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1、精 品 数 学 课 件北 师 大 版2.3映射问题引航引航1.1.具具备什么条件的什么条件的对应才是映射才是映射? ?像与原像的像与原像的定定义是什么是什么? ?2.2.一一映射的定一一映射的定义是什么是什么? ?如何用如何用图示法表示示法表示一一映射一一映射? ?3.3.映射与函数有什么区映射与函数有什么区别和和联系系? ?映射的有关概念映射的有关概念x x原像原像y y非空数非空数非空非空每一个每一个唯一唯一f:ABf:AB唯一的像唯一的像不同不同原像原像1.1.判一判：判一判：( (正确的打正确的打“”, ,错误的打的打“”) )(1)(1)形成映射的两个集合形成映射的两个集合A,BA,
2、B必必须是数集是数集.(.() )(2)(2)从从A A到到B B的映射的映射f f：AB,BAB,B中的元素必中的元素必须有原像有原像.(.() )(3)A=R,B=R,(3)A=R,B=R,对应关系关系f f：y=1,xA,yBy=1,xA,yB是从是从A A到到B B的映射的映射.(.() )2.2.做一做：做一做：( (请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线上上) )(1)(1)已知已知A=R,B=R,A=R,B=R,则在在f f：ABAB使使A A中任一元素中任一元素a a与与B B中元素中元素2a-12a-1相相对应, ,则在在f f：ABAB中中,A,A中元素中元素9 9与与B
3、 B中元素中元素对应; ;与与集合集合B B中元素中元素9 9对应的的A A中元素中元素为. .(2)(2)若元素若元素(x,y)(x,y)在映射在映射f f下的像是下的像是(2x,x+y),(2x,x+y),则(-1,3)(-1,3)在在f f下的下的像是像是,(-1,3),(-1,3)在在f f下的原像是下的原像是. .(3)(3)设集合设集合A Ax|0x6x|0x6，集合，集合B By|0y2y|0y2，下列从，下列从A A到到B B的对应法则的对应法则f f，其中不是映射的是，其中不是映射的是_._.【解析解析】1.(1)1.(1)错误错误.A,B.A,B可以是非空的任意集合可以是非
4、空的任意集合, ,数集、点集或数集、点集或其他集合都可以其他集合都可以. .(2)(2)错误错误.B.B中的元素可以没有原像中的元素可以没有原像, ,可以有唯一的一个原像可以有唯一的一个原像, ,也也可以有多个原像可以有多个原像. .(3)(3)正确正确. .对于对于A A中的任意一个元素中的任意一个元素, ,在在B B中都有唯一的元素中都有唯一的元素1 1与之与之对应对应, ,故是从故是从A A到到B B的映射的映射. .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.(1)2.(1)因为原像因为原像a=9a=9，所以像，所以像2a2a1=171=17；因为像；因为像2a2a1=91=9
5、，所以，所以原像原像a=5.a=5.答案：答案：17 517 5(2)(2)因为元素因为元素(x(x，y)y)在映射在映射f f下的像是下的像是(2x(2x，x xy)y)，所以，所以( (1 1，3)3)在在f f下的像是下的像是(-2,2)(-2,2)，( (1 1，3)3)在在f f下的原像是下的原像是答案：答案：(-2,2)(-2,2)(3)(3)集合集合A Ax|0x6x|0x6，集合，集合B By|0y2y|0y2，所以，所以f f：xyxy x x不是映射，因为不是映射，因为A A中有些元素在中有些元素在B B中没有像中没有像. .答案：答案：【要点探究要点探究】知知识点点1 1
6、 映射的有关概念映射的有关概念1.1.对映射定映射定义的六点的六点说明明(1)(1)有两个集合有两个集合A,B,A,B,它它们可以是数集可以是数集, ,也可以是点集或其他集合也可以是点集或其他集合. .(2)(2)集合集合A,BA,B及及对应关系关系f f是确定的是确定的, ,是一个体系是一个体系. .(3)(3)对应关系有关系有“方向性方向性”, ,即即强强调从集合从集合A A到集合到集合B B的的对应, ,它与从它与从B B到到A A的的对应关系一般是不同的关系一般是不同的. .(4)(4)集合集合A A中每一个元素中每一个元素, ,在集合在集合B B中都有像中都有像, ,并且像是唯一的并
