弹塑性力学基础

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1、材材 料料 力力 学学中国地质大学力学教学部中国地质大学力学教学部2021/6/161弹塑性力学基础弹塑性力学基础李李 同同 林林中国地质大学中国地质大学 力学教研室力学教研室2021/6/162第一章第一章 绪绪 论论一、一、 学科分类学科分类 弹塑性力学弹塑性力学二、二、 弹塑性力学的研究对象弹塑性力学的研究对象三、三、 弹塑性力学的基本思路与研究方法弹塑性力学的基本思路与研究方法四、四、 弹塑性力学的基本任务弹塑性力学的基本任务五、五、 弹塑性力学基本假设弹塑性力学基本假设六、六、 弹塑性力学发展概况弹塑性力学发展概况七、张量概念及其基本运算七、张量概念及其基本运算2021/6/163一

2、、学科分类一、学科分类 弹塑性力学弹塑性力学按运动与否分按运动与否分：静力学静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及 物体运动状态的改变；如飞机停在地 面或巡航。运动学运动学：研究物体如何运动，不讨论运动与受 力的关系； 如飞行轨迹、速度、 加速度。动力学：动力学：研究力与运动的关系。 如何提供加速度？ 1 1、学科分类、学科分类 2021/6/164 按研究对象分按研究对象分： 一般力学一般力学： 研究对象是刚体研究对象是刚体。研究力及其与 运动的关系。分支学科有理论力学理论力学，分析力学分析力学等。 流体力学流体力学：研究对象是气体或液体。涉及到： 水力学、空气动力学水力学、空气动力学等学

3、科。 固体力学固体力学：研究对象是可变形固体。研究材料 变形、流动和断裂时的力学响应。其分支学科有： 材料力学、结构力学、材料力学、结构力学、弹性力学、学、 塑性力学、塑性力学、 弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。2021/6/165 按研究手段分按研究手段分：（理论分析、实验和数值计算） 有实验力学、计算力学实验力学、计算力学二个方面的分支。 按应用领域分按应用领域分： 有飞行力学飞行力学、船舶结构力学船舶结构力学、岩土力学、量岩土力学、量 子力学子力学等。2021/6/166 2 2、弹塑性力学、弹塑性力学 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支弹塑性

4、力学是固体力学的一个重要分支 学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度 变化等因素的影响而发生的应力、应变和位变化等因素的影响而发生的应力、应变和位 移及其分布规律的一门科学，是研究固体在移及其分布规律的一门科学，是研究固体在 受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段 这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门 科学。科学。 2021/6/167二、二、 弹塑性力学的研究对象弹塑性力学的研究对象在研究对象上，材料力学的研究对象是固体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。造成两者间这种差异的

5、根本原因是什么呢？弹塑性力学研究对象也是固体，是不受弹塑性力学研究对象也是固体，是不受 几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术 问题需求的物体。问题需求的物体。2021/6/168三、弹塑性力学的基本思路与研究方法三、弹塑性力学的基本思路与研究方法1 1、弹塑性力学分析问题的基本思路、弹塑性力学分析问题的基本思路 弹塑性力学与材料力学同属固体力学的 分支学科，它们在分析问题解决问题的基本 思路上都是一致的，但在研究问题的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：2021/6/169(1) (1) 受力分析及静力平衡条件受力分析及静力平衡条件 ( (力的分析力的

6、分析) ) 物体受力作用处于平衡状态，应当满足的条件 是什么？（静力平衡条件）(2) (2) 变形的几何相容条件变形的几何相容条件 ( (几何分析几何分析) )材料是均匀连续的，在受力变形后仍应是连续的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠”，此时材料变形应满足的条件是什么？（几何相容条件）(3) (3) 力与变形间的本构关系力与变形间的本构关系 ( (物理分析物理分析) ) 固体材料受力作用必然产生相应的变形。 不同的材料，不同的变形，就有相应不同的 物理关系。2021/6/1610 弹塑性力学研究问题的基本方法弹塑性力学研究问题的基本方法以受力物以受力物体内某一体内某一点（单元点（单元体

7、）为研体）为研究对象究对象 单元体的受力单元体的受力应力理论；应力理论； 单元体的变形单元体的变形变形几何理论；变形几何理论； 单元体受力与变形单元体受力与变形间的关系间的关系本构理本构理论；论； 建立起普建立起普遍适用的理遍适用的理论与解法。论与解法。1 1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解 法的严密性和普遍适用性为特点；法的严密性和普遍适用性为特点；2 2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；3 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠、可对初等力学理论解答的精确度和可靠 进行度量。进行度量。2021/6/1611四、四

8、、 弹塑性力学的基本任务弹塑性力学的基本任务可归纳为以下几点：可归纳为以下几点： 1 1建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论；基本方程和理论； 2 2给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量；以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3 3确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益；提高经济效益； 4 4为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要

9、的理论基础。性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。2021/6/1612五、五、 弹塑性力学的基本假设弹塑性力学的基本假设（1 1）连续性假设：假定物质充满了物体所）连续性假设：假定物质充满了物体所 占有的全部空间，不留下任何空隙。占有的全部空间，不留下任何空隙。 （2 2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内）均匀性与各向同性的假设：假定物体内 部各点处，以及每一点处各个方向上的部各点处，以及每一点处各个方向上的 物理性质相同。物理性质相同。（3 3）力学模型的简化假设：）力学模型的简化假设： （A A）完全弹性假设）完全弹性假设 ； （B B）弹塑性假设。）弹塑性假设。2021/6/161

10、3 几何假设几何假设小变形条件小变形条件（A A）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。 （B B）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；次以上的高阶微量；假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而

11、 且应变且应变( ( 包括线应变与角应变包括线应变与角应变 ) )均远远小于均远远小于1 1。根据。根据 这一假定：这一假定：2021/6/1614六、六、弹塑性力学发展概况弹塑性力学发展概况 1678 1678年年英国科学家虎克英国科学家虎克(R.Hooke)(R.Hooke)提出提出 了固体材了固体材 料的弹性变形与所受外力成正比料的弹性变形与所受外力成正比虎克定律。虎克定律。 1919世纪世纪2020年代，法国科学家纳维叶年代，法国科学家纳维叶 ( C.L.M.H.Navier )( C.L.M.H.Navier )、柯西、柯西 ( A.L.Cauchy )( A.L.Cauchy )和

12、和 圣文南圣文南 ( A.J.C.B.Saint Venant ) ( A.J.C.B.Saint Venant ) 等建立了等建立了 弹性力学的理论基础。弹性力学的理论基础。2021/6/1615法国科学家库伦(C.A.Corlomb1773年）、屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、圣文南和莱(M.Levy)波兰力学家胡勃(M.T.Houber1904年）、米塞斯(R.vonMises1913年）、普朗特(L.Prandtl1924)罗伊斯(A.Reuss1930)、享奇（H.Hencky)、纳戴(A.L.Nadai)、伊留申(A.A.) 阐明了应力、应变的概念和理论；阐明了应力、应变的

13、概念和理论； 弹性力学和弹塑性力学的基本理论框弹性力学和弹塑性力学的基本理论框架得以确立架得以确立。2021/6/1616七、张量概念及其基本运算七、张量概念及其基本运算（附录一）附录一） 1、张量概念、张量概念 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具质力学的重要数学工具 。 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的， 它们是不以人们的意志为转移的。它们是不以人们的意志为转移的。 分析研究物理现象的方法和工具的选

14、用与人们分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们 当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题 的求解与表述。的求解与表述。 2021/6/1617 所有与坐标系选取无关的量，统称为所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量物理恒量。 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为的物理量，统称为标量标量。例如温度、质量、功等。例如温度、质量、功等。 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为的物理量，称为矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加

15、速度等。 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。三个分量来确定。 若我们以若我们以r r表示维度，以表示维度，以n n表示幂次，则关于三维表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：示成：（1 1）2021/6/1618 现令现令n n为这些物理量的阶次，并统一称这些物为这些物理量的阶次，并统一称这些物 理量为张量。理量为张量。 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直 观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间观的几何意义

16、，但它做为物理恒量，其分量间 可由坐标变换关系式来解决定义。可由坐标变换关系式来解决定义。当当n=0n=0时，零阶张量，时，零阶张量，M=1M=1，标量；，标量；当当n=1n=1时，一阶张量，时，一阶张量，M=3M=3，矢量；，矢量； 、 、 、当取当取n n时，时，n n阶张量，阶张量，M=3M=3n n。2021/6/1619 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表 示和区别该张量的所有分量。示和区别该张量的所有分量。 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标 号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数号在其方

17、程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。量确定张量的阶次。 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称 为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再不求和。再不求和。2.2.下标记号法下标记号法 本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间，本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间， 即变程为即变程为3 3。2021/6/16203.3.求和约定求和约定 关于哑标号应理解为取其变程关于哑标号应理解为取其变程N N内所有数值，内所有数值， 然后再求和，这就叫做求和约定。然后再求和，这就叫做求和约定。 例如：

18、例如： （I-2I-2）（I-4I-4）（I-5I-5）2021/6/1621 关于求和标号，即哑标有：关于求和标号，即哑标有： 求和标号可任意变换字母求和标号可任意变换字母表示。表示。 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前 优先求和。例：优先求和。例： （I-12I-12）（I-13I-13）2021/6/1622 关于自由标号：关于自由标号： 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且标号字母相同。即同阶且标

19、号字母相同。 自由标号的数量确定了张量的阶次。自由标号的数量确定了张量的阶次。 关于关于Kronecker deltaKronecker delta（ ）符号：）符号： 是张量分析中的一个基本符号称为是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号柯氏符号（或（或柯罗尼克尔符号柯罗尼克尔符号），亦称），亦称单位张量单位张量。其定义为：。其定义为： （I-17I-17）2021/6/16234.4.张量的基本运算张量的基本运算 A A、张量的加减：张量的加减： 张量可以用矩阵表示，称为张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵张量矩阵，如：，如： 凡是同阶的两个或几个张量可以相加凡是同阶的两个或几个张量可以相加(

20、(或相减或相减) )，并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。相同的诸分量之代数和。 即：即：其中各分量（元素）为：其中各分量（元素）为：（I-19I-19）（I-20I-20）2021/6/1624B B、张量的乘积张量的乘积 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的 每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一它们所组成的集合仍然是

21、一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如： 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配 律和结合律。例如：律和结合律。例如： （I-21I-21）（I-22I-22）2021/6/1625C C、张量函数的求导：张量函数的求导： 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都 是坐标参数是坐标参数 x xi i 的函数。的函数。 对张量求导，就是把张量的每个分量都对坐标参数对张量求导，就是

22、把张量的每个分量都对坐标参数 求导数。求导数。 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加符号前上方加“ ”“ ”的方式来表示。的方式来表示。例如：例如： ， 就表示对一阶张量就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数的每一个分量对坐标参数 x xi i 求导。求导。 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加符号前上方加“ ”“ ”的方式来表示。的方式来表示。例如：例如： ， 就表示对一阶张量就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数的每一个分量对坐标参数 x xi i 求导。求导。 2021

23、/6/1626 如果在微商中下标符号如果在微商中下标符号 i i 是一个自由下标，则是一个自由下标，则 算子算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；的张量； 如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子 作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：例如： （I-23I-23）（I-24I-24）（I-I-2525）（I-I-2525） 如果在微商中下标符号如果在微商中下标符号 i i 是一个自由下标，则是一个自由下标，则 算子算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶作

24、用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；的张量； 如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子 作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：例如： 2021/6/16274.4.张量的分解张量的分解张量一般是非对称的。若张量张量一般是非对称的。若张量 的分量满足的分量满足则称为则称为反对称张量反对称张量。显然反对称张量中标号重复的。显然反对称张量中标号重复的分量分量( (也即主对角元素也即主对角元素) )为零，即为零，即 。 则则 称为称为对称张量对称张量。 如果如果 的分量满足的分量满足（I-27I-27）

25、（I-28I-28）2021/6/1628第二章第二章 应力理论应力理论一、应力的概念一、应力的概念应力状态的概念应力状态的概念二、应力分量转换方程二、应力分量转换方程三、主应力三、主应力应力主方向应力主方向应力张量不变量应力张量不变量四、最大四、最大( (最小最小) )剪应力剪应力五、空间应力圆五、空间应力圆. .应力椭球应力椭球 六、应力张量的分解六、应力张量的分解七、偏斜应力张量七、偏斜应力张量 . .主偏应力主偏应力. .应力偏量不变量应力偏量不变量八、八面体应力八、八面体应力等效应力等效应力九、平衡（或运动）微分方程九、平衡（或运动）微分方程2021/6/1629一、应力的概念一、应

26、力的概念 应力状态的概念应力状态的概念 应力：应力：受力物体受力物体 内某点某截面上内内某点某截面上内 力的分布集度。力的分布集度。 1 1、应力的概念、应力的概念2021/6/16302 2、应力状态的概念：、应力状态的概念：受力物体内某点处所取受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态明了该点的应力状态应力应力正应力正应力剪应力剪应力必须指明两点：必须指明两点：1.1.是哪一点的应力；是哪一点的应力；2.2.是该点哪个微截面的应力。是该点哪个微截面的应力。 表示表示应力的及符号规则：应力的及符号规则：正应力：正

27、应力：剪应力：剪应力： 第一个字母表明该应力作第一个字母表明该应力作用截面的外法线方向同哪一用截面的外法线方向同哪一个坐标轴相平行。个坐标轴相平行。 第二个字母表明该应力的第二个字母表明该应力的指向同哪个坐标轴相平行。指向同哪个坐标轴相平行。2021/6/1631 应力的正负号规则：应力的正负号规则：2021/6/16323.3.应力张量应力张量 数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量

28、的形式来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是一个对称的二阶张量，简称为一个对称的二阶张量，简称为应力张量应力张量。或或（2 23 3） 据剪应力互等定理据剪应力互等定理 , ,应力张量应是应力张量应是一个对称的二阶张量。一个对称的二阶张量。 2021/6/1633二二. .应力分量转换方程应力分量转换方程 1、任意斜截面上的应力、任意斜截面上的应力 已知已知 ： 求：求：P PP Px x 、P Py y 、 P Pz z 斜截面外法线为斜截面外法线为 n

