垂直与弦直径

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1、垂直与弦直径垂径定理垂径定理 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, ,并且平分弦所并且平分弦所对的两条弧的两条弧. .OABCDMCDAB,如如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.垂直与弦直径 根据垂径定理与推根据垂径定理与推论可知：可知：对于一个于一个圆和一条直和一条直线来来说，如果具，如果具备： 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个三个结论。 经过圆心心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所平分弦所对的的优弧弧 平分弦所平分弦所对的劣弧的劣弧推推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，

2、并且：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所平分弦所对的两条弧。的两条弧。OABCDM垂直与弦直径垂径定理及推垂径定理及推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所分弦所对的两条弧的两条弧.平分弦所平分弦所对的一条弧的直径的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所并且平分弦所对的的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分弦的垂直平分线经过圆心心,并且平分并且平分这条弦所条弦所对的两条弧的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所垂直于弦并且平分弦所对的

3、一条弧的直的一条弧的直线经过圆心心,并且平并且平分弦和所分弦和所对的另一条弧的另一条弧.平分弦并且平分弦所平分弦并且平分弦所对的一条弧的直的一条弧的直线经过圆心心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所并且平分弦所对的另一条弧的另一条弧.平分弦所平分弦所对的两条弧的直的两条弧的直线经过圆心心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.垂直与弦直径一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分）平分弦的直径，平分这条弦所条弦所对的弧。的弧。（2）平分弦的直）平分弦的直线，必定，必定过圆心。心。（3）一条直）一条直线平分弦（平分弦（这条弦不是直径），条弦不是直径）， 那么那么这 条直条直线垂直垂直这条弦。条弦。

4、ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)垂直与弦直径(4)弦的垂直平分弦的垂直平分线一定是一定是圆的直径。的直径。（5）平分弧的直）平分弧的直线，平分，平分这条弧所条弧所对的的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦垂直与弦直径填空：1、如图：已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是O的弦，OB=4cm，ABO=300，则O到AB的距离是_cm，AB=_cm.。OAEDCB。

5、 OAB第1题图第2题图ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD）24H垂直与弦直径选择：如图：在O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）A、3 B、2 C、1 D、0。OCDBAA垂直与弦直径1. 1. 平分已知弧平分已知弧 AB .AB .你会四等分弧你会四等分弧ABAB吗? ?AB垂直与弦直径问题2(1)(1)如如图, ,已知已知O O的半径的半径为 6 6 cmcm, ,弦弦 ABAB与半径与半径 OAOA的的夹角角为 30 30 ,求弦求弦 A

6、B AB 的的长. .OAOCABM(2)(2)如如图, ,已知已知O O的半径的半径为 6 6 cm cm, ,弦弦 ABAB与半径与半径 OCOC互相平分互相平分, ,交交点点为 M M , , 求求 弦弦 AB AB 的的长. .630EB垂直与弦直径例例1 1、如、如图，一条公路的，一条公路的转弯弯处是一段是一段圆弧弧( (即即图中弧中弧CD,CD,点点O O是是弧弧CDCD的的圆心心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧弧CDCD上的一点上的一点, ,且且OECDOECD垂足垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求求这段弯路的半径段弯路的半径. .n解解: :连

7、接接OC.OC.OCDEF垂直与弦直径（3 3）. .如如图，有一，有一圆弧形弧形桥拱，拱形的半径拱，拱形的半径为1010米，米，桥拱的跨度拱的跨度AB=16AB=16米，米，则拱高拱高为 米。米。ABCD4O垂直与弦直径练习：半径：半径为的的圆中，有两条平行弦中，有两条平行弦AB 和和CD，并且，并且AB =,CD=，求，求AB和和CD间的距离的距离.EF.EFDABC O(2)ABDC(1)O做做这类问题是，思考是，思考问题一定要一定要全面，考全面，考虑到多种情况到多种情况.垂直与弦直径挑挑战自我自我 1. 如如图，O 与矩形与矩形 ABCD 交于交于 E , F ,G ,H ， AH=4

8、, HG=6,BE=2.求求EF的的长.ABCD0EFGHMN462垂直与弦直径船能船能过拱拱桥吗? ?例例3.3.如如图, ,某地有一某地有一圆弧形拱弧形拱桥, ,桥下水面下水面宽为7.27.2米米, ,拱拱顶高出水高出水面面2.42.4米米. .现有一艘有一艘宽3 3米、船米、船舱顶部部为长方形并高出水面方形并高出水面2 2米的米的货船要船要经过这里里, ,此此货船能船能顺利通利通过这座拱座拱桥吗？垂直与弦直径船能船能过拱拱桥吗解解: :如如图, ,用用 表示表示桥拱拱, , 所在所在圆的的圆心心为O,O,半径半径为Rm,Rm,经过圆心心O O作弦作弦ABAB的垂的垂线OD,DOD,D为垂

