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1、2.3.2 抛物线的抛物线的简单几何性质简单几何性质07.01.05 前面我们已学过椭圆与双曲线前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质的几何性质,它们都是通过标准方它们都是通过标准方程的形式研究的程的形式研究的,现在请大家想想现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么及准线是什么?一、复习回顾：lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）练习练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）轴上） 开口向开口向右右开口向开口向左左开口向开口向
2、上上开口向开口向下下P(x,y)一、一、抛物线抛物线的的几何性质几何性质抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。延伸。1、范围范围由抛物线由抛物线y2 =2px（p0）而而所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为关于关于x轴轴对称对称 由于点由于点 也满也满足足 ，故抛物线，故抛物线(p0)关于关于x轴轴对称对称.y2 = 2pxy2 = 2px2、对称性、对称性P(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的的顶点顶点。P(x,y)由y2 =
3、2px （p0）当当y=0时时,x=0, 因此抛物线的顶点顶点就是坐标原点（0，0）。注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有双曲线有两个顶点不同。两个顶点不同。、顶点、顶点4、离心率离心率P(x,y) 抛物线上的点与焦抛物线上的点与焦点的点的距离距离和它到准线的和它到准线的距离距离 之比，叫做抛物线之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的的离心率，由抛物线的定义，可知定义，可知e=1。 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。5、开口方向、开口方向P(x,y)抛物线抛物线y2 =2px（p0）的开）的开口方向向右。口方向向右。+X，x轴正半轴，向右轴正半轴，向右-X，x轴负半
4、轴，向左轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下轴负半轴，向下特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P(x,y)（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质
5、lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）x0yRx0yRy0xRy 0xR(0,0)x轴轴y轴轴1补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔（2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦半径焦半径
6、。焦半径公式：焦半径公式：（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。例例：已知抛物线关于已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点在坐标原点，并且经过点M M（，），求它（，），求它的标准方程，并用描点法画出图形的标准方程，并用描点法画出图形。因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点标原点，并且经过点M M（，），（，），解：解：所以设方程为：所以设方程为：又因为
7、点又因为点M M在抛物线上在抛物线上：所以：所以：因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：作图：作图：(1)列表列表（在第一象限内列表）（在第一象限内列表）(2)描点：描点：(3)连线：连线：11xyO变式题变式题：求并顶点在坐标原点，对求并顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点称轴为坐标轴，并且经过点M M（，（，），），抛物线抛物线的标准方程的标准方程。（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：练习练习：顶点在坐标原点，焦点在顶点在坐标原点，焦点在y y轴上，并且经过点轴上，并且经过点M M（4,4,) )的
8、的抛物线抛物线的标准方程为的标准方程为（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：练习练习2 2：顶点在坐标原点，对称轴是顶点在坐标原点，对称轴是X X轴，点轴，点M M（-5, )-5, )到焦点距离为到焦点距离为6 6, ,则则抛物线抛物线的标准方程为的标准方程为（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：变式题变式题2 2：已已抛物线抛物线C C的顶点在坐标原的顶点在坐标原点，焦点点，焦点F F在在X X轴的正半轴上轴的正半轴上, ,若若抛物抛物线线上一上一动点动点P P到到A(2, 1/3),FA(2, 1/3),F两点的距两点的距离之和最小值为离之和最小值为4,4,求求抛物线抛物线的标准方的标准方程
9、程。（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：例例3.3.（课本例（课本例4P4P6161：）斜率为斜率为1 1的直线的直线l经过抛物线经过抛物线y y2 2=4x=4x的焦点的焦点, ,且与且与抛物线抛物线相交于相交于A A，B B两点，求线段两点，求线段ABAB的长。的长。（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：课本例题推广课本例题推广： 直线直线l 经过抛物线经过抛物线y y2 2=2px=2px的焦点的焦点, ,且与且与抛物线抛物线相交于相交于A A，B B两点，则线段两点，则线段ABAB的长的长|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+P+P. .练习练习3 3：已知过抛物线已知过抛物线y
10、 y2 2=9x=9x的焦点的的焦点的弦长为弦长为1212, ,则弦所在直线的则弦所在直线的倾斜角倾斜角是是（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：练习练习4 4：若直线若直线l 经过抛物线经过抛物线y y2 2=4x=4x的焦的焦点点, , 与与抛物线抛物线相交于相交于A A，B B两点两点, ,且线且线段段ABAB的的中点的横坐标为中点的横坐标为2 2, ,求线段求线段ABAB的的长长. .（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：例例4.4.课本例课本例5P5P6262：已知抛物线的方程已知抛物线的方程为为y y2 2=4x=4x, ,直线直线l 经过点经过点P(-2,1),P(-2,1),斜率为
