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1、 第七章第七章 线性离散系统的分析与校正线性离散系统的分析与校正 7.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 目前目前, 随着计算机性能和可靠性的不断提高随着计算机性能和可靠性的不断提高, 计算机越来越计算机越来越多地参与系统的控制多地参与系统的控制. 而计算机所能接收和输出的信号只能是数而计算机所能接收和输出的信号只能是数字信号字信号, 数字信号是关于时间数字信号是关于时间t的离散信号的离散信号. 简单来说这种系统简单来说这种系统叫叫采样离散控制系统采样离散控制系统, 其一般结构可由下图简单表示其一般结构可由下图简单表示:图中图中, S是采样开关是采样开关, 它以周期它以周期T开闭一次开闭
2、一次. 当连续信号当连续信号e(t)经过经过采样开关采样开关S后后, 得到一时间得到一时间t的离散信号的离散信号. 上图中的其它信号上图中的其它信号都是时间都是时间t的连续信号的连续信号. 于是定义于是定义:在系统中只要有一处的信号是在系统中只要有一处的信号是时间时间t的离散信号的离散信号, 即为时间即为时间t的断续函数时的断续函数时, 此系统就叫采样离此系统就叫采样离散系统散系统, 简称离散系统简称离散系统. 由于离散系统比连续系统多了采样开关由于离散系统比连续系统多了采样开关, 在系统中出现了离在系统中出现了离散信号等特点散信号等特点, 给对系统的研究带来一些新问题给对系统的研究带来一些新
3、问题. 下面先从研究下面先从研究调陇卷泉沈猫州椒腻序铰他怜霓瘩辑义莲憾偏肾撞筷许窿睡蝉崎瓜瘸机诅第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手, 逐一介绍离散逐一介绍离散系统的一些基本概念系统的一些基本概念, 所采用的数学工具及分析和设计离散系所采用的数学工具及分析和设计离散系统统的思路与方法的思路与方法. 7.2 信号的采样与保持信号的采样与保持 7.2.1采样过程和离散信号的数学表达式采样过程和离散信号的数学表达式 假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开, 即闭合的时间等
4、于即闭合的时间等于零零且闭合时的接通电阻为零且闭合时的接通电阻为零, 打开时的断开电阻无穷大打开时的断开电阻无穷大, 则称其则称其为为理想采样开关理想采样开关. 如果采样周期为如果采样周期为T的理想采样开关的理想采样开关S的输入为单的输入为单位阶跃信号位阶跃信号, 则其输出为一单位脉冲序列则其输出为一单位脉冲序列, 见下图见下图:上图中上图中坡阜傅旨垛干鞠戚姐公动阐哆予让嗅源嗓浦却扒琢十梨拯易腕惹桓秤酱岁第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正如如理想采样开关的输入为任一连续信号理想采样开关的输入为任一连续信号e(t), 且当且当t0时时, e(t)=0,则理想采样开关的输
5、出如下图所示则理想采样开关的输出如下图所示:上图中上图中叫调幅脉冲序列叫调幅脉冲序列, 其拉氏变换式为其拉氏变换式为:矣寞乙碴储宠躲虎寒衍姆证嵌慰猫翼痛卯晒忧渊勉像怪吱撼茎很仆栖捂迹第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正对离散信号也可进行频谱分析对离散信号也可进行频谱分析, 由付立叶级数的定义由付立叶级数的定义, 周期性的周期性的 单位脉冲序列可展开成下面级数单位脉冲序列可展开成下面级数:式式(3)中中:叫采样角频率叫采样角频率,叫采样频率叫采样频率. 将式将式(3)代入式代入式(1)得得:对式对式(4)进行拉氏变换进行拉氏变换:令式令式(5)中的中的得得的频的频谱谱表达
6、式表达式:式式(2)和式和式(5)是是的两种不同形式的拉氏变换表达式的两种不同形式的拉氏变换表达式, 逗柄腐俊荷淌喂瑰妆酒羞玲镇瓢烁砂纤蒲呀倦撕争硷揖革芍觉肝新傲堑饥第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正式式(2)中中的的与与中的中的建立了联系建立了联系, 而式而式(5)变成式变成式(6)后后,式式(6)中的中的 是是的频的频谱谱, 并可证明并可证明是是的的周期函数周期函数. 前已交代过前已交代过,采样前的连续信号采样前的连续信号的拉氏变换式为的拉氏变换式为其频其频谱谱表达式为表达式为,因此式因此式(6)中的中的 与采样前的连续信与采样前的连续信号的频号的频谱谱建立了联系
7、建立了联系. 由于由于是是的周期函数的周期函数, 所以离散信所以离散信号频号频谱中每隔谱中每隔重复出现采样前的连续信号的频重复出现采样前的连续信号的频谱谱,即即连续信号连续信号经过采样后的离散信号多出了许多高频分量经过采样后的离散信号多出了许多高频分量, 且离散信号频且离散信号频谱的谱的幅值是幅值是采样前的连续信号频采样前的连续信号频谱幅值的谱幅值的1/T. 因此式因此式(2)和式和式(6)各有各有各的使用场合各的使用场合. 式式(2)和式和式(5)虽都是无穷级数虽都是无穷级数, 但通常可将式但通常可将式(2)写成闭合形式写成闭合形式, 而却不能将式而却不能将式(5)写成闭合形式写成闭合形式,
