第5章 振动和波动【高等教学】

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1、1第第5章章 振动和波动振动和波动2 振振动动依依机机理理不不同同区区分分为为机机械械振振动动、电电磁磁振振动动，但但描描述述和和研研究究方方法法相相同同。本本章章通通过过讨讨论论机机械械振振动动认认识其共性。识其共性。 振动类型：自由振动、阻尼振动、受迫振动振动类型：自由振动、阻尼振动、受迫振动狭义的振动：狭义的振动：指物体在其平衡位置附近的往复运动。指物体在其平衡位置附近的往复运动。广义的振动：广义的振动：指任一物理量指任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一数值附近反复变化。数值附近反复变化。 振动是一种重要的运动形式，自然界中普遍存在。振动是一种重要的运动形式，自

2、然界中普遍存在。5.1 5.1 简谐振动简谐振动弹簧振子弹簧振子35.1.1 5.1.1 简谐运动的描述简谐运动的描述简谐振动是理想化模型简谐振动是理想化模型,许多实际的小振幅振动都许多实际的小振幅振动都可看成简谐振动。可看成简谐振动。例例. 双原子分子双原子分子 两个原子之间的振动。两个原子之间的振动。简谐振动是简谐振动是最简单、最基本最简单、最基本的振的振动，可用来研究复杂的振动。动，可用来研究复杂的振动。x0EPxx0omxA简谐振动的条件：简谐振动的条件：1、在平衡位置附近来回振动。、在平衡位置附近来回振动。2、受回复力作用。、受回复力作用。4弹簧质量不计弹簧质量不计,不计摩擦。不计摩

3、擦。1. 1. 简谐振动的简谐振动的运动学判据运动学判据 以弹簧振子为例：以弹簧振子为例：建立坐标系，建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。点选在弹簧平衡位置处。回复力回复力一维振动一维振动令令简谐振动微分方程简谐振动微分方程5其中其中A为振幅，为振幅，为圆频率，为圆频率，为初相位。为初相位。圆频率圆频率只与弹簧振子性质有关。只与弹簧振子性质有关。解微分方程得解微分方程得简谐振动运动方程简谐振动运动方程定义：定义：凡是决定其位置的坐标按余弦或正弦函数凡是决定其位置的坐标按余弦或正弦函数规律随时间变化的振动都是规律随时间变化的振动都是简谐振动简谐振动。简谐振动的判据：简谐振动的判据：1. .判断合

4、外力与物体离开平衡位置的位移是否成判断合外力与物体离开平衡位置的位移是否成F=-kxF=-kx的形式。的形式。2. .判断位移与时间是否满足微分方程：判断位移与时间是否满足微分方程：3.3.根据物体的运动是否满足方程：根据物体的运动是否满足方程：6单摆单摆在角位移很小的时候，单摆的在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率振动是简谐振动。角频率,振动振动的周期分别为：的周期分别为：结论当当 时时简谐振动的实例简谐振动的实例72. 2. 简谐振动的特征量简谐振动的特征量由系统本身固有情况决定由系统本身固有情况决定( 弹性弹性, 惯性惯性 )(2)(2)角（圆）频率角（圆）频率 A 由初始条

5、件（振动能量）决定。由初始条件（振动能量）决定。单位：单位：rad/s单位：单位：Hzx x位移位移 振动物体振动物体离开平衡位置的位移。离开平衡位置的位移。三个特征量：三个特征量：(1)(1)振幅振幅A 物体物体离开平衡位置的最大距离。离开平衡位置的最大距离。8加速度与位移成正比而反向加速度与位移成正比而反向(3)(3)初相初相 由初始条件决定由初始条件决定, 初位相确定简谐振动初始时刻的初位相确定简谐振动初始时刻的运动状态。运动状态。 (t)= t+ 位相位相 物体在任一时刻的位相。物体在任一时刻的位相。它确定简谐振动在该时刻的运动状态。它确定简谐振动在该时刻的运动状态。t=0时物体的位相

6、时物体的位相3. 3. 简谐振动的速度、加速度简谐振动的速度、加速度9简谐振动的简谐振动的 x-t,v-t,a-t图图103.3.振幅与初相的确定振幅与初相的确定初始条件：初始条件：A、由初始条件（何时开始计时）决定。由初始条件（何时开始计时）决定。 由由解得：解得： 在在02 之间有两个解，但只有一个解符合要求，之间有两个解，但只有一个解符合要求，为此要根据已知的为此要根据已知的x0、v0的正负来判断和取舍。的正负来判断和取舍。11例题例题 在一轻弹簧下端悬挂在一轻弹簧下端悬挂m0=100克砝码时，克砝码时，弹簧伸弹簧伸长长8厘米，现在这根弹簧下悬挂厘米，现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体

7、。将物克的物体。将物体从平衡位置向下拉动体从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的厘米并给予向上的21厘米厘米/秒的秒的初速度。选初速度。选X轴向下，求振动的表达式。轴向下，求振动的表达式。12 t=0,矢量与坐标轴的夹角等矢量与坐标轴的夹角等于初相于初相5.1.2 5.1.2 简谐振动的旋转矢量法简谐振动的旋转矢量法矢量矢量 以角速度以角速度 逆时针作匀逆时针作匀速圆周运动，速圆周运动， 在平面上作一坐标轴在平面上作一坐标轴Ox，由原点由原点O作一长度等于振幅作一长度等于振幅的矢量的矢量 。 (1)解析法解析法振动的表示法振动的表示法 (2)振动曲线法振动曲线法 (3) 旋转矢量法旋转矢量法13

