大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律

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1、 数学家和哲学家追求数学的最初生长点的研究，恰像一次向远处的地平线走去的旅行。终点似乎就在前面，可是走过去之后发现，它还在前方。 但是旅行者毕竟一次又一次地大开眼界。他发现了越来越广大的世界。 摘自张摘自张景中（院士）景中（院士） 数学与哲学数学与哲学同学们好！同学们好！?显然，这段话对物理学也适用。显然，这段话对物理学也适用。2021/6/161第五章第五章 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律角动量角动量转动惯转动惯量量 角动量的角动量的时间变化率时间变化率力矩力矩角动量角动量定理定理角动量角动量守恒定律守恒定律重要性：重要性：大到星系，小到基本粒子都

2、有旋转运动；大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；微观粒子的角动量具有量子化特征；微观粒子的角动量具有量子化特征；角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。2021/6/162学时：学时： 6难点：难点：角动量概念，角动量概念， 角动量定理及角动量守恒定律的应用角动量定理及角动量守恒定律的应用重点：重点：概念：概念：角动量，转动惯量，力矩，角冲量，角动量，转动惯量，力矩，角冲量，规律：规律：刚体定轴转动定律，刚体定轴转动定律， 角动量定理的微分形式和积分形式，角动量定理的微分形式和积分形式， 角动量守恒定律，角动量守恒定律， 2021/6/1635.

3、1 5.1 角动量角动量 转动惯量转动惯量一、角动量一、角动量由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜采用动量来量度转动物体的机械运动量。说明不宜采用动量来量度转动物体的机械运动量。*引入与动量引入与动量 对应的角量对应的角量 角动量（动量矩）角动量（动量矩）问题：问题：将一绕通过质心的固定轴转将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为多少？动量为多少？CM动量对参考点（或轴）求矩动量对参考点（或轴）求矩2021/6/1641.

4、1.质点的角动量质点的角动量定义：定义：大小：大小：方向：方向：xyzmo o2021/6/165物理意义：物理意义：* *质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。转运动的强弱。* *必须指明参考点，角动量才有实际意义。必须指明参考点，角动量才有实际意义。2021/6/1662.2.质点系角动量质点系角动量系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和oo有有：对质心：对质心无无：对参考点：对参考点与与i无关无关2021/6/167第一项：第一项：即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，该即将质点系

5、全部质量集中于质心处的一个质点上，该质点对参考点的角动量质点对参考点的角动量以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运动，称为质点系的动，称为质点系的轨道角动量轨道角动量。2021/6/168由由第二项：第二项：质心对自己的位矢质心对自己的位矢与与 i 无关无关2021/6/169反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O O的选择无关，的选择无关，描述系统的内禀性质：描述系统的内禀性质：第三项：第三项：各质点相对于质心角动量的矢量和各质点相对于质心角动量的矢量和于是：于是：与与 i 有关有关2021/6/16103

6、.3.定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量即即对对的角动量：的角动量：转轴转轴 角速度角速度刚体上任一质点刚体上任一质点转轴与其转动平面交点转轴与其转动平面交点 绕绕 圆周运动半径为圆周运动半径为 转动转动平面平面2021/6/1611刚体对刚体对 z 轴的总角动量为：轴的总角动量为：在轴上确定正方向，角速度在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则表示为代数量，则定义质点对定义质点对 z 轴的角动量为轴的角动量为:对质量连续分布的刚体：对质量连续分布的刚体：2021/6/1612刚体对刚体对 z 轴的总角动量为：轴的总角动量为：令：令：二、刚体对轴的转动惯量二、刚体对轴的转动惯量1.1.

