数学物理方程第二章分离变量法

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1、v齐次发展（演化）问题的求解齐次发展（演化）问题的求解v齐次齐次稳定场问题稳定场问题的的求解求解v非齐次问题的求解非齐次问题的求解v多变量推广多变量推广v本章小结本章小结2.1 齐次发展方程的分离变量法齐次发展方程的分离变量法一一 分离变量法简介分离变量法简介研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题 设设代入上述波动方程和边界条件得代入上述波动方程和边界条件得 方程、边界方程、边界条件均齐次条件均齐次用用 遍除遍除 两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作数，把这个常数记作-

2、这可以分离为关于这可以分离为关于X的常微分方程和关于的常微分方程和关于T的常微分方程，的常微分方程，且边界条件也同样进行分离且边界条件也同样进行分离 称为固有值（本征值）问题称为固有值（本征值）问题 1 、在在0的情况的情况 方程的解是方程的解是 只有只有 才能保证才能保证 ，方程有非零解，方程有非零解 此时此时再看关于再看关于T 的方程的方程 于是于是 或或 称为称为固有值固有值， 称为称为固有函数固有函数 这个方程的解这个方程的解 分离变量的形式解分离变量的形式解 (n=1,2,3,) 由叠加原理，一般解为：由叠加原理，一般解为： 现在要求出叠加系数现在要求出叠加系数 和和 满足初始条件满

3、足初始条件 方程左边是傅里叶正弦级数方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边这就提示我们把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得，则可得原问题的解：，则可得原问题的解： 按上述公式计算出系数按上述公式计算出系数 和和注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。 如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。 分分离离变变量量流流程程图图固有固

4、有值值（特（特征值）征值）问题问题偏微分方程偏微分方程 【例题例题1】 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动纵振动,即定解问题即定解问题 【解解】 设设 并代入方程得并代入方程得 分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下分分离离变变量量流流程程图图固有固有值值（特（特征值）征值）问题问题现用现用 遍除各项即得遍除各项即得 经讨论，当，当

5、 时有解有解 于是得固有值问题于是得固有值问题当当 时有解有解 由定解条件得由定解条件得 任意，于是有固有值和固有函数任意，于是有固有值和固有函数现确定积分常数，由条件知现确定积分常数，由条件知 由第一式可得由第一式可得 而而 只有只有 ，因此第二式变为，因此第二式变为于是有固有值和固有函数于是有固有值和固有函数现在需要求解现在需要求解综上所述，该问题的固有值和固有函数分别为综上所述，该问题的固有值和固有函数分别为当当 时有解有解 当当 时有解时有解其中其中 均为独立的任意常数。均为独立的任意常数。由初始条件得由初始条件得 把右边的函数展成傅里叶余弦级数把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两

6、边的系数，得比较两边的系数，得 由叠加原理，一般解为由叠加原理，一般解为【解解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件杆上温度满足下列泛定方程和定解条件 试探解试探解 代入方程和边界条件得代入方程和边界条件得 固有值问题固有值问题 【例题例题2】研究细杆导热问题研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端跟外界绝热，杆上初始温度为另一端跟外界绝热，杆上初始温度为 ,试求无热源时细杆上试求无热源时细杆上温度的变化。温度的变化。 和常微分方程和常微分方程分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法

7、，根据分离变量法流程，分析如下分分离离变变量量流流程程图图固有固有值值（特（特征值）征值）问题问题经讨论知，仅经讨论知，仅 时有非零解，且时有非零解，且只有只有由由 得得由由 得得于是得固有值和固有函数为于是得固有值和固有函数为由此得由此得下面求解下面求解得得由叠加原理，得由叠加原理，得确定系数确定系数 ,由初值条件知由初值条件知 于是于是如取如取 ，则，则 从而下列问题从而下列问题 的解为的解为图形如下图形如下: (程序程序:my1)(a) 精确解图(b) 瀑布图 思考题：如何求解下面的波动问题思考题：如何求解下面的波动问题 习题：习题习题：习题1（1）、（）、（3）；习题）；习题2；习题；

