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1、定义：定义：设设 X，Y 是两个论域，若有一规则是两个论域，若有一规则 f ，使每一使每一个个 xX 唯一确定一个唯一确定一个 yY 与之对应，则称与之对应，则称 f 是从是从 X 到到 Y 的一个的一个映射映射，记为，记为f : X Y， x yY，其中其中 x 称为称为 y 的的原象原象；y 称为称为 x 的的象象，记作，记作 y = f (x)；X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域；记；记f ( X ) = y x X , 使使 y = f (x)Y ，称称 f ( X ) 为映射为映射 f 的的值域值域。1定义：定义：设设 f 是从是从 X 到到 Y 的一个映射。的一个映射。(
2、1 ) 对任意对任意 A X，记记f ( A) = y xA, 使使 y = f (x)Y ，这是这是 Y 的一个子集，称为的一个子集，称为 A 在在 f 作用下的象作用下的象( 当当 A = 时，规定时，规定 f ( A) = )。( 2 ) 对任意对任意 B Y，记记f -1(B) = xxX, 使使 f (x)B ，这是这是 X 的一个子集，称为的一个子集，称为在在 f 作用下的原象作用下的原象( 当当 B = 时，规定时，规定 f -1(B) = )。23.4 模糊集合的扩张原理模糊集合的扩张原理3.4.1 经典集合的扩张原理经典集合的扩张原理定义定义 3.4.1 设设 X、Y 是经典
3、集合，若给定是经典集合，若给定 X 到到 Y 的映射的映射 f：XY， x |f (x) = y, 则则 f 可以诱导出两个映射：一个是可以诱导出两个映射：一个是P (X) 到到P (Y) 的的映射，一个是映射，一个是 P (Y) 到到 P (X) 的映射，前者仍记的映射，前者仍记为为 f ，后者记为后者记为 f 1，它们具体的定义如下：它们具体的定义如下：3 f 诱导出的第一个映射诱导出的第一个映射 是一个是一个P (X) 到到P (Y) 的映射，仍记为的映射，仍记为 f，它的它的定义如下：定义如下：f : P (X ) P (Y ), A f ( A )P (Y ),此处此处 f ( A
4、) = yY xA , 使使 y = f (x)，我我们称们称 f (A) 为为 A 的象的象。4 f 诱导出的第二个映射诱导出的第二个映射 是一个是一个P (Y) 到到P (X) 的映射，记为的映射，记为 f 1，它的它的定义如下：定义如下：f 1: P (Y) P (X)， B f 1(B) P (X )，此处此处 f 1(B) = xX 使使 f (x)B ， 我们称我们称 f 1(B) 为为 B 的逆象的逆象 (原象原象)。 5 由由 y f (x) 这一个映射诱导出两个集映射这一个映射诱导出两个集映射 f (A) 及及 f 1(B)，这种情况称为这种情况称为经典扩张原理经典扩张原理。
5、参。参见图见图 3.25。例：例： f： R R， x | y = f (x) = x2,对对 A = -1，1 ， f ( A ) = 0，1； 对对 B = 1， 4， f 1(B) = -2，-1 1，2 。6图图 3.25 经典扩张原理示意图经典扩张原理示意图f (A)y = f (x)yyy = f (x)Axxf -1 (B)B007命题命题 3.4.1 若用特征函数来表示集若用特征函数来表示集 f (A) 与集与集 f 1(B)，则有则有 f 1(B)(x) = B( f(x) ), x X . (3.4.2(b)证明证明 先证先证 ( 3.4.2 (a) )。 yY, f (A
6、) (y)=1 y f (A) 8 xA 使使 y = f (x) xX 使使 A(x) = 1 且且 y = f (x) A(x) x f- -1 (y) =1 ,故有故有 ( 约定约定 = 0 )。9再证再证 ( 3.4.2 (b) )。xX， f 1(B)(x) = 1 x f 1(B) f (x) B B( f(x) ) =1，故有故有 f 1(B)(x) = B( f(x) )。103.4.2 模糊集合的扩张原理模糊集合的扩张原理 进一步，我们能否将进一步，我们能否将 f 的定义域和值域分别扩的定义域和值域分别扩张到张到F ( X ) 和和F (Y ) 呢？呢？定义定义 3.4.2
7、设设 X、Y 是经典集合，给定是经典集合，给定 X 到到 Y 的映的映射射 f：XY， x |f (x) = y, 则则 f 可以诱导出一个可以诱导出一个F ( X ) 到到 F (Y ) 的映射，的映射，f：F ( X ) F (Y )，11A |f (A)，以及一个以及一个F (Y ) 到到F ( X ) 的映射，称为的映射，称为逆映射逆映射f 1： F (Y ) F ( X ) ， B | f 1 (B)。这里这里 f (A) 与 f 1 (B) 的隶属函数分别定义为：的隶属函数分别定义为：12以上两个映射常称为以上两个映射常称为扩张映射扩张映射，参见图，参见图3.26及图及图3.27。