29、n，方向余弦分别为方向余弦分别为 L L1 1 、L L2 2 、 L L3 3；面积：面积： S SABCABC=1=1；S SOBCOBC= = L L1 1，S SOACOAC= = L L2 2， S SOABOAB= = L L3 3。2021/6/1634则由单元体力系平衡条件：则由单元体力系平衡条件： 、 、 得：得：（2 24 4） （2 25 5） （26） （2 27 7） （2 28 8） 2021/6/16352 2、应力分量转换方程、应力分量转换方程 标坐轴标坐轴xyzxyz表表2121 2021/6/1636（2 21010） 2021/6/1637 3 3、平面应

30、力状态、平面应力状态 注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。2021/6/1638（2 22222） （2 22121） （2 21111） 2021/6/1639三三. . 主应力主应力 应力主方向应力主方向 应力张量不变量应力张量不变量 主平面：一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面；主平面：一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面； 主应力主应力 ：主平面上的正应力称为该点的主应力；：主平面上的正应力称为该点的主应力； 主方向主方向 ：主平面的法线方向即为主方向；：主平面的法线方向即为主方向；主单元体：由主平面截取的单元体称为主单元体。

31、主单元体：由主平面截取的单元体称为主单元体。设斜截面设斜截面ABCABC为主平面，则：为主平面，则：3lPnzs=2021/6/1640则由则由2-42-4得：得：（2 21212） （2 21313） （2 21818）2021/6/1641 理论上可证明：当一点的应力状态确定时，理论上可证明：当一点的应力状态确定时，由式由式2-182-18必可求出三个实根，即为主应力，且必可求出三个实根，即为主应力，且 。主应力彼此正交。主应力彼此正交。(219)(219) （2 22020） 2021/6/1642 正应力的极值就是主应力正应力的极值就是主应力 （2 22424） （2 22525）由由

32、2-242-24及及得：得： 对上式取极值求出方向余弦式，再对上式取极值求出方向余弦式，再代回式代回式2-252-25得：得： ，即正应力取极，即正应力取极值截面上的剪应力为零，此正应力即值截面上的剪应力为零，此正应力即为主应力。主方向彼此正交。为主应力。主方向彼此正交。2021/6/1643四四. .最大最大( (最小最小) )剪应力剪应力 由由2-252-25及及求出：求出：2021/6/1644讨论式（讨论式（b b），可得其解如表），可得其解如表- -所示：所示：表表2 23 30010010010000002021/6/1645 主剪应力主剪应力为：为：2021/6/1646 最大（

33、最小）剪应力最大（最小）剪应力为：为：（2 22727） 最大（最小）剪应力作用截面上一般正应最大（最小）剪应力作用截面上一般正应 力不为零，即：力不为零，即：（2 22828） 2021/6/1647五五. .空间应力圆空间应力圆 应力椭应力椭球球一点应力状态一点应力状态用解析法研究用解析法研究用几何法研究用几何法研究解析理论解析理论莫尔应力圆莫尔应力圆 若三个坐标轴的方向都恰取为应力主方向，则由若三个坐标轴的方向都恰取为应力主方向，则由式式(224)(224)或或(215)(215)可求出用，外法线为可求出用，外法线为n n的斜截面上的斜截面上的正应力的正应力其表达式为其表达式为: :1、

34、空间应力圆、空间应力圆2021/6/1648在式（在式（c c）中，设）中，设 永远是正值，所以式（永远是正值，所以式（c c）中右端的分子和分母应有相）中右端的分子和分母应有相同的正、负号。同的正、负号。在式（在式（c c）中，设）中，设 永远是正值，所以式（永远是正值，所以式（c c）中右端的分子和分母应有相）中右端的分子和分母应有相同的正、负号。同的正、负号。2021/6/1649 2021/6/1650六、六、应力张量的分解应力张量的分解+ + +（2 23030） 2021/6/1651 通常对于金属材料有：通常对于金属材料有： 通常将应力张量进行分解，更有利于研究固通常将应力张量进

35、行分解，更有利于研究固 体材料的塑性变形行为。体材料的塑性变形行为。 岩土材料在球应力张量作用下，一般也会出岩土材料在球应力张量作用下，一般也会出 现塑性体变，从而出现奇异屈服面。现塑性体变，从而出现奇异屈服面。球应力张量球应力张量体变：只是弹性变形体变：只是弹性变形畸变：首先产生弹性畸变，畸变：首先产生弹性畸变，当应力达到一定的极值时，当应力达到一定的极值时，将产生塑性的畸变。将产生塑性的畸变。偏斜应力张量偏斜应力张量2021/6/1652七、偏斜应力张量七、偏斜应力张量 .主偏应力主偏应力.应力偏量不变应力偏量不变量量1 1、偏斜应力张量偏斜应力张量. .主偏应力主偏应力= =2021/6

36、/16532 2、应力偏量不变量、应力偏量不变量2021/6/1654= = 作用八面体产生畸变，是塑性力学中的重要力作用八面体产生畸变，是塑性力学中的重要力 学参量。学参量。八、八、8 8 面体应力面体应力 等效应力等效应力 2021/6/16552 2、等效应力、等效应力（2-432-43） 材料处于单向拉伸应力状态时，材料处于单向拉伸应力状态时， ， ； 应力状态应力状态 确定了，确定了， 值就确定了，与坐标轴的值就确定了，与坐标轴的 选择无关；选择无关； 等效应力等效应力 与球应力状态无关，是塑性力学中的重与球应力状态无关，是塑性力学中的重 要力学参量。计算中是使用要力学参量。计算中是

37、使用 的绝对值。的绝对值。 等效应力又称为有效应力或应力强度，等效应力又称为有效应力或应力强度， 用用 表示表示. .2021/6/1656九、平衡（或运动）微分方程九、平衡（或运动）微分方程 2021/6/1657 平衡微分方程：平衡微分方程： 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点 的应力分量和体力分量必定满足这组方程。的应力分量和体力分量必定满足这组方程。 求解应力场的问题是一个静不定问题。求解应力场的问题是一个静不定问题。 体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负。（2-442-44）（2-452-4

38、5）2021/6/1658十、静力边界条件十、静力边界条件 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上任意一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上任意 一点的应力分量和面力分量必定满足这组方程。一点的应力分量和面力分量必定满足这组方程。 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之取负。面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之取负。（2-462-46）（2-472-47）2021/6/1659 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量与相当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量与相 应的面力分量直接对应相等。应的面力分量直接对应相等。 关于平面问题的应力边界条件（关于平面问题的应力边界条件（xoyxoy平面）：

39、平面）：（2-492-49）2021/6/1660例例2-72-7：图图216所示为一变截面薄板梁，所示为一变截面薄板梁， 板的厚度为单位板的厚度为单位 1，跨度为。梁上表面，跨度为。梁上表面 承受三角形分布载荷作用，下斜表面承承受三角形分布载荷作用，下斜表面承 受均布切向面力作用，左端面上作用的受均布切向面力作用，左端面上作用的 面力详细分布情况不清，但分布面力的面力详细分布情况不清，但分布面力的 合力为切向集中力合力为切向集中力P，合力偶的力偶矩，合力偶的力偶矩 为为M。试确定此问题上述三边界上的应。试确定此问题上述三边界上的应 力边界条件。力边界条件。2021/6/16612021/6/

40、16622021/6/1663例例2-72-7：解：解：左边界：左边界：下边界：据圣文南原理和平衡的原理得：下边界：据圣文南原理和平衡的原理得：上边界：上边界：（1 1）（2 2）（3 3）2021/6/1664第三章第三章 变形几何理论变形几何理论一、位移、应变、几何方程、一、位移、应变、几何方程、 应变状态、应变张量应变状态、应变张量三、应变分量转换方程三、应变分量转换方程四、主应变、最大四、主应变、最大( (最小最小) )剪应变、体积应变剪应变、体积应变七、应变速度、应变增量、应变莫尔圆七、应变速度、应变增量、应变莫尔圆六、应变协调方程六、应变协调方程五、应变张量的分解、等效应变五、应变

41、张量的分解、等效应变二、位移边界条件二、位移边界条件2021/6/1665一、位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量一、位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量1 1、位移分量和相对位移分量、位移分量和相对位移分量位移位移刚性位移：反映物体整体位置的变动刚性位移：反映物体整体位置的变动变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。相对位置变动情况，即研究变形位移。 通常物体内各点通常物体内各点的位移应是点的位的位移应是点的位置

42、坐标函数，参照置坐标函数，参照oxyzoxyz坐标即为：坐标即为：（3-1） 位移函数应是位置坐标的单值连续函数。位移函数应是位置坐标的单值连续函数。 位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程 度，还需要研究物体内各点的相对位移。度，还需要研究物体内各点的相对位移。2021/6/16662021/6/16672021/6/16682 2、应变的概念、应变的概念 、几何方程、几何方程 在物体内任一点在物体内任一点 M M 处截取一单元体，处截取一单元体，考察其变形（由平考察其变形（由平面推广到空间）。面推广到空间）。 在小变形的前在小变

43、形的前提下建立应变的概提下建立应变的概念和几何方程。念和几何方程。 应变的概念应变的概念2021/6/1669 考察单元体在考察单元体在xyxy平面上投影平面上投影ABCDABCD的变形。的变形。 当微分体变形并出现位移后，其在当微分体变形并出现位移后，其在xoyxoy平面上的投平面上的投 影影ABCD ABCD 就移至新的位置就移至新的位置 ，如图所示。，如图所示。 应变的概念应变的概念2021/6/1670 应变的概念应变的概念沿沿x x方向棱边方向棱边 的线应变的线应变 ，据定义有：，据定义有： 也即：也即： （略去高阶微量得：）（略去高阶微量得：）A A点点x x，y y方向所夹直角的

44、改变量，即剪应变（角应变）：方向所夹直角的改变量，即剪应变（角应变）： 也即：也即：2021/6/1671 应变的概念应变的概念线应变线应变角应变角应变应变的符号规则：应变的符号规则： 表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反之取负；之取负； 表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。显然：变取正，反之取负。显然：xy=xy=yxyx。1.1.涉及受力物体涉及受力物体内某点；内某点；2.2.涉及该点的某涉及该点的某一方向；一方向；3.3.是一个无量纲是一个无量纲的物理量。的物理量。1 1、涉及受力物、涉

45、及受力物体内某一点；体内某一点；2 2、涉及过该点、涉及过该点的某两相垂直的某两相垂直方向；方向；3 3、是一个有单、是一个有单位，无量纲的位，无量纲的物理量。物理量。2021/6/1672 几何方程：几何方程：（3-2） 该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西的关系，称为几何方程，也称为柯西(Augustin-(Augustin-Louis Cauchy)Louis Cauchy)几何关系。其缩写式为：几何关系。其缩写式为： （3-7）2021/6/16733 3、应变状态、应变张量、应变状态、应变张量=（3-

46、6） 受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反映和表征了受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反映和表征了该点的变形程度该点的变形程度( (状态状态) )，称之为应变状态。，称之为应变状态。 一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为应变张一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为应变张量，用量，用 表示，即：表示，即：2021/6/1674 由几何方程式可以看出，当物体内一点的位移由几何方程式可以看出，当物体内一点的位移 分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定，分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定， 因为应变是位移的微分形式。但是当应变分量因为应变是位移的微分形式。但是当应变分量 完全

47、确定时，位移分量则不一定能求解出来，完全确定时，位移分量则不一定能求解出来， 这是由于物体的位移除了包含有纯变形位移这是由于物体的位移除了包含有纯变形位移 外，还可能包括有刚性位移。外，还可能包括有刚性位移。 2021/6/1675三、应变分量转换方程三、应变分量转换方程 任意方向上的线应变计算：任意方向上的线应变计算：2021/6/1676 应变分量转换方程应变分量转换方程一点的应变状态是一个二阶对称张量，则其分量转换方程为：一点的应变状态是一个二阶对称张量，则其分量转换方程为：(3-12)(3-13)2021/6/1677 应变状态与应力状态都是二阶对称张量，应变状态与应力状态都是二阶对称

48、张量， 因此在数学上两者所遵循的坐标变换法则是因此在数学上两者所遵循的坐标变换法则是 相同的。比较公式相同的。比较公式3-12和和29，知其分量，知其分量间对应关系为：间对应关系为：但且 由于由于应变张量与应力张量两者在数学上遵应变张量与应力张量两者在数学上遵 循相同的坐标变换法则，所以可知主应变、循相同的坐标变换法则，所以可知主应变、 应变主方向、最大（最小）剪应力、应变张应变主方向、最大（最小）剪应力、应变张 量分解、量分解、等等对应关系式均可直接导出。对应关系式均可直接导出。2021/6/1678四、主应变、应变主方向、最大（最小）剪应变四、主应变、应变主方向、最大（最小）剪应变 过物体

49、内任一点，一定存在着三个互相垂直的平面过物体内任一点，一定存在着三个互相垂直的平面, ,在这在这 些平面间剪应变为零，将其称之为些平面间剪应变为零，将其称之为应变主平面应变主平面。 应变主平面的外法线方向称为应变主平面的外法线方向称为应变主方向或应变主轴应变主方向或应变主轴。应。应 变主轴彼此正交。变主轴彼此正交。 应变主方向上的线应应变主方向上的线应变就是变就是主应变主应变。一点应变。一点应变状态的主应变有三个即：状态的主应变有三个即： 当一点应变状态确定是，当一点应变状态确定是， 其主应变、应变主方向由其主应变、应变主方向由 下式确定：下式确定： 主应变、应变主方向主应变、应变主方向202

50、1/6/1679（3-18）（3-19）（3-22） 应变不变量：应变不变量：（3-23）2021/6/1680 理论上可证明：三个应变主轴是彼此垂直的。理论上可证明：三个应变主轴是彼此垂直的。 理论上一般认为：应力主方向与应变主方向彼此理论上一般认为：应力主方向与应变主方向彼此 对应相同。通常简称为主方向。对应相同。通常简称为主方向。(2)(2)、最大（最小）剪应变、最大（最小）剪应变 理论上可证明：当一点应变状态确定时，该点的理论上可证明：当一点应变状态确定时，该点的 三个主应变一定也是三个实数根。并且按代数值三个主应变一定也是三个实数根。并且按代数值 排列：排列：（3-24）（3-25）