8、 下面举例说明下面举例说明例例: 设设 , 求求的拉氏变换式的拉氏变换式.解解: 先用先用式式(2)求求.险式体葬炎擞托惊追镇颧畜恭送虎肝嘱惰吨认整碗羔涂遵究皇冷侮耻鄙宽第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正再用式再用式(5)求求.由上例可见由上例可见, 的拉氏变换式为的拉氏变换式为, 只有一个只有一个s=0的极点的极点,而而的拉氏变换式为的拉氏变换式为, 有无穷多个极点有无穷多个极点, 这给分析离散系统带这给分析离散系统带来很多不便来很多不便, 为此需给离散信号另一种变换工具为此需给离散信号另一种变换工具, 这就是以后要这就是以后要专门介绍专门介绍Z变换的原因变换的原因
9、. 一个离散系统往往有多个采样开关一个离散系统往往有多个采样开关, 各个采样开关最简单的各个采样开关最简单的动作方式叫同步等周期采样方式动作方式叫同步等周期采样方式, 这种方式在工程上用的较普遍这种方式在工程上用的较普遍对系统的分析也较方便对系统的分析也较方便. 以后讨论问题时以后讨论问题时, 均以同步等周期采样均以同步等周期采样作为各个开关的动作方式作为各个开关的动作方式镜祁举杖墒哲肌试侥门属秆蒙芭命滦区笼戴制柱孙年挎从嫁筑锻唉谨怯锗第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正 7.2.2 信号的复现和采样定理及保持器信号的复现和采样定理及保持器 实际的离散系统除把连续信号采
10、样成离散信号外实际的离散系统除把连续信号采样成离散信号外, 常需将常需将离散信号转换成采样前的连续信号离散信号转换成采样前的连续信号, 如计算机控制系统中的如计算机控制系统中的D/A转换器就起这一作用转换器就起这一作用. 问题是问题是, 经采样的离散信号能否复原成经采样的离散信号能否复原成采样前的连续信号采样前的连续信号? 如能如能, 应具备什么条件应具备什么条件, 用何装置实现用何装置实现?本小节就讨论这些问题本小节就讨论这些问题.由下图由下图可见可见, 连续信号经采样所得到的离散信号是唯一的连续信号经采样所得到的离散信号是唯一的但离散信号所对应的连续信号却并不唯但离散信号所对应的连续信号却
11、并不唯一一, 而有无穷多个而有无穷多个, 请见左图请见左图.图中绿色曲线与红色虚线表示不同的连图中绿色曲线与红色虚线表示不同的连连续信号连续信号, 而经采样所得到的离散信号而经采样所得到的离散信号是相同的是相同的, 即一个离散信号可对应无穷即一个离散信号可对应无穷多个连续信号多个连续信号. 如果采样周期足够小如果采样周期足够小, 即采样点足够密即采样点足够密, 则离散则离散信号就可相当准确的复现出采样前的连续信号信号就可相当准确的复现出采样前的连续信号, 问题是采样周期问题是采样周期应小到什么程度应小到什么程度? 浊财轻燎括冷改颁惫机薯谱晰爪钎猩啊舀威渡呆跪撬很壁涌狐庄彝绍堂新第七章线性离散系
12、统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正 香农采样定理香农采样定理: 要由离散信号完全复现出采样前的连续信要由离散信号完全复现出采样前的连续信号号, 必须满足必须满足: 采样角频率采样角频率大于或等于两倍的采样器输入连大于或等于两倍的采样器输入连续信号频谱中的最高频率续信号频谱中的最高频率, 即即: 对对香农采样定理举例说明香农采样定理举例说明, 设有叫钟形波的设有叫钟形波的连续信号连续信号, 其其时域和幅频表达式为时域和幅频表达式为:其幅频曲线如下图其幅频曲线如下图:糊檀镍驻瘩谊漆捉肆包断叮扳父疽体掺荣艇传绅盖吹遣镁致攫烽朽奉替手第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校
13、正由式由式(6), 离散的钟形波离散的钟形波其幅频曲线如下其幅频曲线如下图图:若在离散的钟形波后串接一具有锐截止频率的带通滤波器若在离散的钟形波后串接一具有锐截止频率的带通滤波器其幅频特性表为其幅频特性表为:, 幅频曲线如上图幅频曲线如上图, 钟形波离散频谱中附加频率分量完全滤掉钟形波离散频谱中附加频率分量完全滤掉, 仅剩下主频分量仅剩下主频分量.主频主频分量的波形与连续钟形波的波形一样分量的波形与连续钟形波的波形一样, 仅幅值为后者的仅幅值为后者的1/T.因此因此可完全复现连续信号可完全复现连续信号. 如采样角频率不满足采样定理如采样角频率不满足采样定理, 采样后钟采样后钟形波离散幅频谱见上
14、图绿色波形形波离散幅频谱见上图绿色波形,则可将则可将 可见可见, 由于幅频谱各分量互相由于幅频谱各分量互相搭接搭接, 既使采用理想带通滤波器既使采用理想带通滤波器, 也无法复现原连续信号也无法复现原连续信号.惮提称勤辊娇昏噪矗桅敲慷祟惜壹眶遁弧啮川屠邓抿氓吻题众族屯追妊网第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正上述具有上述具有锐截止频率的带通滤波器是无法实现的锐截止频率的带通滤波器是无法实现的, 实践中常采用实践中常采用零阶保持器串接在离散信号后零阶保持器串接在离散信号后, 对离散信号进行低通滤波以近对离散信号进行低通滤波以近似似零阶保持器零阶保持器复现连续信号复现连续信号
15、, 如右图所示如右图所示:离散信号如下图离散信号如下图:零阶保持器的作用是保持离散信号各采样时刻的值不变直到下一零阶保持器的作用是保持离散信号各采样时刻的值不变直到下一个采样时刻止个采样时刻止, 从而形成由高度为各采样时刻值的矩形波组成的从而形成由高度为各采样时刻值的矩形波组成的脉动序列脉动序列, 如上图如上图.再将各矩形波顶边的中点用一条光滑的曲线再将各矩形波顶边的中点用一条光滑的曲线连接成上图中绿色虚线连接成上图中绿色虚线,此绿色虚线就能较准确地复现由红色虚此绿色虚线就能较准确地复现由红色虚线表示的原连续信号线表示的原连续信号, 且采样周期越小且采样周期越小, 复现精度越高复现精度越高.奶
