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1、第一章 行列式1 二阶与三阶行列式1. 1. 二阶行列式二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组当当时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解用消元法用消元法得得记记则有则有于是于是二阶行列式二阶行列式，记作，记作也称为方程组的系数行列式。也称为方程组的系数行列式。行标列标(1,2) 元素对角线法则对角线法则:主对角线主对角线副对角线副对角线例例. 解方程组解方程组解：解：2. 三阶行列式三阶行列式类似地，讨论三元线性方程组类似地，讨论三元线性方程组为为三阶行列式三阶行列式, 记作记作称称对角线法则：对角线法则：例：例：2全排列与逆序数定义定义1：把：把 n 个不同的元素排成的一列个不同的元素排成的一
2、列, 称为这称为这 n 个元素的个元素的一个全排列一个全排列, 简称排列。简称排列。把把 n 个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列, 共有共有 Pn个排列。个排列。P3 = 321 = 6例如：例如：1, 2, 3 的全排列的全排列123，231，312，132，213，321共有共有321 = 6种，即种，即 一般地，一般地，Pn= n(n-1)321= n!P3 = 321 = 6标准次序：标准次序：标号由小到大的排列。标号由小到大的排列。定义定义2：在在n个个 元素的一个排列中，若某两个元素元素的一个排列中，若某两个元素排列的次序与标准次序不同，就称这两个排列的次序与标准次序不同，就
3、称这两个数构成一个数构成一个逆序逆序，一个排列中所有逆序的，一个排列中所有逆序的总和称为这个总和称为这个排列的逆序数排列的逆序数。一个排列的逆序数的计算方法：一个排列的逆序数的计算方法：设设 p1 p2 pn 是是 1，2，n 的一个排列，的一个排列，用用 ti 表示元素表示元素 pi 的逆序数，即排在的逆序数，即排在 pi 前面并比前面并比 t = t1 + t2 + + tn pi 大的大的元素有元素有 ti 个，则个，则排列的逆序数为排列的逆序数为例例4：求排列：求排列 32514 的逆序数。的逆序数。解：解：逆序数为逆序数为奇数奇数的排列称为的排列称为奇排列奇排列。逆序数为逆序数为偶数
4、偶数的排列的排列称为称为偶排列偶排列。例如：例如：123 t = 0 为偶排列，为偶排列，312 t = 2 为偶排列。为偶排列。321 t = 3 为奇排列，为奇排列，3n阶行列式的定义观察二、三阶行列式，得出下面结论：观察二、三阶行列式，得出下面结论：1.1.每项都是处于不同行不同列的每项都是处于不同行不同列的n n个元素的乘积。个元素的乘积。2. n n 阶行列式是阶行列式是 n n！项的代数和。！项的代数和。3. 每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性 所确定。所确定。定义定义1： n! 项项的和的和称为称为 n 阶行列式阶行列式 (n1)，记
5、作，记作例例1：写出四阶行列式中含有因子：写出四阶行列式中含有因子的项。的项。例例2： 计算四阶行列式计算四阶行列式D = acfh + bdeg adeh bcfg重要结论：重要结论：(1) 上三角形行列式上三角形行列式(2) 下三角形行列式下三角形行列式(3) 对角行列式对角行列式(4) 副对角行列式副对角行列式行列式的等价定义行列式的等价定义5行列式的性质称称 DT 为为 D 的转置行列式。的转置行列式。设设则则D 经过经过“行列互换行列互换”变为变为 DT 性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。：行列式与它的转置行列式相等。证明：设证明：设则则由行列式定义由行列式定义性质性质2：互换
6、行列式的两行：互换行列式的两行 ( 列列 )，行列式变号。，行列式变号。互换互换 s、t 两行：两行：互换互换 s、t 两列：两列：“运算性质运算性质”推论：若行列式有两行（列）相同，推论：若行列式有两行（列）相同， 则行列式为则行列式为 0 。性质性质3：用非零数：用非零数 k 乘行列式的某一行（列）中乘行列式的某一行（列）中 所有元素，等于用数所有元素，等于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。“运算性质运算性质”用用 k 乘第乘第 i 行：行：用用 k 乘第乘第 i 列：列：推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。行列式符号外面。
7、性质性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于例，则行列式等于0 。性质性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。于如下两个行列式的和。性质性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同 一数一数 k 后再加到另一行（列）对应的元素后再加到另一行（列）对应的元素 上去，行列式的值不变。上去，行列式的值不变。用数用数 k 乘第乘第 t 行加到第行加到第 s 行上：行上：用数用数 k 乘第乘第 t 列加到第列加到第 s 列上：列上：“运算性质运算
8、性质”利用行列式性质计算：利用行列式性质计算：（化为三角形行列式）（化为三角形行列式）例例1：计算：计算例例2：计算：计算“行等和行等和”行列式行列式例例10：设：设证明：证明：0证明：利用行的运算性质证明：利用行的运算性质 r 把把化成下三角形，化成下三角形，再利用列的运算性质再利用列的运算性质 c c 把把化成下三角形，化成下三角形，对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 r，后，后 n 列作运算列作运算 c, 则有则有例例6行列式按行（列）展开问题：一个问题：一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算？阶行列式来计算？对于三阶行列式，容易验
