号的自解析信号的自WVD 令令 是是 的的Hilber

14、t变换，则变换，则 是是 的解析信号。由的解析信号。由Hilbert变换的性质可知：变换的性质可知： （3.2.21）由由WVD的带限性质可知，当的带限性质可知，当 时，时， ，并有，并有 （3.2.22）将式（将式（3.2.21）代入得：）代入得： （3.2.23）蓬腕贵慕聚宅炮室喝环琴贫码避繁泄贰赐嘎敦栅覆寻森睁窟掳进盒潦羊床第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布上式积分号中相当于乘了一个从上式积分号中相当于乘了一个从 至至 的矩形窗。由的矩形窗。由运算性质运算性质5，可得信号，可得信号x(t)和其解析信号和其解析信号z(t) 的的W

15、VD之间的之间的关系，即关系，即 （3.2.24）嗅沼牟荐横辉棵考恩袒席孝时镐珍唯闸刊釜社窍黎译捧喘击额擂银铱字仔第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布 设信号设信号 可写成解析形式，即可写成解析形式，即 ，其，其WVD为为 ，则，则 的瞬时频率和的瞬时频率和WVD有如下关系：有如下关系： （3.2.25）群延迟和群延迟和WVD的关系的关系 ： （3.2.26）u 瞬时频率与群延迟瞬时频率与群延迟 披饵聘玲纲畏勇衷泛呼雍啡煤李谗颈居哨近给回沟输朔摔佐隶突舞没汹苫第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wi

16、gner分布分布u WVD的的Parseval 关系关系令令 和和 的的WVD分别是分别是 和和 ，则，则 该式又称为该式又称为Moyals 公式。公式。恕询蛊昼雁郴闺郡呜听钥遗袍庶寺颤匙冒拥嗡蚌酝递荒肖瑶琳穆凳荣威参第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布两个信号和的两个信号和的WVD有交叉项存在，使得两个信号和的分布已有交叉项存在，使得两个信号和的分布已不再是两个信号各自分布的和；不再是两个信号各自分布的和；由于由于WVD是信号能量随时间频率的分布，因此，理论上讲，是信号能量随时间频率的分布，因此，理论上讲， 应始终为正值，但实际上并非

17、如此。应始终为正值，但实际上并非如此。 因为因为 是是 的傅立叶变的傅立叶变换，因此，可以保证始终为实值，但不一定能保证换，因此，可以保证始终为实值，但不一定能保证 非负。非负。u WVD的缺点的缺点封象竿送垮筒镐窒兴枚嫂拙捂哭窟怨擂笆饯染淮缓流又苹料毁姜趟赐偿蹭第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布. .常用信号的常用信号的WVDWVD几种典型信号的几种典型信号的WVDWVD例例3.3.13.3.1、令、令 （3.3.13.3.1）求求 。解：解：确定对确定对 的积分限，由的积分限，由 得得 或或所以所以 （3.3.2）形显搜蛾巡杖箱语

18、翼超干猪槛汪原父底蛮悼谣颠瑟束箭呕群助媚狞龟瞎毅第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布 在时间轴上只在的范围在时间轴上只在的范围 内有值，在频率轴上是的内有值，在频率轴上是的函数。最大值出现在函数。最大值出现在 处，最大值处，最大值图3.3.1例3.3.1的WVD 轴淮胡逃栅滓向赌如杰批徊畅涟畅候嚣迭湿唾千槛柱寝旭叮远贰咯弹囊埋第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布例例3.3.2令令 ，求，求 。解：由定义解：由定义 即即 （3.3.3） 本例的本例的 为一确定性复正弦信号，当然也可

