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1、或_. 第 2 讲 等差数列1等差数列的概念如果一个数列从第二项起，_等于同一个常数 d，这个数列叫做等差数列，常数 d 称为等差数列的_2通项公式与前 n 项和公式3(1)通项公式 _，a1 为首项，d 为公差(2)前 n 项和公式_每一项与它前一项的差公差ana1(n1)d3等差中项如果_成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项即：A 是 a 与 b 的等差中项_a、A、b 成等差数列4等差数列的判定方法(1)定义法：_(nN*，d 是常数)an是等差数列(2)中项法：_ (nN*)an是等差数列(3)通项公式法：_(k、b 是常数)an是等差数列(4)前 n 项和公式法：_(A
2、、B 是常数，A0)an是等差数列a,A,b2Aaban1and2an1anan2anknbSnAn2Bn1设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，已知a23，a611，则 S7 等于( )A13C49B35D. 632已知an为等差数列，a1a38，S410，则a6 等于( )A4C12B8D163已知Sn为等差数列an的前 n 项和，a49，a96，Sn63，则 n_.CC6 或 75已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和，a11，a47，Sn100，则 n_.10考点 1 等差数列的基本量运算例 1：等差数列an的前n项和记为Sn，已知 a1020，S10155.(1)求数列an的通项
3、公式；(2)若 Sn410，求 n.a1a10a120解析：(1)由S102n210155，得：a111，a10a19d20119dd1，【互动探究】1等差数列an的首项a15，它的前 11 项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的 10 项的平均值为 4.6，则抽去的是( )Aa6Ba8Ca10Da111110解析：已知S1155，即11a12d55，又a15，d2，由已知an55469，即5(n1)29，解得 n8.ana1(n1)d10n.(2)Snna1n(n1)2d11nn(n1)2410n221n8200，解得：n20 或n41(舍去)B考点 2 求等差数列的前 n 项和解题思路：利
4、用方程的思想将Sn表示成关于a1、d 的方程，或利用等差数列的性质解析：方法一：设等差数列的公差为 d， 例 2：已知Sn为等差数列an的前 n 项和，S10100，S10010，求 S110. 等差数列中解决和求和问题，通常利用 是等差数列的性质或基本量法【互动探究】2等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 6S55S35，则a4=_.考点 3 等差数列性质的应用例 3：(1)已知Sn 为等差数列an的前 n 项和，a6100，则S11_；(2)若一个等差数列的前 4 项和为 36，后 4 项和为 124，且所有项的和为 780，则这个数列的项数 n_.解题思路：(1)利用等差数列的有关性质
5、求解(2)利用等差数列的前4项和及后4项和求出a1an，代入Sn 可求项数n.解析：(1)S1111(a1a11)2112a6211a61 100.(2)a1a2a3a436，anan-1an-2an-3124，a1ana2an-1a3an-2a4an-3，4(a1an)160a1an40，Snn(a1an)278020n780n39.【互动探究】3一个等差数列的前 4 项之和是 40，最后 4 项之和为 80，所有项之和是 210，则项数 n 是( )A12B14C16D18误解分析：解本题易出现的错误就是：(1)由an0 得，n5理解为n5，得出结论：Sna1a2a3a4a550(n5)，
6、B 错源：忽略对n进行分类讨论 例 4：已知一个等差数列an的通项公式 an255n，求数列 |an| 的前 n 项和 Sn.(205n)(n5)Sn2.(2)把“前 n 项和”认为“从 n6 起”的和事实上，本题要对n进行分类讨论正解：由an0 得n5，an前5 项为非负，从第6 项起为负，【互动探究】 4已知Sn为等差数列an的前 n 项和，Sn12nn2. (1)求|a1|a2|a3|;纠错反思：等差数列各项绝对值之和问题，其解题基本思路是去绝对值符号，先判断从第几项起为负，进而转化为等差数列求和问题；含字母运算时要注意分类讨论.解：Sn12nn2，当 n1 时，a1S112111，当
7、n2 时，anSnSn-1(12nn2)12(n1)(n1)2132n，当 n1 时，132111a1，an132n.由 an132n0，得 n132，当 1n6 时，an0；当 n7 时，an0.(2)求|a1|a2|a3|a10|；(3)求|a1|a2|a3|an|.例 5：设等差数列an的前 n 项和为Sn，已知a312，S120，S130.(1)求公差 d 的取值范围；(2)指出S1、S2、S12中哪一个值最大，并说明理由(2)方法一：由d0，可知a1a2a3a12a13.因此，若在1n12 中，存在自然数n，使得an0，an+10，则Sn 就是S1、S2、S12 中的最大值由于S126(a6a7)0，S1313a70，即a6a70，a70，由此得a6-a70.故在S1、S2、S12 中S6 的值最大【互动探究】5已知等差数列an a125，S17S9.(1)求an的通项公式；(2)S1、S2、Sn 哪一个最大？并求出最大值等差数列的常用性质：(1)数列an是等差数列，则数列anp、pan(p 是常数)都是等差数列(2)anam(nm)d，ananb(a、b 是常数)，Snan2bn(a、b 是常数，a0)(3)若 mnpq(m、n、p、qN*)，则 amanapaq.
