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1、第十节变化率与导数、导数的计算【知识梳理知识梳理】1.1.必会知识教材回扣填一填必会知识教材回扣填一填(1)(1)函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数: :定义定义: :称函数称函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率处的瞬时变化率_= _= 为为y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数，记作处的导数，记作f(xf(x0 0) )或或即即f(xf(x0 0)= =_.)= =_.几何意义几何意义: :函数函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0) )的几何意义是在曲线的几何意义是在曲线y=
2、f(x)y=f(x)上点上点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的处的_._.相应地相应地, ,切线方程为切线方程为_._.(2)(2)函数函数y=f(x)y=f(x)的导函数的导函数: :称函数称函数f(x)=_f(x)=_为函数为函数y=f(x)y=f(x)的导函数的导函数, ,导函数有导函数有时也记作时也记作y.y.切线的斜率切线的斜率y-f(xy-f(x0 0) )=f(x=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0) )(3)(3)基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式: : 原函数原函数导函数导函数f(x)=c(cf(x)=c(c为常数为常数) )f(x)=_f(x)=_f(
3、x)=xf(x)=x(Q(Q* *) )f(x)=_f(x)=_f(x)=sinxf(x)=sinxf(x)=_f(x)=_f(x)=cosxf(x)=cosxf(x)=_f(x)=_0 0xx-1-1cosxcosx-sinx-sinx原函数原函数导函数导函数f(x)=af(x)=ax x(a0,(a0,且且a1)a1)f(x)=_f(x)=_f(x)=ef(x)=ex xf(x)=_f(x)=_f(x)=logf(x)=loga ax(a0,x(a0,且且a1)a1)f(x)=_ f(x)=_ f(x)=lnxf(x)=lnxf(x)=_ f(x)=_ a ax xlnalnae ex x
4、(4)(4)导数四则运算法则导数四则运算法则: :f(x)g(x)=_.f(x)g(x)=_.f(x)g(x)=_.f(x)g(x)=_. _(g(x)0)._(g(x)0).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)(5)(5)复合函数的导数复合函数的导数: :复合函数复合函数y=f(g(x)y=f(g(x)的导数和函数的导数和函数y=f(u),u=g(x)y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为的导数间的关系为y yx x=_.=_.y yu uuux x2.2.必备结论教材提炼记一记必备结论教材提炼记一记(1)(1)曲线曲线y=
5、f(x)y=f(x)在点在点P(xP(x0 0,y,y0 0) )处的切线是以点处的切线是以点P(xP(x0 0,y,y0 0) )为切点为切点, ,以以f(xf(x0 0) )为斜率的直线为斜率的直线, ,而曲线而曲线y=f(x)y=f(x)过点过点P(xP(x0 0,y,y0 0) )的切线的切线, ,点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )不一定是切点不一定是切点. .(2)(2)函数函数y=f(x)y=f(x)的导数的导数f(x)f(x)反映了函数反映了函数f(x)f(x)的瞬时变化趋势的瞬时变化趋势, ,其正负其正负号反映了变化的方向号反映了变化的方向, ,其大小其大小|f(x)|
6、f(x)|反映了变化的快慢反映了变化的快慢, ,|f(x)|f(x)|越大越大, ,曲线在这点处的切线越曲线在这点处的切线越“陡陡”. .3.3.必用技法核心总结看一看必用技法核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :利用导数求切线的方法利用导数求切线的方法. .(2)(2)数学思想数学思想: :转化与化归、数形结合转化与化归、数形结合. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :导数概念要理清导数概念要理清, ,专门刻画变化量专门刻画变化量, ,放大放大再放大放大放大再放大, ,逼近逼近再逼近逼近逼近再逼近. .几何意义在切线几何意义在切线, ,物理应用求速度物理应用求速度. .常见函数的导
