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1、第十三章第十三章 第二节第二节 参数参数方程方程1.了解参数方程，了解参数的意义了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数 方程方程1参数方程的概念参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 的的 坐标坐标x，y都是某个变数都是某个变数t的函数：的函数： 并且对于并且对于t的每的每 一个允许值，由方程组所确定的点一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在都在 ，那么方程叫做这条曲线的参数方程，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，叫做参变数， 简称简称 相对于参数方
2、程而言，直接给出点的坐标间关相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关 系的方程叫做系的方程叫做 任意一点任意一点这条曲线这条曲线上上参数参数普通方程普通方程3椭圆椭圆的参数方程的参数方程 椭圆椭圆 1(ab0)的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数) 2圆的参数方程圆的参数方程 圆心为圆心为(a，b)，半径为，半径为r的圆的参数方程为的圆的参数方程为 (为参数为参数) 4直线的参数方程直线的参数方程 经过点经过点M(x0，y0)，倾斜角为，倾斜角为的直线的直线l的参数方程为的参数方程为 (t为参数为参数).x0+tcosy0+tsin1在直角坐标系中，以坐标原点为极点，在直角坐标系中，以坐标
3、原点为极点，x轴的正半轴为极轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，已知直线轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为的极坐标方程为cos( ) ，曲线，曲线C的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数)，则曲线，则曲线 C截直线截直线l所得的弦长所得的弦长.解析：解析：cos( ) 化为直角坐标方程为化为直角坐标方程为xy20， 参数方程参数方程 (为参数为参数)化为直角坐标方程为化为直角坐标方程为 y21， 联立联立得它们的交点为得它们的交点为(2,0)，( )，所求的弦长为所求的弦长为 .2已知过曲线已知过曲线 (为参数，为参数，0)上一点上一点P和原和原 点点O的直线的直线 PO的倾斜角为的倾斜角
4、为 ，则，则P点的坐标点的坐标解：解：由条件可知，直线由条件可知，直线PO的方程是的方程是yx，故，故3cos4sin，即，即tan ，又因为点，又因为点P在第一象限，故在第一象限，故sin ，cos ，所以，所以xy . P点的坐标为点的坐标为( )3在曲线在曲线C1： (为参数为参数)上求一点，使它到上求一点，使它到 直线直线C2： (t为参数为参数)的距离最小，并求出的距离最小，并求出 该点坐标和最小距离该点坐标和最小距离解：解：(1)直线直线C2化成普通方程是化成普通方程是xy2 10.设所求的点为设所求的点为P(1cos ，sin )，则，则P到直线到直线C2的距的距离离d |sin
5、( )2|，当当 2k，k Z时，时，即即 2k，k Z时，时，d取最小值取最小值1，此时，点此时，点P的坐标是的坐标是 . 涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方程直线的点斜式方程为程直线的点斜式方程为yy0k(xx0)其中其中ktan(90)，为直线的倾斜角，则参数方程为为直线的倾斜角，则参数方程为(t为参数为参数) 已知直线已知直线l过点过点P(3,2)，且与，且与x轴、轴、y轴的正半轴分轴的正半轴分别交于别交于A、B两点求两点求|PA|PB|的值为最小时的直线的值为最小时的直线l的的方程方程思路点拨思路点拨利用待定系数法求解，利用利用待
6、定系数法求解，利用|PA|PB|的值的值最小的条件求参数最小的条件求参数.课堂笔记课堂笔记设直线的倾斜角为设直线的倾斜角为，显然，显然90180，则它的方程为则它的方程为 (t为参数为参数)，由由A、B是坐标轴上的点知是坐标轴上的点知yA0，xB0， 02tsin，即，即|PA|t| ，03tcos，即，即|PB|t| .故故|PA|PB| . 90180， 当当2270，即即135时，时，|PA|PB|有最小值有最小值 直线方程为直线方程为 (t为参数为参数)，化为普通方程，化为普通方程即即xy50.1.圆圆x2y2r2的参数方程为：的参数方程为： (为参数为参数)2.圆圆(xx0)2(yy