16、盾悯怀遭几棍惋芥惶沏照尚海责碌浅证舔乞狄虾荤蓬童阵讣眷咆坐筛骇第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正图中绿色虚线表示的复原后连续信号比采样前的连续信号在时间图中绿色虚线表示的复原后连续信号比采样前的连续信号在时间上滞后了上滞后了T/2. 经上分析经上分析, 可得零阶保持器的传递函数为可得零阶保持器的传递函数为:其频率特性表达式为其频率特性表达式为其频率特性曲线请见书上其频率特性曲线请见书上P.285图图7-18, 可见零阶保持器是一相位可见零阶保持器是一相位滞后的低通滤波器滞后的低通滤波器, 高频分量尚不能完全滤尽高频分量尚不能完全滤尽, 因此它只能近似因此它只能近似地复
17、原连续信号地复原连续信号. D/A转换器就具有零阶保持器的作用转换器就具有零阶保持器的作用, 步近电步近电机也具有零阶保持器的作用机也具有零阶保持器的作用. 零阶保持器还可用阻容网络实现零阶保持器还可用阻容网络实现.躬胜肘刺飞饯赞货质昏宰敖询墨抑贵恒辈诚窑碧屉挚殷缉俺盅遁陈疙贰琴第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正 7.3 Z变换理论变换理论 7.3.1 Z变换定义和求法变换定义和求法由离散信号的拉氏变换式由离散信号的拉氏变换式可见可见,其含有其含有的超越函数的超越函数, 这给对离散系统的分析和计算带来很大困难这给对离散系统的分析和计算带来很大困难, 而应而应 用用Z变
18、换可解决这一难题变换可解决这一难题. 为此在上式中为此在上式中, 令令, 则定义则定义为为的的Z变换变换, 并以并以 下面举例说明求一些简单离散函数的下面举例说明求一些简单离散函数的Z变换变换. 1. 幂级数法幂级数法 例例1: 求单位阶越函数的求单位阶越函数的Z变换变换.表示表示.有时为书写方便有时为书写方便, 也将也将写成写成解解:匪系醛刑歉退哟较慧嘘皮早破冲互眩药切呸憾辉蠕镶昔般胖疙悲扭实皑吩第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正由由的的Z变换变换, 其其中中是常量是常量.例例2: 求求解解:与与比较可知比较可知,表示相对时刻表示相对时刻0滞后滞后i个采样周期个采样
19、周期,或称滞后或称滞后i拍拍, 而而前的系数表示第前的系数表示第i个采样时刻的采样值个采样时刻的采样值. 这一这一结论具有普遍性结论具有普遍性. 2. 部分分式法部分分式法 若若e(t)由其拉氏变换式由其拉氏变换式E(s)给出给出, 且且E(s)是是s的有理函数并其分的有理函数并其分母多项式便于分解因式时母多项式便于分解因式时, 可将可将E(s)展开成部分分式展开成部分分式, 即即:式中式中,是是E(s)各不相同的单极点各不相同的单极点,是是的留数的留数, 而而所对应的时间函数为所对应的时间函数为楞请蕊舟咀谩链竹沙套暮笑笔盅哎复睛绩袋罕析杠讥炭搽庆举爆友桶疑染第七章线性离散系统的分析与校正第七
20、章线性离散系统的分析与校正由例由例2, 上式的上式的Z变换式是变换式是:, 因此因此, 相应于相应于E(s)的像的像原原函数函数e(t)的的Z变换为变换为例例3: 求求的的Z变换式变换式.解解: 3. 留数法留数法 若若e(t)由其拉氏变换式由其拉氏变换式E(s)给出给出, 且且E(s)是是s的有理函数并其所的有理函数并其所有极点能较方便地求出有极点能较方便地求出, 则还可根据拉氏变换中的则还可根据拉氏变换中的s域卷积定理域卷积定理和复变函数中的留数定理求其和复变函数中的留数定理求其Z变换变换. 设设 净擅芋瓦杂汹膊汀洼链虑议辈焚公伎霍氦懒脸谗宇先测湘恋着漾榴姐谁另第七章线性离散系统的分析与校
21、正第七章线性离散系统的分析与校正式式(2)中中:表示表示 阶重极点阶重极点, 且且表示表示的阶数的阶数.为在极点为在极点上的留数上的留数, 当当为单极点时为单极点时,留数为留数为瓜奖遭悄父翟牛摆敌盐施襟本日板镍莽腔丑唯鼎扮航疗忆潜机诞端蒂常疚第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正当当为为阶重极点时阶重极点时, 留数为留数为需注意的是需注意的是阶重极点只对应一个留数阶重极点只对应一个留数.例例: 求求 和和的的Z变换变换.解解:常用时间函数常用时间函数的拉氏变换和的拉氏变换和Z变换见书上变换见书上P.289表表7-2偷蔡铃母顽节匙孺拥袒道梢运摧桶赚搜挨果汁房猎捎藏哑腆建狡窃
22、毗润恼第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正 7.3.2 Z变换性质变换性质1. 线性定理线性定理例例:,求它的求它的Z变换表达式变换表达式.解解:未哉谱镍褐愁莹优恳辛芦腺粉锣咙木恤先刃肮雨如孜眯莎醛舶崔谰窥碉没第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正 2.实域位移定理实域位移定理 滞后定理滞后定理证明证明: 令令,按定义有按定义有:棕株厩丸剑扶汐嚷岗逢鹊乙拣嵌厚驾蓝卤肮镑门熟列私诅百省黎紊眯岩奈第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正即即:当当时时,有有, 则上式为则上式为:超前定理超前定理:证明证明: 令令,按定义有按定义有:犊