19、以把它看为一确定性复正弦信号，当然也可以把它看作一个平稳的随机信号，因此，其作一个平稳的随机信号，因此，其WVD与时间与时间 无关。对任无关。对任意的时间意的时间 ， 都是位于都是位于 处的处的 函数。如图函数。如图3.3.2所所示。示。维物瘫脱扮菜赡巩拈蕉辗种苇侵肿播韧碉剁蛰递鞍朵俊引淑范找冻沧钳攀第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布图3.3.2例3.3.2的WVD涩忿欢队泄住琅乎交遁脓庞箔笆劝挞焉癣螺持蛹繁切甄蜂核腥种禽前搞蛰第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布例例3.3.3

20、 令令 是由三个不同频率的复正弦信号首尾相连而形是由三个不同频率的复正弦信号首尾相连而形成的，即成的，即式中式中 ， ， 。 为某一基本频率。图为某一基本频率。图3.3.3是该信号的是该信号的WVD。由该图可。由该图可清楚地看出清楚地看出WVD的时频定的时频定位功能。位功能。注意，三段信号时频分布之间注意，三段信号时频分布之间有交叉项存在。有交叉项存在。图3.3.3例3.3.3的WVD 沾饶椎肠机思庭刁山褥琉元儒换咕牺尿堰钒泽卜纱惮灶晓肃装穿谎喂蛛腰第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布例例3.3.4、令、令 ，求，求 。解：因为解：因为

21、 ，由上例结果及，由上例结果及WVD的运的运算性质算性质6，有，有 （3.3.4） 的谱线包含两个分量，它们分别位于的谱线包含两个分量，它们分别位于 处，因此处，因此 可看作两个复指数可看作两个复指数 的和。但是的和。但是 的的WVD除了在除了在 处各有一个不随时间变化的谱线外，在处各有一个不随时间变化的谱线外，在 处还引入了随时间作处还引入了随时间作余弦变化的交叉项，且此交叉项的幅度还是真正谱线的两倍。如余弦变化的交叉项，且此交叉项的幅度还是真正谱线的两倍。如图图3.3.4所示。图中点所示。图中点 处在频率轴的中点。处在频率轴的中点。关恿塘复怖蔷包舞遣耽杖途狭炎明脆蛀拽牙睦虚耀辽红板誊泌巾艺

22、颇能童第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布图3.3.4例3.3.4的WVD各睛邹愿遂繁期衣长晴竿咐缺富檄巡变右炒芯兴粥腊焊顺煌颤甄挞另幂掠第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布例例3.3.5 令令 （3.3.5）可求出其可求出其WVD为为 （3.3.6）这是一个二维的高斯函数，这是一个二维的高斯函数，且且 是恒正的，是恒正的，如图如图3.3.5所示。所示。图3.3.5例3.3.5的WVD,（a）高斯信号，（b）高斯信号的WVD注碉汤惑负砧囊运扎秦蚜郸袭笑巍询灼似比怕郧弘北共除佑搀僳

23、缨敝哦吹第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布如果令如果令 ， 则则x(t)的谱图的谱图它也是时频平面上的高斯函数。当其峰值降到它也是时频平面上的高斯函数。当其峰值降到 时，椭圆时，椭圆面积面积 。这一结果说明，。这一结果说明，WVDWVD比比STFTSTFT有着更好的时频分有着更好的时频分辨率。辨率。陵惟蜒老蓝噬忱壁咱蛛醇超抬柠葵厌激靖喇咀破答饭旁鄙述壕串宿捐疤此第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布 例例3.3.6 令令（3.3.10） 的的WVD是是 图3.3.6例3.3.6的

24、WVD，（a）Chirp信号，（b）Chirp 信号的WVD魁郸族搁耗广犯蕴披扎槛窿沾歧钨仟贿恋低坪隔婶撑质王袱虐锻飘撮柑稗第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布 例例3.3.7 令令 为一多普勒信号，图为一多普勒信号，图3.3.7给出了该信号的给出了该信号的时域波形、频谱及时频分布。由该图可看出信号的能量随时时域波形、频谱及时频分布。由该图可看出信号的能量随时间和频率的分布。间和频率的分布。 图3.3.6例3.3.6的WVD协裂秀涧枯颓挥栽公膀坑片凝数倦茬誉躇炙桑飘肾梨发钢弄镰汗墙钻猜藤第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3