8、习题3（2）；）；2.2 稳定场齐次问题的分离变量法稳定场齐次问题的分离变量法1 矩形区域上拉普拉斯方程矩形区域上拉普拉斯方程 【例题例题1】散热片的横截面为矩形。它的一边散热片的横截面为矩形。它的一边 处于较高温处于较高温度度 ， 边处于冷却介质中而保持较低的温度边处于冷却介质中而保持较低的温度 , 其他两其他两边边 ， 温度保持为零温度保持为零， 求解这横截面上的稳定温求解这横截面上的稳定温度分布度分布 . 【解解】先写出定解问题定解问题先写出定解问题定解问题 方程齐次方程齐次这组边界条件齐次这组边界条件齐次用分离变量法用分离变量法分分离离变变量量流流程程图图固有固有值值（特（特征值）征值

9、）问题问题设形式解为：设形式解为： 代入上述泛定方程代入上述泛定方程,得到得到得到固有值问题得到固有值问题和常微分方程和常微分方程得固有值：得固有值： 固有函数固有函数： 而而于是有于是有叠加得叠加得为确定叠加系数，将为确定叠加系数，将 代入非齐次边界条件代入非齐次边界条件 将等式右边展开为傅里叶正弦级数将等式右边展开为傅里叶正弦级数,并两边比较系数，得并两边比较系数，得 联立求解得联立求解得故原问题的解为故原问题的解为小结：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件小结：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件是齐次的，则可使用分离变量法求解。是齐次的，则可使用分离变量法求解。图形如下图形如下

10、： （程序：（程序：my2）(a) 精确解图(b) 瀑布图【例例2】求解下列问题求解下列问题特点：边界条件特点：边界条件 均非齐次均非齐次 让让 和和 分别满足拉普拉斯方程分别满足拉普拉斯方程,并各有并各有一组齐次边界条件，即一组齐次边界条件，即则则 ，而上面两个定解，而上面两个定解问题分别用例问题分别用例1的方法求解。的方法求解。称为定解问题的分拆。称为定解问题的分拆。 【例题例题3】带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强的，带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强的，水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆柱型，水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆柱型，求导线外电场的电势。求导线

11、外电场的电势。 【解解】先将物理问题表为定解问题。取圆柱的轴为先将物理问题表为定解问题。取圆柱的轴为z轴轴 ，物理问题与物理问题与Z轴无关。圆柱面在平面的剖口是圆轴无关。圆柱面在平面的剖口是圆柱外的空间中没有电荷，故满足拉普拉斯方程柱外的空间中没有电荷，故满足拉普拉斯方程 （在柱外）（在柱外） 可以看出，边界条件无法分离变量，只能另辟蹊径可以看出，边界条件无法分离变量，只能另辟蹊径。在极坐标下研究该问题，在极坐标下，上述问题可表示成在极坐标下研究该问题，在极坐标下，上述问题可表示成2 圆形区域问题圆形区域问题设分离变数形式的试探解为设分离变数形式的试探解为 代入拉普拉斯方程，得代入拉普拉斯方程

12、，得令令此条件是根据电学此条件是根据电学原理加上的原理加上的移项、整理后得：移项、整理后得：分离为两个常微分方程分离为两个常微分方程 （ 自然边界条件，附加）自然边界条件，附加）得固有值和固有函数为得固有值和固有函数为和和固有值问题解得解得将本征值代入常微分方程，得到将本征值代入常微分方程，得到欧拉型欧拉型常微分方程常微分方程 作代换作代换 则则 ，方程化为，方程化为 ： 于是通解是于是通解是 解得解得即即一个傅里叶级数等于零一个傅里叶级数等于零,意味着所有傅里叶系数为零意味着所有傅里叶系数为零,即：即： 由此得：由此得： 由条件由条件 得得主要部分是主要部分是 项项,可见在表达式中不应出现高