8、x1x2x3y1y2y1= f (x1)y2= f (x2)y2= f (x3)图图 3.26 模糊集映射模糊集映射 f (A)XYA(x)f (A)(y)13x1x2x3y1y2x1= f -1 (y1)x2 f -1 (y2)x3 f -1(y2)图图 3.27 模糊集逆映射模糊集逆映射 f -1 (B)XYf -1 (B)(x)B(y)14例例 3.4.1 设设 X= x1, x2, x3, x4, x5 ，Y= a, b, c, d 给定映射如下：给定映射如下：f : XY, ,x f (x)；f (x) 的定义为的定义为15现有现有 F (X)， F (Y) ，按扩张原理求按扩张原理
9、求 f (A) 、f -1 (B)。解：解：分别对每个元素求隶属度。按扩张原理有分别对每个元素求隶属度。按扩张原理有16故故17又又所以所以18例例 设设 X，Y 为实数域，为实数域，X 上的模糊集上的模糊集A = 0.4/-2 + 0.8/-1 + 1/0 + 0.7/1 + 0.5/2，从从 X 到到 Y 的映射的映射 f ：x x2，则则 A f (A)B 为：为：B1/0 + 0.8/1 + 0.5/4。又又f 1(B) 0.5/-2 + 0.8/-1 + 1/0 + 0.8/1 + 0.5/2 。19 扩张原理可以用截集的形式表示。扩张原理可以用截集的形式表示。定理定理 3.4.1
10、设已知设已知 f：XY， x |f (x) ，由扩张原由扩张原理可得理可得 f：P (X) P (Y) 及及 F (X) F (Y) ， f 1：P (Y) P (X) 及及 F (Y) F (X) ，(1) 若若 AF (X)，则则 (2) 若若 BF (Y)，则则 20证明证明 (1) yY，有有2122 下面来讨论扩张原理与下面来讨论扩张原理与 截集的相容性。截集的相容性。命题命题 设设 0，1，B() P (X)，即即 B() 是是与与 有关的有关的 X 上的上的一个普通集合。如果一个普通集合。如果 AF (X)，且且则有则有B() A 。23推论推论 模糊子集的模糊子集的 截集的象包
11、含在模糊子集的截集的象包含在模糊子集的象的象的 截集之中，即截集之中，即f ( A ) f ( A) ， 0，1。定理定理（Nguyen 定理定理） 对任意对任意 0，1， f ( A ) f ( A) 的充分必要条件是：对任意的充分必要条件是：对任意 yY，存在存在 xf 1(y) 使得使得243.4.3 多元扩张原理多元扩张原理1. 经典集的笛氏积经典集的笛氏积 定义定义 3.4.3 设设 X1，X2，Xn 是是 n 个经典集合，个经典集合，它们的笛卡尔它们的笛卡尔( Descartes ) 积定义为积定义为X1X2 Xn =(x1 , x2 , , xn )xiXi , 1in,笛卡尔积
12、笛卡尔积 X1X2 Xn 又又可记为可记为25 如如用用特征函数来表示笛卡尔特征函数来表示笛卡尔 ( Descartes ) 积集积集，则有则有 x = (x1 , x2 , , xn ) X =故有故有262. 模糊集的笛氏积模糊集的笛氏积 将上述特征函数推广成隶属函数，便可定义模将上述特征函数推广成隶属函数，便可定义模糊集的笛氏积集。糊集的笛氏积集。 定义定义 3.4.4 设设 Ai F (Xi) ( i =1，2，n)， (x1 , x2 , , xn ) 则则 A1A2An F ( X1X2Xn )，称称 A1 A2An 为为 A1, A2, , An 的笛氏积的笛氏积集集, 记为记为
13、27命题命题 3.4.2证明证明28所以所以同理可证同理可证由命题由命题 3.4.2 及分解定理立即可得及分解定理立即可得推论推论293. 多元扩张原理多元扩张原理定义定义 3.4.5 设设f : X = X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym = Y, x=(x1, x2, , xn) f (x1, x2, , xn) = (y1, y2, , ym)=y。那么，由那么，由 f 可诱导出映射可诱导出映射30f : F (X1) F (X2) F (Xn) F ( Y1Y2 Ym ), ( A1, A2, , An ) f ( A1, A2, , An ) 其中其中 f ( A1, A2, , A
14、n ) 的隶属函数规定如下：的隶属函数规定如下：31以及映射以及映射f -1: F (Y1) F (Y2)F (Ym) F ( X1X2Xn ), ( B1, B2, , Bm ) f -1( B1, B2, , Bm ),其中其中 f 1( B1, B2, , Bm ) 的隶属函数规定如下：的隶属函数规定如下：32以上两个映射称以上两个映射称多元扩张映射多元扩张映射。参见图。参见图 3.28。x1x1xnxny1ymy=(y1,ym) =f(x1,xn) =f(x)X1Y1XnYmx=(x1,xn)y=(y1,ym)图图 3.28 多元扩张原理示意图多元扩张原理示意图33由定义由定义 3.4
15、.5、定义定义 3.4.2 及定义及定义 3.4.4 立即可得立即可得 f ( A1, A2, , An ) = f ( A1 A2 An )， f -1( B1, B2, , Bm ) = f -1( B1 B2 Bm )。34命题命题 3.4.3 设设 f : X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym，又又设设 f 与与 f 1 是两个多元扩张映射，则有下述类似是两个多元扩张映射，则有下述类似分解定理的形式：分解定理的形式：35证明证明 只证只证 (1) 的第一个等式的第一个等式又由经典扩张原理有又由经典扩张原理有36故故将将 (3.4.12) 式式代代入入 (3.4.11) 式式即即证证得得
