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1、1材料力学材料力学材料力学材料力学第五章 构件的内力计算构件的内力计算第一节 扭转变形的内力计算第二节 弯曲变形的基本概念第三节 弯曲变形的内力计算2第一节 扭转变形的内力计算扭转变形的特点扭转变形的特点变形的特点：变形的特点：横截面仍为平面，形状不变，横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生相对转动只是绕轴线发生相对转动圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶的作用，且的作用，且力偶力偶的作用面垂直于杆件的轴线。的作用面垂直于杆件的轴线。ABABj jg gMnMn31 1、外力偶矩的计算、外力偶矩的计算转速：转速：n (转转/分分)输入功率：输入功率
2、：N(kW)M1分钟输入功：分钟输入功：1分钟分钟M 作功：作功：单位单位!第一节 扭转变形的内力计算42 2、扭矩的计算、扭矩图、扭矩的计算、扭矩图1 1）、扭矩的概念）、扭矩的概念扭转变形的杆往往称之为扭转轴扭转变形的杆往往称之为扭转轴扭转轴的内力称为扭矩扭转轴的内力称为扭矩2 2）、扭矩利用截面法、建立平衡方程得到）、扭矩利用截面法、建立平衡方程得到mMnmm第一节 扭转变形的内力计算53、扭矩正负号的规定、扭矩正负号的规定确定扭矩方向的右手法则：确定扭矩方向的右手法则：4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指个手指沿扭矩转动的方向，大拇指指指向横截面法线方向向横截面法线方向扭矩正负号：扭矩正负
3、号：离开截面为正，指向截面为负离开截面为正，指向截面为负外力偶矩正负号的规定外力偶矩正负号的规定 和所有外力的规定一样，和所有外力的规定一样，与坐标轴同向为正，反向为负与坐标轴同向为正，反向为负指向截面指向截面离开截面离开截面第一节 扭转变形的内力计算6例例 传动轴如图所示，转速传动轴如图所示，转速 n = 500转转/分钟，主动轮分钟，主动轮B输入功输入功率率NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。试计算该轴的扭矩。先计算外力偶矩先计算外力偶矩ABC解：解：第一节 扭转变形的内力计算7计算扭矩：计算扭矩：
4、mAMn1AB段段Mn1设为正的设为正的BC段段Mn2设为正的设为正的mcMn2第一节 扭转变形的内力计算84、扭矩图、扭矩图将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示1)计算外力偶矩计算外力偶矩BCADTBTCTDTA例例 已知已知A轮输入功率为轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为轮输出功率分别为15、15、20kW，轴的转速为，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。，画出该轴扭矩图。2)2)用截面法分别计算：用截面法分别计算：BCBC、CACA、ADAD轴段的扭矩轴段的扭矩第一节 扭转变形的内力计算9BCADTBTCTDTA477.5Nm95
5、5Nm637NmTn作扭矩图作扭矩图Tnmax=955NmBC段段CA段段AD段段第一节 扭转变形的内力计算10n=300 r/minn=300 r/min123Mt1Mt2Mt370KW30KW40KW 若已知：若已知：输入轴输入轴求外力求外力偶矩：偶矩：例例( (如图如图) )：第一节 扭转变形的内力计算112228Nm955Nm1273Nmx1x22228NmT(x1)1273NmT(x2)(T)2228Nm1273Nm求求扭矩：扭矩：作扭矩图作扭矩图输入轴放中间输入轴放中间扭矩有何变化？扭矩有何变化？第一节 扭转变形的内力计算12n n课堂练习：P123：2 、3、4n n作业：5第一
6、节 扭转变形的内力计算13第二节第二节 弯曲变形的基本概念弯曲变形的基本概念梁的弯曲是材料力学梁的弯曲是材料力学部分最重要的内容部分最重要的内容弯曲变形是工程构件弯曲变形是工程构件最常见的基本变形最常见的基本变形14PPPPPPPP工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题第二节第二节 弯曲变形的基本概念弯曲变形的基本概念15工程实例工程实例第二节第二节 弯曲变形的基本概念弯曲变形的基本概念16第二节第二节 弯曲变形的基本概念弯曲变形的基本概念171.1.1.1.弯曲弯曲弯曲弯曲: : : : 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时杆受垂直于轴线的外力或外力
7、偶矩的作用时杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时, , , , 轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2. 2.梁：梁：梁：梁：以以以以弯曲变形为主的弯曲变形为主的弯曲变形为主的弯曲变形为主的 构件通常称为梁。构件通常称为梁。构件通常称为梁。构件通常称为梁。一、平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念第二节第二节 弯曲变形的基本概念弯曲变形的基本概念18纵向对称面纵向对称面MP1P2q一、平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念第二节第二节 弯曲变形的基本概念弯曲变形的基本概念191 1、梁的载荷、梁的载荷、梁
8、的载荷、梁的载荷# 集中力集中力# 均布载荷均布载荷# 集中力集中力偶2 2、正负号规定：、正负号规定：、正负号规定：、正负号规定：集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力集中力偶逆时针为正、顺时针为负。逆时针为正、顺时针为负。支座反力支座反力第二节第二节 弯曲变形的基本概念弯曲变形的基本概念203、梁的类型、梁的类型根据梁的支撑情况可以将梁分为根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型种类型简支梁简支梁简支梁简支梁一端固定铰支座一端固定铰支座一端活动铰支座一端活动铰支座一端固定一端固定一端自由一端自由外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁一端固定铰支座，