7、数常见函数的导数, ,定义证明会推导定义证明会推导. .导数的四则运算导数的四则运算, ,记住法则计算巧记住法则计算巧. .简单函数的复合简单函数的复合, ,记住公式会运算记住公式会运算. .【小题快练小题快练】1.1.思考辨析静心思考判一判思考辨析静心思考判一判(1)(1)求求f(xf(x0 0) )时时, ,可先求可先求f(xf(x0 0) )再求再求f(xf(x0 0).().() )(2)(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(.() )(3)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(.()
8、)(4)(4)若若f(x)=f(a)xf(x)=f(a)x2 2+ln x(a0),+ln x(a0),则则f(x)=2xf(a)+ .(f(x)=2xf(a)+ .() )【解析解析】(1)(1)错误错误. .应先求应先求f(x),f(x),再求再求f(xf(x0 0).).(2)(2)正确正确. .如如y=1y=1是曲线是曲线y=sin xy=sin x的切线的切线, ,但其交点个数有无数个但其交点个数有无数个. .(3)(3)错误错误. .如如y=0y=0与抛物线与抛物线y y2 2=x=x只有一个公共点只有一个公共点, ,但是但是y=0y=0不是抛物线不是抛物线y y2 2=x=x的切
9、线的切线. .(4)(4)正确正确.f(x)=(f(a)x.f(x)=(f(a)x2 2+ln x)=(f(a)x+ln x)=(f(a)x2 2)+(ln x)+(ln x)=2xf(a)+ .=2xf(a)+ .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.教材改编链接教材练一练教材改编链接教材练一练(1)(1)(选修选修2-2P11T12-2P11T1改编改编) )在高台跳水运动中在高台跳水运动中,t s,t s时运动员相对于水面时运动员相对于水面的高度的高度( (单位单位:m):m)是是h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+
10、10.则运动员的速度则运动员的速度v=v=, ,加速度加速度a=a=. .【解析解析】v=h(t)=-9.8t+6.5,a=v(t)=-9.8.v=h(t)=-9.8t+6.5,a=v(t)=-9.8.答案答案: :-9.8t+6.5-9.8t+6.5-9.8-9.8(2)(2)(选修选修2-2P18T32-2P18T3改编改编) )已知函数已知函数r(V)= ,r(V)= ,则则r( )=_.r( )=_.【解析解析】因为因为r(V)=r(V)=所以所以r( )=r( )=答案：答案：3.3.真题小试感悟考题试一试真题小试感悟考题试一试(1)(2014(1)(2014广东高考广东高考) )曲
11、线曲线y=-5ey=-5ex x+3+3在点在点(0,-2)(0,-2)处的切线方程为处的切线方程为. .【解析解析】因为因为y=-5ey=-5ex x,y|,y|x x=0=0=-5,=-5,即在点即在点(0,-2)(0,-2)处的切线斜率为处的切线斜率为-5,-5,所以切线方程为所以切线方程为y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0.y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0.答案答案: :5x+y+2=05x+y+2=0(2)(2013(2)(2013江西高考江西高考) )若曲线若曲线y=xy=x+1(R)+1(R)在点在点(1,2)(1,2)处的切线经过处的切线经过坐标原点坐
12、标原点, ,则则=. .【解析解析】因为因为y=y=x x-1-1, ,所以在点所以在点(1,2)(1,2)处的切线斜率处的切线斜率k=,k=,则切则切线方程为线方程为y-2=(x-1),y-2=(x-1),又切线过原点又切线过原点, ,故故0-2=(0-1),0-2=(0-1),解得解得=2.=2.答案答案: :2 2(3)(2015(3)(2015阳泉模拟阳泉模拟) )直线直线y= x+by= x+b是曲线是曲线y=ln x(x0)y=ln x(x0)的一条切线的一条切线, ,则则实数实数b=b=. .【解析解析】y= ,y= ,令令 = ,= ,得得x=2,x=2,因此切点为因此切点为(
13、2,ln2),(2,ln2),代入直线方程代入直线方程y= x+by= x+b得得b=ln2-1.b=ln2-1.答案答案: :ln2-1ln2-1考点考点1 1 导数的计算导数的计算【典例典例1 1】求下列函数的导数求下列函数的导数: :(1)y=e(1)y=ex xsin x.(2)y=x( ).sin x.(2)y=x( ).(3)y=x-(3)y=x-(4)y=ln(1-2x).(4)y=ln(1-2x).【解题提示解题提示】(1)(1)利用积的导数运算法则求解利用积的导数运算法则求解. .(2)(3)(2)(3)先化简再求导先化简再求导.(4)y=ln(1-2x).(4)y=ln(1