25、 3章章 Wigner Wigner分布分布3.4 Wigner 3.4 Wigner 分布的实现分布的实现 若令对信号若令对信号 的抽样间隔为的抽样间隔为 ，即，即 ，并令，并令 ，则则 ，这样，这样， 中对中对 的积分变成对的积分变成对k的求和，即的求和，即 （3.4.1）若将若将 归一化为归一化为1，并考虑到相对离散信号的频率，并考虑到相对离散信号的频率 ，则则上式变为：上式变为： （3.4.2）渠呕曼请漫挤暂涕宪侮蝴肩填巨骂执沥缴个聘租仁绚均鹊比区节岁栖萨睫第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布将将 变成变成 ，则，则 的频谱的频

26、谱 将变成周期为将变成周期为 的频的频谱谱 ，且，且 对应的抽样频率为对应的抽样频率为 。同样，。同样， 的的WVD 也变成周期的也变成周期的 ，且周期为，且周期为 ，即：，即： （3.4.3） 若若 的最高频率为的最高频率为 ，那么，抽样频率至少满足，那么，抽样频率至少满足 如若按如若按 对对 抽样，那么用抽样后的抽样，那么用抽样后的 做做WVD，由于其周期变为由于其周期变为 ，因此在，因此在WVD中必将产生严重的混迭。解中必将产生严重的混迭。解决这一问题的直接方案是提高抽样频率，要求决这一问题的直接方案是提高抽样频率，要求 至少要满足至少要满足癌旭己企惭弦今葬氯捕险刃蹄蜕进圈傈伶瓜壤拾涧奠

27、侯音洞要姨录囤漠女第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布u 解决混迭问题的较为简便的方法有两个：解决混迭问题的较为简便的方法有两个：采用解析信号采用解析信号由解析信号的性质可知，将由解析信号的性质可知，将 作作Hilbert变换得到变换得到 ，按构，按构成成解析信号解析信号 。 只包含的正频率部分。这样，只包含的正频率部分。这样，既既可减轻由正、负频率分量所引起的交叉项干扰，又可在保持原可减轻由正、负频率分量所引起的交叉项干扰，又可在保持原有抽样频率有抽样频率 的情况下，避免了频域的混迭；的情况下，避免了频域的混迭；对对 作插值作插值具体

28、办法是：若想将抽样频率具体办法是：若想将抽样频率 提高一倍，则可将提高一倍，则可将 每两点每两点之间插入一个零，然后再让该信号通过一低通数字滤波器，从之间插入一个零，然后再让该信号通过一低通数字滤波器，从而将插入的这些零值变成原信号相应点的插值。而将插入的这些零值变成原信号相应点的插值。 渔的帘曼袖芹冈旷柳扑稳芳雏壶健醒瘸杜缩库脸蜡鸥棍怨敦迁客骑和砸呻第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布令令 （3.4.5） k是信号是信号x的时间序号，的时间序号，n代表时移代表时移 ，并假定的长度为，并假定的长度为N，即即 ，现分析一下，现分析一下 的

29、取值情的取值情况。况。 图3.4.1 的解释u 离散离散WVD 驭阿傀赣膨闭挨务塘皑训沼锈佯肾霄期和苟砒陛蹭岔卵踩卧脑轴刺膏睹咱第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布当时当时N=6时，不难写出：时，不难写出： 假定将假定将 都扩充成都扩充成N点序列，即在其后补零，那么，点序列，即在其后补零，那么，（3.4.2）式可写成）式可写成 （3.4.7）铂着辖认些背兜摸咕洗斗溃芍疥膀芜蜕戍靴丸泄腿拈孽撞溜倾骂帖蔚疹蛮第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布 以上方法有明显的缺点，即在不同的以上方

30、法有明显的缺点，即在不同的n下，计算时所利用的下，计算时所利用的 的点数有着明显的不同。此外，由于的点数有着明显的不同。此外，由于WVD是二次函数是二次函数的分布，有交叉项存在。针对这两个原因，人们自然提出了的分布，有交叉项存在。针对这两个原因，人们自然提出了“加窗加窗WVD”，即，即“伪伪WVD（Pseudo WVD，PWVD）”。 寄洛朴恫牵况凝捏笔项励常诛格灰旋响超缄绞备赫颊煎馏缎陛哪簧捂季应第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布现将现将 离散化，可将离散化，可将 分成分成 等份，即等份，即 ，则上式，则上式变变为：为： （3.4.