7、且像是唯一的, ,这是映射区是映射区别于一般于一般对应的本的本质特征特征. .(5)(5)集合集合A A中不同元素中不同元素, ,在集合在集合B B中中对应的像可以是同一个的像可以是同一个. .(6)(6)不要求集合不要求集合B B中的每一个元素在集合中的每一个元素在集合A A中都有原像中都有原像. .2.2.一一映射和映射的区一一映射和映射的区别与与联系系映射映射f f：ABAB一一映射一一映射f f：ABAB对应方式方式“多多对一一”或或“一一对一一”一一对一一原像原像B B中的一些元素中的一些元素可能没有原像可能没有原像B B中的任何元素有中的任何元素有唯一的原像唯一的原像像像A A中的
8、几个元素可能中的几个元素可能对应同一个像同一个像A A中的任何元素都中的任何元素都对应不同的像不同的像方向性方向性B B到到A A不一定是映射不一定是映射B B到到A A是一一映射是一一映射【微思考微思考】映射可以是映射可以是“一一对多多”吗? ?提示：提示：不可以不可以. .映射只能是映射只能是“多对一多对一”或或“一对一一对一”, ,因为因为A A中中的每一个元素的每一个元素x,Bx,B中总有唯一的一个元素中总有唯一的一个元素y y与它对应与它对应, ,所以不能所以不能是是“一对多一对多”. .【即时练即时练】下下图中各中各图表示的表示的对应构成映射的有构成映射的有, ,一一映射有一一映射
9、有. .【解析解析】(1)(2)(3)(1)(2)(3)这三个图所表示的对应都符合映射的定义这三个图所表示的对应都符合映射的定义, ,即即A A中的每一个元素在对应关系下中的每一个元素在对应关系下,B,B中都有唯一的元素与之对中都有唯一的元素与之对应应; ;对于对于(4)(5),A(4)(5),A中的每一个元素在中的每一个元素在B B中有中有2 2个元素与之对应个元素与之对应, ,所所以不是以不是A A到到B B的映射的映射; ;对于对于(6),A(6),A中的元素中的元素a a3 3,a,a4 4在在B B中没有元素与中没有元素与之对应之对应, ,所以不是所以不是A A到到B B的映射的映射
10、. .对于对于(1),A(1),A中元素与中元素与B B中元素一一中元素一一对应对应, ,故是一一映射故是一一映射. .答案：答案：(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(1)知知识点点2 2 函数与映射的关系函数与映射的关系函数与映射的关系函数与映射的关系映射映射f f：ABAB函数函数y=f(x),xA,yBy=f(x),xA,yB区区别三要素：集合三要素：集合A A、集合、集合B B、集合、集合A A与与B B之之间的的对应关系关系三要素：定三要素：定义域、域、值域、两者域、两者之之间的的对应关系关系非空集合非空集合A,BA,B可可为任何集任何集合合, ,如物、人、数等如物、人、数等
11、A,BA,B是非空数集是非空数集联系系对集合集合A A中任一元素中任一元素, ,在集合在集合B B中都有唯一确定的元素和中都有唯一确定的元素和它它对应对集合集合B B中任一元素中任一元素, ,在集合在集合A A中不一定有元素和它中不一定有元素和它对应映射不一定是函数但函数一定是映射映射不一定是函数但函数一定是映射【知识拓展知识拓展】映射的个数问题映射的个数问题(1)(1)一般地一般地, ,若集合若集合A A中含有中含有m m个元素个元素, ,集合集合B B中含有中含有n n个元素个元素, ,则从则从A A到到B B的映射有的映射有n nm m个个, ,从从B B到到A A的映射有的映射有m m
12、n n个个. .(2)(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时计算满足某些特定要求的映射的个数时, ,关键是将映射具体关键是将映射具体化、形象化化、形象化( (如用列表法、图像法、数形结合等如用列表法、图像法、数形结合等).).【微思考微思考】(1)(1)在函数中在函数中, ,原像的集合是定原像的集合是定义域域吗? ?像的集合是像的集合是值域域吗? ?提示：提示：在函数中在函数中, ,原像的集合是定义域原像的集合是定义域, ,值域是像的集合的子集值域是像的集合的子集. .(2)(2)函数都是一一映射函数都是一一映射吗? ?提示：提示：不都是不都是. .函数可以是函数可以是“多对一多对一”或或“
