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1、量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化3.4.1 连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的一维粒子的动量本征值为一维粒子的动量本征值为的本征函数的本征函数(平面波平面波)为为可以取可以取中连续变化的一切中连续变化的一切实数实数值值.不难看出，只要不难看出，只要则则 在量子力学中在量子力学中, 坐标和动量的取值是连续变化坐标和动量的取值是连续变化的的; 角动量的取值是离散的角动量的取值是离散的; 而能量的取值则视边而能量的取值则视边条件而定条件而定.例如例如逊薯遭封悼泳孩棠增细殖票嘉嗜著玄赖直黎多澡
2、授餐仪歼果菩辙氏纳辫痛连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化 当然当然, ,任何真实的波函数都不会是严格的平任何真实的波函数都不会是严格的平面波面波, , 而是某种形式的波包而是某种形式的波包. . 它只在空间某有它只在空间某有限区域不为零限区域不为零. . 如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度大得多大得多, , 而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化极微极微, , 则不妨
3、用平面波来近似描述其状态则不妨用平面波来近似描述其状态. .是不能归一化的是不能归一化的.在上例中在上例中,连续谱的本征函数是不能归一化的连续谱的本征函数是不能归一化的.啮预惨织为酱披达裙醇恬刘唤啮逛石疤嘲祁鹃栓杆跺淬苦虚墒倪垄舞唉裕连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化 可以引用数学上的可以引用数学上的Dirac的的 为方便地处理连续谱本征函数的为方便地处理连续谱本征函数的“归一化归一化”, 我我们们 函数函数.3.4.2 函数函数 函数的定义函数的定义虏
4、阀淫浑粤擒牲驮缝淖泽闹秩嗽藏诬侗包钮咽浚医洋跋捍频爬抵授此烘探连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化由由Fourier积分公式积分公式, 对于分段连续函数对于分段连续函数(b)函数也可表成函数也可表成比较式比较式(a)与与(b),领域连续的任何函数领域连续的任何函数 对于在对于在(a)等价地表示为等价地表示为:躯峦骤碍支夫暗通啦候坝仇鄙鉴张份颊腆涝判肥雇蹈扑婴抱埋互盂涝篓坟连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二
5、版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化平面波的平面波的“归一化归一化”问题问题, 还可以采用数学上还可以采用数学上传统的做法传统的做法 即先让粒子局限于有限空间即先让粒子局限于有限空间 中运动中运动 (最最 后才让后才让 ). 动量本征态为动量本征态为 在周期条件下在周期条件下3.4.3 箱归一化箱归一化 此时此时, 为了为了保证动量算符保证动量算符 为厄米算符为厄米算符,就要就要求波函数满足周期性边条件求波函数满足周期性边条件.佑扑酿蜀疏首悔穗荫滨将匪哼阻谍搏罐琴霜栅境楞枫魏咱速奔归惊凤羊锑连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归
6、一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化 同样同样, 不能归一化的坐标本征态也可类似处理不能归一化的坐标本征态也可类似处理.因此因此, 若取动量本征态为若取动量本征态为则则 这样这样,就用就用 函数的形式把平面波的函数的形式把平面波的“归一化归一化”表示出来了表示出来了.陶捷癌磋浴女掏褐藻有妓锄李关垣废骆踪精诡碰耍为掺掩斋状竟媚钩蜒央连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化由
7、周期条件由周期条件, 得得(粒子波长粒子波长 即即 ). 即即 或或 所以所以 或或可以看出可以看出 动量的可能取值动量的可能取值 就是不连续的就是不连续的.只要只要啸他萝缝氓酌违方温途阀母炬二谣注蝉搞廓来垃声裹蒙辐料我如派擎贸帐连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化此时此时, 与与 相应的动量本征态取为相应的动量本征态取为利用正交归一化条件利用正交归一化条件利用这一组正交归一完备的函数利用这一组正交归一完备的函数 ,可以构成可以构成如下如下 函数函数: 阐
8、简盐虞赵应琳芭逛轩俏涸凰二泥偷烦一受氢膘频稍键赖蔫魁沿涕桥剪倒连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化现在让现在让即动量的可能取值趋于连续变化即动量的可能取值趋于连续变化. 于是于是此时此时, 可以把可以把 , 而而或或朽腋隋唾但与裕藻党羌伏汛竞启渤刊示利帅会悯然长酸茵公拣仇堰尤娥砒连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化在处
9、理具体问题时在处理具体问题时,如要避免如要避免计算过程中计算过程中出现的平面出现的平面波波“归一化归一化”困难困难, 则可以用箱归一化波函数则可以用箱归一化波函数 代替不能归一化的代替不能归一化的 . 在计算的在计算的最后结果最后结果才让才让 .正交完备的归一化波函数为正交完备的归一化波函数为 结论结论则则 函数可如下构成函数可如下构成:三维情况三维情况 玩蒂声波贼泻皆淳求按趾秧拐储恶妮锯屏鸳谗习啡膘眉抛鸭辛咨泳喀绚鸳连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化
