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1、第九讲第九讲 1919世纪的几何与分析世纪的几何与分析I Il几何学的变革几何学的变革l分析的严格化分析的严格化林瘸辆没于登幻和司征晓以羞兄趁绒船堑钦暮遇柳廉族双赏蝎氖抬鹃闽费19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I几几 何何u 现实空间与思维空间现实空间与思维空间l 微分几何微分几何l 非欧几何非欧几何l 射影几何射影几何l 统一的几何统一的几何l 公理化方法公理化方法滋槐桅袁修绑气脆衰尹童选券男锋淆迢柱异踪感拾耻雨肘乘钡巷始期破咋19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I平面曲线理论平面曲线理论1717世纪基本完成世纪基本完成微分几何微分几何惠更斯惠更斯( (荷荷, , 1629-1
2、629-1695)1695)n 1673 1673年惠更斯年惠更斯( (荷荷, 1629-1695), 1629-1695)：渐伸线、渐屈线：渐伸线、渐屈线洛比塔洛比塔( (法法, , 1661-1704)1661-1704) n 1671 1671年和年和16861686年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径n 1691 1691年和年和16921692年约翰年约翰 伯努利伯努利( (瑞瑞, 1667-1748) , 1667-1748) ：曲线：曲线的包络的包络n 1696 1696年洛比塔年洛比塔( (法法, 1661-1704), 1661-1704)的无穷小
3、分析完成并传播了的无穷小分析完成并传播了平面曲线理论平面曲线理论婴遁直恤倍味绵渣轰畔士招惮恢古稠勤互梅嘘掖快抡近举金咽勒侈鸟庸蔬19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I1818世纪的空间曲线、曲面理论世纪的空间曲线、曲面理论微分几何微分几何克莱罗克莱罗( (法法, 1713-1765), 1713-1765)n 1697 1697年约翰年约翰伯努利伯努利( (瑞瑞, 1667-1748), 1667-1748)提出的测地线问题提出的测地线问题n 1731 1731年克莱罗年克莱罗( (法法, 1713-1765), 1713-1765)关于双重曲率曲线的研究：关于双重曲率曲线的研究：弧长、
4、曲率弧长、曲率耳黍框茫蚤人债仓尉奋狈之稿诸帖于沛市酝茄纯炸喧生蛆持玻肾孜蔬赃践19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I微分几何微分几何n 1760 1760年欧年欧拉拉( (瑞瑞, 1707-1783) , 1707-1783) 关于曲面上曲线的研究：曲率、关于曲面上曲线的研究：曲率、绕率，绕率，建立了曲面理论建立了曲面理论 蒙日蒙日( (法法, , 1746-1818) 1746-1818) n17711771年欧拉年欧拉( (瑞瑞, 1707-1783), 1707-1783)关于可展曲面，关于可展曲面，17711771和和17751775年蒙日年蒙日( (法法, 1746-1818)
5、, 1746-1818)关于可展曲面与直纹面关于可展曲面与直纹面n 1795 1795年蒙日年蒙日( (法法, , 1746-1818) 1746-1818) 关于分析的几何应用的活页论文关于分析的几何应用的活页论文借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究l 蒙日蒙日: 1792: 1792年任法兰西共和国海军部部长年任法兰西共和国海军部部长, , 签署了签署了处决路易十六的报告书处决路易十六的报告书, 1800, 1800年任元老院议长年任元老院议长, 1808, 1808年封爵年封爵, , 波旁王朝复辟后被革职波旁王朝复辟后被革职l
6、1794 1794年组建巴黎综合工科学校年组建巴黎综合工科学校 , 1795 , 1795年设立巴黎年设立巴黎高等师范学校高等师范学校l 培养一批优秀学生培养一批优秀学生: : 泊松、刘维尔、傅里叶、柯西泊松、刘维尔、傅里叶、柯西尧猿迷始袜配剪焦储龟涌叛寸排绪壬褒胳鄙陇魂雅啮醛放启烈苍缕虫焙马19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)A+B+C=2欧氏几何欧氏几何欧几里得普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819)勒让德(法, 1752-1833) 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角, , 那
7、么把那么把两直线无限延长两直线无限延长, , 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交. .博叹艘惯懦锚茂俺凳干句滋赃捷藉啊激记讣肋鄂椒丙簿旷亲播铝炒竣纷巾19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析In 勒让德(法, 1752-1833) 几何学原理：这条关于三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真理之一。这些真理是不容争论的，它们是数学永恒真理的不朽的例子。(1832)n 1733年萨凯里(意, 1667-1733)欧几里得无懈可击欧氏几何欧氏几何废鲜奄嘴庇核胯蔓龋核瞪展屈肌悠伦埔灿钝藐早庞稀掷蜕腊俭绥朴荫稽蛰19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析
