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1、 相似三角形及其应用相似三角形及其应用1第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点考点1 1 相似图形的有关概念相似图形的有关概念 考考 点点 聚聚 焦焦相似图形相似图形形状相同的形状相同的图形称形称为相似相似图形形相似多边形相似多边形定定义如果两个多如果两个多边形形满足足对应角相等，角相等，对应边的比相的比相等，那么等，那么这两个多两个多边形相似形相似相似比相似比相似多相似多边形形对应边的比称的比称为相似比相似比k k相似三相似三角形角形两个三角形的两个三角形的对应角相等，角相等，对应边成比例，成比例，则这两个三角形相似两个三角形相似当相似比当相似比k k1 1时，两个三角形全等，
2、两个三角形全等2第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点考点2 2 比例线段比例线段 定定义防防错提醒提醒比例比例线段段对于四条于四条线段段a a、b b、c c、d d，如果其中，如果其中两条两条线段的段的长度的比与另两条度的比与另两条线段的段的长度的比相等，即度的比相等，即_，那，那么，么，这四条四条线段叫做成比例段叫做成比例线段，段，简称比例称比例线段段求两条求两条线段的比段的比时，对这两条两条线段要用同一段要用同一长度度单位位黄金黄金分割分割在在线段段ABAB上，点上，点C C把把线段段ABAB分成两条分成两条线段段ACAC和和BCBC( (ACACBCBC) )，如果，如
3、果_，那么称，那么称线段段ABAB被点被点C C黄金分割，点黄金分割，点C C叫做叫做线段段ABAB的黄金分割点，的黄金分割点，ACAC与与ABAB的的比叫做黄金比，黄金比比叫做黄金比，黄金比为_一条一条线段的黄金段的黄金分割点有分割点有_个个a bc d 0.618 两两 3第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点考点3 3相似三角形的判定相似三角形的判定判定定判定定理理1 1平行于三角形一平行于三角形一边的直的直线和其他两和其他两边相交，所相交，所构成的三角形与原三角形构成的三角形与原三角形_判定定判定定理理2 2如果两个三角形的三如果两个三角形的三组对应边的的_相等，相等，那
4、么那么这两个三角形相似两个三角形相似判定定判定定理理3 3如果两个三角形的两如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且的比相等，并且_相等，那么相等，那么这两个三角形相似两个三角形相似判定定判定定理理4 4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如果一个三角形的两个角与另一个三角形的_，那么，那么这两个三角形相似两个三角形相似拓展拓展直角三角形被斜直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似形与原直角三角形相似相似相似 比比 相应的夹角相应的夹角 两个角对应相等两个角对应相等4第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点考点4 4相似三角形的性质相似
5、三角形的性质 相似三角形相似三角形(1)(1)相似三角形周相似三角形周长的比等于相似比的比等于相似比(2)(2)相似三角形面相似三角形面积的比等于相似比的平方的比等于相似比的平方(3)(3)相似三角形相似三角形对应高、高、对应角平分角平分线、对应中中线的比等于相似比的比等于相似比相似多相似多边形形(1)(1)相似多相似多边形周形周长的比等于相似比的比等于相似比(2)(2)相似多相似多边形面形面积的比等于相似比的平方的比等于相似比的平方5第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点考点5 5位似位似 位似位似图形定形定义两个多两个多边形不形不仅相似，而且相似，而且对应顶点点间连线相交于一
6、相交于一点，点，对应边互相平行，像互相平行，像这样的两个的两个图形叫做位似形叫做位似图形，形，这个点叫做位形中心个点叫做位形中心位似与位似与相相似关系似关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不形不仅相相似，而且似，而且对应点的点的连线相交于一点，相交于一点，对应边互相平行互相平行位似位似图形形的性的性质(1)(1)位似位似图形上的任意一形上的任意一对对应点到位似中心的距离的点到位似中心的距离的比等于比等于_；(2)(2)位似位似图形形对应点的点的连线或延或延长线相交于相交于_点；点；(3)(3)位似位似图形形对应边_(_(或在一条直或在一条直线上上)