13、一对一一对一”, ,而一一映而一一映射只能是射只能是“一对一一对一”. .【即时练即时练】下列各下列各图表示的是从集合表示的是从集合A A到集合到集合B B的的对应, ,其中哪些是映射其中哪些是映射? ?哪哪些是一一映射些是一一映射? ?哪些是函数哪些是函数? ?为什么什么? ?【解析解析】(1)(1)是映射是映射, ,也是一一映射和函数也是一一映射和函数, ,因为集合因为集合A,BA,B都是非都是非空数集空数集, ,且是且是“一对一一对一”的对应方式的对应方式. .(2)(2)是映射是映射, ,且是函数且是函数, ,但不是一一映射但不是一一映射, ,因为集合因为集合B B中的元素中的元素1
14、1的的原像不是唯一的原像不是唯一的. .(3)(3)不是映射不是映射, ,更不是一一映射或者函数更不是一一映射或者函数, ,因为集合因为集合A A中的元素中的元素0 0在集合在集合B B中有两个对应元素中有两个对应元素1 1和和-1.-1.(4)(4)是映射是映射, ,且是一一映射且是一一映射, ,但不是函数但不是函数, ,因为集合因为集合A,BA,B不是数集不是数集. .【题型示范型示范】类型一型一 映射、一一映射、函数的判断映射、一一映射、函数的判断【典例典例1 1】(1)(1)下列下列对应是从是从A A到到B B的映射的是的映射的是. .A=R,B=x|x0,fA=R,B=x|x0,f：
15、x|x|,xA;x|x|,xA;A=N,B=NA=N,B=N+ +,f,f：x|x-1|,xA;x|x-1|,xA;A=x|x2,xZ,B=y|y0,yN,fA=x|x2,xZ,B=y|y0,yN,f：xy=xxy=x2 2-2x+2.-2x+2.(2)(2)判断下列判断下列对应是不是从集合是不是从集合A A到集合到集合B B的映射的映射, ,其中哪些是一其中哪些是一一映射一映射? ?哪些是函数哪些是函数? ?为什么什么? ?A=R,B=A=R,B=非非负实数数,对应关系关系f f：y=xy=x2 2,xA,yB.,xA,yB.A=R,B=A=R,B=正正实数数,对应关系关系f f：y=xy=
16、x2 2,xA,yB.,xA,yB.A=xR|x0,B=R,A=xR|x0,B=R,对应关系关系f f：A A中的元素中的元素对应它的平方根它的平方根. .A=x|x2,B=y|y=xA=x|x2,B=y|y=x2 2-4x+3,-4x+3,对应关系关系f f：y=x-3,xA,y=x-3,xA,yB.yB.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中的对应能构成映射满足的条件是什么中的对应能构成映射满足的条件是什么? ?2.2.题题(2)(2)中映射与函数之间的关系是什么中映射与函数之间的关系是什么? ?【探究提示探究提示】1.1.对应能构成映射满足的条件是：首先对应能构成映射满足的条件是
17、：首先A A与与B B是非是非空集合空集合, ,其次对于其次对于A A中的每一个元素中的每一个元素x,Bx,B中总有唯一的一个元素中总有唯一的一个元素y y与它对应与它对应. .2.2.函数一定是映射函数一定是映射, ,但映射不一定是函数但映射不一定是函数. .【自主解答自主解答】(1)(1)因为因为0A,0A,在在f f作用下作用下,0|0|,0|0| B,B,所以不是所以不是映射映射. .因为因为1A,1A,在在f f作用下作用下,1|1-1|=0,1|1-1|=0 B,B,所以不是映射所以不是映射. .对任意的对任意的xA,xA,依关系依关系f f有：有：xy=xxy=x2 2-2x+2