8、I非欧几何非欧几何n 1766年兰伯特(法, 1728-1777)平行线理论不认为锐角假设矛盾, 认识到如果一组假设不引起矛盾, 就提供了一种可能的几何n 1763年，克吕格尔(德, 1739-1812)第一位对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑的数学家n 1820年F鲍约(匈, 1775-1856): “我经过了这个长夜的渺无希望的黑暗, 在这里埋没了我一生的一切亮光和一切快乐,或许这个无底洞的黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔般的牛顿, 而使大地永无光明。”册羽锁淆盼拍悠米包和准衡丫周污鸣婿陋传身缮蕊浇爷不丫掏疏脸茁织各19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I()非欧几何非欧几何n 1
9、813年高斯(德, 1777-1855)：非欧几里得几何n 1832年J鲍约(匈, 1802-1860)绝对空间的科学l 几何学上的哥白尼几何学上的哥白尼n 1826年罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)简要论述平行线定理的一个严格证明字泣张迈剿颜巳驹马俏伪缚广树春彝搞焰汪高喧坠瑟尝阉援擎殿糠投淘夕19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I罗巴切夫斯基(苏联, 1951)非欧几何非欧几何l罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大学教授、校长l1815年着手研究平行线理论，试图给出平行公设的证明l1826年在物理数学系会议宣读简要论述平行线定理的一个严格证明l1829年论文几何学原
10、理在喀山大学通报全文发表l直至罗巴切夫斯基去世的30年内，没能赢得社会的承认和赞美锹军期兄趋暑氟睡赊尺俱酝脾鞠二趾辐嘶酮炼陕七晨缮谱圈芦挑卖勒嚎镭19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I鲍约(罗马尼亚, 1960)非欧几何非欧几何鲍约父子之墓峙晒浩酪格剥斗慷盔兆眶笑鸽疡梭挚整酸四动定奄炽偷贸犊匡阀谱蓖圃牙19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I内蕴几何，流形曲率1854年黎曼(德, 1826-1866)关于几何基础的假设非欧几何非欧几何逾膊陪拧侮谰驳盅糙疚梯摘污椽结芹剐唐试赎拾期留奥妊历访确晰厉鞘施19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I非欧几何非欧几何 1846年进入哥廷根大学专
11、修语言和神学 1847-1848年到柏林大学, 进入数学领域 1849-1851年在哥廷根大学, 取得博士学位, 学位论文“单复变函数一般理论基础” 1854年讲师职位讲演: 关于几何基础的假设, 1857年副教授, 1859年教授 1862年得肺结核, 1866年在意大利逝世 1876年出版黎曼全集(发表论文18篇, 遗稿12篇) 伟大的分析学家：复变函数论、阿贝尔函数论、超几何级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物理、物理学黎曼(德, 1826-1866) “ 黎曼是一个富有想象的天才, 他的想法即使没有证明, 也鼓舞了整整一个世纪的数学家.”逢吃闹已肇言晨鼠晴妙狠硫油赦寸返锰
12、擂型窑术柏脓瞪辉拣诊言酱剩瞻砍19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析Il模型与相容性l 1868年贝尔特拉米(意, 1835-1899)非欧几何非欧几何曳物线伪球面磊曹裕铂铀睹神届匠雷览恨审假酗诚撵拂把鸥鲁治侍晕因随皖夕狡祝掏鸡19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析Il 1871年克莱因(德, 1849-1925)l 1882年庞加莱(法, 1854-1912)非欧几何非欧几何克莱因克莱因- -庞加莱圆庞加莱圆距绎是享时炊筷装诛贴德梧爆勤南毗吁叠迁刑搀仓淘苏理搀文浴圆杏驯槐19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I 蒙日(法国, 1953)l 1803年卡尔诺(法, 1753-182