7、定义定义刚体对某定轴的转动惯量等于其各质点的质量与刚体对某定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和。该质点到转轴距离的平方之积求和。若质量连续分布，则若质量连续分布，则转动惯量转动惯量2021/6/1613刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 J J与刚体总质量有关与刚体总质量有关与刚体质量分布有关与刚体质量分布有关与转轴的位置有关与转轴的位置有关2. 2. 计算计算积分元选取：积分元选取：2021/6/1614练习练习1.由长由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过对过 A 垂直于纸面的轴的转动惯量垂直于纸面的轴的转动惯量20

8、21/6/16152. 一长为一长为的细杆，质量的细杆，质量 m 均匀分布均匀分布 ，求该杆对过，求该杆对过杆一端端点且垂直于杆的杆一端端点且垂直于杆的 z 轴的转动惯量。轴的转动惯量。z2021/6/16163. 求质量求质量 m ,半径半径 R 的均匀球壳对直径的转动惯量的均匀球壳对直径的转动惯量解：解：取离轴线距离相等的点的集合取离轴线距离相等的点的集合 为积分元为积分元m2021/6/16174. 求质量求质量 m ,半径半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量的均匀球体对直径的转动惯量解：解：以距中心以距中心 ，厚，厚 的球壳的球壳 为积分元为积分元m2021/6/1618教材教材P.9

9、3 一些均匀刚体的转动惯量表一些均匀刚体的转动惯量表2021/6/1619注意：注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。对同轴的转动惯量具有可加减性。or1r2m1m2同轴圆柱同轴圆柱r1r2m1m2空心圆盘空心圆盘z2021/6/1620平行轴定理平行轴定理正交轴定理正交轴定理对平面刚体对平面刚体证明见教材证明见教材9292页页2021/6/1621练习：练习：求长求长 L、质量、质量 m 的均匀杆对的均匀杆对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量解解2.解解3.解解1.用其它方法求：用其它方法求：2021/6/1622一、质点角动量的时间变化率一、质点角动量的时间变化率质点位矢质点位矢合力合力5.2

10、5.2 角动量的时间变化率角动量的时间变化率 力矩力矩2021/6/1623二、力矩二、力矩1. 1. 对参考点的力矩：对参考点的力矩：大小：大小：方向：方向：服从右手定则服从右手定则质点角动量的时间变化率等于质点角动量的时间变化率等于质点所受合力的力矩质点所受合力的力矩力矩力矩2021/6/16242. 2. 对轴的力矩对轴的力矩第一项第一项方向垂直于轴，其效果是改方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位，在定轴问题中，变轴的方位，在定轴问题中，与轴承约束力矩平衡。与轴承约束力矩平衡。第二项第二项方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为力对轴的矩，表为代

11、数量：称为力对轴的矩，表为代数量：2021/6/1625即：即：力对力对 o 点点 的力矩在的力矩在 z 轴方向的分量轴方向的分量注意：注意：力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。矢量和矢量和代数和代数和2021/6/1626思考：思考：合力为零时，其合力矩是否一定为零？合力为零时，其合力矩是否一定为零？合力矩为零时，合力是否一定为零？合力矩为零时，合力是否一定为零？例：例：2021/6/1627三、质点系角动量的时间变化率三、质点系角动量的时间变化率对对个质点个质点 组成的质点系，由组成的质点系，由可得可得两边求和得两边求和得2021/6/1628于是于

12、是质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和外力矩的矢量和 ( (合外力矩合外力矩 ) )由图可知由图可知2021/6/1629注意：注意： 合外力矩合外力矩 是质点系所受各外力矩是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。的矢量和，而非合力的力矩。注意：注意：质点系内力矩的作用质点系内力矩的作用不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量在系内各质点间的分配。在系内各质点间的分配。2021/6/1630 例例 质量为质量为 ，长为，长为 的细杆在水平粗糙桌面上的细杆在水平粗糙桌面上绕过其一端的竖直轴旋转

13、，杆的密度与离轴距离成正绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正比，杆与桌面间的摩擦系数为比，杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。，求摩擦力矩。 解：解： 设杆的线密度设杆的线密度2021/6/16312021/6/1632实际意义实际意义半径半径 R ，质量，质量 m 的匀质圆盘，与桌的匀质圆盘，与桌面间摩擦系数面间摩擦系数 ，求摩擦力矩求摩擦力矩等效等效简化模型：简化模型：长长 R ，线密度，线密度 总质量总质量 m 的细杆的细杆2021/6/1633本讲内容：三个基本概念本讲内容：三个基本概念1.1.角动量角动量质点质点质点系质点系定轴刚体定轴刚体2. 2. 转动惯量转动惯量3.