16、(1) 的的第第一一等式成立。其余等式类似可证。等式成立。其余等式类似可证。37二元二元扩张原理隶属函数形式：扩张原理隶属函数形式： 设设 f 是是 X1 X2 到到 Y 的映射，的映射， A1 ， A2 分别分别是是 X1，X2 上的两个模糊集上的两个模糊集，则由则由 f 可以诱导出可以诱导出 F (X1 ) F ( X2 ) 到到 F (Y ) 的映射，仍记为的映射，仍记为 ff : F (X1 ) F ( X2 ) F (Y ),A1 A2 f ( A1 A2 ) = B其隶属函数为，其隶属函数为，( y Y )38其隶属函数还可以表示为，其隶属函数还可以表示为，（约定约定 = 0） (
17、 y Y ) 39二元扩张原理的截集形式：二元扩张原理的截集形式： 设设 f 是是 X1 X2 到到 Y 的映的映射，射， A1，A2 分别是分别是 X1，X2 上的两个模糊集上的两个模糊集，则由则由 f 可以诱导出可以诱导出 F (X1 ) F ( X2 ) 到到 F (Y ) 的映射，的映射，仍记为仍记为 ff : F (X1 ) F ( X2 ) F (Y )，A1 A2 f ( A1 A2 ) = B，404. 实数集实数集 R上的二元运算上的二元运算“ * ”扩张成相应的模扩张成相应的模糊集运算糊集运算 有了有了多元扩张原理，就可以把实数集多元扩张原理，就可以把实数集 R 上的上的任
18、意二元运算任意二元运算 “ * ” 扩张成扩张成 R 上模糊集间相应上模糊集间相应的运算。的运算。参见图参见图 3.29。41x1x2y2y1zABRA*Bz=x*y图图3.29 二元运算扩张成模糊集运算二元运算扩张成模糊集运算R42 设设是实数域是实数域 R 上的二元运算，即上的二元运算，即： R R R ，(x , y) x y ，根据二元扩张原理，由这个映射可诱导出根据二元扩张原理，由这个映射可诱导出F (R) F (R) 到到F (R) 的映射，即的映射，即：F (R) F (R) F (R),(A , B ) AB,其隶属函数为其隶属函数为( A B )(z) = x y = z A
19、(x) B(y)。43特别，当特别，当 为为 ， 时，时， A B 分别分别为：为： zR( A + B )(z) = x + y = z A(x) B(y)，( AB )(z) = xy = z A(x) B(y)，( A B )(z) = x y = z A(x) B(y)， ( AB )(z) = x y = z A(x) B(y)， ( y0 )( A B )(z) = x y = z A(x) B(y)，( A B )(z) = x y = z A(x) B(y)。44或者，对或者，对 zR4546例例 3.4.2 设设 X = Y = Z = 0, 1, 2, , n ( n 7
20、), 求求 A+B = “近似于近似于5”。F (X)，F (Y)，47解：解： (A+B)(0) = A(0)B(0) = 0 ;(A+B)(1) = (A(1)B(0) (A(0)B(1) = 0；(A+B)(2) = (A(0)B(2) (A(1)B(1) (A(2)B(0) = 0 ;(A+B)(3) = (A(0)B(3) (A(1)B(2) (A(2)B(1) (A(3)B(0) = 0.2 ;(A+B)(4) = (A(1)B(3) (A(2)B(2) 略去为略去为0的项的项 (0.3 1) (10.2) = 0.3;48(A+B)(5) = (A(1)B(4) (A(2)B(3
21、) (A(3)B(2) = 0.2 1 0.2 =1 ;(A+B)(6)=(A(3)B(3) = 0.3 ;(A+B)(7)=(A(3)B(4) = 0.2 。故得故得 49例例 （随机变量和的分布律随机变量和的分布律） 一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为这一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为这两个部件长度的和，已知这两个部件的长度两个部件长度的和，已知这两个部件的长度 和和 为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表。求为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表。求此仪器长度的分布律。此仪器长度的分布律。91011P0.30.50.267P0.40.650解：解：设设仪器总仪器总长度为长度
22、为 = + ，其可能取值如下表：其可能取值如下表：P( =15) = P( =9， =6 ) = P( =9 ) P( =6 ) = 0.30.4 = 0.12，P( =16) = P( =9， =7 ) + P( =10， =6 ) = P( =9 ) P( =7 ) + P( =10 ) P( =6 ) 9910101111676767 = + 15161617171851 = 0.30.6 + 0.5 0.4 = 0.38，P( =17) = P( =10， =7 ) + P( =11， =6 ) = P( =10 ) P( =7 ) + P( =11 ) P( =6 ) = 0.50.