18、=(x-1)-2x+2=(x-1)2 2+1.+1.因为因为x2,xZ,x2,xZ,所以所以y2,yZ,y2,yZ,即即yB,yB,所以是映射所以是映射. .答案：答案：(2)(2)是映射是映射, ,且是函数且是函数, ,但不是一一映射但不是一一映射, ,因为因为A A中的任何一个中的任何一个元素元素, ,在在B B中都能找到唯一的元素与之对应中都能找到唯一的元素与之对应, ,又又A,BA,B均为非空数集均为非空数集, ,所以此映射是函数所以此映射是函数, ,因为因为x x以及以及x x的相反数在的相反数在B B中的对应元素相同中的对应元素相同, ,所以不是一一映射所以不是一一映射. .不是从
19、集合不是从集合A A到集合到集合B B的映射的映射, ,更不是函数或一一映射更不是函数或一一映射. .因为因为A A中的元素中的元素0,0,在集合在集合B B中没有对应的元素中没有对应的元素. .不是从集合不是从集合A A到集合到集合B B的映射的映射, ,更不是函数或一一映射更不是函数或一一映射, ,因为任因为任何正数的平方根都有两个值何正数的平方根都有两个值, ,即集合即集合A A中的任何元素中的任何元素, ,在集合在集合B B中中都有两个元素与之对应都有两个元素与之对应. .当当x2x2时时,x-3-1,x-3-1,而而y=xy=x2 2-4x+3=(x-2)-4x+3=(x-2)2 2
20、-1-1,-1-1,因而能构成因而能构成映射映射, ,且是函数且是函数, ,并且并且B B中每一个元素在中每一个元素在A A中都有唯一的一个原像中都有唯一的一个原像, ,所以又是一一映射所以又是一一映射. .【方法技巧方法技巧】判断一个对应关系是否是映射的方法判断一个对应关系是否是映射的方法(1)(1)判断一个对应关系是判断一个对应关系是A A到到B B的映射的映射, ,应从两个角度去分析：应从两个角度去分析：存在性：集合存在性：集合A A中的每一个元素在集合中的每一个元素在集合B B中都有对应元素中都有对应元素; ;唯一性：集合唯一性：集合A A中的每一个元素在集合中的每一个元素在集合B B
21、中都有唯一的元素与中都有唯一的元素与之对应之对应. .这两个条件缺一不可这两个条件缺一不可. .(2)(2)若判断不是若判断不是A A到到B B的映射的映射, ,只要举出一个反例只要举出一个反例, ,即说明集合即说明集合A A中中的某一元素在的某一元素在B B中无对应元素或有多个对应元素即可中无对应元素或有多个对应元素即可. .【变式训练变式训练】下列从集合下列从集合A A到集合到集合B B的对应关系中是函数的是的对应关系中是函数的是 ( )( )A AA AB BN N，对应关系，对应关系f f：xyxy|x|x3|3|B BA AR R，B B0,10,1，对应关系，对应关系f f：xyx
22、yC CA AB BR R，对应关系，对应关系f f：xyxyD DA AZ Z，B BQ Q，对应关系，对应关系f f：xyxy【解题指南解题指南】判断对应关系是函数关系必须满足：对函数的定判断对应关系是函数关系必须满足：对函数的定义域中每一个义域中每一个x,x,值域中都有唯一确定的值与之对应值域中都有唯一确定的值与之对应, ,即即A A中元素中元素不能有剩余不能有剩余. .【解析解析】选选B.B.在在A A中中, ,当当x=3x=3时时,|x-3|=0,|x-3|=0,而而0 0 B,B,于是于是A A中有一元中有一元素素3 3在在B B中没有元素和它对应中没有元素和它对应, ,故不是函数
23、故不是函数; ;在在C C中中, ,集合集合A A中的负中的负数在数在B B中没有元素和它对应中没有元素和它对应, ,故也不是函数故也不是函数; ;在在D D中中, ,集合集合A A中的元中的元素素0,0,其倒数不存在其倒数不存在, ,因而因而0 0在在B B中无对应元素中无对应元素, ,故同样不是函数故同样不是函数. .只有只有B B项符合定义项符合定义, ,故选故选B.B.【补偿训练】判断下列从集合判断下列从集合A A到集合到集合B B的的对应是否是映射是否是映射, ,是是否是函数否是函数. .(1)A=(k,b)|kR,bR,B=(1)A=(k,b)|kR,bR,B=平面内直平面内直线,