14、-2x)是由是由y=ln uy=ln u与与u=1-2xu=1-2x复合而成复合而成. .【规范解答规范解答】(1)y=(e(1)y=(ex x)sin x+e)sin x+ex x(sin x)=e(sin x)=ex xsin x+esin x+ex xcos x.cos x.(2)(2)因为因为所以所以y=y=(3)(3)因为因为y=x- sin x,y=x- sin x,所以所以y=1- cos x.y=1- cos x.(4)(4)设设y=ln u,y=ln u,则则y=ln(1-2x)y=ln(1-2x)是由是由y=ln u,y=ln u,与与u=1-2xu=1-2x复合而成复合而
15、成. .所以所以yyx x=y=yu uuux x=(ln u)=(ln u)(1-2x)= (1-2x)= (-2)(-2)【易错警示易错警示】解答本题有三点容易出错：解答本题有三点容易出错：(1)(1)解答本题解答本题(2)(2)时，若直接使用积的运算法则求导时，若直接使用积的运算法则求导, ,则运算烦琐，易则运算烦琐，易出错出错. .(2)(2)解答本题解答本题(3)(3)时，若不先化简，直接使用积的运算法则求导，易导时，若不先化简，直接使用积的运算法则求导，易导致错误答案致错误答案. .(3)(3)解答解答(4)(4)时，易因搞不清复合函数的构成而解答失误时，易因搞不清复合函数的构成而
16、解答失误. .【规律方法规律方法】导数计算的原则和方法导数计算的原则和方法(1)(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导和、差、积、商，再求导. .(2)(2)方法：方法：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为
17、分数指数幂的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；复合函数：由外向内，层层求导复合函数：由外向内，层层求导. .【变式训练变式训练】求下列各函数的导数求下列各函数的导数. .(1)y=(3x(1)y=(3x2 2-4x)(2x+1).-4x)(2x+1).(2)y=x(2)y=x2 2sin x.sin x.(3)y=(3)y=(4)(4)【解析解析】(1)(1)因为因为y=(3xy=(3x2 2-4x)(2x+1)-4x)(2x+1)=6x=6x3 3+3x+3x
18、2 2-8x-8x2 2-4x=6x-4x=6x3 3-5x-5x2 2-4x-4x，所以所以y=18xy=18x2 2-10x-4.-10x-4.(2)y=(x(2)y=(x2 2)sin x+x)sin x+x2 2(sin x)=2xsin x+x(sin x)=2xsin x+x2 2cos x.cos x.(3)y=(3)y=(4)(4)所以所以y=y=【加固训练加固训练】求下列函数的导数求下列函数的导数. .(1)y=3(1)y=3x xe ex x-2-2x x+e.+e.(2)y=(2)y=(3)y=(3)y=【解析解析】(1)y=(3(1)y=(3x xe ex x)-(2)
19、-(2x x)+(e)=(3)+(e)=(3x x)e)ex x+3+3x x(e(ex x)-)-(2(2x x)=3)=3x xln3ln3e ex x+3+3x xe ex x-2-2x xln2=(3e)ln2=(3e)x xln(3e)-2ln(3e)-2x xln2.ln2.(2)(2)先化简先化简, ,所以所以(3)(3)设设u=1-3xu=1-3x，则，则y=uy=u-4-4，则则y yx x=y=yu uu ux x=考点考点2 2导数几何意义的应用导数几何意义的应用知知考情考情导数的几何意义是高考重点考查的内容导数的几何意义是高考重点考查的内容, ,主要考查求曲线的切线主要
20、考查求曲线的切线斜率、切线方程或已知曲线的切线斜率、切线方程求参数的值或范围斜率、切线方程或已知曲线的切线斜率、切线方程求参数的值或范围等问题等问题. .明明角度角度命题角度命题角度1:1:求切点坐标或切线方程求切点坐标或切线方程【典例典例2 2】(2014(2014江西高考江西高考) )若曲线若曲线y=ey=e-x-x上点上点P P处的切线平行于直线处的切线平行于直线2x+y+1=0,2x+y+1=0,则点则点P P的坐标是的坐标是. .【解题提示解题提示】切线问题运用导数的几何意义求解切线问题运用导数的几何意义求解. .【规范解答规范解答】设点设点P(xP(x0 0,y,y0 0),),因
