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1、第二节第二节第二节第二节 传输线方程及其解传输线方程及其解传输线方程及其解传输线方程及其解 传输线方程是传输线理论传输线方程是传输线理论的基本方程，是描述传输线上的基本方程，是描述传输线上电压、电流变化规律及其相互电压、电流变化规律及其相互关系的微分方程。关系的微分方程。 一、时变传输线方程一、时变传输线方程 (21a)图图2-5 dz 段传输线的等效电路段传输线的等效电路 如图如图2-5，对，对 dz 等效电路等效电路应用基尔霍夫定律得应用基尔霍夫定律得 应用泰劳公式应用泰劳公式以上三式代入式以上三式代入式(2-1a), (21a)(21b) 略去略去dz的二阶及其以上高阶小量后化的二阶及其
2、以上高阶小量后化简，得时变传输线方程简，得时变传输线方程 ( 分布参数电路微分方程分布参数电路微分方程 )： 1. 时谐传输线方程时谐传输线方程 对于角频率为对于角频率为w 的余弦信号的余弦信号, 电压、电流的瞬时值电压、电流的瞬时值u、i与复数与复数式中式中二、时谐传输线方程及其解二、时谐传输线方程及其解将时变传输线方程式将时变传输线方程式 (2-1b) 中的中的 (21b)得时谐场的传输线方程得时谐场的传输线方程式中式中 单位长度传输线的串联阻抗，单位长度传输线的串联阻抗， 单位长度传输线的并联导钠。单位长度传输线的并联导钠。2. 时谐均匀长线的波动方程时谐均匀长线的波动方程 时谐场的传输
3、线方程时谐场的传输线方程式式(2-2) 暂时撇开时间因子暂时撇开时间因子 e jw t，而只研而只研究沿线电压、电流的复数幅度与传输线位置之间的关系，是一维空究沿线电压、电流的复数幅度与传输线位置之间的关系，是一维空间的问题。间的问题。将式将式(2-2)对对 z 求导、整理求导、整理:得时谐均匀长线的波动方程得时谐均匀长线的波动方程得时谐均匀长线的波动方程得时谐均匀长线的波动方程( ( ( (电报方程电报方程电报方程电报方程) ) ) ) 这是一个二阶齐次常微分方程这是一个二阶齐次常微分方程。、a、b 分别为传输线的传分别为传输线的传播常数、衰减常数和相位常数。播常数、衰减常数和相位常数。3.
4、 时谐均匀传输线波动方程的解时谐均匀传输线波动方程的解(1) 电压、电流的通解电压、电流的通解1) 通解的表达式通解的表达式均匀传输线的均匀传输线的 与与 z 无关，式无关，式(2-3a)的电压通解为的电压通解为式中，式中，式中，式中，A A1 1 、 A A2 2为积分常数为积分常数为积分常数为积分常数( (复数复数复数复数) )，其值取决于长线的端接条件其值取决于长线的端接条件其值取决于长线的端接条件其值取决于长线的端接条件( (边界条件边界条件边界条件边界条件) )。上式带入式。上式带入式。上式带入式。上式带入式(2-2)(2-2)得得得得Z0 称为长线的特性阻抗称为长线的特性阻抗。2)
5、2) 入射波与反射波入射波与反射波入射波与反射波入射波与反射波式中含式中含e-jb z 的项表示沿的项表示沿z方向方向(由信号源向负载方向由信号源向负载方向)传播的行波，传播的行波，为入射波；为入射波；含含ejb z 的项表示沿的项表示沿- -z方向方向(由负载向信号源方向由负载向信号源方向)传播的传播的行波，为反射波。行波，为反射波。分析电报方程通解的表达式分析电报方程通解的表达式(2-3c)图图2-7 长线上的入射波与反射波长线上的入射波与反射波ui(ii)ur(ir)zz入射波入射波反射波反射波 沿线任何一处的电压沿线任何一处的电压沿线任何一处的电压沿线任何一处的电压 ( (或电流或电流
6、或电流或电流 ) )等于该处电压等于该处电压等于该处电压等于该处电压( (或电流或电流或电流或电流) )的入、反射波的叠加，的入、反射波的叠加，的入、反射波的叠加，的入、反射波的叠加， 分别称为分别称为分别称为分别称为视在电压视在电压视在电压视在电压、视在电流视在电流视在电流视在电流。且有且有且有且有 (2) 电压、电流的终端条件解电压、电流的终端条件解 时谐传输线方程的通解式时谐传输线方程的通解式(2-3c) 中的常数中的常数 A1、A2 必须用边界必须用边界条件、即端接条件确定。其中终端条件解是最常用的。条件、即端接条件确定。其中终端条件解是最常用的。已知已知终端电压终端电压 、电流、电流