51、2021/6/1681五、应变张量的分解、八面体应变、等效应变五、应变张量的分解、八面体应变、等效应变应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量，即：应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量，即：（3-27）（3-28）（3-27） 应变张量的分解应变张量的分解 2021/6/1682 偏斜应变张量偏斜应变张量. .应变偏量不变量应变偏量不变量 应变偏张量为：应变偏张量为： 相应的应变偏量不变量为：相应的应变偏量不变量为：(3-30）（3-29）2021/6/1683 八面体应变、等效应变八面体应变、等效应变 八面体应变公式为：八面体应变公式为： 等效应变为：等效应变为：（3-34）（3-31）

52、（3-32）2021/6/1684六、变形连续性条件六、变形连续性条件 由几何方程可知，六个独立的应变分量是表征一由几何方程可知，六个独立的应变分量是表征一 点应变状态的，彼此间是不能相互独立的。因此，点应变状态的，彼此间是不能相互独立的。因此， 六个独立的应变分量应满足一定的条件六个独立的应变分量应满足一定的条件变形连变形连 续性条件。续性条件。 三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。以平面问题为以平面问题为例例：（：（oxyoxy平面）平面）几何方程几何方程3 3个个位移分量位移分量2 2个个 若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解

53、。平面问题（平面问题（oxyoxy平面）中，位移平面）中，位移分量分量u u、v v、w w 都都是坐标是坐标 x x、y y 的的函数。函数。以平面问题为以平面问题为例例：（：（oxyoxy平面）平面）几何方程几何方程3 3个个位移分量位移分量2 2个个以平面问题为以平面问题为例例：（：（oxyoxy平面）平面）几何方程几何方程3 3个个 若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。位移分量位移分量2 2个个以平面问题为以平面问题为例例：（：（oxyoxy平面）平面）几何方程几何方程3 3个个 三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。 若无

54、附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。位移分量位移分量2 2个个以平面问题为以平面问题为例例：（：（oxyoxy平面）平面）几何方程几何方程3 3个个 三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。 若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。位移分量位移分量2 2个个几何方程几何方程3 3个个平面问题（平面问题（oxyoxy平面）中，位移平面）中，位移分量分量u u、v v、w w 都都是坐标是坐标 x x、y y 的的函数。函数。 三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。平面问题（平面问题（

55、oxyoxy平面）中，位移平面）中，位移分量分量u u、v v、w w 都都是坐标是坐标 x x、y y 的的函数。函数。 若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。 三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。平面问题（平面问题（oxyoxy平面）中，位移平面）中，位移分量分量u u、v v、w w 都都是坐标是坐标 x x、y y 的的函数。函数。位移分量位移分量2 2个个 若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。 三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。平面问题（平面问题（oxyox

56、y平面）中，位移平面）中，位移分量分量u u、v v、w w 都都是坐标是坐标 x x、y y 的的函数。函数。位移分量位移分量2 2个个 若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。 三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。几何方程几何方程3 3个个位移分量位移分量2 2个个 若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。 三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。2021/6/1685 变形连续性条件，亦称应变协调条件（方程）变形连续性条件，亦称应变协调条件（方程） 或相容条件（方程）。导出

57、如下：或相容条件（方程）。导出如下：（3-35）2021/6/1686 其数学意义：要求其数学意义：要求要求位移函数在其定义域内为单值连续函要求位移函数在其定义域内为单值连续函 数，其方程就是位移函数的全微分条件。数，其方程就是位移函数的全微分条件。 其物理意义：就是要保证不违反连续性假设，构成其物理意义：就是要保证不违反连续性假设，构成 物体的介物体的介 质在变形前后是连续的，并且物体内每一点的位移必定是确定质在变形前后是连续的，并且物体内每一点的位移必定是确定 的，即同一点不会产生两个或两个以上的位移。这就是说，相的，即同一点不会产生两个或两个以上的位移。这就是说，相 邻点发生微小位移后，

58、仍为相邻点，否则物体在变形后将出现邻点发生微小位移后，仍为相邻点，否则物体在变形后将出现 间隙或重叠现象。间隙或重叠现象。 变形连续性条件变形连续性条件反映了真实情况下物体内各点应变之间的协反映了真实情况下物体内各点应变之间的协 调关系。调关系。 关于平面问关于平面问 题，变形连续题，变形连续 性条件简化性条件简化 为：为：（3-35） 对于多连域问题，物体变形除满足式（对于多连域问题，物体变形除满足式（2-942-94）（必要条件）（必要条件） 外，还要补充条件（充分条件）。外，还要补充条件（充分条件）。2021/6/1687 一点的应变状态可用应变莫尔圆来表示：一点的应变状态可用应变莫尔圆

59、来表示：七、应变莫尔圆七、应变莫尔圆2021/6/1688第四章第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程弹性变形、塑性变形、本构方程 4-1 弹性变形与塑性变形的特点弹性变形与塑性变形的特点 塑性力学的附加假设塑性力学的附加假设 4-2 常用简化力学模型常用简化力学模型 4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数弹性本构方程、弹性应变能函数 4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件屈服函数、主应力空间、常用屈服条件 4-7 塑性本构方程简介塑性本构方程简介2021/6/16894-1 弹性变形与塑性变形的特点弹性变形与塑性变形的特点 塑性力学的附加假设塑性力学的附加假设 弹塑性力学研究的问题一般都是静

60、不定问题。弹塑性力学研究的问题一般都是静不定问题。 静不定问题的解答静不定问题的解答1 1、静力平衡分析、静力平衡分析平衡微分方程平衡微分方程2 2、几何变形分析、几何变形分析几何方程几何方程3 3、物理关系分析、物理关系分析物理方程物理方程 此即弹塑性力学分析解决问题的基本思路。此即弹塑性力学分析解决问题的基本思路。 表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与 应变，以及应力率与应变率之间关系的物性方程，应变，以及应力率与应变率之间关系的物性方程， 称为称为本构方程（关系）本构方程（关系）。2021/6/16904-1 弹性变形与塑性变形的特点、弹性

61、变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续塑性力学的附加假设（续1） 大大量量实实验验证证实实，固固体体受受力力变变形形时时，应应力力与与应应变变间间的的关关系系是是相相辅辅相相成的。成的。 固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自 有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的 变形的客观特性。变形的客观特性。2021/6/16914-1 弹性变形与塑性变形的特点、弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续塑性力学的附加假设（续2） 弹性变形特点弹性变形特点: : 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做弹

62、性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复；以完全恢复； 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态，无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 因此，应力与应变是一一对应的关系。因此，应力与应变是一一对应的关系。2021/6/1

63、6924-1 弹性变形与塑性变形的特点、弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续塑性力学的附加假设（续3） 塑性变形特点塑性变形特点: : 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同，规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即应

64、力与应变之间不再存在一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。（或加载历史）。 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区，在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载

65、荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。的变化，两区域的分界面也会产生变化。 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。2021/6/16934-1 弹性变形与塑性变形的特点、弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续塑性力学的附加假设（续4） 具强化性质的固体材料，随着塑性变形的增加，屈具强化性质的固体材料，随着塑性变形的增加，屈 服极限在一个方向上提高，而在相反的方向上降低服极限在一个方向上提高，而在相反的方向上降低 的效应，称为包辛格效应。的效应，称为包辛格效应。 包辛格效应导致材料包辛格效应导致材料 物理力学性质具有各物理力学性质具有

66、各 向异性。向异性。 由于这一效应的数学由于这一效应的数学 描述比较复杂描述比较复杂, ,一般一般 塑性理论（在本教塑性理论（在本教 程）中都忽略它的影程）中都忽略它的影 响。响。 包辛格效应包辛格效应:2021/6/16944-1 弹性变形与塑性变形的特点、弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续塑性力学的附加假设（续5） 塑性力学附加假设塑性力学附加假设:为研究塑性力学需要，对材料提出为研究塑性力学需要，对材料提出如下附加假设：如下附加假设： 球应力引起了全部体变（即体积改变量），而不包含畸变球应力引起了全部体变（即体积改变量），而不包含畸变 （即形状改变量），体变是弹性的。因此，

67、球应力不影响（即形状改变量），体变是弹性的。因此，球应力不影响 屈服条件；屈服条件； 偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性变形仅是偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性变形仅是 由应力偏量引起的。因此，在塑性变形过程中材料具有不由应力偏量引起的。因此，在塑性变形过程中材料具有不 可压缩性（即体积应变为零）；可压缩性（即体积应变为零）； 不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料是非粘性不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料是非粘性 的。的。 这些附加假设都是建立在一些金属材料的实验基这些附加假设都是建立在一些金属材料的实验基 础上的，前两条对岩土材料不适应。础上的，前两条对岩土材

68、料不适应。2021/6/16954-2 常用简化力学模型常用简化力学模型 变形力学模型是在大量实验的基础上，将各种反映变形力学模型是在大量实验的基础上，将各种反映 材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类抽象材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类抽象 总结后提出的。总结后提出的。 对不同的固体材料，不同的应用领域，可采用不同对不同的固体材料，不同的应用领域，可采用不同 的变形体力学模型。的变形体力学模型。 确定力学模型时应注意：确定力学模型时应注意： 必须符合材料的实际情况；必须符合材料的实际情况； 模型的数学表达式应足够简单。模型的数学表达式应足够简单。2021/6/16964-2 常用简

69、化力学模型（续常用简化力学模型（续1 1） 不同的固体材料，力学性质各不相同。即便是不同的固体材料，力学性质各不相同。即便是同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中，同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中，所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相同。同。 尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相应的变形体力学模型。应的变形体

70、力学模型。 2021/6/16974-2 常用简化力学模型（续常用简化力学模型（续2 2） 在确定力学模型时，要特别注意使所选取的力学在确定力学模型时，要特别注意使所选取的力学模型必须符合材料的实际情况，这是非常重要的，因模型必须符合材料的实际情况，这是非常重要的，因为只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实为只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实应力及应力状态。另一方面要注意所选取的力学模型应力及应力状态。另一方面要注意所选取的力学模型的数学表达式应足够简单，以便在求解具体问题时，的数学表达式应足够简单，以便在求解具体问题时，不出现过大的数学上的困难。关于弹塑性力学中常用不出现过大

71、的数学上的困难。关于弹塑性力学中常用的简化力学模型分析如下：的简化力学模型分析如下：2021/6/16984-2 常用简化力学模型（续常用简化力学模型（续3 3） 理想弹塑性力学模型理想弹塑性力学模型 理想弹塑性力学理想弹塑性力学模型亦称为弹性完全模型亦称为弹性完全塑性力学模型，该模塑性力学模型，该模型抓住了韧性材料的型抓住了韧性材料的主要变形特征。其表主要变形特征。其表达式为：达式为：（4-2）2021/6/16994-2 常用简化力学模型（续常用简化力学模型（续4 4） 理想线性强化弹塑性力学模型理想线性强化弹塑性力学模型 理想线性强化理想线性强化弹塑性力学模型亦弹塑性力学模型亦称为弹塑性

72、线性强称为弹塑性线性强化材料或双线性强化材料或双线性强化模型。其数学表化模型。其数学表达式为：达式为：2021/6/161004-2 常用简化力学模型（续常用简化力学模型（续5 5） 理想刚塑性力学模型理想刚塑性力学模型 理想刚塑性力学理想刚塑性力学模型亦称刚性完全塑模型亦称刚性完全塑性力学模型，特别适性力学模型，特别适宜于塑性极限载荷的宜于塑性极限载荷的分析。其表达式为分析。其表达式为: :（4-4）2021/6/161014-2 常用简化力学模型（续常用简化力学模型（续6 6） 理想线性强化刚塑性力学模型理想线性强化刚塑性力学模型 理想线性强化刚理想线性强化刚塑性力学模型，其塑性力学模型，

73、其应力应变关系的数应力应变关系的数学表达式为：学表达式为：（4-5）2021/6/161024-2 常用简化力学模型（续常用简化力学模型（续7 7） 幂强化力学模型幂强化力学模型 为了避免在为了避免在 处处的变化，有时可以采用幂的变化，有时可以采用幂强化力学模型。强化力学模型。当表达式当表达式中幂强化系数中幂强化系数 n 分别取分别取 0 或或 1 时，就代表理想弹塑时，就代表理想弹塑性模型和理想刚塑性模型。性模型和理想刚塑性模型。其应力应变关系表达式为：其应力应变关系表达式为：（4-6）2021/6/161034-3 弹性本构方程、弹性应变能函数弹性本构方程、弹性应变能函数 大量的试验研究结

74、果表明，在许多工程材料的弹性范围大量的试验研究结果表明，在许多工程材料的弹性范围内，单向的应力与应变之间存在着线性关系。若取过某点的内，单向的应力与应变之间存在着线性关系。若取过某点的x x方向为单轴向力方向，则简单拉方向为单轴向力方向，则简单拉( (压压) )时的虎克定律为：时的虎克定律为： 由于这种关系反映出来的材料变形属性，应不随应力状由于这种关系反映出来的材料变形属性，应不随应力状态的不同而变化，因而人们认为，对于各种复杂应力状态也应态的不同而变化，因而人们认为，对于各种复杂应力状态也应有性质相同的关系，故可将上述应力应变线性比例关系推广到有性质相同的关系，故可将上述应力应变线性比例关

75、系推广到一般情况，即在弹性变形过程中，任一点的每一应力分量都是一般情况，即在弹性变形过程中，任一点的每一应力分量都是六个独立的应变分量的线性函数；六个独立的应变分量的线性函数；反之亦然。反之亦然。这种形式的应力这种形式的应力应变关系，称为广义虎克定律或弹性本构方程，表达为数学形应变关系，称为广义虎克定律或弹性本构方程，表达为数学形式则为：式则为： 2021/6/161044-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续1 1）式中式中C Cmnmn称为弹性常数，与位置坐标无关。称为弹性常数，与位置坐标无关。（4-8） 广义虎克定律一般表达式：广义虎克定律一般表达式：假设