21、为因为y=-ey=-e-x-x, ,所以曲线在点所以曲线在点P P处的切线的斜率为处的切线的斜率为又因为切线平行于直线又因为切线平行于直线2x+y+1=0,2x+y+1=0,所以所以解得解得x x0 0=-ln2,=-ln2,代入代入y=ey=e-x-x得得y y0 0=2,=2,所以点所以点P(-ln2,2).P(-ln2,2).答案答案: :(-ln2,2)(-ln2,2)命题角度命题角度2:2:求参数的值求参数的值【典例典例3 3】(2014(2014陕西高考陕西高考) )如图如图, ,修建一条公路需要一段环湖弯曲路修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接段与两条直道平滑连接(
22、 (相切相切),),已知环湖弯曲路段为某三次函数图像已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分的一部分, ,则该函数的解析式为则该函数的解析式为( () )【解题提示解题提示】根据已知图像可以得到函数图像在与根据已知图像可以得到函数图像在与x x轴交点处的导数轴交点处的导数, ,再利用导数及函数的零点列出三元一次方程组再利用导数及函数的零点列出三元一次方程组, ,解之即得所求解之即得所求. .【规范解答规范解答】选选A.A.由已知可得此函数为三次函数且过原点由已知可得此函数为三次函数且过原点, ,故可设函故可设函数解析式为数解析式为y=f(x)=axy=f(x)=ax3 3+bx+bx2 2+c
23、x,+cx,所以所以f(x)=3axf(x)=3ax2 2+2bx+c,+2bx+c,由题意知由题意知f(0)=-1,f(2)=3,f(2)=0,f(0)=-1,f(2)=3,f(2)=0,即即c=-1,c=-1,12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0,12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0,解之得解之得a= ,b=- ,c=-1.a= ,b=- ,c=-1.所以所以y= xy= x3 3- x- x2 2-x.-x.悟悟技法技法导数几何意义的应用及解法导数几何意义的应用及解法(1)(1)已知切点已知切点A(xA(x0 0,y,y0 0) )求斜率求斜率k,k,即求该点处的导数值即求该
24、点处的导数值k=f(xk=f(x0 0).).(2)(2)已知斜率已知斜率k,k,求切点求切点A(xA(x1 1,f(x,f(x1 1),),即解方程即解方程f(xf(x1 1)=k.)=k.(3)(3)求过某点求过某点M(xM(x1 1,y,y1 1) )的切线方程时的切线方程时, ,需设出切点需设出切点A(xA(x0 0,f(x,f(x0 0),),则切线则切线方程为方程为y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0),),再把点再把点M(xM(x1 1,y,y1 1) )代入切线方程代入切线方程, ,求求x x0 0. .(4)(4)根据导数的几何意义求
25、参数的值时根据导数的几何意义求参数的值时, ,一般是利用切点一般是利用切点P(xP(x0 0,y,y0 0) )既在既在曲线上又在切线上构造方程组求解曲线上又在切线上构造方程组求解. .提醒提醒: :当切线方程中当切线方程中x(x(或或y)y)的系数含有字母参数时的系数含有字母参数时, ,则切线恒过定点则切线恒过定点. .通通一类一类1.(20151.(2015昆明模拟昆明模拟) )若曲线若曲线f(x)=acos xf(x)=acos x与曲线与曲线g(x)=xg(x)=x2 2+bx+1+bx+1在交点在交点(0,m)(0,m)处有公切线处有公切线, ,则则a+b=(a+b=() )A.-1
26、 B.0 C.1 D.2A.-1 B.0 C.1 D.2【解析解析】选选C.f(x)=-asin x,g(x)=2x+b,C.f(x)=-asin x,g(x)=2x+b,由题意知由题意知f(0)=a=g(0) f(0)=a=g(0) =1,=1,且且f(0)=0=g(0)=b,f(0)=0=g(0)=b,即即a=1,b=0,a=1,b=0,所以所以a+b=1.a+b=1.2.(20142.(2014江苏高考江苏高考) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，若曲线中，若曲线y=axy=ax2 2+ (a+ (a，b b为常数为常数) )过点过点P(2,-5)P(2,-5)，且该曲线
27、在点，且该曲线在点P P处的切线与直线处的切线与直线7x+2y+3=07x+2y+3=0平行，平行，则则a+ba+b的值是的值是_._.【解析解析】曲线曲线y=axy=ax2 2+ (a+ (a，b b为常数为常数) )过点过点P(2,-5),P(2,-5),则有则有4a+ =-5,4a+ =-5,又该曲线在点又该曲线在点P P处的切线与直线处的切线与直线7x+2y+3=07x+2y+3=0平行，平行，由由y=2ax- y=2ax- 得得联立两式得联立两式得 则则a+b=-3.a+b=-3.答案：答案：-3-33.(20143.(2014广东高考广东高考) )曲线曲线y=ey=e-5x-5x+
