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1、第九章第九章 重积分重积分重积分这一章的基本思想是对一元函数积分在二维和三维上的扩充，由于维数的增加，使得研究的难度和计算的复杂性增加。这一章内容是高等数学微积分部分的重要内容，因此必须牢固地掌握其基本理论、基本方法和常用解题技巧。在研究生入学考试中，本章是高等数学课程的必考内容之一，一些综合考试题往往也要涉及到此章内容。1、理解二重积分和三重积分的概念，了解其几何意义。2、掌握二重积分和三重积分的计算方法：会在不同的坐标系下计算重积分。9、理解多元函数积分的元素法。会用元素法写出一些几何量和物理量的重积分表达式。一、知识网络图定义、性质几何意义二重积分计算方法：直角坐标系、柱面坐标系应用：几
2、何、物理定义三重积分计算方法：直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系二、典型错误分析例 1 求二重积分，其中。()Dxy dxdy( , ):01,0Dx yxxy错解 因为，所以，故( , ):01,0Dx yxyx01,01xy1100()()Dxy dxdydxxy dy 101()2xdx 。1分析 积分区域是一个三角形，而在上述求解时( , ):01,0Dx yxyx积分区域却成了正方形。正确解法 100()()xDxy dxdydxxy dy 12032x dx 。12例 2 求二重积分，其中。22(10)Dxydxdy22( , ):1Dx yxy错解 令，则cossinxryr21
3、22200(10)(10)Dxydxdydrdr 1202(10)rdr 。623分析 由于，则，而上述解答中错误地认为cossinxryrdxdyrdrd。dxdydrd正确解法 2122200(10)(10)Dxydxdydrrdr 1302(10 )rr dr 。212例 3计算，其中是由及所围成图22DIxy dD222xya222xyax形的公共部分。错解 令和分别为大、小圆面，则1D2D22DIxy d122222DDxy dxy d2cos2220002aadddd。322()33a分析 答案虽然正确，但是解法有问题。因为在小圆内的被积函数，我们不知道，而错误地看成了和大圆的被积
4、函数一样。正确解法 由于被积函数和积分区域都是对称的，故22DIxy d22200cos2aaadddd。322()33a例 4改变积分的次序。2sin00( , )xdxf x y dy错解 原式。02sin1sin1arcsin0arcsin( , )( , )arcyarcyyydyf x y dydyf x y dy分析 问题出现在上，因为在轴的下方区域取负值，02sin1arcsin( , )arcyydyf x y dyxy因此。arcsin0y 正确解法 原式。02sin1sin1arcsin0arcsin( , )( , )arcyarcyyydyf x y dydyf x y
5、 dy例 5求由平面，与柱面（）所围成的体积zxy0z 22xyax0a 错解 原式Dzdxdy ()Dxy dxdy cos2202(cossin )add 38a分析 问题出现在不能保证在以为投影的区域内的非( , )f x yxy22xyax负性。正确解法 原式Dxy dxdy cos2202cossinadd 331048a例 6求球面和柱面（）所包围的且在柱面22224xyza222xyax0a 内部的体积。错解 因为所求体积的形体关于平面对称，于是xoy原式2Dzdxdy 22224Daxy dxdy 2 cos222024adad 3322222222(4sin)(4) 3aad
6、 322283a d3163a分析 问题出现在不能保证成立。3232(sin)sin正确解法 原式2Dzdxdy 22224Daxy dxdy 2 cos222024adad 3322222222(4sin)(4) 3aad 332228(sin1)3ad 3164()33a例 7计算三重积分，22()xydxdydz其中由锥面与平面（）围成的区域。222xyzza0a 错解 因为22()Ixydxdydz 222222224000(sincossinsin)sinaddrrrdr 2344000sinaddr dr 525 2(2)154a分析 问题出现在对 的积分上限，错误地认为是，而应该