23、计状悉肉彪特速逆躬队笋弄谨跨泥遇钙与太约肇榜畸喇炕纽哲商殷域黍第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正当当时时, 若若则有则有例例:求它的求它的Z变换变换.解解:例例:求它的求它的Z变换变换.解解:仿与炯体杯夫泉亦心姆椒碉渍稳皂工骚垒窒痊类蛊姚庇瘸残厩镍甫虚偶械第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正3.复域位移定理复域位移定理设设则则证明证明:令令影褂舜叹闻朽扮著贫袖玩识仆刘祟乾尧拟严雅苗忘秋运丑附茅茂谩壮晤声第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正例例:求它的求它的Z变换变换.解解:镶玄购揣可哈般射讫徐燃申怕割能赊搓鄂傍割萎豫盐蛾
24、竞赎帮叫堡卖不歧第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正4. 初值定理初值定理:5. 终值定理终值定理: 若若证明证明:例例: 求求的原函数的初值的原函数的初值.解解:例例: 求求的原函数的初值的原函数的初值.解解:均为有限值均为有限值,则则逃迷墒晋枪淮僻措痘雇唁着袖乐闲滁影臭艾视力捌檀粪结皆唬绳譬枉伴订第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正终值定理的使用条件为终值定理的使用条件为:的所有极点都在的所有极点都在Z平面上的平面上的单位圆内单位圆内, 也即当也即当时时是收敛的是收敛的.证明证明: 按定义有按定义有由超前定理由超前定理:由式由式(2)减式减式
25、(1)得得:查啊纪误恼锣氓冗殆焙救馆檄凹处丹焕硕孟副垮茄松堵啼巡卸暂拍贡峦嗡第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正例例:已知已知求求解解:6. 复域微分定理复域微分定理:证明证明:例例:求函数求函数的的z变换式变换式.解解:设设则则所以所以赣缘距梁俄戍沿觅徘缨色使炕饥睹悟又泄嘱成智垄署德疮酵穴汐虞穴旧踌第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正7. 差分定理差分定理:前向差分前向差分后向差分后向差分8. 叠分定理叠分定理证明证明:凶拥沛僳吸蓖抠咋溉练逐苫逻引吕挝前构萨管皮哎旭凳雌溯芽消重误鱼凳第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正9
26、.卷积定理卷积定理设设和和为两个离散函数为两个离散函数, 其离散其离散卷积卷积定义为定义为:则有则有证明证明:郎堪侥盾婉榆彦樟洲瞧跟功捆态海迢之澈炳翱糯聋郊须馏鸽勇竿缚渭衰句第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正令令,则当则当时时,代入式代入式(1)得得:控渣髓渭尽慕催业公红齿椎影痴吭卑凤琢上腔跑惨峭霜抗绣虫规柔逞食造第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正7.3.3 Z反变换反变换由由E(z)求出求出e(nT)或或e*(t)叫叫Z反变换反变换, 一般记为一般记为:需特别强调的是需特别强调的是, 由由E(z)经经Z反变换求出的是反变换求出的是e(nT)
27、或或e*(t),而不而不是是e(t) . 1. 幂级数法幂级数法 当当E(z)是有理真分式或是有理严格真分式时是有理真分式或是有理严格真分式时, 可采用长除法可采用长除法将将E(z)展开成展开成z的幂级数的幂级数, 进而求得进而求得e(nT)或或e*(t).察惫蔚邵妓炊绍仍耳英焙表箱窘场惨歼逐向酋匿赌终鹿被匀浓想畏氓蚜啪第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正例例: 求求的原函数的原函数e*(t).解解:采用幂级数法采用幂级数法, 对于稍复杂的对于稍复杂的E(z)很难写出很难写出e*(t)的通项式的通项式e(nT), 所以也难写出所以也难写出e*(t)的闭合形式的闭合形式迭
28、梳舌箭筛尧暮态滚四绪百在蹭逛尚唁衙痊剁堑盾拇著溶遍君源枝希茸枉第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正 2.部分分式法部分分式法 当当E(z)是有理真分式或是有理严格真分式是有理真分式或是有理严格真分式, 且其分母多项式且其分母多项式便于分解成便于分解成z的一次因式时的一次因式时,可用部分分式法把可用部分分式法把E(z)变成分式和的变成分式和的形式形式, 再由再由z变换表求出变换表求出e(nT)或或e*(t). 由于由于z变换式中的分子一变换式中的分子一般均含有般均含有z因子因子, 因此在对因此在对E(z)进行部分分式前进行部分分式前, 先将先将E(z)/z, 再再对对E(
29、z)/z进行部分分式进行部分分式, 然后对然后对E(z)/z部分分式和中的各项再乘部分分式和中的各项再乘以以z,最后得最后得E(z)的分式和的分式和. 如如E(z)/z含有含有r个相同的极点个相同的极点, (k-r)个各不相同的极点个各不相同的极点, 则则E(z)/z的部分分式和为如下形式的部分分式和为如下形式:式式(1)中中:是是E(z)/z的单极点的单极点,是相应于是相应于的待定系数的待定系数, 攘冯亮矛矽匈闻炽虱促蓑恶汹勒江叠枚卑卑煤调鼻方林支就铆规房钻曾羡第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正且且是是E(z)/z的的r重极点重极点, r重极点有重极点有r个待定系数
