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1、第四章第四章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量一、算符的定一、算符的定义义： 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号量子力学与经典力学相比有两个显著的区别；一个是专门引入波函数描述体系的状态一个是专门引入波函数描述体系的状态3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符另一个是用算符表示力学量另一个是用算符表示力学量表示表示 把函数把函数u变变成成 v， 就是就是这这种种变换变换的的算符算符 例如；称为微商算符x 是相乘算符动量的算符动量的算符动量平方的算符动量平方的算符动能的算符动能的算符坐标的算符坐标的算符就是本身就是本身势能的算符势能的算符
2、能量的算符能量的算符二、代表力学量的算符由算符动能的经典表示三，力学量算符的规则哈密顿量的经典表示力学量算符的规则；如果量子力学中的力学量 F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符 由经典表示式 中将 换为算符 而得出，即得；例如；本征值方程本征值方程能量算符的本征函数能量算符的本征函数能量算符的本征值能量算符的本征值四、算符和它表示的力学量之间的关系有确定值有确定值本征值实数如果算符 表示力学量 F ，体系处于 的本征态 时，力学量 F 有确定值，这个值是 在 态中的本征值五、厄密算符因此量子力学中表示力学量的算符是厄密算符厄密算符厄密算符本征值实数实数实数力学量的本征值都是实
3、数如果对于两任意函数 和 ，算符 满足下列等式设是厄密算符（一）动量算符3.2 动量算符和角动量算符其其分分量量形形式式得得到到如如下下一一组组解解动量算符本征值方程归一化系数的确定如果取具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为-函数箱归一化箱归一化周期性边界条件周期性边界条件在箱子边界的对应点A, A上波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件xyzAAoL如果加上适当的边界条件设想粒子被限制在一个正方形设想粒子被限制在一个正方形箱，箱的边长为箱，箱的边长为 L L则可以用归一化方法来归一这种方法称为箱归一化分立的称为箱归一化讨论：讨论：（2）只有分立谱才
4、能归一化为一， 连续谱归一化为 函数就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值（4）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求L 成反比成反比当 L 时，本征值变成为连续谱（3）（1）（2）角动量）角动量按照经典力学；电子轨道运动的角动量线动量 xz球球 坐坐 标标 y代入得直角坐标与球坐标之间的变换关系 xz球球 坐坐 标标r y得这表明：这表明：r = r (x, y, z) x = x (r, , ) xz球球 坐坐 标标r y利用直角坐标和球坐标关系式两边分别对 x ,y, z 求偏导数得：式两边分别对 x ,y, z 求偏导数得：式两边分别对 x ,y, z 求偏导数得：代入上式得；则角动量算符在球坐标中的表达式为：代入，得有限性要求第一项为零有限性要求第一项为零这正是周期性边界条件这正是周期性边界条件证明是厄密算符单值性的要求
