《第四章 偏微分方程的有限差分法#教学课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章 偏微分方程的有限差分法#教学课件（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、计算物理学第四章第四章 偏微分方程的有限差分法偏微分方程的有限差分法4.1 有限差分法原理有限差分法原理4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法4.3 波动方程的波动方程的差分解法差分解法教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理抛物线形抛物线形双曲型双曲型椭圆形椭圆形不可逆过程不可逆过程可逆过程可逆过程平衡过程平衡过程热传导方程热传导方程波动方程波动方程位势方程位势方程 物理学中许多物理规律都用偏微分方程描述，物理学中许多物理规律都用偏微分方程描述，偏微分方程主要分为以下三类：偏微分方程主要分为以下三类： 上式中a,c,f以及未知函数u为定义在求解区域上的实（复）函数教学类
2、计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理有限差分有限差分解法解法差分近似代替微分，差商近似代替微商差分近似代替微分，差商近似代替微商 这样就把求解区域内连续分布函数离散化成这样就把求解区域内连续分布函数离散化成求网络节点上的分立函数值，从而把所需求解的求网络节点上的分立函数值，从而把所需求解的微分方程微分方程变为一组相应的变为一组相应的差分方程差分方程，进一步可，进一步可以求解离散节点上的函数值。以求解离散节点上的函数值。数学基础数学基础泰勒（泰勒（Taylor）展开）展开教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理差商公式的构造差商公式的构造利用泰勒级数展开定义差商利用泰勒级数
3、展开定义差商教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理误差为误差为O(h)差商公式：差商公式：一阶向前差商：一阶向前差商：一阶向后差商：一阶向后差商：教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理二阶二阶向前差商：向前差商：式式(2)-式式(1)X2误差为误差为O(h2)差商公式：差商公式：教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理二阶二阶向后差商向后差商: 式式(2)-式式(1)X2教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理一阶向前差商：一阶向前差商：教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理一阶向后差商：一阶向后差商：教学类计算物理学4.1 有
4、限差分法原理有限差分法原理一阶中心差商：一阶中心差商：教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理二阶中心差商：二阶中心差商：教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理差分格式的收敛性和稳定性差分格式的收敛性和稳定性收敛性：收敛性：稳定性：稳定性： 当步长当步长h0时，差分方程的解趋向于微分方时，差分方程的解趋向于微分方程的解。程的解。 误差在运算过程中不会失控，即累计误差不会误差在运算过程中不会失控，即累计误差不会无限增加。无限增加。教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理 从数学上讲，没有限制的微分方程会有从数学上讲，没有限制的微分方程会有无穷多个解，不能构成
5、一个定解问题。无穷多个解，不能构成一个定解问题。 从物理上讲，描述物理问题的微分方程仅从物理上讲，描述物理问题的微分方程仅适用于描述在一个连续体或物理场的内部发生适用于描述在一个连续体或物理场的内部发生的物理过程，仅靠这些微分方程不足以确定物的物理过程，仅靠这些微分方程不足以确定物理过程的理过程的具体具体特征。特征。 因此，要想解决实际的物理问题，必须因此，要想解决实际的物理问题，必须知道一个连续体或物理场的初始状态和边界知道一个连续体或物理场的初始状态和边界受到的外界影响。受到的外界影响。教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理初始条件：初始条件：与时间相联系与时间相联系边界条件
6、：边界条件：边界边界受到外界的影响受到外界的影响偏微分方程的定解条件偏微分方程的定解条件常见的物理问题可以归结为三大类边界条件常见的物理问题可以归结为三大类边界条件教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理2 第二类边界条件第二类边界条件（诺依曼（诺依曼Neumann）1 第一类边界条件第一类边界条件（狄利克雷（狄利克雷Dirichlet）热传导热传导问题：问题：边界边界上上温度分布已知温度分布已知热传导热传导问题：问题：通过通过边界边界单位面积上的热流量已知单位面积上的热流量已知n表示表示的外法线的外法线q0定义在定义在上的已知函数上的已知函数教学类计算物理学4.1 有限差分法原理
7、有限差分法原理由热力学傅立叶定律得：由热力学傅立叶定律得：热流量：热流量：单位面积上的单位面积上的热流量：热流量：K: 热传导系数热传导系数单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。递的方向则与温度升高的方向相反。教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理3 第三类边界条件第三类边界条件（洛平（洛平Robin ）热传导热传导问题：问题：边界表面边界表面与外界之间的热量交换已知与外界之间的热量交换已知a0,b0.c0定义在