8、3. M 点的加速度点的加速度在在x轴上投影加速度轴上投影加速度利用旋转矢量法还可以很容易确定简谐振动的初位相。利用旋转矢量法还可以很容易确定简谐振动的初位相。 这种以一个匀速旋转的矢量这种以一个匀速旋转的矢量 ，在，在ox轴上的投影轴上的投影来表示简谐振动的方法，称为来表示简谐振动的方法，称为旋转矢量法旋转矢量法。1. M 点在点在 x 轴上投影点的运动轴上投影点的运动为简谐振动。为简谐振动。2. M 点的运动速度点的运动速度在在x轴上投影速度轴上投影速度 研究端点研究端点 M 在在 x 轴上投影点的运动轴上投影点的运动，14旋转矢量法确定初位相。旋转矢量法确定初位相。在第在第象限象限在第在

9、第象限象限在第在第象限象限在第在第象限象限15几种特特殊位置初位相。几种特特殊位置初位相。17A谐振动谐振动旋转矢量旋转矢量t+T振幅振幅初相初相位相位相圆频率圆频率谐振动周期谐振动周期半径半径初始角坐标初始角坐标角坐标角坐标角速度角速度园周运动周期园周运动周期物理模型与数学模型比较：物理模型与数学模型比较： 0 2超前超前 10 2落后落后 1=2n 同相同相=（2n 1） 反相反相18例例1.1.一质点沿一质点沿x x轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12mA=0.12m，周期，周期T=2sT=2s，当，当t=0t=0时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移x x0 0=

10、0.06m=0.06m，此时刻质，此时刻质点向点向x x轴正向运动。求（轴正向运动。求（1 1）此简谐振动的表达式；（）此简谐振动的表达式；（2 2）从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。解：解： 取平衡位置为坐标原点，取平衡位置为坐标原点，由旋转矢量法可得：由旋转矢量法可得：（2 2）由旋转矢量法可知，质点第一次通过平衡位置）由旋转矢量法可知，质点第一次通过平衡位置时，振幅矢量转过的角度为：时，振幅矢量转过的角度为：设设19例例2.2.一质点在一质点在x x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A A点点作为计时

11、起点（作为计时起点（t=0t=0），经过），经过2s2s后第一次经过后第一次经过B B点，再经过点，再经过2s2s后后第二次经过第二次经过B B点，若已知该质点在点，若已知该质点在A A、B B两点具有相同的速率，且两点具有相同的速率，且AB=10cmAB=10cm。求。求（1 1）质点的振动方程；）质点的振动方程；(2)(2)质点在质点在A A点处的速率。点处的速率。解：解： （1 1）由旋转矢量图和）由旋转矢量图和v vA A=v=vB B可知，可知，由此两式解得：由此两式解得：因为因为A A点处质点速度大于零，点处质点速度大于零，振动方程：振动方程：20A A点作为计时起点，点作为计时起

12、点，（2 2）质点在）质点在A A点处的速率点处的速率（t=0t=0）例例3.3.一质点作简谐振动，周期为一质点作简谐振动，周期为T T。求：当它由平衡位置向。求：当它由平衡位置向x x轴正向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段轴正向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间。路程所需要的时间。解：解：由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知，当质点由平衡位置向当质点由平衡位置向x x轴正向运动时，轴正向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处从二分之一最大位移处到最大位移处时，转过的角度为：时，转过的角度为：所需的时间为：所需的时间为：215.1.3 5.1.3 简谐振动

13、的能量简谐振动的能量我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。设振动物体在任一时刻设振动物体在任一时刻t 的位移为的位移为x ，速度为，速度为v ，于是，于是它所具有的动能它所具有的动能Ek 和势能和势能Ep 分别为分别为22动能的时间平均值动能的时间平均值:势能的时间平均值势能的时间平均值:弹簧振子的动能和势能的平均值相等，弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半。且等于总机械能的一半。23例：一轻弹簧倔强系数为例：一轻弹簧倔强系数为k，下端悬挂一静止的，下端悬挂一静止的质量质量为为m的盘子。现有一质量为的盘子。现有一质量为M的物体

14、从离盘的物体从离盘h高度处由高度处由静止落下并与盘粘在一起，使盘上下振动。（静止落下并与盘粘在一起，使盘上下振动。（1）求）求振幅振幅A；（2）当）当 x 值为多大时，系统的势能为总能量值为多大时，系统的势能为总能量的一半？的一半？ （3）质点从平衡位置移动到此位置所需最）质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？短时间为多少？取取M、m一起振动的平衡位置一起振动的平衡位置为坐标原点为坐标原点:总能量总能量解：解：动量守恒动量守恒24（2）势能势能总能总能由题意，由题意，最短时间为最短时间为 T / 8。（3）从平衡位置运动到）从平衡位置运动到255.2.1 5.2.1 同方向的简谐振动的

15、合成同方向的简谐振动的合成合成仍为合成仍为仍然是同频率仍然是同频率的简谐振动的简谐振动xxx1x2 12 1. 1. 同方向、同频率的两个简谐振动的合成同方向、同频率的两个简谐振动的合成合振动的位移：合振动的位移：26讨论一：讨论一：合振幅最大。称为合振幅最大。称为干涉相长干涉相长讨论二：讨论二：称为干涉相消。称为干涉相消。一般情况：一般情况：A1=A2 时，时， A=0同相同相反相反相27例题例题 三个谐振动方程分别为三个谐振动方程分别为画出它们的旋转矢量图。并在同一画出它们的旋转矢量图。并在同一 x-t 坐标上画出坐标上画出振动曲线。写出合振动方程。振动曲线。写出合振动方程。合振动方程合振