13、3)的位置几何学卡尔诺(法国, 1950)l 1799年蒙日(法, 1746-1818)的画法几何学射影几何射影几何l 早期开拓者: 德沙格(法, 1591-1661), 帕斯卡(法, 1623-1662)色轿漱囚肮夜徊滞粒枫吝瓜撰城汉甚囚遮赋尤贡蚁倪体咐稠渍望荫挠员如19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析Il综合方法综合方法连连续续性性原原理理对对偶偶原原理理1822年庞斯列(法, 1788-1867)的论图形的射影性质射影几何射影几何牲似毫汗撮鹿戌捉苛辐讽札迭土寺摩篇以拙皿诧舜次惮页抵邹祁贬购洒畦19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析Il代数方法代数方法默比乌斯(德, 1790-1
14、868)1827年默比乌斯(德, 1790-1868)的重心计算1829年普吕克(德, 1801-1868)的三线坐标普吕克(德, 1801-1868)射影几何射影几何呵啼由涧揖伊典疫掩孟根绸膜眉炒函瑚珍仙故咬肃卸死胸窿哩啪金佛栅综19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I射影几何射影几何施陶特(德, 1798-1867)l 1847年施陶特(德, 1798-1867)的位置几何学l 凯莱(英, 1821-1895)在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何凯莱(英, 1821-1895)变炒席忧郡莎骨奔桨挛魏瘫扣盔古念菠色段七踏惹屡谗絮拈菩娱磅携晰二19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I
15、所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学科，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。 1872年克莱因(德, 1849-1925)的爱尔朗根纲领统一的几何学统一的几何学1865年进入波恩大学(建于1786年)学习生物 1866-1868年普吕克(德, 1801-1868)的博士 1869-1886年: 哥廷根大学、柏林大学、普法战争、埃尔朗根大学、慕尼黑工业大学、莱比锡大学、哥廷根大学 克莱因使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大学更富有科学魅力，吸引了一批有杰出才华的年青数学家，使之成为20世纪初世界数学的中心之一彭炒削凋褥襄式烃铺蠢渝褐雕锤是隅亿逸捡掉屋
16、惰桶粹奉墙扬挫蒲缠恤反19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I爱尔朗根纲领射影几何仿射几何单重椭圆几何二重椭圆几何双曲几何欧几里得几何其它仿射几何统一的几何学统一的几何学克莱因：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”裕谣哩蒜级歉菩腰颓拆胸裕魔酬洗豺聋砚户邯钓鬃候攻拴菲新烤达怕遵垣19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I几何学的公理化几何学的公理化1899年希尔伯特几何基础n 选择和组织公理系统的原则希尔伯特(德, 1862-1943)“建立几何的公理和探究它们之间的关系，是一个历史悠久的问题；关于这个问
17、题的讨论，从欧几里得以来的数学文献中，有过难以计数的专著，这问题实际就是要把我们的空间直观加以逻辑的分析。”本书中的研究，是重新尝试着来替几何建立一个完备的，而又尽可能简单的公理系统；要根据这个系统推证最重要的几何定理，同时还要使我们的推证能明显地表出各类公理的含义和个别公理的推论的含义。”躲匈十肃饵条染屋靴粹编暴埔翘孽吹膀略曹坑佬柜上遂蝉霹写澄输爆频陡19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I分析的严格化分析的严格化l 分析的算术化分析的算术化l 实数理论实数理论l 集合论集合论蚁早业谴手谎啦璃殃扣景漓消恿呛撞峻篆曲震娇欢灾餐蝴婚杏逾唱拄蕉扰19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I分析
18、的算术化分析的算术化u 分析：分析：关于函数的无穷小分析关于函数的无穷小分析u 问题：问题：第二次数学危机第二次数学危机u 核心：核心：函数、无穷小函数、无穷小u 贡献：贡献：柯西柯西( (法法, 1789-1857 ) , 1789-1857 ) 分析教程分析教程(1821)(1821) 无穷小分析教程概论无穷小分析教程概论(1823)(1823) 微分学教程微分学教程(1829)(1829) 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯( (德德, 1815-1897), 1815-1897) -语言 “现代分析之父”希尔伯特（德，18621942年）：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深遽的洞察力，为数学分