13、次幂，于是可见在表达式中不应出现高次幂，于是 最后得柱外的静电势为：最后得柱外的静电势为：由由 知知结合前面系数关系，有结合前面系数关系，有习题习题6、8 2.3 非齐次方程的求解非齐次方程的求解 设该问题的解为：设该问题的解为：例例1 求解有界弦的受迫振动问题（求解有界弦的受迫振动问题（）我们已经知道，对应齐次问题的固有函数系为我们已经知道，对应齐次问题的固有函数系为又设又设因因 已知，所以已知，所以 固有函数展开法（又称傅立叶级数法）固有函数展开法（又称傅立叶级数法）代入非齐次方程和初始条件得：代入非齐次方程和初始条件得：用用Laplace变换求解得：变换求解得： 方法总结：方法总结：将未

14、知函数和非齐次项按照对应的齐次问题将未知函数和非齐次项按照对应的齐次问题的固有函数展开，其展开系数为另一变量的未知函数，代入的固有函数展开，其展开系数为另一变量的未知函数，代入非齐次方程和初始条件确定该未知函数。非齐次方程和初始条件确定该未知函数。设：设：【解解】 对应齐次问题的固有函数系为对应齐次问题的固有函数系为代入泛定方程，得代入泛定方程，得于是有于是有例例2 求解有界弦的受迫振动问题（求解有界弦的受迫振动问题（）代入初始条件代入初始条件 于是：于是： 当当 时：时： 的解为的解为 解释解释推导：推导：对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 设非齐次方程的特解为，解得设非齐次方程的特解

15、为，解得 于是非齐次方程的通解为于是非齐次方程的通解为由定解条件由定解条件得得代入整理即得。代入整理即得。故原问题的解为故原问题的解为解释解释【例题例题 3 】均匀细导线，每单位长的电阻为均匀细导线，每单位长的电阻为R通以恒定的电流通以恒定的电流I，导，导线表面跟周围温度为零度的介质进行热量交换。设导线的初始温度线表面跟周围温度为零度的介质进行热量交换。设导线的初始温度和两端温度都是零度，试求导线的温度变化。和两端温度都是零度，试求导线的温度变化。【解解】设导线的热传导系数、热交换系数、比热和密度分别为设导线的热传导系数、热交换系数、比热和密度分别为 ，由热量守恒定律，由热量守恒定律其定解问题

16、为：其定解问题为： 对应的齐次问题的固有函数为：对应的齐次问题的固有函数为： ，故令，故令而而其中其中代入方程，比较系数得：代入方程，比较系数得：由常微分方程的知识：由常微分方程的知识：的解为的解为知知其中其中代入初始条件得：代入初始条件得： 于是：于是： 从而原问题的解为从而原问题的解为习题习题10（2）、（）、（3） 2.4 非齐次边界条件问题非齐次边界条件问题 上一节研究了非齐次偏微分方程，齐次边界条件的情况。上一节研究了非齐次偏微分方程，齐次边界条件的情况。现在讨论非齐次边界条件下的情况。现在讨论非齐次边界条件下的情况。【例例1】长为长为 、侧面绝热的均匀细杆，在、侧面绝热的均匀细杆，

17、在 的一端保的一端保持恒温持恒温 ，另一端，另一端 有热流为有热流为 的定常热流进入。设杆的定常热流进入。设杆的初始温度分布是的初始温度分布是 ，求杆上的温度变化，求杆上的温度变化.【解解】物理问题的定解问题物理问题的定解问题按照叠加原理，将按照叠加原理，将 的定解问题分解为两部分之和，的定解问题分解为两部分之和，满足定解问题满足定解问题即即解得解得满足定解问题满足定解问题解释为什么？解释为什么？由分离变量法知，其解为由分离变量法知，其解为由初值条件知由初值条件知故故与与t无关，设无关，设v=v(x)小结：小结：满足定解问题满足定解问题即可边界条件齐次化。即可边界条件齐次化。与与t无关无关【例