16、动方程 x=028附附：同方向的：同方向的N个同频率简谐振动的合成个同频率简谐振动的合成设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其表达式为其表达式为：在在 OCP中：中：在在 OCM中：中：29所以，合振动的表达式所以，合振动的表达式上两式相除得上两式相除得30讨论讨论1 1：即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。讨论讨论2 2： 这时各分振动矢量依次相接，构成闭合这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。的正多边形，合振动的振幅为零。以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉以上讨论的多个分振动

17、的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用。和衍射规律时有重要的应用。31合成振动表达式合成振动表达式： 为了简单起见，讨论两个振幅相同，初相位也为了简单起见，讨论两个振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：动表达式分别为：2. 2. 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成随随t变化缓慢变化缓慢随随t变化较快变化较快32当当 都很大，且相差甚微时，可将都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，合成振动是以视为振幅变化部分，合成振动是以 为角频率为角频率的近似谐振动。的近似谐振动。这种振

18、动的振幅也是周期性变化的，即振动忽强忽弱。这种振动的振幅也是周期性变化的，即振动忽强忽弱。 由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是简谐振动。简谐振动。这种合振动忽强忽弱的现象称为这种合振动忽强忽弱的现象称为拍拍。振幅振幅33播放动画播放动画1.振幅是周期变化的，振幅是周期变化的，振幅振幅A（t）随时间随时间t缓慢缓慢地变化地变化-“拍拍”现象，现象，最大值为最大值为 2A。2.合振幅变化频率合振幅变化频率-“拍频拍频”。讨论：讨论：讨论：讨论：很小，很小，单位时间内振动加强或减弱的次数叫单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频拍频34tx1 2=6tx2

19、1=7 = 1 - 2 拍频拍频tx（可测频，或得到更低频的振动）（可测频，或得到更低频的振动）355.2.2 5.2.2 相互垂直简谐振动的合成相互垂直简谐振动的合成1. 1. 同频率同频率将两式联立，消去将两式联立，消去t,可得可得再将上两式平方后相加即可得再将上两式平方后相加即可得361 1） 合振动为合振动为线线振动。振动。2 2） 合振动为合振动为正椭圆正椭圆。3 3） 一般情况下，合振动为一般情况下，合振动为斜椭圆。斜椭圆。且当且当 A1=A2 时时,即为即为圆圆。37播播播播放放放放动动动动画画画画38播播播播放放放放动动动动画画画画39播放动画播放动画播放动画播放动画40合成运

20、动又具有合成运动又具有稳定的封闭轨迹稳定的封闭轨迹, ,称为李萨如图。称为李萨如图。例如例如. . 右图：右图：yxAyAxo-Ax- Ay具体的图形与具体的图形与有关有关, ,可以画出。可以画出。应用举例：应用举例：测定未知频率。测定未知频率。当两个频率有微小差别时当两个频率有微小差别时, ,位相在缓慢变化位相在缓慢变化, ,轨迹形状也会缓慢变化轨迹形状也会缓慢变化, ,不稳定。不稳定。2. 2. 不同频率不同频率, ,但有简单整数比时，但有简单整数比时，41李萨如图的一些例子李萨如图的一些例子42 5.3 5.3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振称为为衰减因子称为为衰减因子1.

21、1.欠阻尼（欠阻尼（ 0 0）3.3.临界阻尼（临界阻尼（ = = 0 0 ）为非周期振动。为非周期振动。刚能作非周期振动，刚能作非周期振动， 且回到平衡位置的时间最短。（电表设计）且回到平衡位置的时间最短。（电表设计）音叉、钢琴弦音叉、钢琴弦- Q 103例例. 无线电震荡回路无线电震荡回路-Q 102激光器光学谐振腔激光器光学谐振腔- Q 107455.3.2 5.3.2 受迫振动受迫振动 共振共振若系统受弹性力若系统受弹性力, ,阻力外阻力外, ,还受周期性策动力还受周期性策动力其稳定振动解为：其稳定振动解为：46稳定振动稳定振动阻尼振动阻尼振动二者的叠加二者的叠加例如，例如，47此此稳

22、定稳定解与简谐振动很相似解与简谐振动很相似, ,但很不一样但很不一样: :是策动力的角频率是策动力的角频率( (与系统本身的性质无关与系统本身的性质无关) )是是的函数的函数 ( (与初始条件与初始条件 x0, v0无关无关) )振幅振幅 A A为最大值为最大值, ,这称为这称为共振现象。共振现象。注意：注意：在弱阻尼（在弱阻尼（ ）情况下）情况下, , 当当 稳定振动稳定振动48共振时共振时, ,振动系统能最大限度地从外界获得能量。振动系统能最大限度地从外界获得能量。因为此时因为此时即策动力与速度同相即策动力与速度同相, ,策动力总是作正功策动力总是作正功, ,系统就能最大限度从外界获得能量

23、系统就能最大限度从外界获得能量, ,振幅振幅可达最大值可达最大值。有有49我国四川綦江我国四川綦江彩虹桥彩虹桥的断裂。的断裂。 桥质量太差桥质量太差, 齐步跑。齐步跑。共振现象有利有弊。共振现象有利有弊。1940年美国华盛顿州年美国华盛顿州的塔科曼大桥在大风的塔科曼大桥在大风中产生共振中产生共振断塌断塌例如：例如： 收音机收音机 乐器乐器 核磁共振等。核磁共振等。50我国古代对我国古代对“共振共振”早有认识。早有认识。公元五世纪公元五世纪天中记天中记： 玻璃球泡因玻璃球泡因声共振而破裂声共振而破裂张华曰：此盘与宫中钟相谐，张华曰：此盘与宫中钟相谐， 蜀人有铜盘，早、晚鸣蜀人有铜盘，早、晚鸣 如