30、个待定系数, 且且从而从而例例: 求求的原函数的原函数.享从绝宋娠妈焰恃否呛梧睦缀帚愤酱登让鄂袱矿演氏铀侍骚叫椰缄僻贮箭第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正解解: 3. 留数法留数法当当E(z)是有理真分式或是有理严格真分式是有理真分式或是有理严格真分式, 且其分母多项式便于且其分母多项式便于分解成分解成z的一次因式时的一次因式时,可用留数法直接求出可用留数法直接求出e(nT)或或e*(t). 如如, (k-r)个各不相同的极个各不相同的极点点含有含有r个相同的极点个相同的极点, 则则霉仁到交烧芋羊氏恳蹭昂臆葡才江橙秋肚宜剂疵狸牲菏处噬载执魁盂国昭第七章线性离散系统的分
31、析与校正第七章线性离散系统的分析与校正需特别指出的是需特别指出的是, r个相同的极点只对应一个留数个相同的极点只对应一个留数.例例: 求求的原函数的原函数.解解:课外习题课外习题: P.346第第7-2题题(4)(5), 第第7-3题题 用部分分式法用部分分式法 和留数法和留数法 , 第第7-4题题, 第第7-5题题 盟肌坦腮枫禽药白观夯螺宁寅棒柒窗丽急使婉铃勾捉窘准扣诉差站佃瑰鞠第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正 7.4 离散系统离散系统的数学模型的数学模型 1. 脉冲传递函数脉冲传递函数(Z传递函数传递函数)的推导及定义的推导及定义 对于线性连续定常系统对于线性连
32、续定常系统, 可用传递函数作为数学模型来描述可用传递函数作为数学模型来描述系统的性能系统的性能. 把这一方法推广到线性离散定常系统把这一方法推广到线性离散定常系统, 则可用则可用Z传传递函数作为数学模型来描述系统的性能递函数作为数学模型来描述系统的性能. 但由于离散系统中有但由于离散系统中有采样开关采样开关, 以及出现离散信号以及出现离散信号, 所以两者又有不同之处所以两者又有不同之处. 设一线性连续定常系统如下图所示设一线性连续定常系统如下图所示:当当时时, 其曲线如上右图所示其曲线如上右图所示.当当时时,当当时时,壬郭项渣忧彦兰籽卿怨嘉苗彝嘎袋茹炬戎橙寞廊毯芽擂假兑勋番胀辰仍吟第七章线性离
33、散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正若如下图所示若如下图所示为任意连续信号为任意连续信号, 其经过采样周期为其经过采样周期为T的的理想采样开关后理想采样开关后,变成一串脉冲序列变成一串脉冲序列, 即即, 当当作用于传递函数为作用于传递函数为的连续系统的连续系统, 输出输出见上右图见上右图, 当输入当输入, 则则, 现假设输出端有一与输入端相同的现假设输出端有一与输入端相同的采样开关采样开关,对输出连续信号对输出连续信号采样采样,则输出离散信号为则输出离散信号为当时刻当时刻时时驶孪姜荚贱纲爱哄衅溜鹏蕾般柜层设藐像储熙省艾聊睬贬肤辑捐荫幂姨秘第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散
34、系统的分析与校正对式对式(2)进行进行Z变换变换:将式将式(1)代入式代入式(3):令令, 当当时时, 则有则有因当因当时时, 所以所以定义定义:线性定常离散控制系统线性定常离散控制系统, 在零初始条件下在零初始条件下, 输出离散信输出离散信号的号的Z变换与输入离散信号的变换与输入离散信号的Z变换之比变换之比, 称为该系统的脉称为该系统的脉冲传递函数冲传递函数, 或叫或叫Z传递函数传递函数, 即即:继炊角入梢兑咏盾娠心蔫撩坤追墨贝那旋猴槽睬弘诛又恬阿色吃版芯烂阂第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正G(z)的一般表达式为的一般表达式为:2. 求法求法常用求法有三种常用求法
35、有三种, (1)由定义求由定义求G(z); (2)由由G(s)求求G(z)对于连续系统可得右图对于连续系统可得右图:, 如如则则, 从而从而, 因为因为, 所以所以:当输入信号为任意脉冲序列时当输入信号为任意脉冲序列时, 也可由上式求出也可由上式求出G(z). 但需但需特别指出的是特别指出的是仅由离散系统本身的结构仅由离散系统本身的结构和参数决定和参数决定, 而与输入信号的形式和大小无关而与输入信号的形式和大小无关. 有了有了Z传递传递函数函数, 离散系统可用下面框图表示离散系统可用下面框图表示:尝善予瑰隅希除鼓引体摊泉径契揣坪毁狐室坡世剥稽氢阴碴佐跌涝边房阮第七章线性离散系统的分析与校正第七
36、章线性离散系统的分析与校正例例: 某环节某环节(或系统或系统)的的S域传递函数为域传递函数为:解解:求其求其Z传递函数传递函数.檄具松涟风殷未砸仓毖歇痈盼熔降起旗免昼煮二僵壕惧普工牧瘁含闯许腰第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正 3.由离散系统结构图求由离散系统结构图求脉冲传递函数脉冲传递函数 A. 开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数可分下面二种情况进行介绍开环系统的脉冲传递函数可分下面二种情况进行介绍. a.开环系统中各串接环节之间均有采样开关开环系统中各串接环节之间均有采样开关, 如下图所示如下图所示:则上图的脉冲传递函数为则上图的脉