7、为。racosa正确解法 22()Ixydxdydz 222222224cos000(sincossinsin)sinaddrrrdr 2344cos000sinaddr dr 510a例 8计算三重积分，222()xyzdxdydz其中：。2222xyzR错解 2222()xyzdxdydzR dxdydz 2Rdxdydz 543R分析若从积分的物理意义去理解，起错误是明显的。把三重积分看成质量，则被积函数就是球体的密度，它与球体上的点到原点的距222( , , )f x y zxyz离的平方成正比（比例系数为 1） ，仅当点在球面上时，其密度2222xyzR才是。2R正确解法 采用球坐标
8、计算22224000()sinRxyzdxdydzddrdr 545R三、综合题型分析例 9、求椭球体的体积。1222222czbyax分析 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以 8 即可。解 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以 8 即可。作广义极坐标变换 （） 。sin ,cosbryarx20 ,0 , 0 , 0rba这时椭球面化为 。222221)sin()cos(1rcbbraarcz又 ，abrbrbarayyxxrDyxDrrcossinsincos),(),(于是 drdrDyxDrzdyxzVxyxyxy),(),(),(),(81drrra
9、bcabrdrrcd102102201211022)1 ()121(2rdrabc。abcrabc6)1 (3222110232所以椭球体积 。abcV34例 10、估计积分(10)DIxyd的值，其中是由圆周围成。D224xy分析 由重积分的性质：在区域上，如果，则D( , )( , )f x yg x y，( , )( , )DDf x y dg x y d来进行估计。解 先求函数在区域上的极值。因为没( , )10F x yxyD( , )10f x yxy有驻点，所以最值一定在边界取得。设，22( , )10(4)G x yxyxy则由拉格朗日乘数法22120,120,40,xyGxG
10、yGxy 得驻点为和，比较得的最小值，最大值( 2,2)(2,2)( , )f x y102 2m 。因为积分区域的面积为，故102 2M 4。8 (52)8 (52)I例 11、估计积分22101100cossinxyIdxy的值。分析 可以由重积分的性质：在区域上，如果，则D( , )( , )f x yg x y，( , )( , )DDf x y dg x y d来进行估计。也可以由积分中值定理来估计，在本质上是一致的。解 因为函数在闭区域上连续，所以221( , )100cossinf x yxy:10Dxy在上至少存在一点使得D( , ) ，221( , )100cossinf 显
11、然，22111102100cossin100而积分区域的面积为，故100。100251I例 12、计算21200yxdxedy分析 直接计算是困难的，要交换积分顺序。解 22211122000yyxydxedyedydx21220(1)yeydy 12e例 13、计算积分，其中区域为在第一象限的部分。222211DxydxyD221xy分析 被积函数中含圆，如果用直角坐标计算是困难的，采用极坐标计算。注意：一般来说，对被积函数或积分区域含圆，扇形，半圆，圆环等，往往采用极坐标计算比较简单。解 设，则cossinxryr2222221111DDxyrdrdrdxyr 21240011rdrdrr
12、 ，2140121rrdrr令，则2tr原式。212014841tdtt例 14、计算221()xyxy dxdy分析 被积函数中含有绝对值的积分，在计算是先要去掉绝对值，这是解题的一般方法。解 由函数和积分区域的对称性，2211()4()Dxyxy dxdyxy dxdy其中是在第一象限的部分，故1D2211()4()Dxyxy dxdyxy dxdy 12004( cossin )drrrdr 。83例 15、设函数连续，且，其中由，( , )f x y( , )( , )Df x yxyf u v dudvD1yx，围成，求。1x 2y ( , )f x y分析 这是一道综合题目，表面看
13、来很复杂，只要分析清楚了并不难。首先可以知道积分是一个常数，因此变为( , )Df u v dudv( , )( , )Df x yxyf u v dudv，两边再求二重积分就可以坚决了。( , )( , )Df x yxyf u v dudv解 设，则。故( , )DAf u v dudv( , )DAf x y dxdy，( , )( , )Df x yxyf u v dudvxyA两边求二重积分，则()DAxAy dxdy 2111()ydyxAy dx ，1124A从而，故12A 。1( , )2f x yxy例 16、计算2221Ixyzdxdydz，其中。22:1xyz分析 被积函