24、人扣。如人扣。问张华。问张华。可改变其薄厚。可改变其薄厚。故声相应，故声相应，515.4 5.4 平面简谐波平面简谐波1.1. 振动在空间的传播过程叫做波动。振动在空间的传播过程叫做波动。2. 常见的波有两大类常见的波有两大类:近代物理发现，在微观领域中还有近代物理发现，在微观领域中还有物质波。物质波。3. 各种波的本质不同各种波的本质不同, , 但其基本传播规律有许多相同之处。但其基本传播规律有许多相同之处。 (1) 机械波机械波 (机械振动的传播机械振动的传播)(2)(2)电磁波（交变电场、磁场的传播）电磁波（交变电场、磁场的传播）下面以机械波为例来介绍波的一些物理概念，讨论下面以机械波为

25、例来介绍波的一些物理概念，讨论波动的现象和规律。波动的现象和规律。52 波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点本身的传播。质点本身的传播。 根据介质质元的振动方向与波的传播方向间的关根据介质质元的振动方向与波的传播方向间的关系，可以将机械波分为两类：系，可以将机械波分为两类：横波横波和和纵波纵波。2. 2. 波的分类波的分类 1. 1. 产生机械产生机械波的产生波的产生产生波的条件产生波的条件存在存在弹性介质弹性介质和和波源波源波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。将振动

26、传播开去，从而形成机械波。5.4.1 5.4.1 机械波的产生与描述机械波的产生与描述531 1）横波）横波 各质点振动方向与波各质点振动方向与波的传播方向垂直的波。的传播方向垂直的波。传播方向传播方向如绳波、如绳波、电磁波电磁波为横波。为横波。t= T/2 t= 3T/4 t = Tt = T/40481620 12 t = 054 各质点振动方向与波的传播各质点振动方向与波的传播方向平行的波。方向平行的波。传播方向传播方向纵波是靠介质疏密部变化传播的。纵波是靠介质疏密部变化传播的。如声波，弹簧波为纵波。如声波，弹簧波为纵波。 任一波例如，水波、地表波，都能分解为横波与任一波例如，水波、地表

27、波，都能分解为横波与纵波来进行研究。纵波来进行研究。2 2）纵波）纵波 横波和纵波只有振动方向不同，波动本质是相同的，横波和纵波只有振动方向不同，波动本质是相同的，下面以横波为例来讨论。下面以横波为例来讨论。551、 波波的的传传播播不不是是介介质质质质元元的的传传播播（质质元元只只在在各各自自的的平平衡衡位位置置附附近近振振动动），传传播播出出去去的的仅仅是是质质点点的的振振动状态（亦称位相）。动状态（亦称位相）。2 、“上上游游”的的质质元元依依次次带带动动“下下游游”的的质质元元振振动动，某某时时刻刻质质元元的的振振动动状状态态将将在在较较晚晚时时刻刻于于“下下游游”某某处处出出现现。波

28、波动动中中各各质质元元的的振振动动是是受受迫迫振振动动，它它们们的的振振动动频率与波源的振动频率相同，与介质无关。频率与波源的振动频率相同，与介质无关。3、同相位点同相位点-质元的振动状态相同。质元的振动状态相同。注意：注意：振动是描写一个质点振动振动是描写一个质点振动波动是描写一系列质点作振动波动是描写一系列质点作振动4 4、振动与波动的区别、振动与波动的区别56横轴横轴x表示波的传播方向，表示波的传播方向，1 1）波形图）波形图坐标坐标x表示质点的平衡位置，表示质点的平衡位置，纵轴纵轴y表示质点的振动方向，表示质点的振动方向，坐标坐标y表示质点偏离平衡位置的位移。表示质点偏离平衡位置的位移

29、。表示某一选定时刻波中各质点位置的图。表示某一选定时刻波中各质点位置的图。x y平面上一条曲线就表示某一时刻的波形图。平面上一条曲线就表示某一时刻的波形图。说明：说明：在横波中波形图与实际的波形是相同的，但在在横波中波形图与实际的波形是相同的，但在纵波中，由于波形图表示的是各质点位移的分布情况，纵波中，由于波形图表示的是各质点位移的分布情况，而区别于质点的实际位置分布。而区别于质点的实际位置分布。3. 3. 波的几何描述波的几何描述 574.4.描述波特性的几个物理量描述波特性的几个物理量 1 1）周期）周期 T T ：传播一个完整的波形传播一个完整的波形所用的时间。所用的时间。或一个完整的波

30、通过或一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间波线上某一点所需要的时间（与质（与质点振动周期相同）点振动周期相同）2 2）频率）频率 ：单位时间内传播完整波形的个数。单位时间内传播完整波形的个数。（与质点振动频率相同）（与质点振动频率相同）3 3）波长）波长 ：两相邻波峰两相邻波峰或波谷或相位相同点间的或波谷或相位相同点间的距离，距离，或振动在一个周期或振动在一个周期中传播的距离。中传播的距离。注意注意：周期、频率与介质无关，与波源的相同。波在周期、频率与介质无关，与波源的相同。波在不同介质中频率不变。不同介质中频率不变。 584 4）波速）波速 u u: : : : 波在介质中的传播速度。波