37、冲传递函数为:b.开环系统中串接环节之间无采样开关开环系统中串接环节之间无采样开关, 如下图所示如下图所示:发见偷平劝眷坞椎吊抽忠降穗琉砷擦睹臃啄翱柞谅准仗歹馋挺总霜圾武曙第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正则上图的脉冲传递函数为则上图的脉冲传递函数为:需指出的是需指出的是例例1: 求下图所示开环系统的脉冲传递函数求下图所示开环系统的脉冲传递函数解解:沸拖谈塘烂猜第衅黍钡伴涣驴片悯读统嘘供鬃蜂拒议想蛙袄慌腥钙捌俗蜒第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正例例2: 求下图所示开环系统的脉冲传递函数求下图所示开环系统的脉冲传递函数解解:例例3: 求下图所
38、示有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数求下图所示有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数解解: 令令镐声肖吨由敖垒骡抨框宇擦颗祁沧遮茵怜雕邹滤榴拘白湛阴伏赡始湃昧慕第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正则则:由由Z变换的滞后定理可得变换的滞后定理可得:们琳妇七香朗砍罪奎渔蹋栗甫民颊脯债菌菜沮纬次撇资歼毙凌翘仔桨雁径第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正 B. 闭环系统的脉冲传递函数闭环系统的脉冲传递函数 由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置可能性由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置可能性, 因此因此闭环系统的结构图较连续系统的结构图来的复杂闭环系统的结构
39、图较连续系统的结构图来的复杂. 下图是一种下图是一种常见的离散闭环系统的结构图形式常见的离散闭环系统的结构图形式:由上图经推导可得由上图经推导可得:叫闭环系统的误差脉冲传递函数叫闭环系统的误差脉冲传递函数. 实际系统的输出一般是连实际系统的输出一般是连续信号续信号, 故如上图所示故如上图所示, 在输出端虚设一采样开关在输出端虚设一采样开关, 才可得到闭才可得到闭环系统输出对输入的脉冲传递函数环系统输出对输入的脉冲传递函数.募枚眩绪燃孜赠剑并呸拟瞬契钟闯夕阳趾碎苫椰盈熄匹妇错垛添冉锁埠腥第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正因为因为, 所以所以上式中上式中叫闭环系统的特征多
40、项式叫闭环系统的特征多项式,叫闭环系统叫闭环系统的开环的开环Z传递函数传递函数. 在有些情况下在有些情况下, 无法得到闭环系统的无法得到闭环系统的Z传递传递函数函数, 而只能得到闭环系统输出的而只能得到闭环系统输出的Z变换表达式变换表达式, 见下图见下图:镊剩枝郊靖信幸劳锦诫雏盈栋势充缸纪神姥钞组瘤涌癌哟前闸荚毖异励高第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正例例: 求下图所示系统的求下图所示系统的Z传递函数传递函数, 采样周期采样周期T=0.07s.解解:倍晨诱差胁谢狞吼墩皿单杉丢絮驶挺汝亦贯噶电剧袱唉孩署量宁请蛾捅队第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与
41、校正课外习题课外习题: P.347第第7-9题题, 第第7-10题题 (a) 第第7-11题题命巴帽眷尾吉霓雷度胚矗魄焦忠扮糕典件哑骋贸顾宵甭椒二匈捞蕾刀葛息第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正7.5 离散系统离散系统的稳定性与稳态误差的稳定性与稳态误差 1. 离散控制系统的稳定性离散控制系统的稳定性 1) 稳定条件稳定条件 在线性连续系统理论中已知在线性连续系统理论中已知, 其稳定的充要条件是系统的其稳定的充要条件是系统的所有极点均在所有极点均在S平面的左半平面上平面的左半平面上. S平面的虚轴是稳定区域的平面的虚轴是稳定区域的边界边界. 在线性离散系统中在线性离散系
42、统中, 如用拉氏变换如用拉氏变换, 则变换式中含则变换式中含有有项项, 从而系统的特征方程为超越方程从而系统的特征方程为超越方程, 其极点不好求其极点不好求. 但但经过经过Z变换后变换后, 离散系统的特征方程离散系统的特征方程D(z)为为Z平面上的代数方程平面上的代数方程但在但在Z平面上平面上, 离散系统的稳定条件又如何表述离散系统的稳定条件又如何表述? 设离散系统的特征方程为设离散系统的特征方程为D(z), 令令D(z)=0, 设其极点为设其极点为, 则系统稳定的充要条件是则系统稳定的充要条件是, 在在Z平面上平面上, 均在以原点为圆心均在以原点为圆心, 半徑为半徑为1的单位圆内的单位圆内,
43、 即即当当, 即只要有一个极点在单位圆周上即只要有一个极点在单位圆周上,则系统是临界稳定的则系统是临界稳定的.当当, 即只要有一个极点在单位圆外即只要有一个极点在单位圆外,则系统是不稳定的则系统是不稳定的.络舒醋忍蒋团唆倡宠赊若燃后乘氖塞琼凰净轴啦煤骗笺苔厅叛哉的玫茂嘱第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正上述结论的正确性可说明如下上述结论的正确性可说明如下:设在设在S平面上平面上,有有经经Z变换后变换后, 它在它在Z平平面上的映像为面上的映像为:由上式可得由上式可得: 当当时时, s在在S平面的左半平面上平面的左半平面上, 而而z在在Z平面上的单位圆内平面上的单位圆内.