7、 ， 求沿线电压、电流的表达式求沿线电压、电流的表达式: 此时，坐标原点此时，坐标原点 z =0 选在终端，以选在终端，以-z 代代 z 进行坐标变换进行坐标变换, 式式(2-3c)应改写为应改写为以以 代入代入式式(2-4a)解得解得图图2-6 已知已知 、 ，求，求 、将将 A1、A2代入式代入式(2-4a)整理得整理得式式(2-4b)又称终端方程。又称终端方程。 时谐传输线方程始端条件解可自习时谐传输线方程始端条件解可自习P13 的的“2. ”，注意坐标系注意坐标系与与 “1. ”不一样不一样。一、传播特性一、传播特性1. 传播常数传播常数 (无耗无耗)第三节第三节第三节第三节 均匀无耗
8、长线的传输特性均匀无耗长线的传输特性均匀无耗长线的传输特性均匀无耗长线的传输特性= = j b即均匀无耗传输线的传播常数即均匀无耗传输线的传播常数 为纯虚数。其为纯虚数。其衰减常数衰减常数 a =0，将将 = j b 代入式代入式(2-4b)得均匀无耗传输线的终端方程为得均匀无耗传输线的终端方程为 均匀无耗长线的分布参数均匀无耗长线的分布参数 R0=0，G0=0，L0、C0均匀分布均匀分布, 与位置与位置 z 无关。当信号源频率很高，或长线损耗很小而满足条无关。当信号源频率很高，或长线损耗很小而满足条件件 R0 w L0 和和 G0 w C0 ，可近似作为无耗长线分析。，可近似作为无耗长线分析
9、。 = = a + + j b 为一复数为一复数, , 表示行波每经过单位长度振幅和相位表示行波每经过单位长度振幅和相位的变化。的变化。相位常数相位常数2. 相速和相波长相速和相波长 (2-7) (1) 相速相速vp 相速相速vp 即波的等相位面即波的等相位面的运动速度。的运动速度。w tb z =C (常数常数)z2zz1P2P1t1t2u, io图图2-9 不同时刻入射波的瞬时分布不同时刻入射波的瞬时分布 均匀无耗长线中波的相速均匀无耗长线中波的相速均匀无耗长线中波的相速均匀无耗长线中波的相速对均匀双导线，对均匀双导线，P10 表表2-1中的中的L0、C0代入得代入得=慢波慢波现象现象 (
10、2) 相波长相波长 lp相波长相波长 lp ：行波在一个周期内等相位面沿传输方向移动的距离。：行波在一个周期内等相位面沿传输方向移动的距离。均匀无耗双导线均匀无耗双导线缩波现象缩波现象当介质为空气时，当介质为空气时，若无特别注明，本章假定长线周围为若无特别注明，本章假定长线周围为空气空气。z2zz1P2P1t1t2u, io图图2-9 不同时刻入射波的瞬时分布不同时刻入射波的瞬时分布 l lp 式式(2-10)表明，均匀无耗长线的特性阻抗表明，均匀无耗长线的特性阻抗Z0仅决定于长线的截面形仅决定于长线的截面形状状、尺寸和介质尺寸和介质，而与频率无关。因此，而与频率无关。因此，Z0 是表征长线固
11、有特性的是表征长线固有特性的一个重要参量。一个重要参量。二、特性阻抗二、特性阻抗二、特性阻抗二、特性阻抗（无耗线无耗线） P10表表2-1中的中的L0、C0代入式代入式(2-10)可得：可得： (1) 平行双线的特性阻抗计算公式平行双线的特性阻抗计算公式(2) 同轴线的特性阻抗计算公式同轴线的特性阻抗计算公式三、输入阻抗三、输入阻抗 图图2-10 传输线的特性阻抗传输线的特性阻抗1.1. 输入阻抗的定义输入阻抗的定义 如图如图2-10所示，所示，长线终端接负载阻抗长线终端接负载阻抗ZL 时，距终端为时，距终端为 z 处向负载方向看去的输入阻抗处向负载方向看去的输入阻抗Zin(z)定义为该处的定
12、义为该处的电压电压 与电流与电流 之比之比: :2. 2. Z Zinin( (z z) )的计算公式的计算公式的计算公式的计算公式3. Zin(z)的性质的性质(1) Zin(z)随位置随位置 z 而变而变，且与负载且与负载 ZL有关有关；代入式代入式(2-11a)对归一化输入阻抗对归一化输入阻抗 (2) 均匀无耗传输线的输入阻抗呈周期性变化均匀无耗传输线的输入阻抗呈周期性变化，具有l/4变换变换性和性和l/2重复性：重复性：则则( n为整数为整数 )( n为整数为整数 ) 距终端距终端 l 处的输入阻抗为处的输入阻抗为图图2-11 传输线的阻抗变换传输线的阻抗变换4. 输入导纳输入导纳特性
13、导纳特性导纳负载导纳负载导纳导纳用于并联电路。导纳用于并联电路。四、反射系数四、反射系数四、反射系数四、反射系数1. 定义定义电压反射系数电压反射系数电流反射系数电流反射系数代入式代入式(2-4a)，并注意到无耗线的并注意到无耗线的 = j b ，得得 从传输功率的观点来看，入射波和反射波的相对幅值是很重从传输功率的观点来看，入射波和反射波的相对幅值是很重要的指标。反射波的幅度越小要的指标。反射波的幅度越小, 传输到负载的功率就越大。可用传输到负载的功率就越大。可用反射系数反射系数G (z)来衡量线上波的反射情况。来衡量线上波的反射情况。2. 用反射系数用反射系数 G (z) 表示沿线电压、电