23、6 + 0.2 0.4 = 0.38，P( =18) = P( =11， =7 ) = P( =11 ) P( =7 ) = 0.20.6 = 0.12，因而因而 的分布律如表：的分布律如表： 15161718P0.120.380.380.1252例例 （模糊集和的隶属度模糊集和的隶属度） 一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为这一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为这两个部件长度的和，已知这两个部件的长度两个部件长度的和，已知这两个部件的长度 A 和和 B 为两个模糊集，其隶属度如下表。求此仪器长度的为两个模糊集，其隶属度如下表。求此仪器长度的隶属度。隶属度。A910110.30.50.2B
24、670.40.6AB53解：解：设设仪器总仪器总长度为长度为 C = A+B ，其可能取值如下表：其可能取值如下表： (C=15) = ( A=9，B=6 ) = ( A=9 ) ( B=6 ) = 0.30.4 = 0.3， (C=16) = ( A=9，B=7 ) ( A=10，B=6 ) = ( A=9 ) ( B=7 ) ( A=10 ) ( B=6 )A 9910101111B676767C =A + B 15161617171854 = 0.30.6 0.50.4 = 0.4， (C=17) = ( A=10，B=7 ) ( A=11，B=6 ) = ( A=10 ) ( B=7
25、) ( A=11 ) ( B=6 ) = 0.50.6 0.20.4 = 0.5， (C=18) = ( A=11，B =7 ) = ( A=11 ) ( B=7 ) = 0.20.6 = 0.2， 因而因而 C 的的隶属度如表：隶属度如表：C 151617180.30.40.50.255 当当 为为 ， 时，时，二元扩张运算二元扩张运算“ * ” 用截集的形式表示为用截集的形式表示为:56 另外，关于除法，可视其为另外，关于除法，可视其为 ： R(R0) R，故故AB =0, 1 ( AB ),其中其中 B 的论域为的论域为 R0。57模糊数和模糊算术模糊数和模糊算术定义定义 3.4.6 设
26、设 N 是定义在实数域是定义在实数域 R 上的模糊集，如果：上的模糊集，如果： (1) x0R ，使得使得 N(x0 ) = 1； (2) (0，1 ，N= xxR，N(x) 为有限闭区间，则称为有限闭区间，则称 N 为为( R 上的上的) 模糊数模糊数。 根据上述定义和分解定理，模糊数根据上述定义和分解定理，模糊数 N 可以表示为可以表示为58定理定理 设设 N 为为 R 上的模糊集，则上的模糊集，则 N 为模糊数为模糊数 存在存在实数实数 m，n (m n) 使得使得式中式中 L(x) 是右连续的单调不减函数，是右连续的单调不减函数，0 L(x) 1，且且 lim x- L(x) = 0；
27、 R(x) 是左连续的单调不增函数，是左连续的单调不增函数，0 R(x) 1 ，且且 lim x R(x) = 0 。 59 如果如果 L(x) 和和 R(x) 均为线性函数，且均为线性函数，且 m n ，则称则称 N 为为梯形模糊数梯形模糊数，简记为，简记为 N = ( l, m, n, r )。 如果如果 L(x) 和和 R(x) 均为线性函数，且均为线性函数，且 m = n ，则称则称 N 为为三角模糊数三角模糊数，简记为，简记为 N = ( l, m, r )。60梯形模糊数梯形模糊数 N = ( l, m, n, r ) 的隶属函数的隶属函数61梯形模糊数梯形模糊数 N = ( l,
28、 m, n, r ) 的隶属函数图形的隶属函数图形 01N(x)nrxlm62三角模糊数三角模糊数 N = ( l, m, r ) 的隶属函数的隶属函数63三角模糊数三角模糊数 N = ( l, m, r ) 的隶属函数图形的隶属函数图形 01N(x)rxlm64定义定义 3.4.7 模糊数模糊数 N 被称为被称为模糊正数模糊正数(或或模糊负数模糊负数)，如果如果 N(x)=0，x 0)。 设设 M，N 为两个为两个模糊数，对模糊数，对 R 上任意的二元运算上任意的二元运算 ，： R R R ，(x , y) x y ，65根据二元扩张原理，根据二元扩张原理， 可以扩张成可以扩张成 F (R)
29、 F (R) 到到F (R) 的模糊数运算的模糊数运算 M N，其隶属函数为其隶属函数为( M N )(z) = x y = z M(x) N(y)。上式称为模糊数运算上式称为模糊数运算 的的 max - min 卷积形式卷积形式。 由二元扩张原理的截集形式我们还有，由二元扩张原理的截集形式我们还有，66定义定义 3. 4. 8 设设 是是 R 上的二元运算，即上的二元运算，即： R R R ，(x , y) x y 。 对对经典集合经典集合 A，B 定义定义，A B = zR xA， yB，使使 x y = z 。定理定理 设设 a，b，c，d 为闭区间，为闭区间，当当 表示普通表示普通的四
30、则运算或取大、取小运算时，我们可以得到如的四则运算或取大、取小运算时，我们可以得到如下的下的区间数运算：区间数运算：67(1) a，b + c，d = a + c，b + d ；(2) a，b c，d = a d，b c ；(3) a，b c，d = acadbcbd, acadbcbd ；(4) a，bc，d = a/ca/db/cb/d, a/ca/db/cb/d , 这里这里 0 c，d ；(5) a，b c，d = a c，b d ；(6) a，b c，d = a c，b d ；(7) a，b = a b， a b 。68例例 A=2, 5，B = 1, 6，使用上述定理使用上述定理，
