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1、函数的性函数的性质 -对称性、周期性称性、周期性函数周期性和对称性(1)(1)若若 关于直关于直线 对称称一、函数的一、函数的对称性称性若函数若函数 上任意一点关于某直上任意一点关于某直线（或某点）的（或某点）的对称点仍在称点仍在 上，就称上，就称 关于某直关于某直线（或某点）（或某点）对称，称，这种种对称性称称性称为自自对称。称。(2)(2)若若 关于点关于点 对称称两个恒等式的形式均不唯一，要两个恒等式的形式均不唯一，要记住本住本质构造构造. .函数周期性和对称性定理：若函数 满足 ，那么函数以 为对称轴。cor.若函数 满足 ，那么函数以 为对称轴。即：YXOABX=a函数周期性和对称性
2、定理：若函数 满足 ，那么函数关于点 对称。cor.若函数 满足 ，那么函数关于点 对称 。 即：YXOAB(a,0)函数周期性和对称性2)2)若若 , ,则函数函数 关于关于_对称称; ;注：注：1.1.当当 时,函数关于直函数关于直线 对称称 2. 2.当当 时, ,函数关于点函数关于点 对称称偶函数偶函数-特殊的特殊的轴对称函数称函数奇函数奇函数-特殊的点特殊的点对称函数称函数一般地一般地,1),1)若若 , ,则函数函数 关于关于 对称称. .函数周期性和对称性y=f(x)对称源对称源性质性质点点(0,0)y轴轴y=xx=m点点(m,n)f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)f(x
3、)=f-1(x)f(x)=f(2m-x)f(x)=2n-f(2m-x)Ex:Ex:若函数若函数 12函数周期性和对称性关于关于x=0对称称例例1 1：已知：已知 的的图象象, ,画出画出 和和 的的图象，并象，并指出两者的关系。指出两者的关系。(-(-1,0)1,0)(1,0)(1,0)若函数若函数 上任意一点关于某直上任意一点关于某直线（或某点）的（或某点）的对称点在称点在 上，就称上，就称 和和 关于某关于某直直线（或某点）（或某点）对称，称，这种种对称性称称性称为互互对称。称。函数周期性和对称性一般地一般地, , 函数函数 和和 关于关于_对称称. .记忆：令：令x+a=-x+bx+a=
4、-x+b，可求得，可求得对称称轴. .变化前变化前对称源对称源变化后变化后y=f(x)y=f(x)点点(0,0)(0,0)x x轴轴y y轴轴y=xy=xy=-xy=-x直线直线x=mx=m直线直线y=ny=n点点(m,n)(m,n)y=-f(-x)y=-f(-x)y=-f(x)y=-f(x)y=f(-x)y=f(-x)y=fy=f-1-1(x)(x)y=-fy=-f-1-1(-x)(-x)y=f(2m-x)y=f(2m-x)y=2n-f(x)y=2n-f(x)y=2n-f(2m-x)y=2n-f(2m-x)函数周期性和对称性例例3 3：设 的的图象与象与 的的图象关象关于直于直线 对称，求称
5、，求 的解析式。的解析式。 例例2:2:将函数将函数 右移右移2 2个个单位得到位得到图像像C C1 1，有，有C C1 1和和C C2 2的的图像关于点像关于点 对称，求称，求C C2 2的函数的函数解析式。解析式。利用利用对称性求解析式称性求解析式（一）、互（一）、互对称称问题常用常用轨迹代入法求解析式迹代入法求解析式函数周期性和对称性例例4 4：设 图象关于直象关于直线 对称称, ,在在 上，上， 求当求当 时 的解析式。的解析式。例例5 5：设 是定是定义在在R R上的偶函数，它的上的偶函数，它的图象关于直象关于直线 对称，已知称，已知 时, ,函数函数 求当求当 时 的解析式的解析式
6、(二二)、自、自对称称问题常常联系恒等式系恒等式进行行x的的变换函数周期性和对称性关于直关于直线 对称称关于直关于直线 对称称关于关于 对称称关于点关于点 对称称常常见函数的函数的对称性称性一个函数本身的一个函数本身的对称性称称性称为自自对称称,分成分成 关于某直关于某直线对称或某点称或某点对称称.原点原点函数周期性和对称性二、函数的周期性二、函数的周期性理解理解（1 1）. .是否所有周期函数都有最小正周期是否所有周期函数都有最小正周期？1.1.定定义: :对于函数于函数 ，若存在非零常数，若存在非零常数T T，使得使得 恒成立，恒成立，则称称 为周期函数，周期函数，T T是函数的一个周期。