31、在介质中的传播速度。单位时间某种单位时间某种一定的振动状态一定的振动状态(或振动相位或振动相位)所传播的距离称为波所传播的距离称为波速速u ，也称之相速，也称之相速 。 机械波的波速决定于介质的惯性和弹性，因此，机械波的波速决定于介质的惯性和弹性，因此，不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。在各向同性均匀固体中在各向同性均匀固体中横波横波纵波纵波G 切变弹性模量，切变弹性模量，E 杨氏模量，杨氏模量， 密度。密度。液体中液体中 纵波纵波K 容变弹性模量。容变弹性模量。5）T T、 、 、 u u 的关系的关系59若若波波源源作作简简谐谐振振动动, 在在

32、波波传传到到的的区区域域, 媒媒质质中中的的质质元均作简谐振动，称为简谐波。元均作简谐振动，称为简谐波。 人人们们用用波波函函数数描描述述波波，波波函函数数应应能能描描述述波波在在空空间间任任一一点、点、 任一时刻的位移。任一时刻的位移。5.4.2 5.4.2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数这个函数表达式也叫做波动方程。这个函数表达式也叫做波动方程。在波函数中，若在波函数中，若x固定了，得到什么方程？固定了，得到什么方程？哪个质点的振动方程？哪个质点的振动方程？振动方程振动方程在在x位置上的质点的振动方程位置上的质点的振动方程601）右行波的波函数）右行波的波函数已知已知O点振动表达式：

33、点振动表达式：P点的振动比点的振动比O点点落后一段落后一段时间时间 t ,相位落后相位落后 ， 平面简谐波沿平面简谐波沿x轴正向传播，波速为轴正向传播，波速为u。P点处质点在时刻点处质点在时刻t的位移等于的位移等于O点在点在 时的位移。时的位移。P点的振动方程为：点的振动方程为：1. 1. 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数61右行波的波函数右行波的波函数则波函数为：则波函数为：若告知的是位于若告知的是位于X0处的振动方程处的振动方程并且向右传播，并且向右传播，下述几式等价：下述几式等价：62即即p点的相位超前于点的相位超前于O点相位：点相位： p点运动传到点运动传到 O 点需用时间：点需用

34、时间： p点的点的振动振动方程，也方程，也就是左行波的波函数：就是左行波的波函数：2）左行波的波函数）左行波的波函数已知已知O点振动表达式：点振动表达式：634）若告知的是某平面简谐波在）若告知的是某平面简谐波在t=t0时刻的波形图，时刻的波形图， 设原点设原点O在该时刻的位相可由图求出为在该时刻的位相可由图求出为 0，则原点则原点O的振动方程为：的振动方程为：波函数为：波函数为：此时波动向此时波动向O点左右两边传播，则波函数为：点左右两边传播，则波函数为：3）O点为波源时的波函数点为波源时的波函数波源的振动方程为：波源的振动方程为：641）振动方程与波函数的区别）振动方程与波函数的区别波函数

35、是波程波函数是波程 x 和时间和时间 t 的的函数，描写某一时刻任意位函数，描写某一时刻任意位置处质点振动位移。置处质点振动位移。振动方程是时间振动方程是时间 t 的函数的函数2）当）当（常数）时，（常数）时，为距离原点为为距离原点为 d 处一点的振动方程。处一点的振动方程。3）当）当（常数）时，（常数）时，为某一时刻各质点的振动位移，波形的为某一时刻各质点的振动位移，波形的“拍照拍照”2. 2. 波函数的物理意义波函数的物理意义654）注意相速度（即波速）与质点振动速度的区别）注意相速度（即波速）与质点振动速度的区别 机械波的相速度由介质本身的性质决定，与波的机械波的相速度由介质本身的性质决

36、定，与波的频率、振幅无关；而质点振动速度和振动的频率及频率、振幅无关；而质点振动速度和振动的频率及所研究的质点的位置均有关。所研究的质点的位置均有关。1、写出某个已知点的振动方程；、写出某个已知点的振动方程；2、以刚得到的已知点的振动方程为出发点，根据、以刚得到的已知点的振动方程为出发点，根据波速的方向和大小写出任一个点的振动方程，即得波速的方向和大小写出任一个点的振动方程，即得到波动方程。到波动方程。 关于波动方程的题型主要有两种：（关于波动方程的题型主要有两种：（1）已知波函）已知波函数求各物理量；（数求各物理量；（2）已知各物理量求波函数。已知各物理量求波函数。波动方程的求解步骤波动方程

37、的求解步骤66（1）求）求u、；（；（2）画出）画出 t =0和 t =T /8 时刻的波形时刻的波形图；（图；（3）距原点）距原点 o 为为 100m 处质点的振动表达式与振处质点的振动表达式与振动速度表达式。动速度表达式。解：解：由由得：得：（1）由波函数可知，波沿着）由波函数可知，波沿着x负方向传播负方向传播例例1: 一平面简谐波的波函数为：一平面简谐波的波函数为：(2)t=0 时时67x处比处比O处质点振动的相超前处质点振动的相超前波形向左传播波形向左传播的距离的距离68（3）100m处质点振动表达式处质点振动表达式振动速度表达式是振动速度表达式是：69例例2：如图所示，平面简谐波向右