24、f,f：xy=kx+b.xy=kx+b.(2)A=(2)A=平面平面M M内的三角形内的三角形,B=,B=平面平面M M内的内的圆,对应法法则是是“作三作三角形的外接角形的外接圆”. .【解析解析】(1)(1)对于对于A A中任一组有序实数对中任一组有序实数对(k,b),(k,b),在在B B中都有唯一中都有唯一的直线与之对应的直线与之对应, ,因此能构成从因此能构成从A A到到B B的映射的映射, ,但由于但由于B B不是数集不是数集, ,因此不能构成函数因此不能构成函数. .(2)(2)由于平面内的三角形都有其外接圆由于平面内的三角形都有其外接圆, ,且外接圆唯一且外接圆唯一, ,因此能因
25、此能构成从构成从A A到到B B的映射的映射, ,但由于但由于A,BA,B都不是数集都不是数集, ,因此不能构成函数因此不能构成函数. .类型二类型二 像与原像的对应像与原像的对应【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014西安高一检测西安高一检测) )设集合设集合A,BA,B都是坐标平面上的点集都是坐标平面上的点集(x,y)|xR(x,y)|xR，yR,yR,映射映射f f：ABAB使集合使集合A A中的元素中的元素(x,y)(x,y)映射映射成集合成集合B B中的元素中的元素(x+y,x-y)(x+y,x-y)，则在，则在f f作用下，像作用下，像(2,1)(2,1)的原像为的原像为
26、 ( )( )(2)(2)已知映射已知映射f f：A=B=(x,y)|xR,yR,fA=B=(x,y)|xR,yR,f：A A中元素中元素(x,y)(x,y)对应B B中元素中元素(3x-2y+1,4x+3y-1),(3x-2y+1,4x+3y-1),求求A A中中(-1,-2)(-1,-2)的像的像; ;求求B B中中(1,2)(1,2)的原像的原像; ;是否存在是否存在这样的元素的元素(a,b),(a,b),使它的像仍是自己使它的像仍是自己? ?若有若有, ,求出求出这个元素个元素. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中f f：ABAB中原像组成的集合是哪个集合中原像组成的集
27、合是哪个集合? ?2.2.题题(2)(2)中对中对A A中元素如何求像中元素如何求像, ,对于对于B B中元素如何求原像中元素如何求原像? ?【探究提示探究提示】1.f1.f：ABAB中原像组成的集合是集合中原像组成的集合是集合A.A.2.2.对对A A中元素中元素, ,求像只需将原像代入对应关系即可求像只需将原像代入对应关系即可, ,对于对于B B中元素中元素求原像求原像, ,可先设出它的原像可先设出它的原像, ,然后利用对应关系列出方程然后利用对应关系列出方程( (组组) )求求解解. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.B.因为因为 所以所以 故选故选B.B.(2)(2)将将x x
28、1 1，y y2 2代入代入(3x(3x2y2y1,4x1,4x3y3y1)1)得得(2(2，11)11)设设(1,2)(1,2)的原像为的原像为(x(x，y),y),则则解得解得若元素为若元素为(a(a，b)b)，则，则 解得解得所以存在这样的元素所以存在这样的元素 使它的像是自己使它的像是自己【延伸探究延伸探究】若题若题(2)(2)的条件不变，的条件不变，求求A A中元素中元素( (1,2)1,2)的像；的像；求求B B中元素中元素( (1,2)1,2)的原像的原像【解析解析】因为因为x x1 1，y y2 2，所以所以3x3x2y2y1 16,4x6,4x3y3y1 11 1，所以所以A
29、 A中元素中元素( (1,2)1,2)的像为的像为( (6,1)6,1)由题意，得由题意，得 解得解得所以所以B B中元素中元素( (1,2)1,2)的原像为的原像为(0,1).(0,1).【方法技巧方法技巧】求像与原像的两种情况及解法求像与原像的两种情况及解法(1)(1)原像原像像：若已知原像像：若已知原像a a，求其在，求其在B B中的像，这时只要将中的像，这时只要将a a代代入对应关系入对应关系f f求出结果即可求出结果即可. .(2)(2)像像原像：若已知原像：若已知B B中的像中的像b b，求其在，求其在A A中的原像中的原像a a，这时需，这时需构造方程构造方程( (组组) )进行