7、若所有周期中存在一个最是函数的一个周期。若所有周期中存在一个最小正数，小正数，则称它是函数的最小正周期。称它是函数的最小正周期。 ( (2).2).若若T T是是 的一个周期，的一个周期，则kTkT（k k是非是非零整数）均是零整数）均是 的周期的周期吗？ (3) (3)周期函数的定周期函数的定义域域D D可以可以为闭区区间吗？T= (a-b) 思考：若思考：若 , ,函数函数 具有什么性具有什么性质？函数周期性和对称性函数周期性和对称性注：除了定注：除了定义式是充要条件外，其余均式是充要条件外，其余均为充分充分非必要条件非必要条件2 2、常、常见的判断周期的恒等式的判断周期的恒等式( (可用
8、可用递推法推法证明明) ) 函数周期性和对称性3.函数的函数的对称性与周期性的几个常称性与周期性的几个常见性性质。性质1.若函数 以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T= X=aX=b函数周期性和对称性性性质2.若函数 以 为对称点，那么此函数是周期函数，周期T=假定(a,0)(b,0)函数周期性和对称性性性质3.若函数 以 为对称点，以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期 T=假定X=b(a,0)XYO函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性练习1
9、:1:定定义在在R R上的函数上的函数 满足足且方程且方程 有有10011001个根，个根，则这10011001个根的和个根的和？4:4:如果如果 那么那么3 3：如果：如果 那么那么2:2:函数函数 图象关于点象关于点 对称，称，则函数周期性和对称性5:(1)5:(1)定定义在在R R上偶函数上偶函数 满足足 则方程方程 在区在区间 上至少有上至少有( )( )个根。个根。(2)(2)将上将上题中的中的“偶函数偶函数”改成改成“奇函数奇函数”，其余，其余条件不条件不变，则在区在区间 至少有至少有( )( )个根。个根。6 6：定：定义在在R R上函数上函数 满足条件足条件: : 不是不是 常
10、常值函数；函数； 则下列命下列命题中正确的是中正确的是( )( )A. A. 是周期函数是周期函数 B. B. 关于关于 对称称 C. C. 关于关于y y轴对称称 D. D. 关于原点中心关于原点中心对称称重要重要结论：若：若 奇，且周期奇，且周期为T T，则必有必有注：可用模注：可用模拟图，直，直观明了明了函数周期性和对称性思考：若思考：若 周期周期为 ，又，又 关于关于 对称，能否推出称，能否推出 是偶函数？是偶函数？若能，若能，能否能否严格格证明？明？练习:1.1.若若 为定定义在在R R上的奇函数，且关于直上的奇函数，且关于直线 对称，称，问： 是否是否为周期函数？若是，周期函数？若
11、是，求出它的一个周期。求出它的一个周期。2. 2. 若若 为定定义在在R R上偶函数且上偶函数且满足足 问： 是否关于直是否关于直线对称？若是，称？若是，请给出出证明。明。3 3：设奇函数奇函数 ，且，且当当 则 函数周期性和对称性函数周期性和对称性5 5：设 是定是定义在在R R上的偶函数，它的上的偶函数，它的图象关于直象关于直线 对称，已知称，已知 时, ,函数函数 求当求当 时 的解析式。的解析式。6 6：函数：函数 是定是定义在在R R上的偶函数，且上的偶函数，且对任意的任意的实数数x x，都有，都有 成立，若当成立，若当 时，(1)(1)求求 时，函数，函数 的表达式；的表达式；(2)(2)求当求当 函数函数 的表达式；的表达式；(3)(3)若函数若函数 的最大的最大值为 解关于解关于x x不等式不等式函数周期性和对称性