31、10）式中式中 ，即，即 （3.4.11）即即 以以L为周期。这样，若按（为周期。这样，若按（3.4.10）式计算）式计算2L点点FFT，则求出，则求出 的将有一半的冗余。通常，我们假的将有一半的冗余。通常，我们假定：定： （3.4.12）是（是（3.4.10）可变成）可变成 盖粹悠乒绰媳室倘南廊揪债讳洋百翠敬仅鳞绚荐酷蚜涕塘诡游条慢辣柒剐第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布3.5Wigner分布中交叉项的的行为分布中交叉项的的行为 交叉项的存在将严重影响对自项的识别，从而也就严重影交叉项的存在将严重影响对自项的识别，从而也就严重影响了

32、对信号时频行为的识别。目前人们已提到了十多种具有响了对信号时频行为的识别。目前人们已提到了十多种具有双线性形式的时频分布，它们被统称为双线性形式的时频分布，它们被统称为“Cohen类类”。这些分。这些分布提出的一个重要目的是削弱布提出的一个重要目的是削弱Wigner分布中的交叉项，并改进分布中的交叉项，并改进自项的分辨率自项的分辨率。龚刑鹅尊誓词院圾唉多窘畜乃率愤纶唆麻鸥趋纠堆竟妆讼堆耪跌葫皱接她第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布 例例3.5.1 设信号由两个设信号由两个“原子原子”信号复合而成。信号复合而成。所谓所谓“原子信号原子信

33、号”，是指：，是指： 这一类信号，其中这一类信号，其中 为时域有限长的窗函数，在构成为时域有限长的窗函数，在构成“原子原子”时，常用的是高斯时，常用的是高斯窗。因此，窗。因此，“原子原子”通常是在时域和频域都相对集中的信号。通常是在时域和频域都相对集中的信号。 设设 、 是两个是两个“原子原子”，信号，信号 。下下面分两种情况来考虑它们的面分两种情况来考虑它们的WVD：设设 和和 具有相同的频率，但具有不同的时间中心具有相同的频率，但具有不同的时间中心即即韵韦醒黎路迹到母鹿毋鸣超鸵淖惑祁刹润您勘城布躬销零酣淆名垒换邦仑第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner W

34、igner分布分布显然，在显然，在 及及 处是两个处是两个“原子原子”的自的自WVDWVD，而二，而二者之间的是交叉项。该交叉项位于两个自项的中间，频率与者之间的是交叉项。该交叉项位于两个自项的中间，频率与自项相同，其位置大致是自项相同，其位置大致是 图3.5.1a 两个时频“原子”的WVD中交叉项的行为，(具有相同的频率)氏岿誊脱幼醛雨逸驼底任边誊买湿豆滞设恬轨宙反酒齿屋扑鼠植落恭扼译第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布 和和 具有相同的时间中心，但有不同的频率具有相同的时间中心，但有不同的频率令令 其时频分布如图其时频分布如图3.5

35、.1b所示。所示。显然，两个自项均位于同一时显然，两个自项均位于同一时刻刻 处，频率分别是处，频率分别是0.1和和0.4；两个自项中间的是；两个自项中间的是交叉项，其位置大致是在交叉项，其位置大致是在图3.5.1b 两个时频“原子”的WVD中交叉项的行为，(具有相同的时间中心) 耳瘟蓝瓢夷截超掀案逆壁脊饯盛婉戳乒列延戌错沁胳劈罩饺织坝裳澳朴俐第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布 例例3.5.2 设设 也是由两个原子复和而成。它们的位置分也是由两个原子复和而成。它们的位置分别位于别位于 ， 处，其时频分处，其时频分布如图布如图3.5.2a