31、得，得A + B = 2, 5 + 1, 6 = 1, 11;A B = 2, 5 1, 6 = 8, 4;A B = 2, 5 1, 6 = 12, 30;AB = 2, 51, 6 = 2, 5;A B = 2, 5 1, 6 = 1, 6;A B = 2, 5 1, 6 = 2, 5;3 A = 32, 5 = 6, 15;3 A = 32, 5 = 15, 6。69例例 设有某项工程分两个阶段进行施工，第一阶段约设有某项工程分两个阶段进行施工，第一阶段约需要需要 10 至至 11.5 个月完成，第二阶段约需要个月完成，第二阶段约需要 7 至至 7.5 个月完成，则全部工程共约需要个月完
32、成，则全部工程共约需要10, 11.5 + 7, 7.5 = 17, 19，即即 17 至至 19 个月可以完成个月可以完成。 又每又每施工一个月，需要支付工人工资施工一个月，需要支付工人工资 2 至至 2.1 万万元，则全部工程应支付工人工资约为元，则全部工程应支付工人工资约为17, 192, 2.1 = 34, 39.9，即即 34 至至 39.9 万元。万元。70例例 设设 M，N 是两个是两个模糊数，模糊数，其隶属函数分别为其隶属函数分别为求：求： M +N，M N，M N，MN。 71解：解：对对 ( 0，1， 有M = + 2, 4 , N = 2 + 3, 6 .(1) M +
33、N = 3 + 5, 10 2, 由由 x = 3 + 5, 可得：可得： = (x 5) / 3, ( 5 x 8 );由由 x = 10 2, 可得：可得： = (10 x) / 2, ( 8 x 10 ),即在即在 ( 0，1 水平上，水平上，M + N 所对应的截集的左、所对应的截集的左、72右端点分别为右端点分别为 L(x)=(x 5) / 3, ( 5 x 8 ); R(x) = (10 x) / 2, ( 8 x 10 )。故故 M + N 的隶属函数为的隶属函数为73命题命题 (1) 对于三角模糊数对于三角模糊数 M = ( ml , m, mr ), N = ( nl , n
34、, nr ),有有 M + N = ( ml + nl , m + n, mr + nr )， M N = ( ml nr , m n, mr nl )。 (2) 对于梯形模糊数对于梯形模糊数M = ( ml , m1 , m2 , mr ), N = ( nl , n1 , n2 , nr ),有有 M + N = ( ml + nl , m1 + n1 , m2 + n2 , mr + nr ), M N = ( ml nr , m1 n2 , m2 n1 , mr nl )。74 注注: (1) 两个三角模糊数的乘积、商已不再是三两个三角模糊数的乘积、商已不再是三角模糊数角模糊数 ( s
35、ee模糊多准则决策理论与应用模糊多准则决策理论与应用p19， 例例 2.10)。 (2) 两个梯形模糊数的乘积、商已不再是梯两个梯形模糊数的乘积、商已不再是梯形模糊数形模糊数。75L-R 模糊数及其运算模糊数及其运算定义定义 3. 4 .9 设映射设映射 f : R 0, 1，如果如果 f 满足以满足以下条件：下条件： (1) f (x) = f ( x), (2) f (0) = 1, (3) f (x) 在区间在区间 0, ) 单调不增，单调不增，则称则称 f (x) 为模糊数的为模糊数的基准函数基准函数。76定义定义 3. 4 .10 设设 L(x) 和和 R(x) 分别为模糊数分别为模
36、糊数 A 的左、的左、右基准函数，如果右基准函数，如果则称则称 A 为为 L-R 模糊数模糊数，记为，记为 A = (m; , )LR，其中其中 m 称为称为 A 的均值，的均值， ， 称为称为 A 的的左、右扩散。并左、右扩散。并约定约定 = = 0 时，时，L-R 模糊数退化为普通实数，即模糊数退化为普通实数，即 (m; 0, 0)LR = m 。77定理定理 设设 M = (m; , )LR，N = (n; , )LR ，则则 (1) M + N = (m + n; + , + )LR ， (2) M N = (m n; + , + )LR 。例例 (see模糊多准则决策理论与应用模糊多
37、准则决策理论与应用P23 例例 2. 11 )。注注: 两个两个L-R 模糊数的乘积、商也不再是模糊数的乘积、商也不再是 L-R 模糊数模糊数。78简单加权求和的计算公式为简单加权求和的计算公式为79设设 M 和和 N 是两个梯形模糊数，是两个梯形模糊数，M = ( a1, b1, c1, d1 )， N = ( a2, b2, c2, d2 )。则则 M 与与 N 的模糊积可定义的模糊积可定义为：为：MN = a ( L1， L2 )，b，c, d ( R1， R2)，式中式中a = a1 a2， b = b1 b2， c = c1 c2， d = d1 d2， L1= ( b1a1 ) (