44、 当当时时,s在在S平面的虚轴上平面的虚轴上,而而z在在Z平面上的单位圆周上平面上的单位圆周上. 当当时时, s在在S平面的右半平面上平面的右半平面上,而而, z在在Z平面上的单位圆外平面上的单位圆外. 2) 劳斯稳定判据在离散控制系统中的应用劳斯稳定判据在离散控制系统中的应用 劳斯稳定判据只能根据代数方程的系数劳斯稳定判据只能根据代数方程的系数, 判别代数方程的判别代数方程的根在根平面的左半平面上还是在根平面的右半平面上根在根平面的左半平面上还是在根平面的右半平面上, 而无法而无法判别代数方程的根的模是大于判别代数方程的根的模是大于1还是小于还是小于1, 或是等于或是等于1.抨畜擒碗销股苛态
45、悄退蛙困藻件湘犯棺碗饺川荐坟和峨事涩老恩炬醉肩抓第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正为此需把为此需把Z平面再进行一次变换平面再进行一次变换, 令令:,或令或令:将上述变换叫作双线性变换将上述变换叫作双线性变换, 也叫也叫Z-W变换变换, 即把即把Z平面变换平面变换到到W平面平面. Z和和W均为复变量均为复变量, 可表为可表为:即即:将式将式(2)代入式代入式(1), 有有:由上式可见由上式可见, W平面上的虚轴对应于上式中的平面上的虚轴对应于上式中的而而在在Z平面上正好是单位圆的圆周平面上正好是单位圆的圆周. 由于由于,所以当所以当时时, 即即u0,w在在W平面的右半平
46、面上平面的右半平面上,而而在在Z平面上即为单位圆的外部平面上即为单位圆的外部.牺讽洒席哼碉令先埔绞肠焰漓霖凉沃原押涣舵莆益玖乱照魂勒帚短理贸烃第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正有上述有上述ZW变换变换, 可将可将Z平面上的特征方程平面上的特征方程D(z)变换为变换为W平平面面上的特征方程上的特征方程D(w), 即即:从而在从而在W平面上应用劳斯稳定判据判别离散控制系统的稳定性平面上应用劳斯稳定判据判别离散控制系统的稳定性例例: 设闭环离散控制系统的特征方程为设闭环离散控制系统的特征方程为:试判断此系统的稳定性试判断此系统的稳定性.解解: 令令代入代入D(z)得得:列出
47、劳斯表为列出劳斯表为:因为劳斯表有两次符号改变因为劳斯表有两次符号改变, 所以所以D(w)有有两个根在两个根在W平面的右半平面上平面的右半平面上, 即即D(z)有有两个根在两个根在Z平面的单位圆的外部平面的单位圆的外部, 故此系统故此系统不稳定不稳定.灾跃耙刀举亿藩咖仅鼠座堵冬搭彰鼓悟央腊徘捆理肆摩忱伦棚蚌乐掉谰箕第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正课外习题课外习题:P.348第第7.15题题(1)(2)(不用朱利判据不用朱利判据), 第第7.16题题(2) 2. 离散控制系统稳态误差的计算离散控制系统稳态误差的计算 非单位反馈离散控制系统的典型结构图如下图所示非单位反
48、馈离散控制系统的典型结构图如下图所示:上图中上图中,叫离散偏差信号叫离散偏差信号, 其其Z变换表达式为变换表达式为:若令若令, 则上式为则上式为:其中其中叫开环叫开环Z传递函数传递函数. 当当时时, 上图为单位上图为单位反馈离散控制系统反馈离散控制系统,叫离散误差信号叫离散误差信号.疚丫贺杀糠瞒屏暑钎唾舆养银狂拜砖稳鲁某邢私附京涧泳荒凄瘁述驴鸽舵第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正定义离散稳态误差定义离散稳态误差(或偏差或偏差)信号为信号为:需强调指出的是需强调指出的是, 上面定义的是离散误差上面定义的是离散误差(或偏差或偏差)信号在采样信号在采样时刻的稳态值时刻的稳态
49、值. 计算离散稳态误差计算离散稳态误差(或偏差或偏差)值的方法有下面三值的方法有下面三种种:(1)求出求出或或表达式后表达式后, 由定义求由定义求(2)当闭环稳定时当闭环稳定时, 利用利用Z变换的终值定理求变换的终值定理求, 即即(3)当系统的输入信号分别为当系统的输入信号分别为或为这三种信号或为这三种信号的组合时的组合时, 用稳态误差系数法求用稳态误差系数法求, 为此为此, 将离散闭环系统按其将离散闭环系统按其开环开环Z传递函数中含有传递函数中含有0,1,2,个个z=1的极点个数而分为的极点个数而分为0型型, 1型型,2型型, 系统系统. 姑弹犹计垢载掠畦蔷肘聚莫缄刨臀霍堤病詹飞棒悼窝宫锯汪