9、足垂足, ,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高. .由由题设得得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得此此货船能船能顺利通利通过这座拱座拱桥.垂直与弦直径1.1.过o o内一点内一点M M的最的最长的弦的弦长为1010, ,最短弦最短弦长为8 8, ,那么那么o o的半径是的半径是2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直径直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那么那么C

10、C到到ABAB的距离等于的距离等于3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4, ,圆心心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离的距离为1 1, ,那么那么O O的半径的半径为4.4.如如图, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCON51或或964Cm垂直与弦直径练习：5.在在 中，、中，、AC为互相垂直且相等的两条弦，互相垂直且相等的两条弦，于，于，于于求求证：四：四边形是正方形形是正方形垂直与弦直径1.1

11、.在直径在直径为650mm650mm的的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示所示. .若油面若油面宽AB = 600mmAB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . ED 600CD垂直与弦直径在直径在直径为650mm650mm的的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB = 600mmAB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BAO600 650DCED 600CD垂直与弦直径E小小结: : 解决有关弦的解决有关弦的问题，经常是常是过圆心作弦的垂心作弦的垂线，或，或作垂直于弦的直径，作垂直于弦

12、的直径，连结半径等半径等辅助助线，为应用垂径定用垂径定理理创造条件。造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO垂直与弦直径垂直与弦直径2、在直径、在直径为650650毫米毫米的的圆柱形油槽内装入柱形油槽内装入一些油后，截面如一些油后，截面如图所示所示. .若油面若油面宽AB600毫米毫米，求油的最求油的最大深度大深度.1、已知：、已知： O的半径的半径为6厘米厘米，弦弦AB与半径与半径OA的的夹角角为30.求：弦求：弦AB的的长.垂直与弦直径试一一试驶向胜利的彼岸挑挑战自我填一填自我填一填 1、判断：、判断： 垂直于弦的直垂直于弦的直线平分平分这条弦条弦,并且平分弦所并且平分弦所对的两条的

13、两条弧弧. （ ） 平分弦所平分弦所对的一条弧的直径一定平分的一条弧的直径一定平分这条弦所条弦所对的的另一条弧另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） 圆的两条弦所的两条弦所夹的弧相等，的弧相等，则这两条弦平行两条弦平行. （ ） 弦的垂直平分弦的垂直平分线一定平分一定平分这条弦所条弦所对的弧的弧. （ ）垂直与弦直径练习:如如图，CD为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的的长.OABCDEF垂直与弦直径1 1已知已知O O的半径的半径为1010，弦，弦ABCDABCD，AB=12AB=12

14、，CD=16CD=16，则ABAB和和CDCD的距离的距离为 2 2如如图，已知，已知ABAB、ACAC为弦，弦，OMABOMAB于点于点M M， ONACONAC于点于点N N ，BC=4BC=4，求，求MNMN的的长2 2或或1414A AC CO OM MN NB B提高提高练习:垂直与弦直径3.在在 O中，直径中，直径CEAB于于D，OD=4，弦弦AC= ，求，求 O的半径的半径.ABCDEO垂直与弦直径1.1.过o o内一点内一点M M的最的最长的弦的弦长为1010, ,最短弦最短弦长为8 8, ,那么那么o o的半径是的半径是2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直径

15、直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那么那么C C到到ABAB的距离等于的距离等于3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4, ,圆心心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离的距离为1 1, ,那么那么O O的半径的半径为4.4.如如图, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则AB= ,AB= ,AC= ,OA= .AC= ,OA= .BAMCON51或或964Cm垂直与弦直径O OC CD DA AB B2.2.如如图，ABAB是是O O的直径，的

16、直径，AB=10AB=10，弦，弦AC=8AC=8，D D是是ACAC的中点，的中点，连结CDCD，求，求CDCD的的长. .E垂直与弦直径3.3.如如图为一一圆弧形拱弧形拱桥，半径，半径OA = 10mOA = 10m，拱，拱高高为4m4m，求拱，求拱桥跨度跨度ABAB的的长. . 4.4.一条排水管的截面如一条排水管的截面如图所示所示已知排水管的半径已知排水管的半径 OB=10 OB=10 ，水，水面面宽 AB=16 .AB=16 .求水深求水深. .DE垂直与弦直径ABCP5. 如如图，AB是是 O的任意一条弦，的任意一条弦，OCAB，垂足，垂足为P，若，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能求出你能求出这面面镜子的半径子的半径吗？O714垂直与弦直径CDABEFG 求作弧求作弧ABAB的四等分点的四等分点. . mn垂直与弦直径