38、 b2a2 )， L2 = a2( b1a1 ) +a1( b2a2 )，R1 = ( d1c1 ) ( d2c2 )， R2 =d2( d1c1 ) + d1( d2c2 )。80梯形模糊数乘法公式的推导梯形模糊数乘法公式的推导因为梯形模糊数的隶属函数曲线在区间因为梯形模糊数的隶属函数曲线在区间 ai , bi 和 ci, di 内均为直线段，故有：内均为直线段，故有： i从从 x = x1 x2，容易导出容易导出81对于形式为对于形式为的模糊数，其加法运算十分简单，只要将模糊数表的模糊数，其加法运算十分简单，只要将模糊数表示式中的相应参数加到一起就行了。下面的计算公示式中的相应参数加到一起
39、就行了。下面的计算公式可用于模糊式可用于模糊 SAW 方法的求和步骤：方法的求和步骤：82显然，上述模糊和的隶属函数不再是线性函数，借显然，上述模糊和的隶属函数不再是线性函数，借助于有关参数，它可以表示为助于有关参数，它可以表示为式中式中83842.2 模糊决策基本原理模糊决策基本原理 下面介绍模糊规划的三个基本概念：模糊目标、下面介绍模糊规划的三个基本概念：模糊目标、模糊约束、模糊决策，它们是模糊约束、模糊决策，它们是 Bellman 和和 Zadeh 于于1970 年提出的。年提出的。 定义定义 2.9（模糊目标模糊目标）设设 X 代表可能采用的全部代表可能采用的全部策略。模糊目标策略。模
40、糊目标 G 是决策者对目标的某种不分明的要是决策者对目标的某种不分明的要求，被表示为论域求，被表示为论域 X 上的一个模糊集合，其隶属函数上的一个模糊集合，其隶属函数G(x) 反映策略反映策略 x 相对于目标相对于目标 G 所能达到的满意程度。所能达到的满意程度。85例例 2. 12 设设 X = R+, G = “x 明显地小于明显地小于10 ”，则，则隶属函数隶属函数 G(x) 可以定义为可以定义为本例中决策目标的模糊性源于目标陈述中的修饰副本例中决策目标的模糊性源于目标陈述中的修饰副词词“明显地明显地”，而隶属函数，而隶属函数 G(x) 的确定似乎带有某的确定似乎带有某些主观随意性，不唯
41、一。些主观随意性，不唯一。86 定义定义 2. 10（模糊约束模糊约束）模糊约束模糊约束 C 是对策略运是对策略运作的一种不严格的限制，表示为论域作的一种不严格的限制，表示为论域 X 上的一个模糊上的一个模糊集合，其隶属函数集合，其隶属函数 C(x) 指出策略指出策略 x 符合约束条件的程符合约束条件的程度。度。 例例 2. 13 设设 X = R+, C = “ x 接近于接近于7 ”，隶属，隶属函数函数 C(x) 可以定义为可以定义为87 注：注：模糊目标和模糊约束是被定义在同一模糊目标和模糊约束是被定义在同一个策略空间中的两个模糊子集，它们具有同等个策略空间中的两个模糊子集，它们具有同等
42、的地位，因而在本质上起着相同的作用。目标的地位，因而在本质上起着相同的作用。目标和约束之间的这种对称性质为我们提供了一种和约束之间的这种对称性质为我们提供了一种可能性：即用相对简便的方法把目标和约束直可能性：即用相对简便的方法把目标和约束直接联系在一起，既能最大限度地实现目标，又接联系在一起，既能最大限度地实现目标，又能最大限度地满足约束。能最大限度地满足约束。88定义定义 2. 11 (模糊决策模糊决策) 设设 G 和和 C 是是策略空间策略空间 X 中的中的模糊目标与模糊约束模糊目标与模糊约束 ，则模糊决策，则模糊决策 D 也是也是 X 中的一中的一个模糊集合，它被定义为个模糊集合，它被定
43、义为G 和和C 的交集：的交集：D = G C ，即，即 D 的隶属函数为的隶属函数为D(x) = G(x) C(x), xX。 又记又记 M * = xm | xX, D(xm) D(x) ，则称则称 M * 为最大决策集合。如果为最大决策集合。如果 M * 中只有一个元素中只有一个元素 x*，则称则称 x* 为极大化决策，其隶属度为为极大化决策，其隶属度为D(x* ) = xX (G(x) C(x)。89例例 2. 14 设设 X = R+, 模糊目标为模糊目标为G = “ x 明显地小明显地小于于10 ”，其隶属函数见例，其隶属函数见例 2. 12；模糊约束为模糊约束为 C = “ x
44、接近于接近于7 ”，其隶属函数见例，其隶属函数见例 2. 13 ，则则 D = G C 的隶属函数为的隶属函数为其中极大化决策其中极大化决策 x* = 5.815，对应的隶属度为对应的隶属度为D(x*) = 0.42。(see 图 2.7)90 如果我们有如果我们有 n 个模糊目标：个模糊目标：G1, G2 , , Gn，和和 m 个模糊约束：个模糊约束：C1, C2, , Cm，它们都定义在它们都定义在同一策略空间同一策略空间 X 中，并具有相同的重要性，则模糊中，并具有相同的重要性，则模糊决策决策这样的决策方式被称为这样的决策方式被称为悲观型决策悲观型决策；如果模糊决策；如果模糊决策则这样
45、的决策方式被称为则这样的决策方式被称为乐观型决策乐观型决策。91例例2. 15 某工厂同时招聘熟练的钳工和车工。一某工厂同时招聘熟练的钳工和车工。一应聘者的钳工技术符合招聘要求的程度为应聘者的钳工技术符合招聘要求的程度为B(x) = 0.8 ( 即模糊集即模糊集“熟练钳工熟练钳工”的隶属函数为的隶属函数为B(x) )，其车工技术符合招聘要求的程度为其车工技术符合招聘要求的程度为L(x) = 0.7 ( 即即模糊集模糊集“熟练车工熟练车工”的隶属函数为的隶属函数为L(x) )，则对该则对该应聘者的适当的考评结果应为应聘者的适当的考评结果应为D = B L = 0.8 0.7 = 0.8.922.
