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1、第六节第六节 经济学中的常用函数经济学中的常用函数 一、需求函数一、需求函数 需求的含义：需求的含义： 消费者在某一特定的时期内，在一消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要 如果价格是决定需求量的最主要因素，如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为可以认为 Q 是是 P的函数。记作的函数。记作 Q ? ? f (P)则则 f 称为称为需求函数需求函数. 常见的需求函数：常见的需求函数： 线性需求函数：线性需求函数： Q ? ? a? ? bP,a,b ? ? 02二次曲线需求函数：二次曲线需求函数：Q ? ? a ?
2、? bP ? ? cP指数需求函数：指数需求函数：Q ? ? Ae? A? ? bp( 其中其中 a,b,c,Aa,b,c,A 0 ) 幂函数：幂函数： Q ? kP,其中 A? 0,k ? 0例例 1 设某商品的需求函数为设某商品的需求函数为 Q ? ? ? ?aP? ? b (a,b? ? 0)讨论讨论 P ? ? 0时的需求量和时的需求量和 Q ? ? 0时的价格时的价格 .解解 P ? ? 0时时 Q ? ? b,它表示价格为零时的它表示价格为零时的 需求量为需求量为 b ，称为称为饱和需求量饱和需求量； bbQ ? ? 0时时 P ? ?,它表示价格为它表示价格为 时时 ,aa无人愿
3、意购买此商品无人愿意购买此商品 . 二、供给函数二、供给函数 供给的含义：供给的含义： 在某一时间内，在一定的价格条件在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品下，生产者愿意并且能够售出的商品 如果价格是决定供给量的最主要因素，如果价格是决定供给量的最主要因素， 可以认为可以认为 Q 是是 P 的函数。记作的函数。记作 Q ? ? G(P)则则 f 称为称为供给函数供给函数. 一般地，供给函数可以用以下简单一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替：函数近似代替： 线性函数：线性函数： Q? aP? b,其中a,b? 0幂函数：幂函数： Q ? kP ,其中 A? 0,k
4、 ? 0A指数函数：指数函数： Q? ae,其中A? 0,b? 0bP 在同一个坐标系中作出需求曲线在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供和供 给曲线给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点，两条曲线的交点称为供需平衡点， 该点的横坐标称为供需平衡价格该点的横坐标称为供需平衡价格 . 供需平衡点供需平衡点 供需平供需平 衡价格衡价格 Q0E P0三、生产函数三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产生产函数刻画了一定时期内各生产 要素的投入量与产品的最大可能产量之要素的投入量与产品的最大可能产量之 间的关系间的关系.一般说来，生产要素包括资金一般说来，生产要素包括资金 和劳动力等多种要素和劳
5、动力等多种要素 .为方便起见，我为方便起见，我 们暂时先考虑只有一个投入变量，而其们暂时先考虑只有一个投入变量，而其 他投入皆为常量的情况他投入皆为常量的情况 . 例例 2 设投入设投入 x 与产出与产出 g(x)间的函数关系为间的函数关系为g(x) ? ? cx由于由于aaag(2x) ? ? 2 cx ? ? 2 g(x)a规模报酬规模报酬不变；不变； 可见，当可见，当 a ? ? 1时，时， 如果投入增加一倍，产出增如果投入增加一倍，产出增 当当a ? ? 1时，时，加不到一倍，即加不到一倍，即规模报酬规模报酬递减；递减； 如果投入增加一倍，产出增如果投入增加一倍，产出增 当当a ? ?
6、 1时，时，加不止一倍，即加不止一倍，即规模报酬规模报酬递增递增 . 四、成本函数四、成本函数 成本是生产一定数量产品所需要的成本是生产一定数量产品所需要的 各种生产要素投入的价格或费用总额，各种生产要素投入的价格或费用总额， 它由固定成本与可变成本两部分组成它由固定成本与可变成本两部分组成. C总总? ? C固固? ? C可变可变支付固定生产支付固定生产要素的费用要素的费用 支付可变生产支付可变生产要素的费用要素的费用 总成本总成本固定成本固定成本 ? ? 可变成本可变成本平均成本平均成本 ? ? ?产量产量产量产量C(Q )C1C2(Q)即即C ? ? AC ? ? ? ?QQQQ例例 3
7、 3 已知某种产品的总成本函数为已知某种产品的总成本函数为C (Q) ? ? 1000? ?.82求当生产求当生产100个该产品时的总成本和平均成本个该产品时的总成本和平均成本 解解 由题意，求产量为由题意，求产量为 100时的总成本时的总成本 100C(100) ? ? 1000? ? ? 2250,822250平均成本为平均成本为 AC(100) ? ? ? 22.5100五、收益函数五、收益函数 总收益是生产者出售一定数量产品所得到总收益是生产者出售一定数量产品所得到 的全部收入的全部收入. 用用 Q 表示出售的产品数量，表示出售的产品数量， R 表表 示总收益示总收益, 表示平均收益，
8、则表示平均收益，则 RR(Q)R ? ? R(Q) , R ? ?Q如果产品价格如果产品价格 P 保持不变，则保持不变，则 R(Q) ? ? PQ , R ? ? P例例 4 4 设某商品的需求关系是设某商品的需求关系是3Q+4P=100, 求总收求总收益和平均收益益和平均收益 100 ? ? 3Q解解 价格函数为价格函数为P ? ?,4100Q ? ? 3Q所以总收益为所以总收益为R(Q) ? ? P ? ?Q ? ?,42R(Q )100 Q ? ? 3Q平均收益为平均收益为? ? P (Q ) ? ?.Q4六、利润函数六、利润函数 利润是生产中获得的总收益与投入的总成利润是生产中获得的总