76、物体中没有初应力，对于假设物体中没有初应力，对于 均匀的理想弹性体的应力应变关系下：均匀的理想弹性体的应力应变关系下：2021/6/16105 广义虎克定律张量表达式：广义虎克定律张量表达式：（4-9） 广义虎克定律式（广义虎克定律式（4-84-8）中）中3636个弹性常数是否彼此个弹性常数是否彼此 无关？无关？ 弹性常数针对各种不同的研究对象；它们之间的关弹性常数针对各种不同的研究对象；它们之间的关 系是什么？系是什么？ 式（式（4-84-8）若采用矩阵表达式）若采用矩阵表达式, ,则为：则为：=D称为应力列阵；称为应力列阵；称为应变列阵；称为应变列阵；DD称为弹称为弹 性矩阵。性矩阵。4-

77、3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续2 2）2021/6/16106 弹性应变能函数弹性应变能函数: 弹性体的实功原理弹性体的实功原理：若对于静荷载作用下产生弹性变形过程：若对于静荷载作用下产生弹性变形过程 中不计能量耗散，则据功能原理：产生此变形的外力在加载中不计能量耗散，则据功能原理：产生此变形的外力在加载 过程中所作的功将以一种能量的形式被积累在物体内，此能过程中所作的功将以一种能量的形式被积累在物体内，此能 量称为量称为弹性应变能弹性应变能，或称，或称弹性变形能弹性变形能。并且物体的弹性应变。并且物体的弹性应变 能在数值上等于外力功。这就是能在数值上等于

78、外力功。这就是实功原理实功原理，也称，也称变形能原理变形能原理。 若弹性应变能用若弹性应变能用U U 表示，外力功用表示，外力功用 W We e 表示，则有：表示，则有： （4-10）若以若以 W Wi i 表示内力功，则有：表示内力功，则有：（4-11）（a）且：且：4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续3 3） 2021/6/16107、弹性体中的内力功和应变能：弹性体中的内力功和应变能： 物体内代表一点的微分体，在变形时存在有刚性位移与物体内代表一点的微分体，在变形时存在有刚性位移与变形位移两部分。但由于内力是平衡力系，在微分体的刚体变形位移两部分。但由

79、于内力是平衡力系，在微分体的刚体（性）位移上不作功，则只须讨论应力对微分体引起应变所（性）位移上不作功，则只须讨论应力对微分体引起应变所作的内力功（亦称形变功）。作的内力功（亦称形变功）。4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续4 4） 首先考察单元首先考察单元体上外法线与体上外法线与 x 轴轴相平行的微截面上相平行的微截面上拉力（或压力）所拉力（或压力）所作的功如图作的功如图4-8 (a)所示。所示。 2021/6/16108同理可得：同理可得：于是拉力于是拉力所作的内力功为：所作的内力功为：同理可得：同理可得：4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构

80、方程、弹性应变能函数（续5 5）2021/6/16109 则弹性体由零应变状态加载至某一应变状态则弹性体由零应变状态加载至某一应变状态 的过程中，的过程中，弹性体整个体积的内力功为：弹性体整个体积的内力功为：（412）于是从零应变状态到达某一应变状态的过程中，积累在弹性体于是从零应变状态到达某一应变状态的过程中，积累在弹性体单位体积内的应变能为：单位体积内的应变能为：（414）（413）4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续6 6）（413）2021/6/16110、弹性势能函数、弹性势能函数: : 有势力在势力场（弹性体）中，由于质点位置的改变（变有势力在势

81、力场（弹性体）中，由于质点位置的改变（变形）有做功的能力，这种能称为形）有做功的能力，这种能称为势能势能。这种势能显然就是上述。这种势能显然就是上述应变能。应变能。 势能是质点坐标的连续函数，故我们把应变能亦称为势能是质点坐标的连续函数，故我们把应变能亦称为应变应变能函数能函数，或，或弹性势能函数弹性势能函数。 对于理想弹性体，在每一确定的应变状态下，都具有确定对于理想弹性体，在每一确定的应变状态下，都具有确定的应变值。的应变值。弹性势能函数弹性势能函数与应变过程无关。在加、卸载的过程与应变过程无关。在加、卸载的过程中：中： （b）4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变

82、能函数（续7 7）2021/6/16111上式表明：上式表明：应力分量等于弹性势函数对相应的应变分量的一阶应力分量等于弹性势函数对相应的应变分量的一阶偏导数。偏导数。适用于一般弹性体。适用于一般弹性体。其缩写式为：其缩写式为： 弹性势能函数是坐标的单值连续函数，故弹性势能函数是坐标的单值连续函数，故 必为全微分，必为全微分，即：即：（419）4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续8 8）（417）（418）2021/6/16112、弹性常数间的关系、弹性常数间的关系:、极端各向异性体极端各向异性体: :对极端各向异性体，独立的弹性常数只有对极端各向异性体，独立

83、的弹性常数只有2121个。个。变形过程中，积累在单位体积内的应变能为：变形过程中，积累在单位体积内的应变能为：（421）4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续9 9）（420）2021/6/16113、正交各向异性体正交各向异性体: :正交各向异性体：正交各向异性体：过物体内一点具有三个互相正交的弹性对称过物体内一点具有三个互相正交的弹性对称面，在每个对称面两侧的对称方向上弹性性质相同，但在三个面，在每个对称面两侧的对称方向上弹性性质相同，但在三个互相正交方向的弹性性质彼此不同。互相正交方向的弹性性质彼此不同。4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方

84、程、弹性应变能函数（续1010） 应变能应变能 的的值只取决于弹性值只取决于弹性常数及最终的应常数及最终的应变状态，应该与变状态，应该与坐标轴的指向无坐标轴的指向无关。关。 2021/6/16114 正交各向异性体独立的弹性常数只有正交各向异性体独立的弹性常数只有9 9个。个。则其相应的则其相应的应力应变关系为：应力应变关系为：其单位体积应变能为：其单位体积应变能为：（422）（423）4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续1111）2021/6/16115 有一类正交各向异性体，其特点是在平行于某一平面的所有有一类正交各向异性体，其特点是在平行于某一平面的所

85、有各个方向各个方向(即所谓横向即所谓横向)都具有相同的弹性，我们将这类正交异性都具有相同的弹性，我们将这类正交异性体称为横观各向同性体。许多成层的岩石就属于这一类。体称为横观各向同性体。许多成层的岩石就属于这一类。、横观横观各向同性体各向同性体: :4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续1212）（424）（425）2021/6/161164-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续1313）对比材料力学的公式，则式对比材料力学的公式，则式(4-25)可写成：可写成： （426）由于在平面由于在平面 内各向同性，故由材料力学的证明知

86、：内各向同性，故由材料力学的证明知：（427）对于对于横观各向同性体，独立的弹性常数只有横观各向同性体，独立的弹性常数只有5 5个，个，它们是：它们是：。2021/6/161174-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续1414）、各向同性体、各向同性体: 所谓所谓各向同性体：是指过物体内一点沿任何方向上的物理力各向同性体：是指过物体内一点沿任何方向上的物理力学性质均相同的物体。其独立的弹性常数只有两个。学性质均相同的物体。其独立的弹性常数只有两个。 各向同性体各向同性体两个两个独立的弹性常数通常取为：独立的弹性常数通常取为： 弹性模量弹性模量 E E 和泊桑比和

87、泊桑比 各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体的本构方程:（428）（429）A. A. 用应力表达应变的广义虎克定律用应力表达应变的广义虎克定律: :2021/6/16118B. B. 用应变表达应力的广义虎克定律：用应变表达应力的广义虎克定律：上式中上式中称为拉梅常数。称为拉梅常数。（433）4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续1515） 剪切弹性模量剪切弹性模量G，杨氏弹性模量，杨氏弹性模量E，泊松，泊松(Poisson)比比 三者间的关系为：三者间的关系为：（430）（433）2021/6/16119C用球应力与应力偏量表示的广义虎克定律：用球应力与

88、应力偏量表示的广义虎克定律：（438） 此式说明各向同性弹性体的本构方程也可表示为：应变球此式说明各向同性弹性体的本构方程也可表示为：应变球张量与应力球张量成正比，应变偏张量与应力偏张量成正比。张量与应力球张量成正比，应变偏张量与应力偏张量成正比。4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续1616） 若将式若将式(4-31)(4-31)中各弹性系数代人式中各弹性系数代人式(4-23)(4-23)，即可得各向同，即可得各向同性体的应变比能为：性体的应变比能为：（434）2021/6/16120体积弹性模量体积弹性模量 K K 剪切弹性模量剪切弹性模量 G G 0 0

89、 弹性模量弹性模量 E E 0 0 拉梅常数拉梅常数 0 0 4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续1717）泊桑比泊桑比 0 0 0.5 2021/6/16121 例例4141 当泊松比当泊松比= 0.5= 0.5时，为什么表示材料不可压缩性，时，为什么表示材料不可压缩性， 即体积不变。此时的剪切弹性模量即体积不变。此时的剪切弹性模量 G G 与拉压弹性模量与拉压弹性模量 E E 有什有什 么关系？么关系？解：设解：设= 0.5= 0.5，由式（，由式（438438）第一式及式（）第一式及式（437437），），所以，体积应变所以，体积应变:说明材料体积不变

90、，即材料有不可压缩性。又由式（说明材料体积不变，即材料有不可压缩性。又由式（430430），），得得: :4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续1818）2021/6/161224-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续弹性本构方程、弹性应变能函数（续1919） A A、球应力（平均正应力）引起了单元体全部体变而不包括、球应力（平均正应力）引起了单元体全部体变而不包括 畸变；体变是弹性的。畸变；体变是弹性的。B B、偏应力引起了单元体全部畸变而不包括体变。塑性变形仅、偏应力引起了单元体全部畸变而不包括体变。塑性变形仅 是由应力偏量引起的。是由应力偏量引起的。 事

91、实上，由于应力状态中发生体变的球应力始终存在、发事实上，由于应力状态中发生体变的球应力始终存在、发生弹性畸变的偏应力也始终存在，因此整个变形阶段弹性变形生弹性畸变的偏应力也始终存在，因此整个变形阶段弹性变形是始终存在的。当应力超过屈服极限而发生塑性变形时，始终是始终存在的。当应力超过屈服极限而发生塑性变形时，始终还伴随着弹性变形，故而这个变形阶段称为还伴随着弹性变形，故而这个变形阶段称为弹塑性阶段弹塑性阶段。 上述的两点讨论有助于我们对塑性变形的研究，上述的两点讨论有助于我们对塑性变形的研究， 应力张量和应变张量分解的物理意义：应力张量和应变张量分解的物理意义：2021/6/161234-4

92、屈服函数、主应力空间、常用屈服条件屈服函数、主应力空间、常用屈服条件1 1、屈服函数、屈服函数: : 判断材料是处于弹性状态还是已经进入到塑性状态，进行判断材料是处于弹性状态还是已经进入到塑性状态，进行这一判断所依据的准则就称为这一判断所依据的准则就称为屈服条件，又称塑性条件。屈服条件，又称塑性条件。 当材料处于简单应力当材料处于简单应力状态时，当应力达到屈服状态时，当应力达到屈服极限极限 材料便处于塑性材料便处于塑性状态。即便是对那些应力状态。即便是对那些应力应变曲线上弹塑性阶段分应变曲线上弹塑性阶段分界不明显的材料，也可采界不明显的材料，也可采用屈服极限用屈服极限 。2021/6/1612

93、4提出问题提出问题: : 在复杂应力状态下材料的屈服条件如何确立呢？在复杂应力状态下材料的屈服条件如何确立呢？ 一点的应力状态通常是由六个独立的应力分量一点的应力状态通常是由六个独立的应力分量所确定。作为判断材料是否进入塑性状态的标准，所确定。作为判断材料是否进入塑性状态的标准，应该考虑到所有这些应力分量的贡献。应该考虑到所有这些应力分量的贡献。固体材料破坏的基本类型只有两类：固体材料破坏的基本类型只有两类： （1 1）材料屈服流动、强化，产生较大的塑性变形，）材料屈服流动、强化，产生较大的塑性变形， 最终导致剪切断裂；最终导致剪切断裂； （2 2）材料几乎不产生塑性变形，就导致脆性断裂；）材

94、料几乎不产生塑性变形，就导致脆性断裂；4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续1 1）2021/6/161254-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续2)2) 对于同一种材料，无论它处于何种应力状态，当导对于同一种材料，无论它处于何种应力状态，当导 致它产生某种破坏的这一共同的因素达到某一个极致它产生某种破坏的这一共同的因素达到某一个极 限值时，材料就会产生相应的破坏。限值时，材料就会产生相应的破坏。 因此，我们希望通过材料的简单力学试验来确定这个因此，我们希望通过材料的简单力学试验来确定这个 因素的极限值

95、。因素的极限值。 人们根据材料破坏的现象，总结材料破坏的规律逐人们根据材料破坏的现象，总结材料破坏的规律逐 渐认识到：不管固体材料产生破坏（脆性断裂或塑渐认识到：不管固体材料产生破坏（脆性断裂或塑 性屈服性屈服剪切断裂）的表面现象多么复杂，对应某剪切断裂）的表面现象多么复杂，对应某 种破坏形式都具有共同的某一决定强度的因素。种破坏形式都具有共同的某一决定强度的因素。 2021/6/16126 现在的问题就是：考虑如何根据简单受力状态的现在的问题就是：考虑如何根据简单受力状态的试验结果（上述极限值），去建立材料在复杂应力状试验结果（上述极限值），去建立材料在复杂应力状态下（即与所有的应力分量都相

96、关的）判别材料变形态下（即与所有的应力分量都相关的）判别材料变形状态的关系状态的关系屈服条件屈服条件。在一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有在一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说屈服条件是该点六个独立的应力分量的函关，或者说屈服条件是该点六个独立的应力分量的函数，即为：数，即为：（440） 上式中的上式中的 称为屈服函数。称为屈服函数。4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续3 3）2021/6/161274-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续4 4）2 2、主应力空间：、主应力空间：（