10、上式表明上式表明, 相空间一个体积元相空间一个体积元 相当于有一个量子态相当于有一个量子态.而而最后最后, 当当 时时 将连续变化将连续变化景赞伴姥歇狸橙仙差秘岸孝泰仑塔宠涵斌语昏肪落粘客批座瓶碑仅睁柬蓄连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化设有设有一组彼此对易一组彼此对易,且函数独立的厄米算符且函数独立的厄米算符 它们的它们的共同本征函数共同本征函数记为记为 , 是是一组量子数一组量子数的笼统记号的笼统记号.3.4.4 力学量完全集力学量完全集定义定义 设
11、给定设给定 之后之后就能够确定体系的一个可能状态，就能够确定体系的一个可能状态，则称则称 构成体系的一组力学量完全集构成体系的一组力学量完全集.拜涅旷哦配楞潍骋听辩蔼根初劈优撩密碳噬齿胯嘛钥慷讶妨围痒磷彝咀蒋连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化 表示在表示在 下测量下测量 得到得到 值的概率值的概率.这是波函数统计诠释的一般表述这是波函数统计诠释的一般表述.按照态叠加原理按照态叠加原理, 体系的任何一个状态体系的任何一个状态 均可用均可用 展展开开 (这里
12、假定这里假定 的本征值是的本征值是离散的离散的)利用利用 的正交归一性的正交归一性 的归一化条件的归一化条件护腑离一悠痉赡辫木低藩热须舀芹活澜乞锤绚砌侣特沪譬芝硫直领稼臻毯连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化例如例如 一维谐振子一维谐振子, Hamilton 量本身就构成力学量完全量本身就构成力学量完全集集(也是也是守恒量完全集守恒量完全集).对于一维自由粒子对于一维自由粒子 由于能量本征态有简由于能量本征态有简并并,并不构成力学量完全集并不构成力学量完全
13、集.但把空间反射但把空间反射 考虑进去考虑进去,力学量完全集可以选为力学量完全集可以选为 对于一维粒子对于一维粒子,动量动量 就构成力学量完全集就构成力学量完全集与此类似与此类似,坐标坐标 也可以构成力学量完全集也可以构成力学量完全集.从欣邪屎锚曰筛痰碾盼矢空脚辆盏畴凡共矽古玲评粥挪唱串苟闰豆灼塘胶连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化注意注意 体系的一组力学量完全集中体系的一组力学量完全集中,力学量的个数力学量的个数并不一定等于自由度的数目并不一定等于自由
14、度的数目.一般说来一般说来,力学量完全集力学量完全集中力学量的个数中力学量的个数体系的自由度数目体系的自由度数目. 用一组力学量完全集的共同本征函数来展开体用一组力学量完全集的共同本征函数来展开体系的任意波函数系的任意波函数,在数学上涉及在数学上涉及完备性完备性这样一个颇这样一个颇为复杂的问题为复杂的问题.艾程把轮怒饼衰冗腋革代泣悄毙疹湿郊斤铅纷梢泉粉帆衫仆敌顶片盂鸣慑连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化经验经验 如如力学量完全集中包含有体系的力学量完全集
15、中包含有体系的Hamilton量量, 而而本征值又有下界本征值又有下界, 则可以证明则可以证明, 这一这一组力学量完全集的共同本征态构成该体系的态组力学量完全集的共同本征态构成该体系的态空间的一组完备的基矢空间的一组完备的基矢, 即体系的任何一个态即体系的任何一个态均可用它们展开均可用它们展开. 自然界中实际的物理体系的自然界中实际的物理体系的 的本征值都有的本征值都有下界下界. 因此因此, 体系的任何态总可以用包含体系的任何态总可以用包含 在内在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开的一组力学量完全集的共同本征态来展开. 在在 不显含不显含 的情况下的情况下,这种力学量完全集称为这种力学量完
16、全集称为守恒量完全集守恒量完全集. 在量子力学中在量子力学中, 找寻体系的守恒量完找寻体系的守恒量完全集是一个极重要的问题全集是一个极重要的问题.蛮善剃踌曹纷舅销各亿撼逐导禾墩炽泽筛族莉洪老甲爽进勒尝潞蛛喝内尚连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化 量子力学中的量子力学中的力学量用相应的线性厄米算符来力学量用相应的线性厄米算符来表达表达, 其含义如下其含义如下:实验上实验上观测观测 的可能值的可能值, 必为算符必为算符 的某一本征值的某一本征值.在量子态在量
17、子态 之下之下, 力学量力学量 的的平均值平均值由下式确定由下式确定,力学量之间的关系通过力学量之间的关系通过相应的算符之间的关系反相应的算符之间的关系反映出来映出来. 例如两个力学量例如两个力学量 与与 可以同时具有确可以同时具有确定的观测值的必要条件定的观测值的必要条件, 在一般情况下在一般情况下,为为反之反之, 若若 则一般说来则一般说来, 力学量力学量 与与 不不能同时测定能同时测定.磐送幸稚宁疚贤脑钳捣涤审烂怀凝据掉震拥检铸暴数孪轰新门尽央彩洪沼连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.4 3.4 连连 续续 谱谱 本本 征征 函函 数数 的的 归归 一一 化化 特别是特别是, 在在 不显含不显含 的情况下的情况下,一个力学量一个力学量是否是守恒量是否是守恒量,可以根据可以根据 与与 是否是否对易对易来判断来判断.具体详见具体详见 4.1 节节!摄仅胚拭芽化糜溉躁躁二惰霹蔼厄撇蚕蔓烧众菜寞创慕禽磐耶拒抛控试更连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的