46、 Bonissone 方法方法 Bonissone (1982) 假定决策问题中的精确概念与假定决策问题中的精确概念与模糊概念都可以采用模糊概念都可以采用 L-R 型的梯形模糊数来表示。型的梯形模糊数来表示。他之所以选择他之所以选择 L-R 型的梯形模糊数型的梯形模糊数 ，是因为这一类，是因为这一类模糊数具有良好的近似运算性质。模糊数具有良好的近似运算性质。 设设 M = (a, b; , ) 和和 N = (c, d; , ) 是两个是两个 L-R 型的梯形模糊数，表型的梯形模糊数，表 4.6 给出了给出了 M，N 之间有关之间有关模糊运算的近似公式。模糊运算的近似公式。93 Bonisso
47、ne 选用的模糊效用函数也是简单加权平选用的模糊效用函数也是简单加权平均的形式，即均的形式，即式中式中 wj 和和 xij 是普通实数或是普通实数或 L-R 型梯形模糊数。借助型梯形模糊数。借助于表于表 4.6 种的近似算法，其计算效率可大大提高。在种的近似算法，其计算效率可大大提高。在大多数情况下，大多数情况下，Bonissone 方法的精度可以满足实际决方法的精度可以满足实际决策的要求。鉴于任何方法都不可能完全表示客观事物策的要求。鉴于任何方法都不可能完全表示客观事物的模糊性，适度的近似应该是允许的，有时甚至是必的模糊性，适度的近似应该是允许的，有时甚至是必要的。要的。94该方法的主要缺陷
48、是当模糊权值该方法的主要缺陷是当模糊权值 wj 和模糊指标值和模糊指标值 xij被限制在被限制在 0，1 区间内时，不能保证模糊效用值也区间内时，不能保证模糊效用值也落在给定的区间内。这或许是因为落在给定的区间内。这或许是因为 Bonissone 方法中方法中的模糊权值没有归一化的缘故。这也是它与的模糊权值没有归一化的缘故。这也是它与 Dubois-Prade 方法的区别之一。方法的区别之一。 例例 4.5 采用采用 Bonissone 方法重新求解例方法重新求解例 4.4 中的中的多属性决策问题。首先将原问题中经定量转换后得多属性决策问题。首先将原问题中经定量转换后得到的梯形模糊数从一般表示
49、形式改写成到的梯形模糊数从一般表示形式改写成 L-R 型的模型的模糊数形式。二者的差别及其对照见表糊数形式。二者的差别及其对照见表 4.7。95各方案的模糊效用值计算如下：各方案的模糊效用值计算如下：96类似的，我们可算得类似的，我们可算得上述模糊效用值的隶属函数曲线见图上述模糊效用值的隶属函数曲线见图 4.4。 由于此例中的三个模糊效用值分离相当清楚，由于此例中的三个模糊效用值分离相当清楚，即使不采用第三章介绍的模糊集排序方法，凭直观即使不采用第三章介绍的模糊集排序方法，凭直观也能判断也能判断出出 A3 是最佳投资方案，是最佳投资方案，A2 次之，次之，A1 最差。最差。97x01321U3
50、U2U1图图 4.4 投资方案的模糊效用值投资方案的模糊效用值98（2）模糊权值和模糊指标值未知的决策情形模糊权值和模糊指标值未知的决策情形 回顾回顾 Saaty (1977 ) 提出的为求解属性权值的特征提出的为求解属性权值的特征矢量法矢量法 (见本章第一节见本章第一节)，其模糊性是通过互逆矩阵中，其模糊性是通过互逆矩阵中权重比的不相容性来间接表示的，并没有直接用到模糊权重比的不相容性来间接表示的，并没有直接用到模糊集的相关理论集的相关理论。Laahoven 和和 Pedrycz (1983 ) 以及以及Buckley (1985) 认为，既然决策者的意见本质上是模糊认为，既然决策者的意见本
51、质上是模糊的，两两比较的结果就应该表示成模糊数，而不应该是的，两两比较的结果就应该表示成模糊数，而不应该是实数比的形式，故建议采用下面的模糊互逆矩阵：实数比的形式，故建议采用下面的模糊互逆矩阵：99式中式中 mij 是三角模糊数或梯形模糊数，是三角模糊数或梯形模糊数， mij 与与 mji 互为互为倒数。模糊指标值倒数。模糊指标值 xij = ( x1j , xmj ), j =1, , n 可可从上面的模糊互逆矩阵中导出。现以从上面的模糊互逆矩阵中导出。现以 Buckley 的方法的方法为例说明模糊层次分析的基本程序。为例说明模糊层次分析的基本程序。 设设 m 为梯形模糊数，为梯形模糊数，m