7、)；(4)(4)位似位似图形形对应角相等角相等相似比相似比 一一 平行平行 6第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用以坐以坐标原原点点为中心中心的位似的位似变换在平面直角坐在平面直角坐标系中，如果位似是以原点系中，如果位似是以原点为位似中心，位似中心，相似比相似比为k k，那么位似，那么位似图形形对应点的坐点的坐标的比等于的比等于_位似位似作作图(1)(1)确定位似中心确定位似中心O O；(2)(2)连接接图形各形各顶点与位似中心点与位似中心O O的的线段段( (或延或延长线) )；(3)(3)按照相似比取点；按照相似比取点；(4)(4)顺次次连接各点，所得接各点，所得图形就是所求的
8、形就是所求的图形形7第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点考点6 6相似三角形的应用相似三角形的应用 几何几何图形形的的证明与明与计算算常常见问题证明明线段的数量关系，求段的数量关系，求线段的段的长度，度，图形的面形的面积大大小等小等相似三角相似三角形在形在实际生活中的生活中的应用用建模建模思想思想建立相似三角形模型建立相似三角形模型常常见题目目类型型(1)(1)利用投影，平行利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解；杆等构造相似三角形求解；(2)(2)测量底部可以达到的物体的高度；量底部可以达到的物体的高度；(3)(3)测量底部不可以到达的物体的高度；量底部不可以到达的物体的
9、高度；(4)(4)测量不可以达到的河的量不可以达到的河的宽度度8第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用探究一探究一 比例线段比例线段 命命题角度：角度：1 1直角三角形两直角三角形两锐角互余；角互余；2 2直角三角形斜直角三角形斜边上中上中线等于斜等于斜边的一半的一半归归 类类 探探 究究例例1 2013上海上海 如如图221，已知在，已知在ABC中，点中，点D、E 、F分分别是是边AB、AC、BC上的点，上的点，DEBC，EFAB，且且AD DB3 5，那么，那么CF CB等于等于()A5 8 B3 8C3 5 D2 5图221A 9第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用
10、解析解析先由先由AD DB3 5，求得，求得BD AB的的长，再由，再由DE BC，根据平行，根据平行线分分线段成比例定理，可得段成比例定理，可得CE ACBD AB，然后由，然后由EF AB，根据平行，根据平行线分分线段成比例定段成比例定理，可得理，可得CF CBCE AC，则可求得答案具体解可求得答案具体解题过程如下：程如下：10第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用解析解析 AD DB3 5， BD AB5 8. DE BC， CE ACBD AB5 8， EF AB， CF CBCE AC5 8.故故选A.11第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用探究二探究二 相似
11、三角形的性质及其应用相似三角形的性质及其应用 命命题角度：角度：1. 1. 利用相似三角形性利用相似三角形性质求角的度数或求角的度数或线段的段的长度；度；2. 2. 利用相似三角形性利用相似三角形性质探求比探求比值关系关系 例例2 如如图222，ABC是一是一张锐角三角形的硬角三角形的硬纸片，片，AD是是边BC上的高，上的高，BC40 cm，AD30 cm，从，从这张硬硬纸片上剪下一个片上剪下一个长HG是是宽HE的的2倍的矩形倍的矩形EFGH，使它的一，使它的一边EF在在BC上，上，顶点点G、H分分别在在AC，AB上，上，AD与与HG的交的交点点为M.(1)求求证： ；(2)求求这个矩形个矩形
12、EFGH的周的周长 图22222 212第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用 解解13第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用解解析析(1)证明明AHGABC，根根据据相相似似三三角角形形对应高的比等于相似比，高的比等于相似比，证明明结论(2)设HEx，则HG2x，利用第一，利用第一问中的中的结论求解求解14第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用 解解15第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用 变式式题 如如图22223 3，一一个个人人拿拿着着一一把把刻刻有有厘厘米米刻刻度度的的小小尺尺，站站在在离离电线杆杆约20 20 m m的的地地方方，他他把把手