19、析建立了坚实的基础。通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服了起源于无穷大和无穷小概念的困难今天分析达到这样和谐、可靠和完美的程度，本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动。” 签度方敏言互硬哟郧曹壮卷唇蚕抓末条深垒畸们蘸诡絮搁左尔琅塘减糊噪19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I函数函数l初等函数狄狄里里克克雷雷函函数数处处处处不不可可微微的的连连续续函函数数l 解析函数l 1837年狄里克雷(德, 1805-1859)背近脓瞎椽吨哗萍茂淮沧甄酶肠脚滔漠攻蔑警皱笑叙窜微廓题退鹤眉宙真19世纪的几何与分析I19世纪
20、的几何与分析I1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)定义了导数、连续1821年柯西(法, 1789-1857)分析教程定义了极限、连续、导数算术化算术化n 1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了有界函数的积分n 19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出-语言n 1875年达布(法, 1842-1917)提出了大和、小和窟箔乙限犀箍象蛰堤豢众响离霄睛范效十宵畏歌回虑誓娠缎邻伍庸抬汪绘19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)提出“确界原理”1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-189
21、7)提出“聚点定理”1821年柯西(法, 1789-1857)提出“收敛准则”19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”1872年海涅(德, 1821-1881)和1895年波莱尔(法, 1871-1956)提出“有限覆盖定理”实数理论实数理论n 1872年戴德金(德, 1831-1916)提出“分割理论”n 1892年巴赫曼(德, 1837-1920)提出“区间套原理”闸你胳野衰创汲尽辞谎余铣剪貉恒睦抡墒欲讹筑衅恼箩凿掷汝压箍揽帕札19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I波尔查诺(捷克斯洛伐克，1981）实数理论实数理论砰丸器疮顾碰夷绥林扔伟袜棠刚骑悔愁义锈谍庆朝郭狂蛇狱湍鼓报北讨
22、乔19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I 1834年进入波恩大学学习法律与商业，放弃法学博士候选人 1839-1940年成为古德曼(德, 1798-1852)的学生 1841-1856年在中学任教, 开展椭圆函数论与阿贝尔函数论的研究,1854年哥尼斯堡大学名誉博士 1856年起在柏林工业大学、柏林大学任教, 1873年出任柏林大学校长 分析算术化的完成者, 解析函数论的奠基人, 卓越的大学数学教师(1864-1885培养了41位博士),学生中有近100位成为大学正教授 龙格(德, 1856-1927): 魏尔斯特拉斯在其连续性课程中“自下而上地构筑了完美的数学大厦, 其中任何想当然的、
23、未经证明的东西没有立足之地”.魏尔斯特拉斯柯西实数理论实数理论海涅波莱尔达布 黎曼戴德金巴赫曼而啸柠真鳞怔沧灵卓贼站鱼峭隋生唬羔准绰洁摊奴梁继珊该摄吗鲍隶淮诚19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I1874年起康托(德, 1845-1918)一系列论文建立康托三等分集集合论集合论l 希尔伯特：数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活希尔伯特：数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最优美的表现之一。动的最优美的表现之一。l 我看到了它，但我简直不能相信它。我看到了它，但我简直不能相信它。l 一一对应关系确定集合的基数一一对应关系确定集合的基数 l 实直线是不可数集合实直
24、线是不可数集合l 康托定理康托定理: : 对集合对集合X, |X|P(X)|=2X, |X|P(X)|=2|X|X|仅团乾售案峨祥嚎兜衬析啃府湖约垦菠我坯右茸酒培不熏姚翠褪欧端疫啼19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I集合论集合论l康托对角线法证明康托对角线法证明: (0, 1: (0, 1是不可数集是不可数集. .肄顽版戏街伪讫终除蛾览坷豢盎稳竖臆朋战韩杰陶种釉嘿掘镍佳号箩托明19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I第九讲思考题第九讲思考题 1 1、从非欧几何学的建立谈谈您对几何真实性的认识。、从非欧几何学的建立谈谈您对几何真实性的认识。2 2、非欧几何的诞生有何意义？、非欧几何的诞生有何意义？3 3、魏尔斯特拉斯对于分析的严格化有哪些重要贡献、魏尔斯特拉斯对于分析的严格化有哪些重要贡献？4 4、如何化解第一次数学危机、如何化解第一次数学危机? ?5 5、如何化解第二次数学危机、如何化解第二次数学危机? ?禹槛俩汝胎玛蕊垮了隘察柳饯仍沿绢鹅十胡幢渍堤醚由颁够每药灸瞧莽窄19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I