97、441）对于各向同性材料来说，坐标轴的转动不应当影响材料对于各向同性材料来说，坐标轴的转动不应当影响材料的屈服。因而可以取三个应力主轴为坐标轴。此时，屈服的屈服。因而可以取三个应力主轴为坐标轴。此时，屈服函数式（函数式（440）可改写为：）可改写为： 若球应力状态只引起弹性体积变化，而不影响材料的若球应力状态只引起弹性体积变化，而不影响材料的屈服。则可认为屈服函数为：屈服。则可认为屈服函数为：（442） 因此，屈服函数就转化为用应力偏量表示的函数，而且因此，屈服函数就转化为用应力偏量表示的函数，而且可以在主应力可以在主应力所构成的空间，即主应力空间来讨论。所构成的空间，即主应力空间来讨论。 2

98、021/6/16128 主应力空间主应力空间是一个三是一个三维空间，物体中任意一维空间，物体中任意一点的应力状态都可以用点的应力状态都可以用主应力空间中相应点的主应力空间中相应点的坐标矢量来表示，如图坐标矢量来表示，如图所示。因此，我们在这所示。因此，我们在这一主应力空间内可以形一主应力空间内可以形象地给出屈服函数的几象地给出屈服函数的几何图象，而直观的几何何图象，而直观的几何图形将有助于我们对屈图形将有助于我们对屈服面的认识。服面的认识。4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续5 5）2021/6/161294-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条

99、件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续6 6）球应力状态：球应力状态： 或称静水应力状或称静水应力状态，即应力偏量为态，即应力偏量为零：零： 在主应力空间中，在主应力空间中，其轨迹是经过坐标原点其轨迹是经过坐标原点并与三坐标轴夹角相同并与三坐标轴夹角相同的等倾斜直线的等倾斜直线 on on 。 2021/6/16130平均应力为零：平均应力为零： 即即 ，应力偏量，应力偏量 不等于零。不等于零。 在主应力空间中，在主应力空间中，它的轨迹是一个通过坐它的轨迹是一个通过坐标原点并与标原点并与 on on 直线相直线相垂直的平面，称它为垂直的平面，称它为平面。平面。 4-4 屈服函数、主应力空

100、间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续7 7）2021/6/16131应力偏量为常量：应力偏量为常量：即即 为常为常 数数) )。它在主应力空间中的轨迹是与。它在主应力空间中的轨迹是与onon线平行但不经过坐标原点的直线平行但不经过坐标原点的直 线线 L L 。平均应力为常量：平均应力为常量：即：即：（C C为常量）。其在主应力空为常量）。其在主应力空间的轨迹为一个与间的轨迹为一个与 on on 直线直线正交但不通过坐标原点，也正交但不通过坐标原点，也即和即和平面相平行的平面。平面相平行的平面。 4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条

101、件（续8 8）2021/6/161324-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续9 9） 在主应力空间中，坐在主应力空间中，坐标原点附近的弹性区是被标原点附近的弹性区是被塑性区包围着的。作为弹塑性区包围着的。作为弹性区与塑性区交界的曲面，性区与塑性区交界的曲面，称之为称之为屈服面屈服面。它是屈服。它是屈服条件式（条件式（441441）在主应）在主应力空间中的轨迹。力空间中的轨迹。 屈服面的概念是拉伸屈服面的概念是拉伸（或压缩）应力应变曲线（或压缩）应力应变曲线的屈服极限概念的推广。的屈服极限概念的推广。 2021/6/16133 若我们认为球应若我们认

102、为球应力（静水压力）状态力（静水压力）状态不影响材料的屈服，不影响材料的屈服，则上述屈服面必定是则上述屈服面必定是一个与坐标轴呈等倾一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表面，其母斜的柱体表面，其母线垂直于线垂直于 平面。平面。曲线曲线C C 就称为就称为屈服曲屈服曲线或屈服轨迹线或屈服轨迹。 4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续1010）2021/6/161343、屈服曲线及其在、屈服曲线及其在平面内的重要性质平面内的重要性质:(2)(2)屈服曲线与任一从坐标屈服曲线与任一从坐标 原点出发的向径必相交原点出发的向径必相交 一次，且仅有一次。一次，且仅有一次

103、。(3)(3)屈服曲线对三个坐标轴屈服曲线对三个坐标轴 的正负方向均为对称。的正负方向均为对称。(1)(1)屈服曲线是一条封闭曲线，而且坐标原点被包围在内。屈服曲线是一条封闭曲线，而且坐标原点被包围在内。(4)(4)屈服曲线对坐标原点为屈服曲线对坐标原点为 外凸曲线，也即屈服曲外凸曲线，也即屈服曲 面为外凸曲面。面为外凸曲面。4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续1111）2021/6/161354. 讨论屈服曲线的可能位置：讨论屈服曲线的可能位置： 一切满足各向同性、不计包辛格效应、与球应力状态无关、一切满足各向同性、不计包辛格效应、与球应力状态

104、无关、并且外凸等条件的可能的屈服轨迹一定位于正六边形并且外凸等条件的可能的屈服轨迹一定位于正六边形 ABCDEFA ABCDEFA 与与 之间。并且只有外凸的曲线才之间。并且只有外凸的曲线才是可能的屈服轨迹。是可能的屈服轨迹。4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续1212）2021/6/161365、常用屈服条件、常用屈服条件: 历史上（从十九世纪中叶开始）曾经先后提历史上（从十九世纪中叶开始）曾经先后提出许多不同形式的屈服条件，如最大正应力条件出许多不同形式的屈服条件，如最大正应力条件（G.GalileoG.Galileo）、最大弹性应变条件（）

105、、最大弹性应变条件（B.SaintB.SaintVenantVenant）、弹性总能量条件（）、弹性总能量条件（E.BeltramiE.Beltrami）、最）、最大剪应力条件（大剪应力条件（H.TrescaH.Tresca）、歪形能条件（）、歪形能条件（R.Von R.Von MisesMises）、）、MohrMohr条件（条件（O.MohrO.Mohr）、）、等等。等等。 经过许多实验检验，证明符合工程材料特征，经过许多实验检验，证明符合工程材料特征，又便于在工程中应用的常用屈服条件有以下两种：又便于在工程中应用的常用屈服条件有以下两种：4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服

106、函数、主应力空间、常用屈服条件（续1313）2021/6/16137（1 1）TrescaTresca屈服条件（最大剪应力条件）屈服条件（最大剪应力条件）: : 1864 1864年，法国工程师屈雷斯卡（年，法国工程师屈雷斯卡（H.TrescaH.Tresca）在作了一系）在作了一系列金属挤压实验的基础上，发现在变形的金属表面有很细的列金属挤压实验的基础上，发现在变形的金属表面有很细的痕纹，而这些痕纹的方向很接近于最大剪应力的方向，因此痕纹，而这些痕纹的方向很接近于最大剪应力的方向，因此他认为金属的塑性变形是由于剪切应力引起金属中晶格滑移他认为金属的塑性变形是由于剪切应力引起金属中晶格滑移而形

107、成的。而形成的。(指绝对值)达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。当 TrescaTresca指出：在物体中，当最大剪应力指出：在物体中，当最大剪应力 ( (指绝对值指绝对值) )达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。即：达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。即： 4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续1414）（443）2021/6/161384-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续1515）（443） 通过简单受力状态的试验来测定。如采用单向拉伸试验通过简单受力状态的试验来测定。如采用单向拉伸试验和纯

108、和纯剪切试验可测得：剪切试验可测得： （448）（449） 最大剪应力的假设和实验结果比较一致，因而一般是被接最大剪应力的假设和实验结果比较一致，因而一般是被接受的。但在使用受的。但在使用TrescaTresca条件时，主应力的大小和次序应该知道，条件时，主应力的大小和次序应该知道，因为这样才能求出最大剪切应力因为这样才能求出最大剪切应力 ，使用使用 Tresca Tresca条件是很条件是很方便的方便的。2021/6/161394-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续1616） Tresca屈服条件在主应力空间中的几何轨迹，相当于图屈服条件在主应力

109、空间中的几何轨迹，相当于图 4-18(a) 中所示正六角柱体。该柱体与中所示正六角柱体。该柱体与 平面的截迹平面的截迹如如 图图4-18(b) 所示。该柱体与所示。该柱体与 平面的截迹，则为一等边平面的截迹，则为一等边等角的六边形，如图等角的六边形，如图4-18(c)所示。所示。 2021/6/16140 Tresca Tresca最大剪应力屈服条件忽略最大剪应力屈服条件忽略了中间主应力了中间主应力 对材料屈服的贡献，对材料屈服的贡献，这是它的不足之处。这是它的不足之处。德国力学家米塞德国力学家米塞斯（斯（R.Von Mises）注意到了这个问）注意到了这个问题。题。 4-4 屈服函数、主应力

110、空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续1717） 米塞斯（米塞斯（R.Von MisesR.Von Mises）（）（1913年）年）指出：在等倾指出：在等倾面上，面上，TrescaTresca条件六边形的六个顶点是由实验得到的，条件六边形的六个顶点是由实验得到的，但是连接六个顶点的直线段却包含了假定（认为中间但是连接六个顶点的直线段却包含了假定（认为中间主应力不影响屈服），这种假定是否合适，需经实验主应力不影响屈服），这种假定是否合适，需经实验证明。证明。 2021/6/16141 Mises Mises认为：用一认为：用一个圆来连接这六个顶个圆来连接这六个顶点似乎更合

111、理，并且点似乎更合理，并且可避免因曲线不光滑可避免因曲线不光滑而造成的数学上的困而造成的数学上的困难。难。 因此，因此，MisesMises屈服条屈服条件在主应力空间中的轨件在主应力空间中的轨迹是外接于迹是外接于TrescaTresca六角六角柱体的圆柱体，柱体的圆柱体，如图所示。如图所示。 4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续1818）2021/6/161424-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续1919） Mises Mises屈服条件在屈服条件在主应力空间中的轨迹主应力空间中的轨迹是外接于是外接

112、于TrescaTresca六角六角柱体的圆柱体，如图柱体的圆柱体，如图4-19(a)4-19(a)所示，所示， 该圆该圆柱体垂直于正八面体柱体垂直于正八面体斜面或斜面或 平面。平面。2021/6/161434-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续2020） 于是于是MisesMises提出了另一个屈服条件提出了另一个屈服条件畸变能条件，即认为畸变能条件，即认为当物体内某一点的应力状态对应的畸变能达到某一极限数值当物体内某一点的应力状态对应的畸变能达到某一极限数值k k时，该点处材料便屈服。可推得畸变能密度公式为：时，该点处材料便屈服。可推得畸变能密度

113、公式为：故故Mises条件可写为：条件可写为：（452）（451）式中式中 k 为表征材料屈服特征的参数。为表征材料屈服特征的参数。2021/6/161444-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续2121） 通过简单受力状态的试验来测定通过简单受力状态的试验来测定 k 。若采用单向拉伸试验。若采用单向拉伸试验和和纯剪切试验可测得：纯剪切试验可测得： 和和则：则：（453）（454）2021/6/16145 HenckyHencky认为：当韧性材料的形状改变能密度认为：当韧性材料的形状改变能密度 达到一定达到一定 数值数值kk时，材料便开始屈服。时，材

114、料便开始屈服。 （455）4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续2222）故故Mises条件也可写为：条件也可写为：2021/6/16146 19371937年纳达依（年纳达依（A.NadaiA.Nadai）认为当八面体剪应力达到一定数）认为当八面体剪应力达到一定数 值时，材料便开始屈服。即：值时，材料便开始屈服。即： （456） 1952 1952年诺沃日洛年诺沃日洛（.）又对又对MisesMises条件条件 的物理意义用剪应力的均方值给了又一个解释。的物理意义用剪应力的均方值给了又一个解释。 以上各种屈服条件的解释虽然表达形式不同，以上各种屈服

115、条件的解释虽然表达形式不同，但实际上它们之间是存在有内在联系的。但实际上它们之间是存在有内在联系的。4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续2323）2021/6/161476 6TrescaTresca屈服条件与屈服条件与MisesMises屈服条件的比较：屈服条件的比较： 通过实验验证：一般认为通过实验验证：一般认为MisesMises条件比条件比TrescaTresca条件更符合实验结果。而条件更符合实验结果。而在实际使用中各有优缺点：在实际使用中各有优缺点：TrescaTresca条件是主应力分量的线性函数，因而对于条件是主应力分量的线性函数

116、，因而对于已知主应力方向及主应力间的相对值的一类问题，是比较简便的。而已知主应力方向及主应力间的相对值的一类问题，是比较简便的。而 Mises Mises条件则显然复杂得多。但是从理论上讲，最大剪应力条件忽略了中间主应力条件则显然复杂得多。但是从理论上讲，最大剪应力条件忽略了中间主应力对屈服的影响，似有不足。而畸变能条件则克服了这一缺点。对屈服的影响，似有不足。而畸变能条件则克服了这一缺点。 4-4 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续2424）2021/6/161484-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 地质或采掘工程中的岩

117、土、煤炭、土壤，结构工程中的混地质或采掘工程中的岩土、煤炭、土壤，结构工程中的混凝土、石料以及工业陶瓷等材料统称为凝土、石料以及工业陶瓷等材料统称为岩土材料岩土材料。或抗拉强度极限或抗拉强度极限 实验表明，当应力较低时，试件材料的内部裂隙被压实，在这个阶段实验表明，当应力较低时，试件材料的内部裂隙被压实，在这个阶段（OAOA段），应力的数值增加不大，而压缩应变较大；段），应力的数值增加不大，而压缩应变较大；在内部裂隙被压实之后，在内部裂隙被压实之后，应力与应变呈现近似线性地增长，在这个阶段（应力与应变呈现近似线性地增长，在这个阶段（AB 段）中，伴有体积变化，段）中，伴有体积变化，而而B 点的

118、应力值称为点的应力值称为屈服强度屈服强度。随着应力的增加，材料的微裂纹也在随着应力的增加，材料的微裂纹也在不断地发生与扩展，因此应力和应变不断地发生与扩展，因此应力和应变之间表现出明显的非线性增长，也表之间表现出明显的非线性增长，也表现一定的应变硬化特性（现一定的应变硬化特性（BC 段），段），C 点的应力值称为点的应力值称为强度极限强度极限（抗压强（抗压强度极限度极限 ） 。1、岩土材料的变形特征：、岩土材料的变形特征：2021/6/161494-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续1 1） 在在C C 点附近，试件总的体积变化从收缩转入扩胀，即材料出现宏观