14、数中含有绝对值的积分，在计算是先要去掉绝对值，这是解题的一般方法。因此要将积分区域分成几部分。解 积分区域被球面分成上下两部分和，故122221Ixyzdxdydz12222222(1)(1)xyzdxdydzxyzdxdydz以上积分均要采用球面坐标计算。11222224cos000(1)(1)sinxyzdxdydzddrrdr124cos002sin(1)drr dr 。(3 24)1222122224000(1)(1)sinxyzdxdydzddr rdr124002sin(1)dr r dr 。(22)12故。( 21)6I例 17、设为连续函数，证明，( )f t()( )()aa
15、Df xy dxdyf t at dt其中( , ):,022aaDx yxya分析 这种类型的题目有一点小技巧，解题的常用方法是坐标变换。解 令，则uxyvxy，1()21()2xvuyvu所以积分区域由变为( , ):,022aaDx yxya，*( , ):,0Du vavuaavua a 且雅可比式为。( , )1( , )2x yJu v*1()( )2DDf xy dxdyf ududv 0011( )( )22a uaa uaa uu af u dudvf u dudv 00() ( )() ( )aaau f u duau f u du 00() ( )() ( )aaau f
16、 u duau f u du 。( )()aaf t at dt例 18、计算二重积分，其中。22max,xyDedxdy( , ):01,01Dx yxy分析 这道题本质上是一道分段函数积分题，关键是把用分段函数22max,xy表示出来。解 设，则1( , ):01,0Dx yxyx2( , ):01,1Dx yxxy22222212max,max,max,xyxyxyDDDedxdyedxdyedxdy 2212xyDDe dxdye dxdy 1e例 19、设是连续可导的函数，且，已知( )f u(0)0f(0)1f 2222222( )()xyztF tf xyzdxdydz，其中，求
17、。0t 50( )limtF tt分析 这是一道综合题目，先用球面坐标先计算，然后用罗必达法则计算( )F t极限。解 2222222( )()xyztF tf xyzdxdydz 222000()sintddf rrdr 。12204()r f rdr因为，由罗必达法则得22( )4( )F tt f t(0)0F22254420000( )( )4( )4( )limlimlimlim555ttttF tF tt f tf ttttt。22004( )(0)4( )(0)44limlim(0)5555tuf tff ufftu例 20、设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：
18、),(yxf,220lim 2(0,0)Dffxyxydxdyfxy 其中 D 为圆环域：。1222yx分析 这是一道综合题目，涉及的知识点多，有极限、重积分、偏导数。由于积分区域为圆，要先化为用极坐标。解法 1：令，则cosxrcosyr，cossinffxfyffrx ryrxy 从而。fffrxyrxy在单位圆的边界上取值为零，则当时，。因此),(yxf1r (cos ,sin )0f222xyDDfrxfyfrIdxdyrdrdxyr212100( cos , sin )|fddrf rrdr2200(cos ,sin )( cos , sin )fdfd ，*02( cos, sin
19、)f*0,2 故。0lim2(0,0)If 解法 2：令，则22( , )yf x yPxy 22( , )xf x yQxy。22ffxyQPxyxyxy令为（逆时针） ，为（顺时针）即1L221xy2L222xy，则2:cos ,sinLxy 22Dffxyxydxdyxy12LLPdxQdyPdxQdy122222( , )( , )( , )( , )LLyf x y dxxf x y dyyf x y dxxf x y dyxyxy1221( , )( , )( , )( , )LLyf x y dxxf x y dyyf x y dxxf x y dy02210(sin )(sin )coscos( cos , sin )fd ，20( cos , sin )fd *02 lim( cos, sin)f *0, 2 。*2200lim2 lim( cos, sin)2(0,0)Dffxyxydxdyffxy