14、3.力矩力矩2021/6/16341.1.角动量角动量质点质点质点系质点系定轴刚体定轴刚体2. 2. 转动惯量转动惯量5.1 5.1 角动量角动量 转动惯量转动惯量上讲上讲2021/6/16355.2 5.2 角动量的时间变化率角动量的时间变化率( (续续) )一、质点角动量的时间变化率一、质点角动量的时间变化率质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩二、力矩二、力矩1. 1. 对参考点的力矩：对参考点的力矩：2. 2. 对对z轴的力矩轴的力矩: :对参考点的力矩在对参考点的力矩在z轴上的投影。轴上的投影。2021/6/1636三、质点系角动量的时间

15、变化率三、质点系角动量的时间变化率质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和。外力矩的矢量和。内力矩不影响总角动量，只改变质点系总角动量内力矩不影响总角动量，只改变质点系总角动量在质点系内的分配。在质点系内的分配。2021/6/1637四四. . 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律由由得得刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律2021/6/1638比较比较是物体转动惯性的量度。是物体转动惯性的量度。是物体平动惯性的量度。是物体平动惯性的量度。改变物体平动状态的原因改变物体平动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因地位相同地位相

16、同刚体定轴转动问题刚体定轴转动问题平动问题平动问题矢量式矢量式标量式标量式2021/6/1639例例1:1: 一定滑轮的质量为一定滑轮的质量为 ，半径为，半径为 ，一轻绳，一轻绳两边分别系两边分别系 和和 两物体挂于滑轮上，绳不伸两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。已知：已知：求：求：思路：思路：质点平动与刚体定轴转动关联问题，质点平动与刚体定轴转动关联问题，隔离法，分别列方程，隔离法，分别列方程，先求角加速度先求角加速度2021/

17、6/1640解：解：在地面参考系中，分别以在地面参考系中，分别以 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程。和刚体定轴转动定律建立方程。思考：思考：2021/6/1641+四个未知数：四个未知数：三个方程三个方程 ？绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：解得解得滑轮滑轮 m：以顺时针方向为正方向：以顺时针方向为正方向2021/6/1642 如图示，两物体质量分别为如图示，两物体质量分别为 和和 ，滑轮质量，滑轮质量为为 ，半径为，半径为 。已知。已知 与桌面间的滑动摩擦系与桌面间的

18、滑动摩擦系数为数为 ，求，求 下落的加速度和两段绳中的张力。下落的加速度和两段绳中的张力。 解：解：在地面参考系中，选取在地面参考系中，选取 、 和滑轮为研究和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得： 练习练习1.2021/6/1643列方程如下：列方程如下：可求解可求解向里向里+ +2021/6/1644例例2. 质量为质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为、长为 l 的匀质柔软绳的匀质柔软绳索（如图）。设绳

19、与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为差为 s 时，绳的加速度的大小。时，绳的加速度的大小。解：解：在地面参考系中，建立如图在地面参考系中，建立如图 x 坐标，设绳两端坐标分别为坐标，设绳两端坐标分别为x1，x2，滑轮半径为滑轮半径为 r 有：有：ox1x2sMABrx2021/6/1645用隔离法列方程：（以逆时针方向为正）用隔离法列方程：（以逆时针方向为正）T1JT2.CAT1mAg.CBT2mBgoox1x2sMABrxCBCA2021/6/1646解得：解得：ox1x2sMABrxCBCA2021/6/16475.3 5.3 角动量

20、定理角动量定理一、角动量定理的微分形式一、角动量定理的微分形式1.1.质点质点2.2.质点系质点系3.3.定轴刚体定轴刚体2021/6/1648二、角动量定理的积分形式二、角动量定理的积分形式积分形式积分形式 （有限时间过程）（有限时间过程）微分微分形式形式质点质点质点系质点系定轴定轴刚体刚体瞬时瞬时效应效应2021/6/1649注意注意1. 力矩对时间的积累：力矩对时间的积累：角冲量（冲量矩）角冲量（冲量矩）定义：定义：效果：效果：改变角动量改变角动量3. 同一式中，同一式中， 等角量等角量 要对同一参考点或同一轴计算。要对同一参考点或同一轴计算。一定时间过程的变化量与一定时间过程的变化量与