119、裂纹，点附近，试件总的体积变化从收缩转入扩胀，即材料出现宏观裂纹，裂纹的扩展使得材料的变形不断增加，而应力不断下降，将这一阶段（裂纹的扩展使得材料的变形不断增加，而应力不断下降，将这一阶段（CD CD 段）段）称为称为应变软化阶段应变软化阶段；DE DE 阶段则显示出了材料的剩余强度。阶段则显示出了材料的剩余强度。 综上所述，可将岩土材料的应力应变曲线大体分为三段。综上所述，可将岩土材料的应力应变曲线大体分为三段。 第第 l 阶段（阶段（OABC）为应力应变非线性上升；）为应力应变非线性上升； 第第阶段（阶段（CD）为应变软化阶段；）为应变软化阶段； 第第 阶段（阶段（DE）为剩余强度阶段，）

120、为剩余强度阶段，在有些材料中并不出现该阶段。在有些材料中并不出现该阶段。 通常在拉伸情况下，材料的应力通常在拉伸情况下，材料的应力应变曲线的变化规律与压缩时相似，应变曲线的变化规律与压缩时相似，但表征各阶段的应力和应变的数值与但表征各阶段的应力和应变的数值与压缩时有很大的差别。岩土材料的受压缩时有很大的差别。岩土材料的受压强度比受拉时要高得多。压强度比受拉时要高得多。2021/6/161504-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续2 2） 在岩石力学和土力学中，模拟三向受力状态的试验被称为在岩石力学和土力学中，模拟三向受力状态的试验被称为“三轴试验三轴试验”。

121、三轴试验中最常见的是模拟三向受力状态的一种。三轴试验中最常见的是模拟三向受力状态的一种特殊情况，即在三个相互垂直方向上保持两方向上的压力值相特殊情况，即在三个相互垂直方向上保持两方向上的压力值相等，而改变另一方向上的压力的大小。等，而改变另一方向上的压力的大小。这种试验可以在三轴实验机上完成，这种试验可以在三轴实验机上完成，图图4-23为这种三轴实验机的主体构造为这种三轴实验机的主体构造原理示意图。原理示意图。 一般围压愈低，材料屈服一般围压愈低，材料屈服强度也愈低，应变软化阶段也强度也愈低，应变软化阶段也愈明显，随着围压的增大，屈愈明显，随着围压的增大，屈服强度增大，塑性性质也明显服强度增大

122、，塑性性质也明显增加。增加。 2021/6/161514-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续3 3） 一般围压愈低，材料屈服强度也愈低，应变软化一般围压愈低，材料屈服强度也愈低，应变软化阶段也愈明显，随着围压的增大，屈服强度增大，塑阶段也愈明显，随着围压的增大，屈服强度增大，塑性性质也明显增加。性性质也明显增加。 2021/6/161524-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续4 4） 另一种三轴试验就是模拟三个相互垂直方向另一种三轴试验就是模拟三个相互垂直方向的压力各自独立变化。为了和上述三轴试验相区的压力各自独立变化。为

123、了和上述三轴试验相区别，通常称之为别，通常称之为“真三轴试验真三轴试验”。真三轴试验通常。真三轴试验通常是在立方体岩石试件的三组相互正交对应的表面是在立方体岩石试件的三组相互正交对应的表面上，独立地加载来进行的。试验时要特别注意减上，独立地加载来进行的。试验时要特别注意减小受载岩石试件表面上的摩擦，以使试件获得三小受载岩石试件表面上的摩擦，以使试件获得三向受力状态的良好近似值。可想而知，进行真三向受力状态的良好近似值。可想而知，进行真三轴试验要比三轴试验复杂和困难得多，目前这方轴试验要比三轴试验复杂和困难得多，目前这方面还有许多问题有待解决。面还有许多问题有待解决。2021/6/161534-

124、5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续5 5）通过以上讨论和对大量岩土材料的试验资料的分析，通过以上讨论和对大量岩土材料的试验资料的分析， 人们认识到，由于岩土材料组成上的不均匀性、缺人们认识到，由于岩土材料组成上的不均匀性、缺 陷以及有裂隙的分布，使得材料在受载过程中细微陷以及有裂隙的分布，使得材料在受载过程中细微 裂隙进一步扩展与运动，并导致材料的宏观强度和裂隙进一步扩展与运动，并导致材料的宏观强度和 刚度的降低。因此，材料的非弹性变形主要是由微刚度的降低。因此，材料的非弹性变形主要是由微 裂隙和缺陷的产生与扩展所引起的。裂隙和缺陷的产生与扩展所引起的。 岩

125、土材料的：岩土材料的： 压硬性：压硬性：抗剪强度随压应力的增高而提高；抗剪强度随压应力的增高而提高； 剪胀性：剪胀性：在剪应力作用下产生塑性体积应变；在剪应力作用下产生塑性体积应变； 等压屈服：等压屈服：在各向相等的压力作用下产生塑性屈服；在各向相等的压力作用下产生塑性屈服； 使得岩土塑性理论与金属塑性理论有着重要的差异。使得岩土塑性理论与金属塑性理论有着重要的差异。 2021/6/161544-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续6 6）岩土塑性理论与金属塑性理论有着重要的差异：岩土塑性理论与金属塑性理论有着重要的差异：(1)在静水压力不太大或环境温度不太高

126、的工程环境下，岩在静水压力不太大或环境温度不太高的工程环境下，岩(2) 土类介质表现出应变软化的特性。土类介质表现出应变软化的特性。(2)岩土材料的压硬性决定了岩土的剪切屈服与破坏必须考岩土材料的压硬性决定了岩土的剪切屈服与破坏必须考(3) 虑平均应力与材料的内摩擦性能。虑平均应力与材料的内摩擦性能。(3)材料的弹性系数与塑性变形无关是金属材料的特点，而材料的弹性系数与塑性变形无关是金属材料的特点，而(4) 岩土材料则需考虑弹塑性的耦合。岩土材料则需考虑弹塑性的耦合。(4) 在岩土材料中需考虑奇异屈服面。在岩土材料中需考虑奇异屈服面。(5) 金属材料中的正交流动法则在岩土材料中亦不再适用。金属

127、材料中的正交流动法则在岩土材料中亦不再适用。2021/6/161554-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续7 7） 由于影响岩土塑性变形的因素较多，且有些因素是不能忽由于影响岩土塑性变形的因素较多，且有些因素是不能忽略的，因此岩土塑性理论中的假设相对较少，主要假设有：略的，因此岩土塑性理论中的假设相对较少，主要假设有： (1) 连续性假设虽然岩土介质在肉眼可见的尺度内呈现不均匀连续性假设虽然岩土介质在肉眼可见的尺度内呈现不均匀 性和不连续性，但是在进行工程问题的力学分析时，可作性和不连续性，但是在进行工程问题的力学分析时，可作 为连续介质岩土力学问题，即在更

128、大的尺度范围内来描述为连续介质岩土力学问题，即在更大的尺度范围内来描述 各种力学量时，取其统计平均值。各种力学量时，取其统计平均值。 (2) 不计时间与温度的影响在多数情况下，可以忽略蠕变与松不计时间与温度的影响在多数情况下，可以忽略蠕变与松 弛效应，并可略去应变率对变形规律的影响。在一般工程弛效应，并可略去应变率对变形规律的影响。在一般工程 问题中，温度的变化是不大的，可以不计温度的影响。问题中，温度的变化是不大的，可以不计温度的影响。2021/6/161564-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续8 8）2、岩土材料的变形模型：、岩土材料的变形模型：(1)

129、 脆塑性模型：脆塑性模型： (2) 如图如图4-25(b)所示，在所示，在(3) 该模型中，应力达到该模型中，应力达到(4) 最大值时产生最大值时产生“跌落跌落”，(5) 下降后的应力值称为下降后的应力值称为(6) 剩余强度，数学表达剩余强度，数学表达(7) 式为：式为：(4-58)2021/6/161574-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续9 9）(2) 线性软化模型：线性软化模型： (3) 如图如图4-25(c)所示，所示，(4) 将应变软化过程近将应变软化过程近(5) 似为线性的，即：似为线性的，即： (4-59)2021/6/161584-5 岩土

130、材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续1010） 3、岩土材料的强度准则：、岩土材料的强度准则： 对于一般岩土材料来说，随着静水压力的增加，屈服应力和对于一般岩土材料来说，随着静水压力的增加，屈服应力和破坏应力都有很大增长。即使在初始各向同性的假定下，也应破坏应力都有很大增长。即使在初始各向同性的假定下，也应该对式该对式(4-42)进行修正，而采用的屈服条件形式为：进行修正，而采用的屈服条件形式为： (4-60) 库伦库伦(CACoulomb)剪切强度准则：剪切强度准则： 岩土力学中的强度准则通常可表述如下：在介质一点单元岩土力学中的强度准则通常可表述如下：在介质一点单

131、元体的任何微截面上，其剪应力体的任何微截面上，其剪应力 的大小都不能超过某一临界的大小都不能超过某一临界值。当值。当 达到该临界值时，材料就要产生剪切滑移。在最简达到该临界值时，材料就要产生剪切滑移。在最简单的情况下，上述的临界值和破裂面上的正应力单的情况下，上述的临界值和破裂面上的正应力 之间呈线之间呈线性关系，即有：性关系，即有： (4-61)2021/6/161594-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续1111） (4-61)上式中：上式中：C 通常为一常量，是固体材料在通常为一常量，是固体材料在 微截面上的微截面上的抗剪强度，在岩石力学中抗剪强度，在

132、岩石力学中常称为常称为粘聚力粘聚力； 为为内摩擦角内摩擦角（在岩土（在岩土力学中一般取压应力为正，力学中一般取压应力为正，此时此时 前的负号应改为前的负号应改为正号）。正号）。 2021/6/161604-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续1212）(4-62) 莫尔强度准则：莫尔强度准则： 在更一般的情况下，式在更一般的情况下，式(4-61)中的中的 将随将随 的的增加而减小，也即：增加而减小，也即： 莫尔强度准则可用曲莫尔强度准则可用曲线（如双曲线、抛物线、线（如双曲线、抛物线、摆线等）来表示的增加而摆线等）来表示的增加而变化的情况如图变化的情况如图4-

133、26（b）所示。当我们仅考虑值为所示。当我们仅考虑值为常数的情形时，就是库伦常数的情形时，就是库伦剪断裂准则式（剪断裂准则式（4-61），），表示的是一对射线，如图表示的是一对射线，如图4-6（a）所示。）所示。 2021/6/161614-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续1313） 当我们仅考虑值为常数的情形时，就是库伦剪断裂准则式（当我们仅考虑值为常数的情形时，就是库伦剪断裂准则式（4-61），表），表示的是一对射线，如图示的是一对射线，如图4-26（a）所示。莫尔强度准则的包络线可以通过材料）所示。莫尔强度准则的包络线可以通过材料的一系列不同应力状态

134、下的试验，材料产生破坏时的极限应力圆来确定，如的一系列不同应力状态下的试验，材料产生破坏时的极限应力圆来确定，如图图4-26（b）所示。介质应力状态的最大应力圆就是极限应力圆。）所示。介质应力状态的最大应力圆就是极限应力圆。 当材料产生剪切滑移时，极限应力圆应与射线或包络线相切。当材料产生剪切滑移时，极限应力圆应与射线或包络线相切。 2021/6/161624-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续1414） 而在库伦剪切强度准则中，则可用单向抗拉强度而在库伦剪切强度准则中，则可用单向抗拉强度 与单与单向抗压强度向抗压强度 来表示粘聚力来表示粘聚力 C 和内摩擦

135、角和内摩擦角 它们之间的关它们之间的关系为：系为： (4-63)用主应力用主应力 表示库伦剪切强度准则，得：表示库伦剪切强度准则，得： (4-64) 在库伦准则中考虑到了材料的抗拉压强度极限的明显差异在库伦准则中考虑到了材料的抗拉压强度极限的明显差异以及静水压力对强度准则的影响。以及静水压力对强度准则的影响。 2021/6/161634-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续1515） 另一种计及静水压力的强度准另一种计及静水压力的强度准则是卓柯则是卓柯普拉格（普拉格（DruckerPrager,1952）准则，它是）准则，它是Mises条条件的推广，如上图件的

136、推广，如上图428所示。所示。 在库伦准则中考虑到了材料的在库伦准则中考虑到了材料的抗拉压强度极限的明显差异以及抗拉压强度极限的明显差异以及静水压力对强度准则的影响。它静水压力对强度准则的影响。它是是Tresca 条件的推广，条件的推广， 如下图如下图427所示。所示。 卓柯卓柯普拉格强度准则：普拉格强度准则：2021/6/161644-5 岩土材料的变形模型与强度准则岩土材料的变形模型与强度准则 （续（续1616） 关于材料的屈服条件或强度准则，除已经介绍的关于材料的屈服条件或强度准则，除已经介绍的Tresca条件、条件、Mises条件、条件、Coulomb准则、准则、Mohr准则和准则和D

137、rucker-Prager准则外，还有选用材料的单拉屈服极限准则外，还有选用材料的单拉屈服极限 和剪切屈服极限和剪切屈服极限 K 来表示的双剪应力屈服条件，来表示的双剪应力屈服条件，还有选用单拉强度极限还有选用单拉强度极限 ，单压强度极限，单压强度极限 ， 以以及双压强度极限及双压强度极限 来描述的强度准则，以及根据混来描述的强度准则，以及根据混凝土破坏包络面的几何特性，建议采用以八面体应力表凝土破坏包络面的几何特性，建议采用以八面体应力表达的强度准则等。达的强度准则等。2021/6/161654-6 加载准则、加载曲面、加载方式加载准则、加载曲面、加载方式1、加载准则：、加载准则： 在简单拉

138、伸时，材料经过塑性变形后卸载再加载屈服极限在简单拉伸时，材料经过塑性变形后卸载再加载屈服极限提高了，我们就称这一材料的新屈服点为提高了，我们就称这一材料的新屈服点为后继屈服点后继屈服点，而材料刚，而材料刚开始产生塑性变形时所对应的应力点称为开始产生塑性变形时所对应的应力点称为初始屈服点初始屈服点（即屈服极（即屈服极限）。一般来说，在复杂应力状态下发生塑性变形，屈服条件也限）。一般来说，在复杂应力状态下发生塑性变形，屈服条件也将发生变化，在材料刚开始产生塑性变形时的屈服条件称为将发生变化，在材料刚开始产生塑性变形时的屈服条件称为初始初始屈服条件屈服条件（在应力空间形成的屈服面叫（在应力空间形成的