30、求解，需注意解得的结果可能有多个进行求解，需注意解得的结果可能有多个【变式训练变式训练】f f：ABAB是集合是集合A A到集合到集合B B的映射，的映射，A AB B(x(x，y)|xRy)|xR，yRyR，f f：(x(x，y)(kxy)(kx，y yb).b).若若B B中的元素中的元素(6(6，2)2)在此映射下的原像是在此映射下的原像是(3(3，1)1)，那么，那么k k_，b b_【解析解析】当当 时，时，解得解得答案：答案：2 12 1【补偿训练】在映射在映射f f：ABAB中中,A=Z,B=Z,A=Z,B=Z,且且f f：x|2x+3|,x|2x+3|,则与与B B中的元素中的
31、元素5 5对应的的A A中的元素中的元素为. .【解析解析】由由|2x+3|=5|2x+3|=5得得2x+3=52x+3=5或或2x+3=-5.2x+3=-5.所以所以x=1x=1或或x=-4.x=-4.答案：答案：1 1或或-4-4【拓展拓展类型型】映射或函数的个数映射或函数的个数【备选例例题】(1)(1)已知集合已知集合A=1,2,3,B=a,b.A=1,2,3,B=a,b.则A A到到B B的不同映射的不同映射f f：ABAB有有个个; ;BB到到A A的不同映射的不同映射f f：BABA有有个个. .(2)(2)已知已知A=a,b,c,B=-1,0,1,A=a,b,c,B=-1,0,1
32、,映射映射f f：ABAB满足足f(a)+f(b)=f(c),f(a)+f(b)=f(c),求映射求映射f f：ABAB的个数的个数. .【解析解析】(1)1(1)1的像有的像有2 2种情况种情况,2,2的像有的像有2 2种情况种情况,3,3的像也有的像也有2 2种情况种情况, ,结合映射定义知结合映射定义知, ,对对A A中的每一个元素在中的每一个元素在B B中都有唯一的中都有唯一的元素与之对应元素与之对应, ,允许多对一允许多对一, ,故有故有2 22 22=8(2=8(种种) )情况情况, ,即即8 8个映个映射射. .aa的像有的像有1,2,31,2,3共共3 3种情况种情况, ,同时
33、同时b b的像也有的像也有3 3种情况种情况, ,所以所以f f：BABA的映射共有的映射共有3 33=9(3=9(种种) )情况情况, ,即即9 9个映射个映射. .答案：答案：8 89 9(2)(2)当当A A中元素都对应一个元素时中元素都对应一个元素时, ,由于由于f(a)+f(b)=f(c),f(a)+f(b)=f(c),所以所以a,b,ca,b,c的像都是的像都是0.(0.(如图如图) )共有共有1 1个映射个映射. .当当A A中元素对应两个元素时中元素对应两个元素时, ,根据根据f(a)+f(b)=f(c),f(a)+f(b)=f(c),有下面有下面4 4种种情况情况. .当当A
34、 A中元素对应三个元素时中元素对应三个元素时, ,由于由于f(a)+f(b)=f(c),f(a)+f(b)=f(c),有下面有下面2 2种种情况情况. .因此因此, ,满足题设条件的映射有满足题设条件的映射有7 7个个. .【方法技巧方法技巧】求映射个数的两类问题及解法求映射个数的两类问题及解法一类是给定两个集合一类是给定两个集合A,B,A,B,问由问由ABAB可建立的映射的个数可建立的映射的个数. .这类这类问题与问题与A,BA,B中元素的个数有关中元素的个数有关. .一般地一般地, ,若若A A中有中有m m个元素个元素,B,B中有中有n n个元素个元素, ,则从则从ABAB共有共有n n
35、m m个不同的映射个不同的映射. .另一类是含条件的映射个数的确定另一类是含条件的映射个数的确定, ,解决这类问题一定要注意解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件对应关系所满足的条件, ,要采用分类讨论的思想方法来解决要采用分类讨论的思想方法来解决. .【易错误区易错误区】对映射和函数的概念理解不清致映射和函数的概念理解不清致误【典例典例】根据下列所给的对应关系，回答问题：根据下列所给的对应关系，回答问题：(1)A(1)AN N，B BZ Z，f f：xyxy3x3x1 1，xAxA，yB.yB.(2)A(2)AN N，B BN N，f f：xyxy|x|x1|1|，xAxA，yB.yB.
