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1、 8-4 磁场的高斯定理和安培环路定理磁场的高斯定理和安培环路定理一、磁场的高斯定理一、磁场的高斯定理(Gauss theorem of magnetic field) 根根据据毕毕奥奥-萨萨伐伐尔尔定定律律，电电流流元元的的磁磁场场以以其其为为轴轴对对称称分分布布，垂垂直直于于电电流流元元的的平平面面内内的的磁磁感感线线是是头头尾尾相相接接的的闭闭合合同同心心圆圆，穿穿入入或或穿穿出出闭闭合合曲曲面面的的磁磁感感应应线线的的净净条数必等于零，条数必等于零，任意闭合曲面的任意闭合曲面的 都为零都为零。 由叠加原理，整个电流回路的磁由叠加原理，整个电流回路的磁场中任意闭合曲面的磁通量必定都场中任
2、意闭合曲面的磁通量必定都等于零，这就是等于零，这就是磁场的高斯定理磁场的高斯定理。1二、安培环路定理二、安培环路定理(Amperes circulation theorem)1. 安培环路定理的表述：安培环路定理的表述： 恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的积分等于此环路所包围的电流代数和的的积分等于此环路所包围的电流代数和的 0倍。倍。表达式表达式 符号规定：若穿过回路符号规定：若穿过回路L的电的电流方向与流方向与L的环绕方向服从右手的环绕方向服从右手关系，则关系，则I为正，否则为负。为正，否则为负。 不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。不穿过
3、回路边界所围面积的电流不计在内。2 2. 安培环路定理的证明：安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场无限长直电流的磁场 在围绕单根载流导线的在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路：垂直平面内的任一回路：在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路：在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路：r3闭合路径闭合路径L不包围电流不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路：，在垂直平面内的任一回路： 围绕单根载流导线的任一回路围绕单根载流导线的任一回路 L： 对对L，每个线元，每个线元 以过垂直导线平面作参考，分以过垂直导线平面作参考，分解为分量解为分量 和垂直于该平面的分量和垂直于该平面的分量 ，有，有证明步骤同
4、上证明步骤同上4 围绕多根载流导线的任一回路围绕多根载流导线的任一回路 L： 设设 电流过回路，电流过回路，电流不穿过回路电流不穿过回路L。令。令 分别为单根分别为单根导线产生的磁场，则有导线产生的磁场，则有所有电流的总场所有电流的总场穿过回路穿过回路的电流的电流任意回路任意回路5 安安培培环环路路定定理理的的存存在在说说明明磁磁场场不不是是保保守守场场，不不存存在在标标量量势势函函数数。这这是是恒恒磁磁场场不不同同于于静静电电场场的的一一个个十十分重要的性质。分重要的性质。 安安培培环环路路定定理理可可以以用用来来处处理理电电流流分分布布具具有有一一定定对对称称性性的的恒恒磁磁场场问问题题，
5、就就像像用用高高斯斯定定理理来来处处理理电电荷荷分分布具有一定对称性的静电场问题一样。布具有一定对称性的静电场问题一样。 在恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的在恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的积分等于此闭合环路所包围的电流代数和的积分等于此闭合环路所包围的电流代数和的 0倍。倍。这个结论就是这个结论就是安培环路定理安培环路定理。 推广到一般情形：推广到一般情形：6例例1 求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。由对称性分析场结构：由对称性分析场结构： 1. 磁场只有与轴平行磁场只有与轴平行的水平分量；的水平分量； 2. 因因为为是是无无限限长长
6、，在在与与轴轴等等距距离离的的平平行行线线上磁感应强度相等。上磁感应强度相等。 解解 一个单位长度上有一个单位长度上有 n匝线圈的无限长直螺匝线圈的无限长直螺线管由于是密绕，线管由于是密绕， 所以所以每匝视为圆线圈。每匝视为圆线圈。7 取矩形回路取矩形回路L, ab 边在边在轴上，轴上，cd 边与轴平行，另边与轴平行，另两个边两个边bc、da 垂直于轴。垂直于轴。 根据安培环路定理，有根据安培环路定理，有其方向与电流满足右手螺旋法则。其方向与电流满足右手螺旋法则。 无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零，无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零，因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为 8