139、屈服面叫初始屈服面初始屈服面）。过了屈服）。过了屈服极限后的应力，也称为屈服应力，相应的就有极限后的应力，也称为屈服应力，相应的就有后继屈服条件后继屈服条件（屈（屈服面为服面为后继屈服面后继屈服面）。若材料要进一步发生塑性变形，应力就要）。若材料要进一步发生塑性变形，应力就要达到经过变化后的后继屈服条件，也称为达到经过变化后的后继屈服条件，也称为加载条件加载条件（后继屈服面（后继屈服面也称也称加载面加载面）。因此，）。因此，加载条件就是材料初始屈服后判断是加载加载条件就是材料初始屈服后判断是加载还是卸载状态的准则，所以加载条件也就是加载准则。还是卸载状态的准则，所以加载条件也就是加载准则。20

140、21/6/161664-6 加载准则、加载曲面、加载方式加载准则、加载曲面、加载方式 （续）（续） 对于复杂应力状态下材料的塑性变形的研究，对于复杂应力状态下材料的塑性变形的研究，需引入加载准则、加载曲面和加载方式等概念。这需引入加载准则、加载曲面和加载方式等概念。这些概念我们的要求是只做简单了解。请同学们参见些概念我们的要求是只做简单了解。请同学们参见教材。教材。 2021/6/161674-7 塑性本构方程塑性本构方程 前已阐明前已阐明材料的塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性材料的塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性。和不唯一性。 所谓非线性是指应力应变关系不是线性比例关系

141、；所谓非线性是指应力应变关系不是线性比例关系； 所谓不唯一性是指应变不能由应力唯一确定。所谓不唯一性是指应变不能由应力唯一确定。 因此，在塑性变形阶段，应变不仅和应力状态有关，而且还因此，在塑性变形阶段，应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。如果不知道变形的历史，便不能只根据即时和变形历史有关。如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状态唯一地确定塑性应变状态。而且只知道最终的应变状应力状态唯一地确定塑性应变状态。而且只知道最终的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。态，也不能唯一地确定应力状态。 考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，以这种关考虑应变历史，研究应力和应变增量之间

142、的关系，以这种关系为基础的理论称为系为基础的理论称为增量理论增量理论(或流动理论或流动理论)。 鉴于本课程学时所限，这里仅对增量理论做简略介绍。鉴于本课程学时所限，这里仅对增量理论做简略介绍。2021/6/161684-7 塑性本构方程塑性本构方程 （续（续1 1） 弹塑性物体内任一点处应力状态进入塑性状态以后，相应弹塑性物体内任一点处应力状态进入塑性状态以后，相应的应变的应变 总可以分解成为两部分：弹性应变部分总可以分解成为两部分：弹性应变部分 和塑和塑性应变部分性应变部分 ，即：，即： (4-73)当外载荷有微小增量时，总应变也要有微小增量当外载荷有微小增量时，总应变也要有微小增量 ，同理

143、，同理可得：可得： 若认为球应力作用下物体只产生弹性的体变（即体积改变）；若认为球应力作用下物体只产生弹性的体变（即体积改变）；而偏应力作用下物体只产生畸变（即形状的改变），但畸变包而偏应力作用下物体只产生畸变（即形状的改变），但畸变包括有弹性畸变和塑性畸变两部分。这就是说塑性变形仅由应力括有弹性畸变和塑性畸变两部分。这就是说塑性变形仅由应力偏量所引起。且在塑性状态，若认为材料不可压缩，则体积变偏量所引起。且在塑性状态，若认为材料不可压缩，则体积变形为零，即：形为零，即：2021/6/161694-7 塑性本构方程塑性本构方程 （续（续2 2）由此，塑性应变增量经推导得：由此，塑性应变增量经推

144、导得： (4-75)增量理论基于以下假定：在塑性变形过程中的任一微小时间增量理论基于以下假定：在塑性变形过程中的任一微小时间增量内，塑性应变增量与瞬时应力偏量成比例，即：增量内，塑性应变增量与瞬时应力偏量成比例，即：(4-76)式中式中d为正比例常数，且可根据加载历史的不同而变化。为正比例常数，且可根据加载历史的不同而变化。 d可以通过屈服条件来确定。若采用可以通过屈服条件来确定。若采用Mises屈服条件，经推屈服条件，经推导得：导得：2021/6/161704-7 塑性本构方程塑性本构方程 （续（续3 3）对于理想弹塑性材料，应变偏量增量对于理想弹塑性材料，应变偏量增量 由弹性及塑性两部分由

145、弹性及塑性两部分组成，且组成，且 ，可得：，可得： (4-77)由于上式由于上式 中只有五个式子是独立的（因中只有五个式子是独立的（因），因此必），因此必须补充弹性变形的关系式。于是须补充弹性变形的关系式。于是 Prandtl-Reuss 理论的全部关系理论的全部关系式为：式为： (4-78)2021/6/161714-7 塑性本构方程塑性本构方程 （续（续4 4） 当塑性变形比弹性变形大得多时，可略去弹性应变增量部分，当塑性变形比弹性变形大得多时，可略去弹性应变增量部分，而得出适用于理想刚塑性材料的而得出适用于理想刚塑性材料的Levy-Mises增量理论，此时只增量理论，此时只要将要将 Pr

146、andtl-Reuss 式（式（375）中的塑性应变增量换成总应变）中的塑性应变增量换成总应变增量，塑性等效应变增量换成等效应变增量即可，则有：增量，塑性等效应变增量换成等效应变增量即可，则有： (4-81)由方程（由方程（4-80）和式（）和式（4-81）看出，增量理论的本构方程与广义）看出，增量理论的本构方程与广义虎克定律式（虎克定律式（4-28）在形式上十分相似，除含应变增量外，所不）在形式上十分相似，除含应变增量外，所不同的是系数部分。这反映了塑性变形过程的不可压缩性和塑性变同的是系数部分。这反映了塑性变形过程的不可压缩性和塑性变形的非线性，及其对加载路径的依赖性等。在此方程中，若应变

147、形的非线性，及其对加载路径的依赖性等。在此方程中，若应变增量为已知，则可唯一地求出应力偏量。增量为已知，则可唯一地求出应力偏量。2021/6/16172第五章第五章 弹性与塑性力学的基本解法弹性与塑性力学的基本解法 5-1 概述概述 5-2 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 5-3 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 5-4 圣文南原理、叠加原理圣文南原理、叠加原理2021/6/161735-1 概概 述述 弹塑性力学的任务是研究各种具体几何尺寸的弹弹塑性力学的任务是研究各种具体几何尺寸的弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及承受不同性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束

148、及承受不同外力作用时，发生于其内部的应力分布与变形（或位外力作用时，发生于其内部的应力分布与变形（或位移）规律。移）规律。 弹塑性力学所求解的大多数问题都是超静定问题，弹塑性力学所求解的大多数问题都是超静定问题，因此其基础理论的建立来自三个方面的客观规律：因此其基础理论的建立来自三个方面的客观规律： （1）平衡方程；）平衡方程； （2）几何方程；）几何方程； （3）本构方程。）本构方程。 2021/6/161745 1 概概 述述 （续（续1 1）1平衡（或运动方程）：平衡（或运动方程）：（52）式中式中 为单位体积的质量。若式（为单位体积的质量。若式（52）不等于零，则表示）不等于零，则表示

149、物体内质点处于运动状态（如弹性波的传播问题），则根据物体内质点处于运动状态（如弹性波的传播问题），则根据达朗伯原理需增加括号内惯性力一项。达朗伯原理需增加括号内惯性力一项。 这组方程表明物体内一点应力状态与其邻点的应力状态这组方程表明物体内一点应力状态与其邻点的应力状态之间在平衡（或运动）时所应满足的关系，对于任何连续体，之间在平衡（或运动）时所应满足的关系，对于任何连续体，不论是弹性体、弹塑性体、以至流体、气体都是成立的。不论是弹性体、弹塑性体、以至流体、气体都是成立的。2021/6/161755-1 概概 述述 （续（续2 2）2几何方程与应变协调方程：几何方程与应变协调方程： (53)

150、几何方程不涉及材料的变形，对于任何连续体，不论是弹性几何方程不涉及材料的变形，对于任何连续体，不论是弹性体、弹塑性体都是成立的。体、弹塑性体都是成立的。2021/6/161765-1 概概 述述 （续（续3 3）3本构方程（物性方程）：本构方程（物性方程）：均质各向同性体材料的本构关系为：均质各向同性体材料的本构关系为：（54）（56）（55）（1 1）在弹性变形阶段，且屈服函数）在弹性变形阶段，且屈服函数 。则有：。则有：（2 2）在弹塑性变形阶段，且屈服函数）在弹塑性变形阶段，且屈服函数 。则有：。则有：2021/6/161775-1 概概 述述 （续（续4 4）总之，当物体发生变形时，不

151、论弹性变形或塑性变形问题，总之，当物体发生变形时，不论弹性变形或塑性变形问题，共有共有 3 3 个平衡微分方程，个平衡微分方程，6 6 个几何方程和个几何方程和 6 6 个本构方程，共个本构方程，共计计 15 15 个独立方程（统称个独立方程（统称泛定方程泛定方程）。而问题共计有）。而问题共计有 、 15 15个基本未知函数。个基本未知函数。 因此，在给定边界条件时，问题是可以求解的。弹塑性静力学因此，在给定边界条件时，问题是可以求解的。弹塑性静力学的这种问题在数学上称为的这种问题在数学上称为求解边值问题求解边值问题。 任何一个固体力学参量在具体受力物体内一般都是体内各点任何一个固体力学参量在

152、具体受力物体内一般都是体内各点（x, y, z）的函数，它们满足的方程（泛定方程）相同。然而由）的函数，它们满足的方程（泛定方程）相同。然而由于物体几何尺寸的不同，载荷大小与分布的不同，必然导致物体于物体几何尺寸的不同，载荷大小与分布的不同，必然导致物体内各点应力、应变与位移的大小和变化规律是千变万化的，也就内各点应力、应变与位移的大小和变化规律是千变万化的，也就是说，单靠这些泛定方程是不足以解决具体问题的。是说，单靠这些泛定方程是不足以解决具体问题的。 2021/6/161785-1 概概 述述 （续（续5 5） 从力学观点上来说，所有满足泛定方程的应力、应变和位移，从力学观点上来说，所有满

153、足泛定方程的应力、应变和位移，也应该同时满足物体（表面）与外界作用的条件，也即应力边也应该同时满足物体（表面）与外界作用的条件，也即应力边界条件和位移边界条件；而从数学观点上来说，就是要满足具界条件和位移边界条件；而从数学观点上来说，就是要满足具体问题的定解条件，也即边界条件体问题的定解条件，也即边界条件(或初始条件或初始条件)。于是，弹塑。于是，弹塑性力学的基本方程组和边界条件一起构成了弹塑性力学边值问性力学的基本方程组和边界条件一起构成了弹塑性力学边值问题的提法。题的提法。4 4边界条件：边界条件：（1）应力边界条件：）应力边界条件： （2）位移边界条件：）位移边界条件： （58）（59）

154、以上这些方程的解答是唯一的。以上这些方程的解答是唯一的。 2021/6/161795-1 概概 述述 （续（续6 6）通常在求解弹塑性静力学问题时，已知的条件是：通常在求解弹塑性静力学问题时，已知的条件是： (1) 物体的形状、尺寸和材料的物性参数；物体的形状、尺寸和材料的物性参数； (2) 物体所受的载荷（包括体力和面力），以及物体的约束条件。物体所受的载荷（包括体力和面力），以及物体的约束条件。根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题分为以下三类：根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题分为以下三类： 第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下第一类边值问题：给定物体的体

155、力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。的应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。 第二类边值问题：给定物体的体力和物体表面各点的位移，第二类边值问题：给定物体的体力和物体表面各点的位移，求在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场，即所谓边界位移求在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场，即所谓边界位移已知的问题。已知的问题。 第三类边值问题：在物体表面上，一部分边界第三类边值问题：在物体表面上，一部分边界(ST)上给定面力，上给定面力，其余部分边界其余部分边界SU上给定位移上给定位移(或在一部分边界上既给定外力又给定或在一部分边界上既给定外力又给定位移位移)的条件下

156、求解上述问题，即所谓混合边值问题。的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。2021/6/161805-1 概概 述述 （续（续7 7）在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的解题方法，即：在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的解题方法，即： (1) 位移法位移法 即以位移分量作为基本未知量，来求解边值问题。即以位移分量作为基本未知量，来求解边值问题。 此时将一切未知量和基本方程都转换成用位移分量来表示。此时将一切未知量和基本方程都转换成用位移分量来表示。 通常给定位移边界条件的边值问题，宜用此法。通常给定位移边界条件的边值问题，宜用此法。 (2) 应力法应力法 即以应力分量作为基本未知量，来求解边

157、值问题。即以应力分量作为基本未知量，来求解边值问题。 此时将一切未知量和基本方程都转换成用应力分量来表示。此时将一切未知量和基本方程都转换成用应力分量来表示。 通常当给定应力边界条件时，宜用此法。通常当给定应力边界条件时，宜用此法。 (3) 混合法混合法 即以一部分位移分量和一部分应力分量作为基本即以一部分位移分量和一部分应力分量作为基本 未知量，来混合求解边值问题。显然，这种方法适宜于求未知量，来混合求解边值问题。显然，这种方法适宜于求 解混合边值问题。解混合边值问题。2021/6/161815-1 概概 述述 （续（续8 8）（1）逆解法：逆解法：设位移或应力的函数式是已知的，然设位移或应

158、力的函数式是已知的，然 后代入上述有关方程中求得应变和应力或应变后代入上述有关方程中求得应变和应力或应变 和位移，并且要求满足边界条件。如果验证能和位移，并且要求满足边界条件。如果验证能 满足或近似满足一切基本方程与边界条件，就满足或近似满足一切基本方程与边界条件，就 可把所选取的解作为所要求的解。可把所选取的解作为所要求的解。 上述位移法、应力法和混合法统称为上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法直接解法。在弹塑性力。在弹塑性力学解题方法中还经常采用如下方法学解题方法中还经常采用如下方法: 2021/6/161825-1 概概 述述 （续（续9 9）（2）半逆解法：半逆解法：也称凑合解法。