21、 对应对应时间变化率与时间变化率与 对应对应2.比较：比较：一定时间过程的变化量与一定时间过程的变化量与 对对应应时间变化率与时间变化率与 对应对应2021/6/1650三、角动量定理的应用举例三、角动量定理的应用举例旋进旋进(进动进动)录象录象1-2-9 角动量定理角动量定理 8 8分钟分钟1.1.回转仪实验：回转仪实验： 如图所示的杠杆陀如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪高速旋螺仪。当陀螺仪高速旋转时，移动平衡物转时，移动平衡物B B，杆，杆不会倾斜，而是在水平不会倾斜，而是在水平面内绕面内绕O O旋转。这种运动旋转。这种运动称为旋进运动，它是在称为旋进运动，它是在外力矩作用下产生的回外力矩作

22、用下产生的回转效应转效应。2021/6/1651(1) 若若 时：时： 在重力矩在重力矩 作用下，作用下， 陀螺将绕垂直于黑板的轴转动，陀螺将绕垂直于黑板的轴转动， 即倒地。即倒地。（2）当时：）当时： 重力矩重力矩 ， 将不改变将不改变 的大小，的大小， 只改变只改变 的方向。的方向。 使陀螺绕竖直轴旋转使陀螺绕竖直轴旋转旋进旋进2.陀螺陀螺2021/6/1652重力矩始终不改变角动量的大小，只改变角动量的方重力矩始终不改变角动量的大小，只改变角动量的方向。形成角速度矢量不断向外力矩方向靠拢的趋势。向。形成角速度矢量不断向外力矩方向靠拢的趋势。最终效果：最终效果：陀螺绕竖直轴旋转陀螺绕竖直轴

23、旋转旋进旋进旋进角速度：旋进角速度：2021/6/16533.3.车轮的旋进车轮的旋进讨论：讨论：改变改变 的方向，旋进方向是否改变？的方向，旋进方向是否改变？改变配重改变配重 ，对旋进有什么影响？，对旋进有什么影响？用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？什么现象？1. 2. 32021/6/16544 4、炮弹的旋进、炮弹的旋进c5 5、旋进现象在自然界广泛存在：、旋进现象在自然界广泛存在：地球的旋进；地球的旋进；用电子在外磁场中的旋进解释物质用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化的本质；的磁化的本质；.录像片：录像片：1 12 29 9角动量守恒定律角

24、动量守恒定律1010分钟分钟2021/6/1655开普勒的宇宙模型：开普勒的宇宙模型：行星轨道在正多面行星轨道在正多面体的内接、外切球面上。体的内接、外切球面上。15971597年发表于神秘的宇宙由此成为年发表于神秘的宇宙由此成为第谷的学生和助手。第谷的学生和助手。16091609年探索成因的新天文学或天体物理学年探索成因的新天文学或天体物理学 ：第一定律：椭圆轨道定律（否定圆轨道）；第一定律：椭圆轨道定律（否定圆轨道）；第二定律：等面积定律（否定匀速率运动）。第二定律：等面积定律（否定匀速率运动）。16191619年宇宙的和谐年宇宙的和谐 ：第三定律：周期定律（建立各行星轨道间的联系）第三定

25、律：周期定律（建立各行星轨道间的联系）开创了物理学中将实验观测数据表达为准确的数学开创了物理学中将实验观测数据表达为准确的数学定律的先河。定律的先河。2021/6/16565.3 5.3 角动量守恒定律角动量守恒定律一、角动量守恒定律一、角动量守恒定律分量式：分量式：对定轴转动刚体，当对定轴转动刚体，当时，时，恒矢量恒矢量由角动量定理：由角动量定理：研究对象：研究对象：质点系质点系2021/6/1657当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量守恒。守恒。角动量