38、移动速度：如图所示，平面简谐波向右移动速度 u =0.08 m/s，求：求：.原点处的振动方程；原点处的振动方程；.波函数；波函数；. P 点的振动方程；点的振动方程；. a、b 两点振动方向。两点振动方向。解：解：.原点原点t = 0 时时，o点处的质点向点处的质点向 y 轴负向轴负向运动运动 原点的振动方程为：原点的振动方程为：70. P 点的振动方程点的振动方程. a、b 振动方向，作出振动方向，作出t 后的波形图。后的波形图。.波函数波函数71例例3：如图：如图,是一平面简谐波在是一平面简谐波在t=2秒时的波形图，由秒时的波形图，由图中所给的数据求：图中所给的数据求：（1）该波的周期；

39、（）该波的周期；（2）传播）传播介质介质O点处的振动方程；（点处的振动方程；（3）该波的波动方程。）该波的波动方程。解解：其振动方程为：其振动方程为：波动方程：波动方程：X=5(m)处，由旋转矢量法可知，处，由旋转矢量法可知， 1）利用旋转矢量法求出）利用旋转矢量法求出O点的位相为：点的位相为：72（2）O点的振动方程为：点的振动方程为：（3）波动方程：）波动方程：73处的处的p点振动曲线如图。求：点振动曲线如图。求：O点（点（x=0)的振动表达式的振动表达式和波函数。和波函数。解：解：设设x=-1的振动表达式的振动表达式解法解法1：例例4: 一平面波沿一平面波沿x方向传播，方向传播，u=3m

40、/s,若若x=1m74解法解法2：75波动的过程实际是能量传递的过程。由波动引起的波动的过程实际是能量传递的过程。由波动引起的介质的能量，称为波的能量。介质的能量，称为波的能量。1. 1. 波动的能量波动的能量 弹性介质中取一体积元弹性介质中取一体积元 dV，波波的传播的传播速度为速度为u，质量质量 以一列简谐波在密度为以一列简谐波在密度为 的介质中传播的介质中传播为例来讨论为例来讨论有关波动的能量问题。有关波动的能量问题。设波函数设波函数1）波动的动能）波动的动能5.4.3 5.4.3 波的能量波的能量质元振动速度：质元振动速度：76动能动能由于介质发生形变而具有势能。由于介质发生形变而具有

41、势能。势能势能Ek、EP同时达到最大同时达到最大同时达到最小同时达到最小平衡位置处平衡位置处最大位移处最大位移处2）波动的势能）波动的势能可以证明体元内具有的势能与动能在任意时刻具有相可以证明体元内具有的势能与动能在任意时刻具有相同数值：同数值：77在在 孤立振动系统中，孤立振动系统中，Ek、EP相互交换，系统总机械相互交换，系统总机械能守恒。能守恒。而对于波动来说，由于媒质中各部分由弹性力彼此而对于波动来说，由于媒质中各部分由弹性力彼此相联，使得振动在其中传播。任一质元总机械能随相联，使得振动在其中传播。任一质元总机械能随时间周期性的变化，时间周期性的变化，波动能量中波动能量中Ek、EP同时

42、达到最同时达到最大，同时为零，总能量随时间周期变化。系统总机大，同时为零，总能量随时间周期变化。系统总机械能不守恒。械能不守恒。波动的能量与振动能量的区别：波动的能量与振动能量的区别：3）波动的能量）波动的能量78平均能量密度：平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值能量密度在一个周期内的平均值能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的一半。一半。平均能量密度与振幅平方、频率平方和质量密度均平均能量密度与振幅平方、频率平方和质量密度均成正比。成正比。2. 2. 波的强度波的强度能量密度：能量密度：单位体积内的总能量单位体积内的总能量79单位单位:

43、 :W/m2uSux单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能量单位面积的平均能量, ,称为称为平均能流密度平均能流密度, ,又称为又称为 波的强度波的强度 I 。单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流。面的能流。在一个周期内能流的平均值称为平均能流在一个周期内能流的平均值称为平均能流单位单位: :W，J/s80例题例题 一平面简谐波，波速为一平面简谐波，波速为 340ms-1，频率为，频率为 300Hz在横截面积在横截面积为 3.00 10-2m2的管内的空气中传播，若在的管内的空气中传播

44、，若在10秒内通过截面的能量为秒内通过截面的能量为 2.70 10-2J，求：，求：（1）通过截面的平均能流；）通过截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度。）波的平均能量密度。解：解：5.5声波声波 超声波超声波 次声波（略）次声波（略）815.6.1 5.6.1 波的叠加原理波的叠加原理2波的传播独立性波的传播独立性 几列波相遇之后，几列波相遇之后， 仍然保持它们各仍然保持它们各自原有的特征（频自原有的特征（频率率率率、波长、振幅、振动方向等）不变，、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一并按照原来的方向继续

45、前进，好象没有遇到过其他波一样样.2波的叠加原理波的叠加原理在相遇区域内任一点的振动，为各列波在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.5.6 波的叠加波的叠加825.6.2 5.6.2 惠更斯原理惠更斯原理1.1.波线、波面、波前波线、波面、波前波线（或波射线波线（或波射线)波的传播方向称之为波射线或波线。波的传播方向称之为波射线或波线。波面（或相面、波阵面）波面（或相面、波阵面）某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面。波前波前某时刻处在最前面的波面。某时刻处在最前面的

46、波面。在各向同性均匀介质在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂中，波线与波阵面垂直直.波面波线球面波球面波波线波面平面波平面波832. 2. 惠更斯原理惠更斯原理 常用惠更斯作图法，它是基于惠更斯原理常用惠更斯作图法，它是基于惠更斯原理 的一种方法。的一种方法。“媒质中波传到的各点媒质中波传到的各点,都可看作开始发射都可看作开始发射子波子波(次级波次级波)的子波源的子波源(点波源点波源)，在以后的任一时刻在以后的任一时刻,这些子波面的包络面这些子波面的包络面就是新的波前就是新的波前 ”。研究波的传播方向：知道某时刻波前的位置，研究波的传播方向：知道某时刻波前的位置， 能否知道下一时刻的波前位置？