28、2+2在点在点(0,3)(0,3)处的切线方程为处的切线方程为_._.【解析解析】因为因为y=-5ey=-5e-5x-5x,y|,y|x x=0=0=-5,=-5,即在点即在点(0,3)(0,3)处的切线斜率为处的切线斜率为-5,-5,所以切线方程为所以切线方程为y-3=-5(x-0),y-3=-5(x-0),即即5x+y-3=0.5x+y-3=0.答案答案: :5x+y-3=05x+y-3=04.(20154.(2015无锡模拟无锡模拟) )抛物线抛物线y=xy=x2 2上的点到直线上的点到直线:x-y-2=0:x-y-2=0的最短距离为的最短距离为_._.【解析解析】y=2x,y=2x,根
29、据题意可知与直线根据题意可知与直线x-y-2=0x-y-2=0平行的抛物线平行的抛物线y=xy=x2 2的切的切线对应的切点到直线线对应的切点到直线x-y-2=0x-y-2=0的距离最短，设切点坐标为的距离最短，设切点坐标为(x(x0 0,x,x0 02 2) )，则，则 所以所以x x0 0= ,= ,所以切点坐标为所以切点坐标为( ),( ),切点到直线切点到直线x-y-x-y-2=02=0的距离的距离d= ,d= ,所以抛物线上的点到直线所以抛物线上的点到直线x-y-2=0x-y-2=0的的最短距离为最短距离为答案：答案：创新体验创新体验2 2导数几何意义应用的创新问题导数几何意义应用的
30、创新问题【创新点拨创新点拨】1.1.高考考情高考考情: :导数几何意义的应用中的创新问题是近几年高考命题的导数几何意义的应用中的创新问题是近几年高考命题的一个增长点一个增长点, ,此类问题以新定义、新情境为依托此类问题以新定义、新情境为依托, ,考查学生理解问题、考查学生理解问题、解决创新问题的能力解决创新问题的能力. .2.2.命题形式命题形式: :常见的有新概念、新情境、新法则等常见的有新概念、新情境、新法则等. .【新题快递新题快递】1.(20141.(2014陕西高考陕西高考) )如图如图, ,某飞行器在某飞行器在4 4千米高空水平飞行千米高空水平飞行, ,从距着陆从距着陆点点A A的
31、水平距离的水平距离1010千米处下降千米处下降, ,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分一部分, ,则函数的解析式为则函数的解析式为( () )【解题提示解题提示】根据函数的图象可以得到函数的极值点根据函数的图象可以得到函数的极值点, ,再利用导数求再利用导数求得解析式的极值点得解析式的极值点, ,二者能够统一的即为所求二者能够统一的即为所求. .【解析解析】选选A.A.由函数图象可得函数的极值点为由函数图象可得函数的极值点为5,5,对四个选项中函数对四个选项中函数解析式进行求导解析式进行求导, ,只有选项只有选项A A的函数解析式求导得的函数解析式求导得
32、y=3y=3 x x2 2- ,- ,令令y=0y=0得得x=x=5,5,所以只有选项所以只有选项A A的解析式与图象相统一的解析式与图象相统一. .2.(20142.(2014安徽高考安徽高考) )若直线若直线l与曲线与曲线C C满足下列两个条件满足下列两个条件: :(1)(1)直线直线l在点在点P(xP(x0 0,y,y0 0) )处与曲线处与曲线C C相切相切. .(2)(2)曲线曲线C C在点在点P P附近位于直线附近位于直线l的两侧的两侧, ,则称直线则称直线l l在点在点P P处处“切过切过”曲曲线线C.C.下列命题正确的是下列命题正确的是( (写出所有正确命题的编号写出所有正确命
33、题的编号).).直线直线l:y=0:y=0在点在点P(0,0)P(0,0)处处“切过切过”曲线曲线C:y=xC:y=x3 3; ;直线直线l:x=-1:x=-1在点在点P(-1,0)P(-1,0)处处“切过切过”曲线曲线C:y=(x+1)C:y=(x+1)2 2; ;直线直线l:y=x:y=x在点在点P(0,0)P(0,0)处处“切过切过”曲线曲线C:y=sin x;C:y=sin x;直线直线l:y=x:y=x在点在点P(0,0)P(0,0)处处“切过切过”曲线曲线C:y=tan x;C:y=tan x;直线直线l:y=x-1:y=x-1在点在点P(1,0)P(1,0)处处“切过切过”曲线曲
34、线C:y=ln x.C:y=ln x.【解析解析】根据题意满足条件的有根据题意满足条件的有,不满足题意不满足题意. .答案答案: :【备考指导备考指导】1.1.准确转化准确转化: :解决此类问题时解决此类问题时, ,一定要读懂题目的本质含义一定要读懂题目的本质含义, ,紧扣题目紧扣题目所给条件所给条件, ,结合题目要求进行恰当转化结合题目要求进行恰当转化, ,切忌同已有概念或定义相混淆切忌同已有概念或定义相混淆. .2.2.方法选取方法选取: :对于导数几何意义的应用中的创新问题对于导数几何意义的应用中的创新问题, ,可恰当选用图象可恰当选用图象法、特例法、一般逻辑推理等方法法、特例法、一般逻辑推理等方法, ,同时结合导数的几何意义求解同时结合导数的几何意义求解, ,以以此培养学生领悟新信息、运用新信息的能力此培养学生领悟新信息、运用新信息的能力. .