36、所示。所示。显然，两个自项的位置显然，两个自项的位置也分别在也分别在 ， 处。交叉项在两个自项处。交叉项在两个自项的中心连线上，位值大的中心连线上，位值大致在致在 处。处。图3.5.2 （a）两个时间不同，频率不同的“原子”组成的信号的WVD(两个时频“原子”都为复信号时) 缆登东泽祭润活冀祈尝陪迁氖肌炔嫂忧稀亨棉袜独邯榆励牧巷广桅凿婿含第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布 如果对该信号的实部求如果对该信号的实部求WVD，其，其WVD如图如图3.5.2b所示。所示。由于有两个原子复合而成的是解析信号，故无负频率存在，交由于有两个原子复合

37、而成的是解析信号，故无负频率存在，交叉项只有一项（见图叉项只有一项（见图3.5.2a）。仅取它的实部，这时就有两个）。仅取它的实部，这时就有两个负频率分量存在。负频率分量存在。该信号的该信号的WVD共有共有四个自项，分别位于四个自项，分别位于 ， 处。处。图3.5.2 （b）两个时间不同，频率不同的“原子”组成的信号的WVD其实部的WVD洛捻啡揖鸯产茹帛撤兔诉丰抿稻饰迁棱溅钥并侧浓微憾旗祭框天骑伎赫闪第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布例例3.5.2 令令 由四个由四个“原子原子”复合而成，复合而成，即即 ，这四个这四个“原子原子” 的

38、位值分别是的位值分别是 ， ， ， 。该信号的。该信号的WVD如图如图3.5.3a所示所示。 如果我们在对该信号求如果我们在对该信号求WVD时用伪时用伪WVD，即对，即对 作加窗处理，那么，所得作加窗处理，那么，所得WVD如图如图3.5.3b所示。显然，这时的交叉项可得到有效的抑制，即交叉项由所示。显然，这时的交叉项可得到有效的抑制，即交叉项由六个变成了两个六个变成了两个 。羹砒尽鸿跺肌氮晕撒悟陡淘仔魔扮托辈议美以胖遁沏仕燥搪详符稽震貌腿第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布图3.5.3四个“原子”迭加后的WVD（a）没加窗的WVD， 阻

39、助巩坠泊钾肠缀姚当蹦谈尊眯竣猜墟设豌搁咽甲沦佣综质敝口充至氏鹰第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布图3.5.3四个“原子”迭加后的WVD （b）加窗后的伪WVD骸表撕莆灵啥鞭庇免脖泥厩呼揖攀分控看武哼嘴撞拈凝绿域路仑绍祈抗铸第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布例例3.5.4令令 （3.5.1）显然，显然， 由两个频率调制高斯信号所组成，中心分别在由两个频率调制高斯信号所组成，中心分别在 和和 处。可求出处。可求出 （3.5.2）上式包含两项，第一项是的上式包含两项，第一项是的WV

40、D的自项，中心也分别位于的自项，中心也分别位于和和 处，它们都是高斯型函数。第二项是其交叉项。处，它们都是高斯型函数。第二项是其交叉项。 翘乱扫灰蚕悉胡碾珍趾倾酿频谋秽宝奶惟咱盈忿踌先岛柳桌语拄遮智片古第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布图3.5.4两个高斯调制信号的WVD铅焉猴伍狼粪吮游觉学瓶疮挫飘短烘印忍炸誊双力搽蕴艇列荔凉轴妓痕塞第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布结论：结论： 由本节例由本节例3.5.13.5.4可以看出，两两自项之间将产生一个交叉可以看出，两两自项之间将