47、能否知道下一时刻的波前位置？若媒质均匀、各向同性若媒质均匀、各向同性 ,各子波都是各子波都是以波速以波速 u 向外扩展的球面波。向外扩展的球面波。845.6.3 5.6.3 波的干涉波的干涉 稳定的波的叠加图样是指在媒质中某些位置的振稳定的波的叠加图样是指在媒质中某些位置的振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它位置幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它位置振动的强弱介乎二者之间，保持不变，称这种稳定的振动的强弱介乎二者之间，保持不变，称这种稳定的叠加图样为干涉现象。叠加图样为干涉现象。 相干条件：相干条件：满满足足相相干干条条件件的的波波源源称称为为相相干干波波源源。 具有恒定的相位

48、差具有恒定的相位差两波源的波振幅相近或两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显。相等时干涉现象明显。 两波源具有相同的频率两波源具有相同的频率 两波源振动方向相同两波源振动方向相同85干涉加强、减弱条件干涉加强、减弱条件设有两个频率相同的波源设有两个频率相同的波源 和和 ， 其振动表达式为：其振动表达式为：两列波传播到两列波传播到 P P 点引起的振动分别为：点引起的振动分别为： 在在 P P 点的振动为同方向同频率振动的合成。点的振动为同方向同频率振动的合成。A A1 1、A A2 2是是S S1 1、S S2 2在在P P点引起的振动的振幅。点引起的振动的振幅。86下面讨论干涉现象中的强度分

49、布下面讨论干涉现象中的强度分布在在 P P 点的合成振动为：点的合成振动为： 由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：强度为：对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。 871. .干涉加强条件干涉加强条件当当时，时，干涉相长干涉相长2. .干涉减弱条件干涉减弱条件当当时，时，干涉相消干涉相消即即即即88当两相干波源为同相波源当两相干波源为同相波源时，有：时，有：此时相干条件写为：此时相干条件写为：干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消称

50、称 为为波波程程差差 初位相相同的两个相干波源，在两列波叠加初位相相同的两个相干波源，在两列波叠加的区域内，当波程差为零或波长的整数倍时，合振的区域内，当波程差为零或波长的整数倍时，合振动的振幅最大，干涉相长；当波程差为半波长的奇动的振幅最大，干涉相长；当波程差为半波长的奇数倍时合振幅最小，干涉相消。数倍时合振幅最小，干涉相消。干涉加强减弱条件：干涉加强减弱条件：干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消89例例1：两相干波源：两相干波源 A、B 位置如图所示，频率位置如图所示，频率 =100Hz，波速波速 u =10 m/s， A- - B= ，求：，求：P 点振动情况。点振动情况。解：解：P点干涉点

51、干涉相消相消。90例例2: S1和和S2是波长均为是波长均为的两个相干波源，相距的两个相干波源，相距3/4， S1的位相比的位相比S2超前超前/2，强度都是，强度都是I0，且不随距离变，且不随距离变化。则在化。则在S1和和S2连线上合成波的强度分别是多少？连线上合成波的强度分别是多少？I=4II=4I0 0I=0I=0思考：思考：S1,S2连线之间各点，干涉情况如何？连线之间各点，干涉情况如何？91例例3:3:同同一一介介质质中中两两相相干干波波源源位位于于A A、B B两两点点, ,其其振振幅幅相相等等，频频率率均均为为100100HzHz，位位相相差差为为，若若ABAB两两点点相相距距30

52、30m m，且且波波速速u u =400=400m/sm/s，若若以以A A为为坐坐标标原原点点,AB,AB为为x x轴轴正正方方向向，求求在在ABAB两点的连线之间因干涉而静止的各点位置。两点的连线之间因干涉而静止的各点位置。 解：波长 AB连线间（0x30）：oA30Bx30-xx若要满足干涉而静止，则 即静止点位置为： 925.6.4 5.6.4 驻波驻波 1. . 驻波的产生驻波的产生 有两列相干波，它们不仅频率相同、相位差恒定、有两列相干波，它们不仅频率相同、相位差恒定、振动方向相同，而且振幅也相等。当它们在同一直线振动方向相同，而且振幅也相等。当它们在同一直线上沿相反方向传播时，在

53、它们迭加的区域内就会形成上沿相反方向传播时，在它们迭加的区域内就会形成一种特殊的波。这种波称为驻波。一种特殊的波。这种波称为驻波。 当一列波遇到障碍时产生当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠加可产的反射波与入射波叠加可产生驻波。生驻波。驻波的特点：驻波的特点：媒质中各质点都作稳定的振动。波形媒质中各质点都作稳定的振动。波形并没有传播。并没有传播。93振幅最大的地方称为振幅最大的地方称为波腹波腹 不振动的点称为不振动的点称为波节波节腹点：干涉加强点腹点：干涉加强点节点：干涉相消点节点：干涉相消点942. . 驻波的表达式驻波的表达式 设有两列相干波，分别沿设有两列相干波，分别沿X X轴正、负