52、ii=(1, 1, 1, 1), i =1, , m; 100mij = ( aij, bij, cij, dij ), j = 1, , m, i j. 定义定义101则方案则方案 Ai 在属性在属性 Cj 上的模糊指标值上的模糊指标值 xij 可写为可写为具有隶属函数具有隶属函数102式中式中式中式中 0，1 为某选定的置信水平。为某选定的置信水平。103 类似地，我们可定义下面的模糊互逆矩阵以导出类似地，我们可定义下面的模糊互逆矩阵以导出所需的模糊权重矢量。即所需的模糊权重矢量。即 该矩阵中的元素表示属性之间相对重要程度两两该矩阵中的元素表示属性之间相对重要程度两两比较的结果。比较的结果
53、。 在求出了所需的模糊权值和模糊指标值之后，表在求出了所需的模糊权值和模糊指标值之后，表示每一方案价值大小的模糊效用值可采用下面模糊示每一方案价值大小的模糊效用值可采用下面模糊104SAW 的计算公式来确定，的计算公式来确定， 梯形模糊数的加法和乘法公式可推到如下：设梯形模糊数的加法和乘法公式可推到如下：设 M 和和 N 是两个梯形模糊数，记为是两个梯形模糊数，记为 M = ( a1, b1, c1, d1 )， N = ( a2, b2, c2, d2 )。则则 M 与与 N 的模糊积的模糊积可定义为可定义为式中式中105因为梯形模糊数的隶属函数曲线在区间因为梯形模糊数的隶属函数曲线在区间
54、ai , bi 和 ci, di 内均为直线段，故有：内均为直线段，故有：i106从从 x = x1 x2，容易导出容易导出对于形式为对于形式为的模糊数，其加法运算十分简单，只要将模糊数表的模糊数，其加法运算十分简单，只要将模糊数表示式中的相应参数加到一起就行了。下面的计算公示式中的相应参数加到一起就行了。下面的计算公式可用于模糊式可用于模糊 SAW 方法的求和步骤：方法的求和步骤：107显然，上述模糊和的隶属函数不再是线性函数，借显然，上述模糊和的隶属函数不再是线性函数，借助于有关参数，它可以表示为助于有关参数，它可以表示为式中式中108109模糊多属性决策的研究内容 属性属性 (评价指标评
55、价指标) 选择的研究选择的研究 权重系数确定方法的研究权重系数确定方法的研究 多属性多属性 (指标指标) 信息合成方法的研究信息合成方法的研究 评价准则的研究评价准则的研究1101. 汪培庄，李洪兴，模糊系统理论与模糊计算机，汪培庄，李洪兴，模糊系统理论与模糊计算机，北京：科学出版社，北京：科学出版社，1996。 2. 程钱生，属性集和属性综合评价系统，系统工程程钱生，属性集和属性综合评价系统，系统工程理论与实践，理论与实践，1997，17 (9)，1-8。3. 刘玉斌，模糊综合评判的取大取小算法是一个错刘玉斌，模糊综合评判的取大取小算法是一个错误算法，系统工程理论与实践，误算法，系统工程理论
56、与实践，1998, 18(12), 80-83。4. 卢厚清，王宁生，沈发鸿，关于模糊综合评判取卢厚清，王宁生，沈发鸿，关于模糊综合评判取大取小算法问题的讨论，系统工程理论与实践，大取小算法问题的讨论，系统工程理论与实践，2001，21 (4)，124-128。1111. Zhang Q. and Gao Z., Fuzzy integration method of synthetic evaluation for traffic and transportation Systems, in: Proceedings of International Conference on traffi
57、c and transportation Studies, Beijing, China, July 31- August 2, 2000, pp. 663-667 ( EI 检索检索 ). 2. 张强，李金林张强，李金林. 模型识别在交通规划方案选择中的应用模型识别在交通规划方案选择中的应用. 第四届中国青年运筹与管理学者大会论文集，北京，第四届中国青年运筹与管理学者大会论文集，北京，2001 年年 9 月，月，pp. 341-345。3. 张强，刘克，高自友张强，刘克，高自友. 属性综合评价系统在城市交通规划属性综合评价系统在城市交通规划中的应用中的应用. 系统工程理论与实践，系统工程理论与实践，2002，22 (6) : 113-120。112