26、守恒定律：角动量守恒定律：2.2.守恒条件守恒条件或或能否为能否为注意注意1.1.与动量守恒定律对比与动量守恒定律对比当当时，时，恒矢量恒矢量恒矢量恒矢量当当时，时，彼此独立彼此独立2021/6/1658 角动量守恒现象举例角动量守恒现象举例 适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子.为什么银河系呈旋臂盘形结构？为什么银河系呈旋臂盘形结构？为什么猫从高处落下时总能四脚着地？为什么猫从高处落下时总能四脚着地？体操运动员的体操运动员的“晚旋晚旋”芭蕾、花样滑冰、跳水芭蕾、花样滑冰、跳水.为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？茹科夫斯

27、基凳实验茹科夫斯基凳实验2021/6/1659例例1. 一半径为一半径为R、质量为、质量为 M 的转台，可绕通过其中心的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动的竖直轴转动, 质量为质量为 m 的人站在转台边缘，最初人的人站在转台边缘，最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力不计阻力)，相，相对于地面，人和台各转了多少角度？对于地面，人和台各转了多少角度？R思考：思考：1.1.台为什么转动？向什么方向台为什么转动？向什么方向转动？转动？2.2.人相对转台跑一周，相对于人相对转台跑一周，相对于地面是否也跑了一周？地面是否也跑了一周？3.3.人和台相对于地面转过的

28、角人和台相对于地面转过的角度之间有什么关系？度之间有什么关系？2021/6/1660选地面为参考系，设对转轴选地面为参考系，设对转轴人：人：J J , , ; ; 台：台：J J , , 解：解：系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：R设人沿转台边缘跑一周的时间为设人沿转台边缘跑一周的时间为 t2021/6/1661人相对地面转过的角度：人相对地面转过的角度：台相对地面转过的角度：台相对地面转过的角度：2021/6/1662二二. 有心力场中的运动有心力场中的运动物体在物体在有心力有心力作用下的运动作用下的运动力的作用线始终通过某力的作

29、用线始终通过某定点定点的力的力力心力心有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体对力心的角动量守恒。对力心的角动量守恒。应用广泛，例如：应用广泛，例如： 天体运动天体运动（行星绕恒星、卫星绕行星（行星绕恒星、卫星绕行星.） 微观粒子运动微观粒子运动（电子绕核运动；原子核中质子、中（电子绕核运动；原子核中质子、中子的运动一级近似；加速器中粒子与靶核散射子的运动一级近似；加速器中粒子与靶核散射.）2021/6/1663例例2. 已知：已知：地球地球 R=6378 km 卫星卫星 近地：近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1 远地远地:

30、h2= 2384 km 求求 ： v2=?h2h1解：解：建立模型建立模型 卫星卫星质点质点 m 地球地球均匀球体均匀球体O dFmdmdmdF1dF2对称性：对称性：引力矢量和过地心引力矢量和过地心 对地心力矩为零对地心力矩为零卫星卫星 m 对地心对地心 o 角动量守恒角动量守恒2021/6/1664卫星卫星 m 对地心对地心 o 角动量守恒角动量守恒增加通讯卫星的可利用率增加通讯卫星的可利用率探险者号卫星偏心率高探险者号卫星偏心率高近地近地远地远地h1h2R.o2021/6/1665地球同步卫星的定点保持技术地球同步卫星的定点保持技术 卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零卫星轨道平面与地球赤

31、道平面倾角为零轨道严格为圆形轨道严格为圆形运行周期与地球自转周期完全相同运行周期与地球自转周期完全相同 （2323小时小时5656分分4 4秒）秒） 严格同步条件严格同步条件地球同步卫星：地球同步卫星：相对地球静相对地球静止，定点于赤道上空，轨道止，定点于赤道上空，轨道半径约半径约36000km，实现全球，实现全球24小时通信。小时通信。2021/6/1666地球扁率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂移地球扁率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂移用角动量、动量守恒调节用角动量、动量守恒调节 定点保持技术定点保持技术研究微观粒子相互作用规律研究微观粒子相互作用规律 自学教材自学教材P108例