159、所谓半逆解法就是在也称凑合解法。所谓半逆解法就是在 未知量中，先根据问题的特点假设一部分应力或未知量中，先根据问题的特点假设一部分应力或 位移为已知，然后在基本方程和边界条件中，求位移为已知，然后在基本方程和边界条件中，求 解另一部分，这样便得到了全部未知量。在具体解另一部分，这样便得到了全部未知量。在具体 计算中对于简单问题经常先利用材料力学中对同计算中对于简单问题经常先利用材料力学中对同 类型问题的初等解作为近似解，建立应力（或位类型问题的初等解作为近似解，建立应力（或位 移）函数再代入弹性力学的基本方程中逐步修正移）函数再代入弹性力学的基本方程中逐步修正 得到精确解。得到精确解。 202

160、1/6/161835-1 概概 述述 （续（续1010） 对许多较复杂的弹性力学问题，特别是在求解塑对许多较复杂的弹性力学问题，特别是在求解塑性力学的边值问题时，由于塑性应力应变关系的非线性力学的边值问题时，由于塑性应力应变关系的非线性等问题，求解往往更加困难，不能获得满意的解答。性等问题，求解往往更加困难，不能获得满意的解答。因此，在弹性力学和塑性力学中，发展了许多行之有因此，在弹性力学和塑性力学中，发展了许多行之有效的研究方法，例如弹性力学中的有限差分法、有限效的研究方法，例如弹性力学中的有限差分法、有限单元法、变分法等，以及塑性力学中的求解静定问题、单元法、变分法等，以及塑性力学中的求解

161、静定问题、界限法、滑移线法、主应力法、有限单元法、变分法等。界限法、滑移线法、主应力法、有限单元法、变分法等。鉴于篇幅及学时所限，本教程则以讨论弹性力学鉴于篇幅及学时所限，本教程则以讨论弹性力学的基本解法为主。的基本解法为主。 2021/6/161845-2 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 为用位移作为基本未知量，必须将泛定方程改用位移为用位移作为基本未知量，必须将泛定方程改用位移 u、v和和 w 来表示。为此，由方程来表示。为此，由方程(4-31)再利用式再利用式(3-2)可得：可得： 经推导可得下列用位移表示的平衡微分方程，也称经推导可得下列用位移表示的平衡微分方程，也称拉梅

162、位移方拉梅位移方程程，其形式为：，其形式为：2021/6/161855-2 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 （续（续1 1）拉梅位移方程式拉梅位移方程式（5-11）可缩记为：）可缩记为：（5-12）因而式因而式(5-11)也可写为：也可写为：（5-13）（5-14）2021/6/161865-2 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 （续（续2 2）用位移分量表示的应力边界条件为：用位移分量表示的应力边界条件为：（5-15） 按位移求解弹性力学问题归结为：按位移求解弹性力学问题归结为：在求解问题时，要使所在求解问题时，要使所求的位移函数求的位移函数 u、v、w 在物体内部

163、满足在物体内部满足拉梅位移方程式拉梅位移方程式，在，在边界上满足边界条件（边界上满足边界条件（5-15）或满足直接给出的位移边界条件，）或满足直接给出的位移边界条件，再将所求得的位移分量代入几何方程求出应变和代入本构方程再将所求得的位移分量代入几何方程求出应变和代入本构方程求出应力。求出应力。 2021/6/161875-2 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 （续（续3 3） 应力边界条件可以用位移分量来表示，单从这一点上讲，应力边界条件可以用位移分量来表示，单从这一点上讲，按位移求解问题是普遍适用的方法。按位移求解问题是普遍适用的方法。 特别是在数值解中特别是在数值解中位移解法位

164、移解法得到了广泛的应用，例如在有得到了广泛的应用，例如在有限单元法、差分法等数值计算方法中，得到了很好地应用。限单元法、差分法等数值计算方法中，得到了很好地应用。例例5-15-1 设有半空间体，设有半空间体，单位体积的质量为单位体积的质量为 ，在水平边界面上受均布在水平边界面上受均布压力压力 q 的作用，试用位的作用，试用位移法求各位移分量和应移法求各位移分量和应力分量，并假设在力分量，并假设在 z = h处处 z 方向的位移方向的位移 w = 0，如图如图5-1所示。所示。2021/6/161885-2 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 （续（续4 4） 解解 由于载荷和弹性体关

165、于由于载荷和弹性体关于z轴对称，轴对称，并且是半空间体，可以假设：并且是半空间体，可以假设： 因此体积应变为：因此体积应变为： （1） 而：而：（2）将式将式(1)、(2)代人拉梅方程式代人拉梅方程式(5-11)的前两式后，可得恒等式，的前两式后，可得恒等式，而第三式则为：而第三式则为：（3） 2021/6/161895-2 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 （续（续5 5）或：或：（4）将将(4)式积分后得：式积分后得：（5） 式式 (5) 中常数中常数 A、B可由边界条件确定。在边界上有：可由边界条件确定。在边界上有：代入式代入式(5-15)的前两式得恒等式，第三式为：的前两式

166、得恒等式，第三式为： （6）或：或：（4）或：或：2021/6/161905-2 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 （续（续6 6）化简后得：化简后得：（7）（8）由前面所得由前面所得 w 的表达式的表达式(5)可得：可得： （9）（10）由上式和条件由上式和条件 ，得：，得：2021/6/161915-2 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 （续（续7 7）将常数将常数 A 和和 B 代入代入 w 的表达式的表达式 (5) 后，得位移解为：后，得位移解为：（11）（12）得应力解为：得应力解为：2021/6/161925-3 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题

167、 对于在物体的边界上给定了表面力的问题，除可以按位移求解外，也对于在物体的边界上给定了表面力的问题，除可以按位移求解外，也可以按应力去求解，此时以六个应力分量作为基本未知量，从基本方程中可以按应力去求解，此时以六个应力分量作为基本未知量，从基本方程中消去位移和应变，得到关于应力的偏微分方程组。消去位移和应变，得到关于应力的偏微分方程组。 首先，待求的应力分量应满足平衡微分方程，仅平衡微分方程还不足首先，待求的应力分量应满足平衡微分方程，仅平衡微分方程还不足以求解应力分量，必须建立有关应力的补充方程。以求解应力分量，必须建立有关应力的补充方程。 第三章已推导得应变谐调方程第三章已推导得应变谐调方

168、程 (3-35) ： 2021/6/161935-3 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 （续（续1 1）经进一步推导可得用应力分量表示的六个变形谐调方程：经进一步推导可得用应力分量表示的六个变形谐调方程： 式式(5-16)称为称为拜尔特拉米拜尔特拉米-密乞尔密乞尔(Beltrami-Michell)方程方程。 2021/6/161945-3 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 （续（续2 2）当体力为零或为常量时，当体力为零或为常量时，拜尔特拉米拜尔特拉米-密乞尔密乞尔(Beltrami-Michell)方程方程，可简化为：，可简化为： （5-17）式式(5-17)可缩写

169、为：可缩写为：（5-18）2021/6/161955-3 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 （续（续3 3）如对式如对式(5-17)中每一等式两边分别作拉普拉斯运算，则可得到：中每一等式两边分别作拉普拉斯运算，则可得到：（5-19）式式(5-19)可缩记为：可缩记为：（5-20）即所有的应力分量都是双调和函数。即所有的应力分量都是双调和函数。 按应力求解弹性力学问题就归结为：按应力求解弹性力学问题就归结为：所求的应力分量应满所求的应力分量应满足平衡微分方程足平衡微分方程(5-2)和变形谐调方程和变形谐调方程(5-16)，应力分量在边界，应力分量在边界上应满足应力边界条件式上应满足应

170、力边界条件式(5-8)。在求得应力分量后，通过弹性。在求得应力分量后，通过弹性本构方程求得应变分量，再根据几何方程求出位移。本构方程求得应变分量，再根据几何方程求出位移。 2021/6/161965-3 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 （续（续4 4） 例例5-2 当不计体力时，若应力分量为：当不计体力时，若应力分量为： 验证此组应力分量能否作为弹性力学问题的可能解。验证此组应力分量能否作为弹性力学问题的可能解。解解: 一组应力分量能否作为弹性力学问题的可能解，需验证它是一组应力分量能否作为弹性力学问题的可能解，需验证它是 否满足平衡微分方程和用应力表示的变形谐调方程。否满足平衡

171、微分方程和用应力表示的变形谐调方程。 现将给定的应力分量及现将给定的应力分量及 代入式代入式(5-17)，各式均能满足。，各式均能满足。 再将给定的应力分量代入式再将给定的应力分量代入式(5-2)，前两式恒等地满足，前两式恒等地满足，而第三式成为：而第三式成为：故此组应力分量不能作为弹性力学问题的可能解。故此组应力分量不能作为弹性力学问题的可能解。2021/6/161975-3 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 （续（续5 5）例例5-35-3 长度为长度为 的等直的等直杆件，其截面为杆件，其截面为 ，杆端受弯矩杆端受弯矩M的作用，不的作用，不计体力，如图计体力，如图5-2所示。所

172、示。试求应力分量。试求应力分量。解解: 用半逆解法。建立如用半逆解法。建立如 图所示坐标系，据材料图所示坐标系，据材料 力学中关于梁纯弯曲时应力的分析，可设梁内任一点处应力状力学中关于梁纯弯曲时应力的分析，可设梁内任一点处应力状 态的六个独立应力分量除态的六个独立应力分量除 外，其余均为零，也即：外，其余均为零，也即： （1） 2021/6/161985-3 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 （续（续6 6）将式将式(1)代入平衡微分方程，得：代入平衡微分方程，得：（2）亦即与亦即与 x 无关，它仅是坐标无关，它仅是坐标 y 和和 z 的函数。再将式的函数。再将式(1)代入变形代入

173、变形谐调条件式谐调条件式(5-17)得：得： 即：即： （3）将式将式(4)代入式代入式(3)第三式，得：第三式，得：（5）由式由式(3)第一式得：第一式得：（4）2021/6/161995-3 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 （续（续7 7）将式将式 (4) 再代入式再代入式 (3) 第二式，得：第二式，得：（6） 因此，式因此，式(4)可写成：可写成： （7）式式(7)中中 为待定常数，由问题的边界条件来确为待定常数，由问题的边界条件来确定。定。 若将坐标原点取在横截面的形心上，并设若将坐标原点取在横截面的形心上，并设0xz平面为弯矩平面为弯矩M作用平面，则在平行作用平面，则

174、在平行于于Oyz 的平面上，梁的平面上，梁自由端处局部边界上自由端处局部边界上应满足的静力合成积应满足的静力合成积分形式的边界条件为：分形式的边界条件为：（8）2021/6/162005-3 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 （续（续8 8）将式将式 （7） 代人式代人式 （8）确定待定常数，再代入式（）确定待定常数，再代入式（8）得该）得该问题的应力分量为：问题的应力分量为： （9）思考题：思考题： 1弹塑性力学的应力解在物体内部和边界上应满足的条件弹塑性力学的应力解在物体内部和边界上应满足的条件 是什么？是什么？ 2弹塑性力学的应变解和位移解在物体内部和边界上应满弹塑性力学的应

175、变解和位移解在物体内部和边界上应满 足的条件是什么？足的条件是什么？2021/6/162015-4 圣文南原理、叠加原理圣文南原理、叠加原理 1. 圣文南原理：圣文南原理： 圣文南原理又称局部性原理或，该原理指出：分别圣文南原理又称局部性原理或，该原理指出：分别作用于弹性体同一局部表面上的静力等效力系所产生作用于弹性体同一局部表面上的静力等效力系所产生的应力场（或应变场），只在力系直接作用的小区域的应力场（或应变场），只在力系直接作用的小区域及其附近才有明显的差别，而在离该区域较远处，这及其附近才有明显的差别，而在离该区域较远处，这种差别便急剧减小，可忽略不计。也就是说，作用于种差别便急剧减小

176、，可忽略不计。也就是说，作用于物体局部表面上的外力系，无论其分布情况如何，都物体局部表面上的外力系，无论其分布情况如何，都可用与之静力等效的力系代替。可用与之静力等效的力系代替。2021/6/162025-4 圣文南原理、叠加原理圣文南原理、叠加原理 （续（续1 1） 应当指出：应当指出： 所谓所谓“静力等效静力等效”，就是有相同的主矢和主矩。，就是有相同的主矢和主矩。 所谓所谓“局部表面局部表面”，系指该表面的面积远小于物体，系指该表面的面积远小于物体的总表面积，且其线性尺寸一般不超过物体的最小特的总表面积，且其线性尺寸一般不超过物体的最小特征尺寸，如板与壳的厚度，杆件横截面的最小尺寸等。征

177、尺寸，如板与壳的厚度，杆件横截面的最小尺寸等。 圣维南原理的应用也就是对于严格要求的边界条圣维南原理的应用也就是对于严格要求的边界条件在局部边界上有所放松，也可称为静力等效边界条件在局部边界上有所放松，也可称为静力等效边界条件。它的运用扩大了弹性力学解决具体问题的范围。件。它的运用扩大了弹性力学解决具体问题的范围。 2021/6/162035-4 圣文南原理、叠加原理圣文南原理、叠加原理 （续（续2 2）2021/6/162045-4 圣文南原理、叠加原理圣文南原理、叠加原理 （续（续3 3）2. 叠加原理：叠加原理： 叠加原理：叠加原理：即弹性体在数个载荷共同作用下所产即弹性体在数个载荷共同作用下所产生的力学响应（内力、应力及位移），等于每一载荷生的力学响应（内力、应力及位移），等于每一载荷单独作用时所产生的力学响应的总和。单独作用时所产生的力学响应的总和。 应用叠加原理的前提条件是：应用叠加原理的前提条件是： 小变形的前提；小变形的前提； 线性弹性变形的范围；线性弹性变形的范围；2021/6/16205再再 见见2021/6/16206 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！