14、流分布表示沿线电压、电流分布 电压反射系数与电流反射系数等模而相位相差电压反射系数与电流反射系数等模而相位相差 p ，通常采用通常采用便于测量的电压反射系数作为反射系数便于测量的电压反射系数作为反射系数G (z)。 3. G (z)与终端反射系数与终端反射系数 G2 的关系的关系把把 z =0 代入式代入式 (2-12a) 得终端反射系数得终端反射系数 G2 为为将式将式(2-12d)代入式代入式(2-12a) 得得G (z)与与G2的关系为的关系为式中式中 终端电压入射波终端电压入射波，模为模为|A1|，相位角为相位角为j1 。 终端电压反射波终端电压反射波，模为模为|A2|，相位角为相位角
15、为j2。 f2= j2 - - j1 G2 的相位角。的相位角。式中式中 f = f2 2b z 为为G (z) 的相位角。的相位角。f f2f f2b zG G2G G2 G G ( z )G=10o 由式由式(2-12e)可见，均可见，均匀、无耗传输线任意位置匀、无耗传输线任意位置 z 处的反射系数一般情况处的反射系数一般情况下为一复数，其模等于终下为一复数，其模等于终端反射系数的模，相位比端反射系数的模，相位比终端反射系数的相位滞后终端反射系数的相位滞后2z 。 G (z)与与G2 的关系如的关系如图图 2-12所示。所示。图图 2-12 G (z) 与与G2的关系示意图的关系示意图4.
16、 4. 反射系数与输入阻抗的关系的关系反射系数与输入阻抗的关系的关系反射系数与输入阻抗的关系的关系反射系数与输入阻抗的关系的关系由式由式(2-12c)，得输入阻抗与反射系数的关系为得输入阻抗与反射系数的关系为因此因此，终端负载阻抗与终端反射系数的关系为终端负载阻抗与终端反射系数的关系为上两式又可写为上两式又可写为以上关系式建立了以上关系式建立了G (z)、Zin (z)及及Z0之间的关系之间的关系, 若知道其中任何两若知道其中任何两个量，就可确定第三个量。个量，就可确定第三个量。五、驻波比与行波比五、驻波比与行波比五、驻波比与行波比五、驻波比与行波比1. 驻波比驻波比 r z0代入式代入式 (
17、2-14a) 得得 当当ZLZ0、即不匹配时即不匹配时，G20，可用可用 G 来反映失配程度来反映失配程度。实际实际应用中，采用电压驻波比应用中，采用电压驻波比(VSWR)来衡量失配程度。来衡量失配程度。 驻波比驻波比 r 定义为沿线电压定义为沿线电压(或电流或电流)最大值与最最大值与最小值之比，即小值之比，即2. 行波系数行波系数K匹配，匹配，无反射，行波。无反射，行波。 全反射，纯驻波。全反射，纯驻波。部分部分反射，行驻波。反射，行驻波。六、无耗传输线的传输功率与功率容量六、无耗传输线的传输功率与功率容量六、无耗传输线的传输功率与功率容量六、无耗传输线的传输功率与功率容量1. 无耗传输线的
18、传输功率无耗传输线的传输功率P(z)得得=式中式中, , Pi (z)、 Pr (z) 分别为通过分别为通过 z 点处的入、点处的入、 反射波功率；反射波功率；称为功率反射系数。称为功率反射系数。 对均匀无耗线对均匀无耗线, 通过线上任意点的传输功率都相同。为简便通过线上任意点的传输功率都相同。为简便, 在电压波腹点或电压波节点处计算传输功率在电压波腹点或电压波节点处计算传输功率(该点的输入阻抗该点的输入阻抗Zin为纯阻为纯阻)。P(z)在电压波腹点在电压波腹点(即电流波节点即电流波节点)= 可见可见, 当无耗长线的耐压一定或所承受的电流一定时，行波当无耗长线的耐压一定或所承受的电流一定时，行波系数系数 K 越大越大(线上匹配越好线上匹配越好), 所能传输的功率也越大。所能传输的功率也越大。2. 功率容量功率容量 Pbr 传输线上的电压、电流受击穿电压和最大载流量限制。常用传输线上的电压、电流受击穿电压和最大载流量限制。常用“功率容量功率容量 Pbr”来描写传输线是否处于容许的工作状态。来描写传输线是否处于容许的工作状态。 功率容量功率容量 Pbr ：在不发生电击穿的情况下，传输线上允许传：在不发生电击穿的情况下，传输线上允许传输的最大功率。设输的最大功率。设 Ubr为击穿电压为击穿电压, 由式由式(2-15b) 得：得：