8、定义在上的已知上的已知函数函数外界温度为外界温度为u0，热交换规律遵循，热交换规律遵循热传导实验定律热传导实验定律：单位时间内，从边界单位面积传递给周围的热流量单位时间内，从边界单位面积传递给周围的热流量正比于边界表面和外界的温度差。正比于边界表面和外界的温度差。教学类计算物理学4.1 有限差分法原理有限差分法原理 对于实际物理问题，边界条件往往是很复杂的，对于实际物理问题，边界条件往往是很复杂的，可能是一种或不同边界区域几种边界条件的组合，可能是一种或不同边界区域几种边界条件的组合，甚至不能用这三类边界条件描述。甚至不能用这三类边界条件描述。：热交交换系数系数 u：边界温度界温度单位面积上的
9、单位面积上的热流量：热流量：教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法 物理学中对热传导、热辐射以及气体扩散现物理学中对热传导、热辐射以及气体扩散现象的描述，常可以归结为同一类型的抛物线型方象的描述，常可以归结为同一类型的抛物线型方程，通常采用二阶偏微分方程描述，这类方程统程，通常采用二阶偏微分方程描述，这类方程统称为热传导方程。称为热传导方程。教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程： 为了求解为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初，还必须利用边界条件
10、和初始条件。始条件。定解条件定解条件：边界条件边界条件和和初始条件初始条件。定解问题定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。4.2.1一维热传导方程的差分解法一维热传导方程的差分解法教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法对于一维热传导问题对于一维热传导问题（第一类边界条件）（第一类边界条件）数值解就是在求解区域数值解就是在求解区域中某些中某些离散点（离散点（xi,ti）上求出上求出u(xi, ti)足够近似的解。足够近似的解。教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法1 把求解区域离散化（确定离散点）把求解
11、区域离散化（确定离散点）Tl教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法2 推导差分递推公式推导差分递推公式在节点（在节点（xi,tk）上）上二阶二阶向前差商向前差商O(h2)教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法同样，在节点（同样，在节点（xi,tk）上）上一一阶阶向前差商向前差商O(h)教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法一维热传导方程可以近似为一维热传导方程可以近似为令令O(h)教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法初始条件初始条件边界条件边界条件教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解
12、法热传导方程的差分解法一维热传导方程显示差分递推公式为一维热传导方程显示差分递推公式为教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法显示差分递推公式的稳定性：显示差分递推公式的稳定性：对于一维热传导方程，差分格式为稳定差对于一维热传导方程，差分格式为稳定差分格式的充分条件是分格式的充分条件是即即教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法为了提高数值解的精度，必须减小为了提高数值解的精度，必须减小相应就要变小，这必然增加计算量。这就相应就要变小，这必然增加计算量。这就是显示差分格式的缺点，但它的优点是计算是显示差分格式的缺点，但它的优点是计算简单。简单。教
13、学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法差分格式计算步骤：差分格式计算步骤： 给定给定 计算计算 计算初始值：计算初始值： 计算边界值：计算边界值： 用差分格式计算用差分格式计算 教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法X=diag(v,k)若若 v为为 n个个 元元 素素 向向 量量 ， 返返 回回 一一 个个 阶阶 数数 为为n+abs(k)的的方方阵阵X，将将v作作为为X的的第第k个个对对角角元元，k=0代代表表主主
14、对对角角元元，k0表表示示在在主主对对角角元之上，元之上， k0表示在主对角元以下。表示在主对角元以下。 v=ones(1,5); X1=diag(v) X2=diag(v,1) X3=diag(v,-1)教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法（1-2*）*diag(ones(1,N-1)+*（diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1)）教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法例例4.2.1 求热传导方程混合问题求热传导方程混合问题教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法教学类计算物
15、理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法教学类计算物理学9.2 4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法二维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：二维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：初始条件：初始条件：边界条件：？边界条件：？4.2.2 二二维热传导方程的差分解法维热传导方程的差分解法教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法同一维类似，把求解区域离