11、斜率为k k. .当当k k为何值时为何值时, ,直线与直线与抛物线抛物线: :只有一只有一个公共点个公共点; ;有两个公共点有两个公共点: :没有公共点没有公共点. .（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：变式题变式题3 3：已知直线已知直线y=(a+1)xy=(a+1)x与曲线与曲线y y2 2=ax=ax恰有一个公共点恰有一个公共点, ,求实数求实数a a的值的值. .（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：练习练习5 5：已知直线已知直线y=kx+2y=kx+2与抛物线与抛物线y y2 2=8x=8x恰有一个公共点恰有一个公共点, ,则实数则实数k k的值为的值为（三）、（三）、例题讲解：例
12、题讲解：（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：变式题变式题4 4：求过点求过点P(0,1)P(0,1)且与抛物且与抛物线线y y2 2=2x=2x只有只有一个公共点的直线方一个公共点的直线方程程. .例例5 5：已知过点已知过点Q(4,1)Q(4,1)作抛物线作抛物线y y2 2=8x=8x的弦的弦AB,AB,恰被恰被Q Q平分平分, ,求弦求弦ABAB所在的直线所在的直线方程方程. .（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：练习练习6 6：求以求以Q(1,-1)Q(1,-1)为中点的抛物线为中点的抛物线y y2 2=8x=8x的弦的弦ABAB所在的直线方程所在的直线方程. .（三）、（三）、例题讲
13、解：例题讲解：例例6 6：求抛物线求抛物线y y2 2=64x=64x上的点到直上的点到直线线4x+3y+46=04x+3y+46=0的距离的最小值的距离的最小值, ,并并求取得最小值时的抛物线上的点的求取得最小值时的抛物线上的点的坐标坐标. .（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：练习练习7 7：抛物线抛物线y=-xy=-x2 2上的点到直线上的点到直线4x+3y-8=04x+3y-8=0的距离的最小值是的距离的最小值是（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：练习练习8 8： 抛物线抛物线y y2 2=x=x和圆和圆(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1上上最近的两点之间的距离是最近的两
14、点之间的距离是( )( )（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：例例7 7：已知抛物线已知抛物线y=2xy=2x2 2上两点上两点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )关于直线关于直线y=x+my=x+m对称对称, ,若若x x1 1x x2 2= =- -1/21/2, ,则则m m的值为的值为( )( )（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：变式题变式题5 5：已知直线已知直线y=x+by=x+b与抛物线与抛物线x x2 2=2y=2y交于交于A,BA,B两点两点, ,且且OAOBOAOB(O(O为为坐标原点坐标原点),),求求b b的值的值. .（三）
15、、（三）、例题讲解：例题讲解：例例8(8(习题习题2.3B2.3B组组2P2P6464) )：正三角形正三角形的一个顶点位于原点的一个顶点位于原点, ,另外两个顶另外两个顶点在抛物线点在抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上上, ,求这个求这个三角形的边长三角形的边长. .yOxBA分析分析:观察图观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形正三角形及抛物线都是轴对称图形,如如果能证明果能证明x轴是它们的公共的对称轴轴是它们的公共的对称轴,则容易则容易求出三角形的边长求出三角形的边长.yOxBAyOxBA（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：变式题变式题6(6(复习参考题复习参考题A A
16、组组7P7P6868) )：正三角形的一个顶点位于抛物线正三角形的一个顶点位于抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)焦点焦点, ,另外两个顶点在另外两个顶点在抛物线上抛物线上, ,求这个三角形的边长求这个三角形的边长. .分析分析:观察图观察图,正三角形及抛物线都是轴正三角形及抛物线都是轴对称图形对称图形,如果能证明如果能证明x轴是它们的轴是它们的公共的对称轴公共的对称轴,则容易求出三角形的边长则容易求出三角形的边长.yOxBAF例例9、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直
17、径为口圆的直径为60cm,灯深灯深40cm，求抛物线，求抛物线的标准方程及焦点的位置。的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，反光镜的顶点与原点重合，x轴轴垂直于灯口直径。垂直于灯口直径。AB 设抛物线的标准方程是：设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点由已知条件可得点A的坐标是的坐标是（40，30），代入方程可得），代入方程可得所求的标准方程为所求的标准方程为焦点坐标为焦点坐标为课堂练习：课堂练习：9.9.求适合下列条件的抛物线的方程：求适合下列条件的抛物线的方程：
18、（1）顶点在原点，焦点顶点在原点，焦点F F为（为（0 0，5 5）; ;（2）顶点在原点，关于顶点在原点，关于x x轴对称轴对称, ,并且并且经过点经过点M(5,-4).M(5,-4). 10、已知抛物线的顶点在原点，对称、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴为x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那上，那么抛物线通径长是么抛物线通径长是 . 11、一个正三角形的三个顶点，都在抛、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线物线 上，其中一个顶点为坐标上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为原点，则这个三角形的面积为 。课堂练习：课堂练习：小结小结:1.掌握抛物线的掌握抛物线的几何性质几何性质:范围、对称性、顶点、范围、对称性、顶点、离心率、通径离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题焦点坐标及解决其它问题;