32、例42021/6/1667第五章第五章 角动量角动量 角动量守恒角动量守恒 习题课习题课复习提要：复习提要：三个概念，两条规律三个概念，两条规律一、转动惯量一、转动惯量二、角动量二、角动量 质点质点 质点系质点系定轴刚体定轴刚体 三、力矩三、力矩2021/6/1668质点质点质点系质点系定轴刚体定轴刚体五、角动量守恒五、角动量守恒四、角动量定理四、角动量定理2021/6/1669例例1 .1 .已知：已知：两平行圆柱在水平面内转动，两平行圆柱在水平面内转动，求：求：接触且无相对滑动时接触且无相对滑动时.o1m1R1.o2R2m2o1.o2.请自行列式。请自行列式。2021/6/1670解解1：

33、因摩擦力为内力，外力过轴因摩擦力为内力，外力过轴 ，外力矩为零，则，外力矩为零，则J1 + J2 系统角动量守恒系统角动量守恒 ，以顺时针方向旋转为正：，以顺时针方向旋转为正：接触点无相对滑动：接触点无相对滑动：又：又：联立联立1 1、2 2、3 3、4 4式求解，对不对？式求解，对不对？ o1. o22021/6/1671问题：问题：（1）式中各角量是否对同轴而言？）式中各角量是否对同轴而言？ （2）J1 +J2 系统角动量是否守恒？系统角动量是否守恒？系统角动量不守恒！系统角动量不守恒！分别以分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：为研究对象，受力如图：o2F2o1.F1f1f2202

34、1/6/1672解解2：分别对分别对m1 , m2 用角动量定理列方程用角动量定理列方程设：设：f1 = f2 = f ， 以顺时针方向为正以顺时针方向为正m1对对o1 轴：轴：m2对对o2 轴：轴：接触点：接触点：o2F2o1.F1f1f22021/6/1673联立各式解得：联立各式解得：2021/6/1674解解1：m 和和 m 2 系统动量守恒系统动量守恒 m v 0 = (m + m 2 ) v解解2： m 和和 (m1 + m 2 )系统动量守恒系统动量守恒m v 0 = (m + m 1 + m 2 ) v解解3： m v 0 = (m + m 2 ) v + m 1 2v以上解法

35、对不对？以上解法对不对？m2m1mA例例2. 已知：已知：轻杆，轻杆，m 1 = m , m 2 = 4m , 油灰球油灰球 m， m 以速度以速度v 0 撞击撞击 m 2 ，发生完全非弹性碰撞，发生完全非弹性碰撞 求：求：撞后撞后m 2的速率的速率 v ?2021/6/1675因为相撞时轴因为相撞时轴A作用力不能忽略不作用力不能忽略不计，故计，故系统动量不守恒系统动量不守恒。因为重力、轴作用力过轴，对轴因为重力、轴作用力过轴，对轴力矩为零，故力矩为零，故系统角动量守恒系统角动量守恒。由此列出以下方程：由此列出以下方程：或：或：得：得：m2m1mNyNxA2021/6/1676注意：区分两类冲

36、击摆注意：区分两类冲击摆 水平方向：水平方向： Fx =0 ， px 守恒守恒 m v 0 = ( m + M ) v 对对 o 点：点： ， 守恒守恒m v 0 l = ( m + M ) v l轴作用力不能忽略，动量不守恒，轴作用力不能忽略，动量不守恒，但对但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒轴合力矩为零，角动量守恒（1）olmM质点质点质点质点柔绳无切向力柔绳无切向力质点质点 定轴刚体定轴刚体（不能简化为质点）（不能简化为质点）(2)olmMFxFy2021/6/1677回顾习题回顾习题P84 4 -10mMFO2021/6/1678A、B、C系统系统 不守恒；不守恒；A、B、C系统对系统

37、对 o 轴角动量守恒轴角动量守恒回顾习题回顾习题P84 4 -11C BNxNyAo2021/6/1679练习：练习：已知已知 m = 20 克，克，M = 980 克克 ,v 0 =400米米/秒，秒，绳不可伸长。求绳不可伸长。求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v =?思考：思考：系统哪些物理量守恒？系统哪些物理量守恒？（总动量、动量分量、角动量）（总动量、动量分量、角动量）解：解：m、M系统水平方向动量守恒（系统水平方向动量守恒（F x =0)竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略）竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略）对对o 点轴角动量守恒（外力矩和为零）点轴角动量守恒（外力矩和为零）om