41、产生一个交叉项，即交叉项的数目为项，即交叉项的数目为 ，每一个交叉项都位于产生，每一个交叉项都位于产生它的自项的几何中心，其振荡频率也取决于两个自项的时间和它的自项的几何中心，其振荡频率也取决于两个自项的时间和频率距离。进一步有频率距离。进一步有 （3.5.4） 式中式中 (3.5.5) 反映了交叉项的衰减。显然，两个自项离得越远，则反映了交叉项的衰减。显然，两个自项离得越远，则 越越大，这样大，这样 衰减越快，这样，衰减越快，这样，WVD的互项中的能量越小。这的互项中的能量越小。这说明，只有距离较近的自项所产生的交叉项才会产生大的影响说明，只有距离较近的自项所产生的交叉项才会产生大的影响 桃

42、罪敖斌绞或乒星胚柔始讥订勾伍杨溃慑储泉榆傲琶堆瓜懂甲虑给跳筹凑第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布3.6 平滑平滑Wigner分布分布 对信号对信号 ，其，其WVD和谱图有如下关系：和谱图有如下关系： (3.6.1)式中式中 是对信号作短时傅立叶变换时所用窗函数是对信号作短时傅立叶变换时所用窗函数 的的WVD。因此，谱图也是一种时频分布，且是信号能量的分。因此，谱图也是一种时频分布，且是信号能量的分布。布。 （3.6.1）式是一个典型的）式是一个典型的2D卷积，如果卷积，如果 是一个是一个低通函数，卷积的结果将是对低通函数，卷积的结果将

43、是对 平滑。对谱图来说，如平滑。对谱图来说，如果做果做STFT时用的是高斯窗，高斯窗的时用的是高斯窗，高斯窗的WVD仍是仍是 平面的平面的高斯函数。因此，高斯函数。因此， 是低通的。这样，谱图是对是低通的。这样，谱图是对WVD的平滑，其结果是减少了交叉项的干扰，但同时降低了时频的平滑，其结果是减少了交叉项的干扰，但同时降低了时频的分辨率。的分辨率。凳相迫萍反臼婴晨荧卡拌饥敲姆喂晶梦咱岸钥寞酱宁亏驱漂褂漳撮巢钥啮第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布将（将（3.6.1）右边展开，有）右边展开，有 (3.6.2)令令则则 呀张赐歼阀乞连呢渍申

44、檀邀旁酶典啦扇敬饼犀属织支铡貉缚随杠慢阎爪磐第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布Jacobian行列式行列式又因为又因为则式则式(3.6.2)变为变为证毕。证毕。逝耿谓毗涎搭贯姿认鬃末悯镐违刀第轿闹痒果殖疟饶胯茁滞橱终永肖畔艺第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布 一般，设一般，设 是某一窗函数的时频分布，令是某一窗函数的时频分布，令 和和 在在 和和 两个方向上的卷积称为平滑两个方向上的卷积称为平滑WVD，记为，记为， 即：即： （3.6.3） 对对 作用的效果，取决于作用的效果

45、，取决于 的形状。的形状。拘麻啡舌孩士瓶伙浸茶亨派批诵闯劳近鞋咱侵突甫很滓阐陶联坚芝苟铜痞第3章Wigner分布第3章Wigner分布第第3 3章章 Wigner Wigner分布分布 给定一个基本函数给定一个基本函数 ，令：，令： (3.6.4)为为 的移位与伸缩，定义的移位与伸缩，定义 (3.6.5)为为 的小波变换（的小波变换（WaveletTransform，WT），并记），并记 为为 的尺度图（的尺度图（Scalogram），它也是时频），它也是时频分布的一种形式。可以证明，该尺度图也和分布的一种形式。可以证明，该尺度图也和WVD有关系：有关系： （3.6.6)式中式中 是基本函数是基本函数 的的WVD。缺渍寞珍老秉绿鄂脂涟抿狈尸雕柯奄童漏势宾炳跌怖剐恿黑似奇垫掌皑溅第3章Wigner分布第3章Wigner分布