13、手臂臂向向前前伸伸直直，小小尺尺竖直直，看看到到尺尺上上约1212个个刻刻度度恰恰好好遮遮住住电线杆杆，已已知知臂臂长约40 cm40 cm，你能根据以上数据求出，你能根据以上数据求出电线杆的高度杆的高度吗？图223解解析析运运用用的的是是相相似似三三角角形形的的对应高高的的比比等等于于相相似似比比，来求出来求出电线杆的高度，注意杆的高度，注意单位的位的转化化16第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用 解解 根据根据题意，得意，得AOBDOC，所以所以CD AB20 0.4，即即CD 0.1220 0.4，解得解得CD6 m.故故电线杆的高度杆的高度为6 m.17第第22讲讲相似三角
14、形及其应用相似三角形及其应用探究三探究三 三角形相似的判定方法及其应用三角形相似的判定方法及其应用 命命题角度：角度：1利用两个角判定三角形相似；利用两个角判定三角形相似；2利用两利用两边及及夹角判定三角形相似；角判定三角形相似； 3利用三利用三边判定三角形相似判定三角形相似. 例例3 2013巴中巴中 如如图224，在平行四，在平行四边形形ABCD中，中，过点点A作作AEBC，垂足，垂足为E，连接接DE，F为线段段DE上一点，且上一点，且AFEB.(1)求求证：ADFDEC；(2)若若AB8，AD6 ，AF4 ，求，求AE的的长图22224 418第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其
15、应用19第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用 解解20第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用 判判定定两两个个三三角角形形相相似似的的常常规思思路路：先先找找两两对对应角角相相等等；若若只只能能找找到到一一对对应角角相相等等，则判判断断相相等等的的角角的的两两夹边是是否否对应成成比比例例；若若找找不不到到角角相相等等，就就判判断断三三边是是否否对应成成比比例例，否否则可可考考虑平平行行线分分线段段成成比比例例定理及相似三角形的定理及相似三角形的“传递性性”21第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用探究四探究四 位似位似 命命题角度：角度：1. 位似位似图形及位似
16、中心定形及位似中心定义；2. 位似位似图形的性形的性质应用；用；3. 利用位似利用位似变换在网格在网格纸里作里作图D 解解析析根根据据题意意画画出出相相应的的图形形，找找出出点点E的的对应点点E的坐的坐标即可即可22第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用 利利用用位位似似将将图形形放放大大或或缩小小的的作作图步步骤：第第一一步步：在在原原图上上选取取关关键点点若若干干个个，并并在在原原图外外任任取取一一点点P P；第第二二步步：以以点点P P为端端点点向向各各关关键点点作作射射线；第第三三步步：分分别在在射射线上上取取关关键点点的的对应点点，满足足放放缩比比例例；第第四四步步：顺次次
17、连接截取点即可得到符合要求的新接截取点即可得到符合要求的新图形形23第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用探究五探究五 相似三角形与圆相似三角形与圆 命命题角度：角度：1. 圆中的相似中的相似计算；算；2. 圆中的相似中的相似证明明 例例5 2013黄黄冈 如如图225，AB为O的的直直径径，C为O上上一一点点，AD和和过C点点的的直直线互互相相垂垂直直，垂垂足足为D，且且AC平平分分 DAB.(1)求求证：DC为O的切的切线；(2)若若O的半径的半径为3，AD4，求，求AC的的长图22524第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用 解解 (1)证明：明：连接接OC.OCOA
18、，OACOCA.又又OACDAC，DACOCA，OCAD，OCCD.即即DC为 O的切的切线25第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用 解解26第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用三角形中的内接四三角形中的内接四边形形问题 回回 归归 教教 材材如如图226，AD是是ABC的高，点的高，点P，Q在在BC边上，点上，点R在在AC边上，点上，点S在在AB边上，上，BC60 cm，AD40 cm，四，四边形形PQRS是正方形是正方形(1)ASR与与ABC相似相似吗？为什么？什么？(2)求正方形求正方形PQRS的的边长图22226 627第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用28第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用中中 考考 预预 测测如图如图227，ABC是一块锐角三角形的材料，边是一块锐角三角形的材料，边BC120 mm，高，高AD80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零上，这个正方形零件的边长是件的边长是_mm.图2274829个人观点供参考，欢迎讨论