38、M或：或：v = 4 m.s-1得：得：2021/6/1680解：解：碰撞前后碰撞前后AB棒对棒对O的角动量守恒的角动量守恒思考：思考：碰撞前棒对碰撞前棒对O角动量角动量 L=? 碰撞后棒对碰撞后棒对O角动量角动量 =？例例3 . 已知：已知：匀质细棒匀质细棒 m , 长长 2l ；在光滑水平面；在光滑水平面内以内以 v 0 平动，与固定支点平动，与固定支点 O 完全非弹性碰撞。完全非弹性碰撞。 求：求：碰后瞬间棒绕碰后瞬间棒绕 O 的的v0clBAl / 2l / 2 O撞前：撞前： （1）思考：思考：碰撞后的旋转方向？碰撞后的旋转方向？2021/6/1681撞后：撞后：令：令：得：得：xC

39、-l/23l/2平行轴定理平行轴定理2021/6/1683例例 4 . P113 5 - 16有的恒星在其核燃料燃尽，达到生命末期时，会发有的恒星在其核燃料燃尽，达到生命末期时，会发生所谓生所谓超新星爆发超新星爆发，这时星体中有大量物质喷射到，这时星体中有大量物质喷射到星际空间，同时该星的内核向内收缩，坍缩成体积星际空间，同时该星的内核向内收缩，坍缩成体积很小、异常致密的很小、异常致密的中子星中子星。由于中子星的致密性和。由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在星体周围形成极强的磁场并极快的自转角速度，在星体周围形成极强的磁场并发射出很强的电磁波。当中子星的辐射束扫过地球发射出很强的电磁波。当

40、中子星的辐射束扫过地球时，地面上就测得脉冲信号。因此，中子星又称为时，地面上就测得脉冲信号。因此，中子星又称为脉冲星脉冲星。目前，我们探测到的脉冲星已超过。目前，我们探测到的脉冲星已超过550个。个。设某恒星绕自转轴每设某恒星绕自转轴每45天转一周，它的内核半径天转一周，它的内核半径 约为约为 ，坍缩为半径仅为，坍缩为半径仅为6000m的中子星，的中子星，将星体内核当作质量不变的匀质圆球，计算中子星将星体内核当作质量不变的匀质圆球，计算中子星的角速度。的角速度。2021/6/1684赫威斯赫威斯(1924(1924) ) 英国物理学家英国物理学家19671967年利用射电望远镜年利用射电望远镜

41、第一次发现了脉冲星。第一次发现了脉冲星。于于19741974年获诺贝尔奖。年获诺贝尔奖。脉冲星（左边照片中间白点为变亮的脉脉冲星（左边照片中间白点为变亮的脉冲星，右边为脉冲星变暗后的照片）冲星，右边为脉冲星变暗后的照片）2021/6/1685恒星：恒星： 发光的星体（亮度不一定恒定）发光的星体（亮度不一定恒定） 变星：变星： 较短时间内，亮度规则或不规则变化较短时间内，亮度规则或不规则变化 新星：新星： 亮度突然增大几千倍亮度突然增大几千倍超新星：超新星： 不到一天内亮度突然增大几亿倍，不到一天内亮度突然增大几亿倍，10秒内释秒内释放的能量比太阳在全部寿命中释放的总能量大放的能量比太阳在全部寿

42、命中释放的总能量大100倍，倍，其中光能占其中光能占10 - 4 ，已足以盖过整个银河发光的总和，已足以盖过整个银河发光的总和 ( 10 37 J/s ) 已确认的超新星爆炸事件：已确认的超新星爆炸事件：公元（年）：公元（年）： 185，1006， 1054， 1181， 1572， 1604， 1987，2021/6/16861054 年：年： 北宋记载，北宋记载， 目前遗迹：蟹状星云、中子星目前遗迹：蟹状星云、中子星.由此提出超新星爆发机制假说。由此提出超新星爆发机制假说。1987年年2月月23日日 ： 用观测对假说进行验证用观测对假说进行验证1987.2.23.格林威治时间格林威治时间7