16、散化同一维类似，把求解区域离散化教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法在节点（在节点（xi,yj,tk）上）上教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法在节点（在节点（xi,yj,tk）上）上教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法二维热传导方程可以近似为二维热传导方程可以近似为令令教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法差分递推公式为差分递推公式为教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法边界条件：边界条件：一、右图中阴影部分一、右图中阴影部分为绝热壁，此绝热壁为绝热壁，此绝
17、热壁可以用第二类边界条可以用第二类边界条件描述，即热流量为件描述，即热流量为零。零。第二类边界条件：第二类边界条件：通过通过边界表面单位面积上的热流量已知边界表面单位面积上的热流量已知教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法差分近似为差分近似为教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法递推公式为：递推公式为：教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法二、二、i=0边界，边界，M1jM2 区区域为与高温恒温热源相连域为与高温恒温热源相连接的口，温度可取归一化接的口，温度可取归一化值值1。j=0和和j=M边界与低温恒温边界与低温恒
18、温热源相连，温度始终为热源相连，温度始终为0。教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法二维热传导方程显示差分递推公式为二维热传导方程显示差分递推公式为教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法稳定差分格式的充分条件是稳定差分格式的充分条件是即即教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程
19、的差分解法教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法 view(az,el)az:方位角方位角el:仰角仰角view(0,90)view(-37.5, 30）教学类计算物理学4.2 热传导方程的差分解法热传导方程的差分解法教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法一维均匀弦线的自由振动方程：一维均匀弦线的自由振动方程： 波动方程的差分解法也利用构造网格节点的方法波动方程的差分解法也利用构造网格节点的方法教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法用二阶中心差分近似方法得：用二阶中心差分近似方法得： 教学类计算物理学 4.3 波动方程的
20、差分解法波动方程的差分解法代入波动方程得：代入波动方程得： 令：令： 教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法边界条件边界条件初始条件初始条件教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法a 初始条件：初始条件： 对于初始时刻速度，也须用差分格式给出：对于初始时刻速度，也须用差分格式给出： 教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法a1 向前差分：向前差分： 误差：误差： 教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法a2 中心差分：中心差分： 由由 得（得（k=0） +教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方
21、程的差分解法误差：误差： 整理得：整理得： 教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法b 边界条件：边界条件： 一维波动方程的差分格式有如下两种一维波动方程的差分格式有如下两种教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法第一种：第一种： 误差：误差： 教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法第二种：第二种： 误差：误差： 教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法 第二种差分格式精度要高于第一种，是经常第二种差分格式精度要高于第一种，是经常采用的方法。采用的方法。 理论上可以证明，两种差分格式稳定条件是：理论上可以
22、证明，两种差分格式稳定条件是： 教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法波动方程差分格式的计算步骤如下：波动方程差分格式的计算步骤如下： ;计算计算 ;计算计算 ;计算初值和边值计算初值和边值 ;给定给定计算计算教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法例：计算下列一维波动方程例：计算下列一维波动方程教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法教学类计算物理学 4.3 波动方程的差分解法波动方程的差分解法教学类计算物理学 上机上机 4编程计算下列一维扩散方程的解编程计算下列一维扩散方程的解要求：要求：1 推导差分递推公式推导差分递推公式2 图形显示计算结果，并与解析解比较。图形显示计算结果，并与解析解比较。 a x-t-u 三维曲线三维曲线 b t=0 0.5 1 时刻时刻 x-u曲线曲线 c x=0.5处处t-u曲线曲线教学类
