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1、立体几何第第 七七 章章第第4545讲讲立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法( (二二)求空间角和距离求空间角和距离考纲要求考情分析命题趋势能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.2017全国卷，182017全国卷，192017全国卷，192017江苏卷，22用向量法证明线线、线面、面面的平行与垂直，用向量法求空间角和空间距离，用向量法解决探索性问题.分值：68分板板 块块 一一板板 块块 二二板板 块块 三三栏目导航1两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则A 30 60 5P是二面角AB
2、棱上一点，分别在平面，上引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_.90 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值一求异面直线所成的角二求直线与平面所成的角利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所成的锐角，取其余角就是斜线
3、和平面所成的角【例2】 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的底面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值三求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角B (1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值四求空间距离求点面距一般
4、有以下三种方法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；等体积法；向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便1如右图所示正方体ABCDABCD，已知点H在ABCD的对角线BD上，HDA60.求DH与CC所成角的大小解析 如图所示，以D为原点，DA为单位长度，建立空间直角坐标系Dxyz，2(2017山东模拟)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值4如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11，P是AD的延长线与A1C1
5、的延长线的交点，且PB1平面BDA1.(1)求证：CDC1D；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离易错点混淆向量的夹角与直线平面两元素的夹角的概念当图形不能确定时，要根据向量的坐标在图形中观察向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部如图)还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部如图)，这是利用向量法求二面角的难点，也是易错点【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值【跟踪训练1】 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值为_.