9、收益与投入的总成 本之差。即本之差。即 L(Q) ? ? R(Q)? ? C(Q)例例 5 5 设某种商品的总成本为设某种商品的总成本为C (Q) ? ? 20? ? 2Q? ? 0.5Q ,若每售出一件该商品的收入是若每售出一件该商品的收入是 20万元，万元，求生产求生产 10件的总利润件的总利润 2解解 由题意知由题意知P ? ? 20 （ 万元）万元） ,总收益为总收益为 R(Q) ? ? P ? ?Q ? ? 20Q所以所以 L(Q) ? ? R(Q) ? ? C(Q)? ? 20Q ? ? (20? ? 2Q ? ? 0.5Q )? ? ? ?20? ? 18Q ? ? 0.5Q22
10、2? ? L(10) ? ? (? ?20 ? ? 18? ? 10 ? ? 0.5? ? 10 ) ? ? 110(万元万元 ).七、库存函数七、库存函数 设某企业在计划期设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求内，对某种物品总需求 量为量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素，显然，由于库存费用及资金占用等因素，显然 一次进货是不划算的，考虑均匀的分一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，次进货， QT每次进货批量为每次进货批量为 q? ?，进货周期为，进货周期为 . t ? ?假定假定 nnC1，每次进货费，每次进货费每件物品的贮存单位时间费用为每件物品的贮存单位时间费用为 用为
11、用为C 2，每次进货量相同，进货间隔时间不变，每次进货量相同，进货间隔时间不变， q以匀速消耗贮存物品，则平均库存为以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ， 2在时间在时间 T 内的总费用内的总费用 E 为为 E ? ?12CQ1Tq? ? C2q其中其中，12C1Tq为贮存费，为贮存费，CQ2q为进货费用为进货费用 .八、戈珀兹八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线曲线 戈珀兹戈珀兹 曲线是指数函数曲线是指数函数 y ? kabt在经济预测中，经常使用该曲线在经济预测中，经常使用该曲线. k初始期 发展期 饱和期 当当lga ? ? 0， 0? ? b? ? 1时，图形如上页所示时，图形如上页所
12、示 .由图可见由图可见，曲线当，曲线当 t ? ? 0且无限增大时，且无限增大时， 其无限与直线其无限与直线 y? ? k 接近接近，且始终位于该直且始终位于该直 线线 下方下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充在产品销售预测中，当预测销售量充 分接近到分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将值时，表示该产品在商业流通中将 达到市场饱和达到市场饱和 . 练习题练习题 1.1.设需求函数由设需求函数由 P+Q=1P+Q=1 给出，（给出，（1 1）求总收益）求总收益函数函数 P;(2)P;(2)若售出若售出 1/31/3 单位，求其总收益。单位，求其总收益。 1.4PQ2.2.某工厂对棉花
13、的需求函数由某工厂对棉花的需求函数由=0.11=0.11 给给出出, ,（1 1）求其总收益函数）求其总收益函数 R;R;（2 2）P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20) 。 3.3.若工厂生产某种商品，固定成本若工厂生产某种商品，固定成本 200,000200,000元，每生产一单位产品，成本增加元，每生产一单位产品，成本增加 10001000 元，元，求总成本函数。求总成本函数。 4.4.某厂生产一批元器件，设计能力为日产某厂生产一批元器件，设计能力为日产 100100件，每日的固定成
14、本为件，每日的固定成本为 150150 元，每件的平均可变元，每件的平均可变成本为成本为 1010 元元,(1),(1)试求该厂此元器件的日总成本试求该厂此元器件的日总成本函数及平均成本函数函数及平均成本函数 ; ;（2 2）若每件售价）若每件售价 1414 元，元，试写出总收入函数试写出总收入函数 ; ;（3 3）试写出利润函数。）试写出利润函数。 5.某产品之需求函数为某产品之需求函数为 Qd=20-3P,供给函数为供给函数为 Qs=5P-1,求该商品的静态均衡价格。求该商品的静态均衡价格。 6.6.某工厂生产某产品年产量为某工厂生产某产品年产量为x x 台，每台售台，每台售价为价为 25
15、0250 元，当年产量在元，当年产量在600600 台以内时，可台以内时，可以全部售出，当年产量超过以全部售出，当年产量超过600600 台时，经广台时，经广告宣传后又可多出售告宣传后又可多出售200200 台，每台平均广告台，每台平均广告费为费为 2020 元，生产再多，本年就售不出去了。元，生产再多，本年就售不出去了。试建立本年的销售总收入试建立本年的销售总收入R R 与年产量与年产量x x 的关的关系。系。 练习题答案练习题答案 121.R ? ? Q? ? Q , R( ) ? ?;29? ? 0.42.R ? ? 0.11Q, P(15) ? ? 0.0025,P(12) ? ? 0
16、.0034,2P(20) ? ? 0.0017,R(10) ? ? 0.044, R(12) ? ? 0.041, R(15) ? ? 0.037;3.C ? ? C(Q) ? ? 200000? ? 1000Q;4.(1)C(X ) ? ? 150 ? ? 10X (元元)(0 ? ? X ? ? 100);150C (X ) ? ? ? 10(0 ? ? X ? ? 100);X(2)R(X ) ? ? 14X (元元（ ) 0 ? ? X ? ? 100） ;(3)L(X ) ? ? ? ?150 ? ? 4X (元元)(0 ? ? X ? ? 100)；? ?250x,0 ? ? x ? ? 600? ?5.R ? ? ?250? ? 600? ? (250? ? 20)(x ? ? 600),600 ? ? x ? ? 8006.Pe? ? ?250? ? 600? ? 230? ? 200, x? ?218;? ? 800