9、证：对于三阶行列式，容易验证：定义定义1：在：在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素所在的第所在的第 i 行行和第和第 j 列划去后，余下的列划去后，余下的 n1 阶行列式叫阶行列式叫的余子式的余子式, 记为记为称为称为 (i, j)元素元素的代数余子式。的代数余子式。做做 (i, j) 元素元素, 同时同时例如：例如： 考虑考虑( 2, 3) 元素元素( 2, 3)元素元素的余子式的余子式( 2, 3)元素的元素的代数余子式代数余子式定理定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即证明：分
10、三种情况讨论，只对行来证明此定理。证明：分三种情况讨论，只对行来证明此定理。(1)利用上一节例利用上一节例10的结论有的结论有(2) 设设 D 的第的第 i 行除了行除了把把 D 转化为转化为 (1) 的情形的情形外都是外都是 0 0 。先把先把 D 的第的第 i 行依次与第行依次与第 i 1行行, 第第 i 2行行, , 第第 1 行交换行交换, 经过经过 i 1次行交换后得次行交换后得再把再把 第第 j 列依次与第列依次与第 j1列列, 第第 j2列列, , 第第 1 列列交换交换, 经过经过 j1次列交换后得次列交换后得(3) 一般情形一般情形, 考虑第考虑第 i 行行例例或者或者那么那
11、么推论：行列式任一行推论：行列式任一行( (列列) )的元素与另一行的元素与另一行( (列列) )的的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 即即综上，得公式综上，得公式例例12: 12: 证明范德蒙德证明范德蒙德( ( Vandermonde ) )行列式行列式证明：证明：用数学归纳法用数学归纳法(1) 当当 n = 2 时时,(2) 设设 n1 阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立, 则则= =有有个因子个因子! !例：例：例：例： 设设求求解解: :例：例：D按第按第4列展开，然后各列的提出公因子列展开，然后各列的提出公因子= =例：例：D例：例：
12、D7Cramer法则Cramer法则：法则： 如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，的系数行列式不等于零，即即则线性方程组则线性方程组(1(11)1)有唯一解，有唯一解，其中其中证明：证明：再把再把 n 个方程依次相加，得个方程依次相加，得当当 D0 时时, ,方程组方程组( (1)1)也即也即( (11)11)有唯一的解有唯一的解于是于是例例1：用用 Cramer 法则解线性方程组。法则解线性方程组。解：解：定理定理4：定理定理4：如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组(1(11)1)的系数行列式的系数行列式的系数行列式的系数行列式 D D0 0 则则则则(1(
13、11)1)一定有解一定有解一定有解一定有解, , , , 且解是唯一的。且解是唯一的。且解是唯一的。且解是唯一的。如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组(1(11)1)无解或有两个不同的无解或有两个不同的无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。解，则它的系数行列式必为零。解，则它的系数行列式必为零。解，则它的系数行列式必为零。Cramer 法则也可以叙述为法则也可以叙述为定理定理 4 的逆否命题是的逆否命题是线性方程组线性方程组非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念: :不全为零，则称此方程不全为零，则称此方程若常数项若常数项组为非齐
14、次线性方程组；若组为非齐次线性方程组；若全为零，全为零，则称此方程组为齐次线性方程组。则称此方程组为齐次线性方程组。齐次线性方程组齐次线性方程组易知，易知，是是(13)的解，称为零解。的解，称为零解。若有一组不全为零的数是若有一组不全为零的数是(13)的解，称为非零解。的解，称为非零解。定理定理5：定理定理5：如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式 D0则齐次线性方程组没有非零解。则齐次线性方程组没有非零解。对于齐次线性方程组有对于齐次线性方程组有如果齐次线性方程组有非零解，如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为则它的系数行列式必为0。例：问例：问 l l 取何
15、值时，齐次线性方程组取何值时，齐次线性方程组有非零解？有非零解？解：解：因齐次方程组有非零解，则因齐次方程组有非零解，则 D = 0故故 l l = 0, 2, 3 时齐次方程组可能有非零解。时齐次方程组可能有非零解。例例: 求求平面平面上上两两不重合的两两不重合的三条直线三条直线相交于一点的条件。相交于一点的条件。解：首先解：首先, ,由三条直线由三条直线相交于一点，故线性方程组相交于一点，故线性方程组有唯一解。有唯一解。不妨设不妨设 ( x, y, 1) 是是方程组方程组(1)的解的解, , 则它是方程组则它是方程组的非零解。于是有的非零解。于是有其次其次, ,由三条直线由三条直线相交于一点，故其中相交于一点，故其中任意二条直任意二条直线相交于一点线相交于一点, , 故非齐次故非齐次线性方程组线性方程组都有惟一解。于是都有惟一解。于是