7、0)2r2的参数方程为：的参数方程为： (为参数为参数) 已知点已知点P(x，y)是圆是圆x2y22y上的动点，上的动点，(1)求求2xy的取值范围；的取值范围；(2)若若xya0恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围思路点拨思路点拨转化三角函数的值域问题转化三角函数的值域问题.课堂笔记课堂笔记 (1)设圆的参数方程为设圆的参数方程为 (为参数为参数)2xy2cossin1 sin()1， 12xy 1.(2)xyacossin1a0， a(cossin)1 sin( )1， a 1.1椭圆的参数方程与正弦、余弦函数有着密切的关系，椭椭圆的参数方程与正弦、余弦函数有着密切的关系，椭
8、 圆的有界性和正弦、余弦函数的有界性有着一定关系圆的有界性和正弦、余弦函数的有界性有着一定关系2对于直线参数方程的标准形式，可以容易看出直线的倾对于直线参数方程的标准形式，可以容易看出直线的倾 斜角及斜率，直接根据倾斜角或斜率关系来判断直线的斜角及斜率，直接根据倾斜角或斜率关系来判断直线的 平行和垂直平行和垂直 实数实数x，y满足满足 1，试求，试求xy的最大值与最小值，并指出何时取得最大值和最小值的最大值与最小值，并指出何时取得最大值和最小值思路点拨思路点拨利用圆的参数方程将问题转化为三角函数的最值问题利用圆的参数方程将问题转化为三角函数的最值问题.课堂笔记课堂笔记由已知可设由已知可设即即
9、(为参数为参数)则则xy(4cos1)(3sin2)(4cos3sin)35cos()3，其中，其中cos ，sin .当当cos()1，即，即2k，k Z时，时，coscos(2k)cos ，sinsin(2k)sin ，当当x4 1 ，y3( )2 时，时，xy的最大值为的最大值为8.同理，当同理，当x ，y 时，时，xy的最小值为的最小值为2. 以填空题或解答题的形式考查参数方程与普通方以填空题或解答题的形式考查参数方程与普通方程的互化以及参数方程的应用是高考对本节内容的常程的互化以及参数方程的应用是高考对本节内容的常规考法规考法.09年宁夏、海南高考以解答题的形式考查了年宁夏、海南高考
10、以解答题的形式考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，是一个新的考查方向用，是一个新的考查方向. 考题印证考题印证 (2009宁夏、海南高考宁夏、海南高考)(10分分)已知曲线已知曲线C1： (t为参数为参数)，C2： (为参数为参数) (1)化化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；么曲线； (2)若若C1上的点上的点P对应的参数为对应的参数为t ，设，设Q为为C2上的动点，上的动点，求求PQ的中点的中点M到直线到直线C3： (t为参数为参数)距离的最小值距离的最小值 【解解
11、】(1)C1：(x4)2(y3)21，C2： 1. （3分）分）C1为圆心是为圆心是(4,3)，半径是，半径是1的圆的圆C2为中心是坐标原点，焦点在为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是轴上，长半轴长是8，短半，短半轴长是轴长是3的椭圆的椭圆（5分）分） (2)当当t 时，时，P(4,4)，Q(8cos，3sin)，故故M(24cos，2 sin)（7分）分）C3为直线为直线x2y70，M到到C3的距离的距离d |4cos3sin13|.从而当从而当cos ，sin 时，时，d取得最小值取得最小值 . （10分）分） 自主体验自主体验 已知曲线已知曲线C的极坐标方程是的极坐标方程是4cos
12、，以极点为平，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线角坐标系，直线l的参数方程是的参数方程是 (t为参数为参数)，求直线求直线l与曲线与曲线C相交所成的弦的弦长相交所成的弦的弦长解：解：曲线曲线C的极坐标方程是的极坐标方程是4cos，化为直角坐标方程为，化为直角坐标方程为x2y24x0，即，即(x2)2y24.直线直线l的参数方程的参数方程 化为普通方程为化为普通方程为xy10.曲线曲线C的圆心的圆心(2,0)到直线到直线l的距离为的距离为 ，所以直线所以直线l与曲线与曲线C相交所成的弦的弦长为相交所成的弦的弦长为2 .