43、：36空前强大的中微子流空前强大的中微子流扫过地球，扫过地球，16万年前起源于南半球星空的大麦哲伦星万年前起源于南半球星空的大麦哲伦星云。日本神岗云。日本神岗2号和美国号和美国IMB中微子探测站记录到讯中微子探测站记录到讯号。号。9：00新西兰天文爱好者偶然观察新西兰天文爱好者偶然观察SN1987A，未见，未见异常。异常。10：00澳大利亚天文学家拍下最初增亮照片。澳大利亚天文学家拍下最初增亮照片。2021/6/1687在智利工作的加拿大天文学家谢尔顿在智利工作的加拿大天文学家谢尔顿对照两张大麦哲伦星云的例行照片，发现刚拍的一张对照两张大麦哲伦星云的例行照片，发现刚拍的一张上多一个白点，疑为底

44、片上的尘埃，当他走出暗室向上多一个白点，疑为底片上的尘埃，当他走出暗室向天空望去，有幸成为自天空望去，有幸成为自16041604年以来第一个用肉眼看到年以来第一个用肉眼看到超新星爆发的人。超新星爆发的人。不到一天不到一天南半球几乎所有天文设备指向该位置。南半球几乎所有天文设备指向该位置。直到现在直到现在人类使用卫星、火箭、高空飞机人类使用卫星、火箭、高空飞机进进行全面观测。行全面观测。2021/6/1688雷蒙德雷蒙德.戴维斯（美国）；小柴昌俊（日本）戴维斯（美国）；小柴昌俊（日本）表彰他们在表彰他们在1987年超新星爆发中探测宇宙中微子，年超新星爆发中探测宇宙中微子，开创中微子天文学方面取得

45、的成就开创中微子天文学方面取得的成就与卡尔多与卡尔多.贾科尼（美国，发现宇宙贾科尼（美国，发现宇宙X射线源）共同射线源）共同获得获得2002年诺贝尔物理奖年诺贝尔物理奖 哈勃望远镜拍摄的超新哈勃望远镜拍摄的超新星星1987A1987A爆发的爆发的 结果结果, ,中央斑点是一个新的中中央斑点是一个新的中子星子星2021/6/1689北京时间北京时间20072007年年5 5月月8 8日消息，美国宇航局日消息，美国宇航局（NASANASA）钱德拉）钱德拉X X射线太空望远镜以及地面光学望射线太空望远镜以及地面光学望远镜近日观测到有史以来最强的超新星爆发。这远镜近日观测到有史以来最强的超新星爆发。这

46、一发现或许表明，超级爆发在早期宇宙中十分普一发现或许表明，超级爆发在早期宇宙中十分普遍，我们的银河系可能也将出现类似爆发。遍，我们的银河系可能也将出现类似爆发。 2021/6/1690NASA5NASA5月月7 7日在网站上公布了这一发现。自去年秋日在网站上公布了这一发现。自去年秋季被发现以来，许多天文学家对其进行了长达数月季被发现以来，许多天文学家对其进行了长达数月的跟踪观测。发现该超新星的研究小组负责人、加的跟踪观测。发现该超新星的研究小组负责人、加州大学伯克利分校的纳桑州大学伯克利分校的纳桑- -史密斯表示，该超新星史密斯表示，该超新星比此前有记录的上百颗超新星亮度高出比此前有记录的上百

47、颗超新星亮度高出5 5倍。倍。 超新星编号为超新星编号为SN2006gySN2006gy。观测显示，该超新星不会。观测显示，该超新星不会变成黑洞，而是直接跳跃至恒星的死亡阶段。一般变成黑洞，而是直接跳跃至恒星的死亡阶段。一般来说，超新星爆发的高峰阶段最多持续一周，而这来说，超新星爆发的高峰阶段最多持续一周，而这颗超新星持续时间已达颗超新星持续时间已达7070多天，亮度也非常高。多天，亮度也非常高。 2021/6/1691解：解：内核坍缩过程不受外力矩作用，内核坍缩过程不受外力矩作用， 对自转轴的角动量守恒对自转轴的角动量守恒得坍缩后的角速度为：得坍缩后的角速度为：注意：注意：在下次课前自学第六章，下次课总结。在下次课前自学第六章，下次课总结。2021/6/1692 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！