9、一端固定铰支座，活动铰支座位于梁中活动铰支座位于梁中某个位置某个位置悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁第二节第二节 弯曲变形的基本概念弯曲变形的基本概念21第三节 弯曲变形的内力计算1 1、横截面上的、横截面上的剪力和弯矩剪力和弯矩求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系先求支座反力先求支座反力先求支座反力先求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件列方程计算要利用外载荷与支座反力的平衡条件列方程计算要利用外载荷与支座反力的平衡条件列方程计算要利用外载荷与支座反力的平衡条件列方程计算再用截面法计算再用截面法计算剪力和弯矩剪力和弯矩剪力和弯矩剪力和弯矩22举例说明举例说
10、明PABl左边固定铰支座，左边固定铰支座，有两个约束反力有两个约束反力右边活动铰支座，右边活动铰支座，1个约束反力个约束反力列平衡方程：列平衡方程：列平衡方程：列平衡方程：第三节 弯曲变形的内力计算23再以悬臂梁为例再以悬臂梁为例再以悬臂梁为例再以悬臂梁为例假设该悬臂梁承受均布载荷假设该悬臂梁承受均布载荷假设该悬臂梁承受均布载荷假设该悬臂梁承受均布载荷固定端有固定端有3个约束反力个约束反力建立平衡方程求约束反力建立平衡方程求约束反力建立平衡方程求约束反力建立平衡方程求约束反力qlRxRyABMA第三节 弯曲变形的内力计算242、剪力和弯矩、剪力和弯矩与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：
11、与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：剪力和弯矩剪力和弯矩考察弯曲梁的某个横截面考察弯曲梁的某个横截面在截面形心建立直角坐标系在截面形心建立直角坐标系在截面形心建立直角坐标系在截面形心建立直角坐标系剪力与截面平行，用剪力与截面平行，用Q表示表示Q弯矩作用面在纵向对称面内弯矩作用面在纵向对称面内方向沿方向沿Z 轴方向轴方向M用用M 表示表示第三节 弯曲变形的内力计算25剪力和弯矩正负号的规定剪力和弯矩正负号的规定剪力剪力剪力剪力Q Q Q Q: : : : 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。绕研究对象顺时针转为
12、正剪力；反之为负。弯矩弯矩弯矩弯矩M M M M：使梁变成凹形的为正弯矩；：使梁变成凹形的为正弯矩；：使梁变成凹形的为正弯矩；：使梁变成凹形的为正弯矩； 使梁变成凸形的为负弯矩。使梁变成凸形的为负弯矩。使梁变成凸形的为负弯矩。使梁变成凸形的为负弯矩。Q(+)Q()Q()Q(+)M(+)M(+)M()M()第三节 弯曲变形的内力计算263 3、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩22RB1133P1P2ABabc步骤：步骤：1 1）建立坐标）建立坐标2 2）确定支座反力并计算）确定支座反力并计算3 3）用截面法分段）用截面法分段求剪力和弯矩求剪力和弯矩求
13、剪力和弯矩求剪力和弯矩去掉约束去掉约束 确定确定确定确定剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程第三节 弯曲变形的内力计算RAyRAx273 3、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩对对对对X X1 1轴轴轴轴段段建立力的平衡方程建立力的平衡方程建立力的平衡方程建立力的平衡方程求剪力求剪力求剪力求剪力Q1M1Q111RAy对截面中心建立力矩平衡方程对截面中心建立力矩平衡方程对截面中心建立力矩平衡方程对截面中心建立力矩平衡方程求弯矩求弯矩求弯矩求弯矩MM1 1RAy22P P1aM2Q2同理：同理：28M3Q3对对对对X
14、X3 3轴轴轴轴段段建立力的平衡方程建立力的平衡方程建立力的平衡方程建立力的平衡方程求剪力求剪力求剪力求剪力Q3对截面中心建立力矩平衡方程对截面中心建立力矩平衡方程对截面中心建立力矩平衡方程对截面中心建立力矩平衡方程求弯矩求弯矩求弯矩求弯矩MM3 33 3、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩P1P2AabRAy3329说明：说明：1、一般情况下，、一般情况下，x 方向的约束反力为零。方向的约束反力为零。2、如果不求剪力，可以不建立、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的方向的平衡方程。平衡方程。3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要、不考虑剪力时，弯矩平
15、衡方程一定要建立在截面的中心。建立在截面的中心。3 3、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩30l求图示简支梁求图示简支梁 x 截面的弯矩截面的弯矩qRAy在在x 处截开，取左半部分分析处截开，取左半部分分析画出外力、约束反力、弯矩画出外力、约束反力、弯矩 x 截面剪力、力矩平衡方程截面剪力、力矩平衡方程qxqABMQ3 3、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩31可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩可见剪力在该简支
16、梁内的分布为一条斜直线，弯矩为一条曲线为一条曲线为一条曲线为一条曲线抛物线抛物线抛物线抛物线弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有由对称性，可以求得由对称性，可以求得lqAB? ?为什么极值为什么极值在梁的在梁的中点，大小如何计算中点，大小如何计算3 3、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩32有有lqAB? ?为什么极值为什么极值在梁的中在梁的中点，大小如何计算点，大小如何计算讨论：讨论：将将带人上式带人上式当当时时即：即：3 3、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩33n n课堂练习：P123：n n作业：