54、方向传播，轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：选初相位均为零的表达式为：反射波反射波入射波入射波驻波的波函数驻波的波函数结论：结论：各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。对任一点对任一点 x 的合振动的合振动简谐振动简谐振动简谐振动的振幅简谐振动的振幅951)振幅项振幅项只与位置只与位置 有关，而与时间无关。有关，而与时间无关。波节波节讨论：讨论：2)振幅最大的点称为波腹振幅最大的点称为波腹，对应于，对应于 即即的各点；振幅值最大为的各点；振幅值最大为2

55、A。波腹波腹波腹的位置为：波腹的位置为：波节的位置为：波节的位置为：振幅为零的点称为波节振幅为零的点称为波节，对应于对应于 即即 的各点。的各点。96相邻波腹间的距离为：相邻波腹间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为相邻波腹与波节间的距离为 因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。3)驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是一种特殊的振动。一种特殊的振动。波节波节 波腹波腹 相邻的两个波节和波腹之间的距离都是相邻的两个波节和波腹之间的距离都是结论：结论：973. . 驻波的相位

56、驻波的相位 时间部分提供的相位对于所有的时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。空间变化带来的相位是不同的。在在范围内，范围内， 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。或同时达到反向最小。速度方向相反。是波节，是波节，如如考查波节两边的振幅，考查波节两边的振幅， 两个波节之间的点其振动相位相同。两个波节之间的点其振动相位相同。 同时达到最同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。大或同时达到最小。速度方向相同。结论：结论：内，内，在范围在范围984. . 驻波的能量驻

57、波的能量 各质点位移达到最大时各质点位移达到最大时,动能为零，势能不为零。动能为零，势能不为零。在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。当各质点回到变最小，势能最小。势能集中在波节。当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在平衡位置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。波腹。 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，能量不被传播。这可从能流密度证明：因复循环，能量不被传播。这可从能流密度证明：因为能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与右为

58、能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和为零。行波能流密度之和为零。 驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运动状驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运动状态，稳定态。态，稳定态。995. . 半波损失半波损失 入射波在反射时入射波在反射时反射波相位突变了反射波相位突变了，相当于波，相当于波程损失了半个波长的程损失了半个波长的现象称为半波损失。现象称为半波损失。波节波节 波腹波腹 在绳与墙壁固定处，为波在绳与墙壁固定处，为波节位置。节位置。 反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节还是波腹与这分界处两边的介质性质有关。还是波腹与这分界

59、处两边的介质性质有关。 当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。 当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。时，无半波损失，界面处出现波腹。100例：如图所示，有一沿例：如图所示，有一沿X轴正向传轴正向传播的平面简谐波，其波动方程为：播的平面简谐波，其波动方程为：此波在此波在x=7m处受到波密介质平面的反射（设反射处受到波密介质平面的反射（设反射时波的强度不变）。求：（时波的强度不变）。求：（1

60、）反射波的波动方程；）反射波的波动方程；（2）在）在x=6m处介质质元的振动方程；（处介质质元的振动方程；（3）在区）在区间间0x7m，干涉相消点的位置。，干涉相消点的位置。解解: : (1)O(1)O点点101(2)在在x=6m处介质质元的振动方程处介质质元的振动方程(3)因为因为在在x=7m处为波密反射点，该处为波节点。处为波密反射点，该处为波节点。因为两相邻波节之间的间隔为因为两相邻波节之间的间隔为 /2 。所以在所以在0xu 时不适用时不适用)频率降低频率降低频率升高频率升高设波源远离观察者运动设波源远离观察者运动 (S远离远离R)设波源朝向观察者运动设波源朝向观察者运动 (S 接近接

61、近R)107水波的多普勒效应（波源向左运动）水波的多普勒效应（波源向左运动）108(4)(4)相对于媒质，观察者相对于媒质，观察者运动运动，波源运动。，波源运动。此时，此时，VR 0 ， VS 0，相向相向远离远离相当于波速增加相当于波速增加波长变短波长变短相当于波速减少相当于波速减少波长变长波长变长109需要说明的问题需要说明的问题R、S 运动任意运动任意如果垂直连线运动如果垂直连线运动则则有相向分量有相向分量有远离分量有远离分量机械波：机械波：只有纵向效应只有纵向效应110多普勒效应应用多普勒效应应用电磁波的多普勒效应也为跟踪人造地球电磁波的多普勒效应也为跟踪人造地球卫星提供了一种简便的方

62、法。卫星提供了一种简便的方法。如一卫星地面站确定远在如一卫星地面站确定远在 处的处的卫星位置变化时，可以精确到卫星位置变化时，可以精确到 . 利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速，利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速，振动体的振动和潜艇的速度，还可以用来报振动体的振动和潜艇的速度，还可以用来报警和监测车速。在医学上，利用超声波的多警和监测车速。在医学上，利用超声波的多勒效应对心脏跳动情况进行诊断，如做超声勒效应对心脏跳动情况进行诊断，如做超声心动、多普勒血流仪，等。心动、多普勒血流仪，等。111例题：例题：静止不动的超声波探测器能够发射出频率为静止不动的超声波探测器能够发射出频率为100kHz的超声波。有一车辆迎面驶来，探测器所接收的超声波。有一车辆迎面驶来，探测器所接收的从车辆反射回来的超声波频率为的从车辆反射回来的超声波频率为112kHz。如果空气。如果空气中的声速为中的声速为340m/s，试求车辆的行驶速度。，试求车辆的行驶速度。反射面接收到的是反射面接收到的是“观察者观察者”接近波源的频率；接近波源的频率；因反射面运动，所以，探测器接收到的反射因反射面运动，所以，探测器接收到的反射频率是反射面作为运动的波源而来的反射频率。频率是反射面作为运动的波源而来的反射频率。第第5 5章章 结束结束