18、例2】求下列定解问题求下列定解问题解：令解：令满足满足解得解得满足满足方程也非齐次方程也非齐次则边界条件可齐次化。则边界条件可齐次化。与与t有关有关 【例题例题3】求解长为求解长为 的均匀杆的振动问题的均匀杆的振动问题【解解】仍然要利用叠加原理，取仍然要利用叠加原理，取是一振动源，不防设是一振动源，不防设适当选取适当选取 ，使，使 满足下述方程和边界条件满足下述方程和边界条件注意注意于是，得到了方程于是，得到了方程解得解得关于另一方程为：关于另一方程为：用分离变量法，知用分离变量法，知由初值条件，知由初值条件，知所以所以从而从而 解的动画截取图形。注意级数解有无穷多项，计算时取有解的动画截取图

19、形。注意级数解有无穷多项，计算时取有限项。这里取前限项。这里取前100项。项。(程序：程序：my5)解的瀑布图形解的瀑布图形与与t有关有关解：令解：令【例例】求下列定解问题求下列定解问题设满足设满足解得解得满足满足习题：习题习题：习题11（1）、（）、（4）2.5固有值问题固有值问题 常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。 用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数 些参数称为固有值，其对应的方程解称为固有函数。些参数称为固有值，其对应的方程解称为固有函数。 的齐次常微分方程

20、和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题中的参数依据边界条件只能取某些特定值才会使方程有非零解。这中的参数依据边界条件只能取某些特定值才会使方程有非零解。这固有值及固有函数：固有值及固有函数：一、一、固有函数系：固有函数系：在区间在区间 上正交，即上正交，即其固有值和固有函数分别为其固有值和固有函数分别为 二、二、三、三、其固有值和固有函数分别为其固有值和固有函数分别为 固有函数系：固有函数系：在区间在区间 上正交，即上正交，即固有函数系：固有函数系：在区间在区间 上正交，即上正交，即其固有值和固有函数分别为其固有值和固有函数分别为

21、四、四、五、五、 其固有值和固有函数分别为其固有值和固有函数分别为 固有函数系：固有函数系：在区间在区间 上正交，即上正交，即固有函数系：固有函数系：在区间在区间 上正交，即上正交，即练习：习题练习：习题14（2）、（）、（4）本章小结：本章小结： 对演化方程：方程与边界条件对演化方程：方程与边界条件均为齐次均为齐次对稳定场方程：在矩形区域上对稳定场方程：在矩形区域上方程与一对边边界条件均为齐方程与一对边边界条件均为齐次；圆域上的次；圆域上的Laplace方程方程用分离变量法用分离变量法对演化方程：方程为非齐次，对演化方程：方程为非齐次，边界条件为齐次边界条件为齐次用固有函数法用固有函数法对演

22、化方程：方程与边界条件对演化方程：方程与边界条件均为非齐次均为非齐次做函数变换，边界条做函数变换，边界条件齐次化，得到前两件齐次化，得到前两种情形之一。种情形之一。补充习题：补充习题： 1.求解薄膜的限定求解薄膜的限定浓度的度的扩散散问题 薄膜厚度薄膜厚度为 ，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积杂质从两面进入薄膜，设单位表面积 下杂质总量为下杂质总量为 ，此外不再有杂质进入薄膜。对于较大，此外不再有杂质进入薄膜。对于较大 的的 t 简化所得到的答案。简化所得到的答案。 在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新

23、的杂质通过硅片，这就是所谓的限向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。定源扩散。 解：解：定解问题 由于没有新的杂质通过硅片表面，所以是第二类齐次由于没有新的杂质通过硅片表面，所以是第二类齐次边界条件，因杂质分布在极薄的表层，故边界条件，因杂质分布在极薄的表层，故代入初始条件：代入初始条件：此定解问题还可以写成：此定解问题还可以写成：由于：由于： 代入边界条件得： 练习求解两端固定弦的自由振动问题练习求解两端固定弦的自由振动问题其中其中解为解为其中其中该解所表示的物理过程可以从下面动画图中得到。注意级数解该解所表示的物理过程可以从下面动画图中得到。注意级数解有无穷多项，计算时取有限项。有无穷多项，计算时取有限项。