36、(3)A(3)Ax|xx|x为高一为高一(2)(2)班的同学班的同学 ，B Bx|xx|x为身高为身高 ，f f：每个：每个同学对应自己的身高同学对应自己的身高. .(4)A(4)AR R，B BR R，f f：xyxy xAxA，yB.yB.上述四个对应关系中，是映射的是上述四个对应关系中，是映射的是_，是函数的是，是函数的是_【解析解析】(1)(1)对对xAxA，在，在f f：xyxy3x3x1 1作用下在作用下在B B中都有唯一中都有唯一的像，因此能构成映射，又的像，因此能构成映射，又A,BA,B均为数集，从而能构成函数均为数集，从而能构成函数. .(2)(2)当当x x1 1时，时，y
37、 y|x|x1|1|1|11|1|0 B0 B，即，即A A中的元素中的元素1 1在在B B中无像，因而不能构成映射，从而不能构成函数中无像，因而不能构成映射，从而不能构成函数. .(3)(3)高一高一(2)(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一映射，但由于高一(2)(2)班的同学不是班的同学不是数集数集，从而不能构成函，从而不能构成函数数. .(4)(4)当当x0x0时，时，|x|x|x x0 0，从而，从而 无意义，因而在无意义，因而在x0x0时，时，A A中元素在中元素在B B中无像，所以不能构成映射，从而不能构成函
38、中无像，所以不能构成映射，从而不能构成函数数答案：答案：(1)(3) (1)(1)(3) (1)【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)在在处未找到当处未找到当x=1x=1时无像与之对应时无像与之对应, ,故认为此对应关系是映射也是函数故认为此对应关系是映射也是函数, ,而导致错填而导致错填(2).(2).在在处忽视了处忽视了A A不不为数集而导致了错填为数集而导致了错填(3)(3)为函数为函数【防范措施防范措施】准确理解映射和函数的概念准确理解映射和函数的概念判定映射、函数必须根据定义判定映射、函数必须根据定义, ,
39、对所给对应关系正确判断对所给对应关系正确判断, ,不能不能凭感觉凭感觉. .两个集合之间只有一对一两个集合之间只有一对一, ,多对一才是映射多对一才是映射. .并非所有并非所有映射都是函数映射都是函数, ,只有集合只有集合A,BA,B都是非空数集时都是非空数集时, ,映射才是函数映射才是函数, ,如如本例本例(3)(3)虽然是映射虽然是映射, ,但因但因A A不是数集不是数集, ,故不是函数故不是函数. .【类题试解类题试解】下列对应是从下列对应是从A A到到B B的映射的为的映射的为_，是从，是从A A到到B B的函数的为的函数的为_._.(1)A(1)AR R，B BR R，f f：xyxy(2)A(2)A2a|aN2a|aN ，(3)A(3)Ax|x0x|x0，B BR R，f f：xyxy，y y2 2x.x.【解析解析】(1)(1)中当中当x x1 1时，时，y y的值不存在，不是映射，也不是的值不存在，不是映射，也不是函数函数(2)A(2)A2,4,6,82,4,6,8， ，f f：abab 构成映射，又因为构成映射，又因为A,BA,B为数集，故也能构成函数为数集，故也能构成函数(3)A(3)A中的元素中的元素1 1有两个像有两个像1 1，不是映射，也不是函数，不是映射，也不是函数答案：答案：(2) (2)(2) (2)