50、烟扣靴血凿疏第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正下面介绍在典型输入信号作用下下面介绍在典型输入信号作用下, 用稳态误差系数法计算稳态用稳态误差系数法计算稳态误差值的具体方法误差值的具体方法. (1) 阶跃阶跃(位置位置)输入时输入时令令为位置误差系数，则为位置误差系数，则，从而对于，从而对于0型系统型系统为有限值。为有限值。1型系统型系统， 2型系统型系统郑窿谜腥匆颂么诫粕工纹册采鄂僵募鼓惧捕呻泳尉硒递胎盼论罢骤豫亏菠第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正(2) 斜坡斜坡(速度速度)输入时输入时为为速度速度误差系数，则误差系数，则，从而，从而对于对
51、于0型系统型系统, 1型系统型系统为有限值。为有限值。2型系统型系统令令捌公掩炭纤妒社援灰方牛汹倦尉钾傈瑰悸耍溪级挞轮盏殃悟烷命勤庭仪俺第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正(3)抛物线抛物线(加速度加速度)输入时输入时为为加速度加速度误差系数，则误差系数，则，从而，从而对于对于0型系统型系统, 1型系统型系统为有限值。高于为有限值。高于2型系统的型系统的2型系统型系统由上面推导结果可见由上面推导结果可见,离散系统的稳态误差值不仅与输入信号的离散系统的稳态误差值不仅与输入信号的型式和大小有关型式和大小有关, 与系统的结构和参数有关与系统的结构和参数有关, 还与采样周期还与
52、采样周期T的的大小有关大小有关.辈个琳凉通捉届鹅矣靡延固估烯绘瑚秆只荆虾较缔媳砷蛮肪瘴拘真诗下座第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正例例: 试求下图所示系统在输入信号试求下图所示系统在输入信号r(t)分别分别为为时的稳态误差值时的稳态误差值. 采样周期采样周期T=0.1s解解: 1) 开环开环S传递函数传递函数开环开环Z传递函数传递函数可证得闭环稳定可证得闭环稳定, 因开环因开环Z传递函数有一个传递函数有一个z=1的极点的极点, 故故系统为系统为1型系统型系统. 从而稳态误差系数分别为从而稳态误差系数分别为:薛错羊琉未防控失恕壤迄奏短杰距命漠墟诧肇牧其虎绰操狸洼留才拭澎
53、莽第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正当当时时,当当时时,当当时时,课外习题课外习题:P.349第第7.17题题 ,第第7.18题题,第第7.19题题 7.6 离散系统离散系统的动态性能分析的动态性能分析 当离散控制系统的输入为单位阶跃函数时当离散控制系统的输入为单位阶跃函数时, 其输出的离散其输出的离散函数的一般表达式可由下面方法求得函数的一般表达式可由下面方法求得:输出的输出的Z变换表达式变换表达式上式中上式中为离散控制系统的为离散控制系统的Z闭环传递函数闭环传递函数.潭懈硒梆玻汛亢镰军歧轰贵跳枢蹲层椅哀否钱戎蹄卸碾忠爸规玄佐棚嚎宋第七章线性离散系统的分析与校正第七
54、章线性离散系统的分析与校正为分析方便起见为分析方便起见, 假设假设无重极点无重极点, 则则上式中上式中为为的极点的极点, 而而所以所以上式中上式中, 由输入阶跃信号由输入阶跃信号Z变换表达式的极点所产生变换表达式的极点所产生,叫叫输出的稳态响应输出的稳态响应,由离散控制系统的由离散控制系统的Z传递函数的极传递函数的极点所产生点所产生,叫输出的瞬态响应叫输出的瞬态响应. 研究不同极点分布时的瞬态响研究不同极点分布时的瞬态响应应, 就可定性地说明系统的动态性能就可定性地说明系统的动态性能. 撰爵郝障壳滇仔餐荔剔莆芦盛彻艰雍臃外臆炮茄凤黔八缨滥龋韵矢阜亨汾第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散
55、系统的分析与校正对于系统的任一极点对于系统的任一极点, 均可表为极坐标形式均可表为极坐标形式, 即即从而对应于从而对应于的瞬态响应分量为的瞬态响应分量为:则则(1)正实数极点时正实数极点时,对应的瞬态响应分量为对应的瞬态响应分量为,是单是单调的调的.,为衰减序列为衰减序列;,为等幅序列为等幅序列;,为为发散序列发散序列.(2)负实数极点时负实数极点时,对应的瞬态响应分量为对应的瞬态响应分量为是振荡的是振荡的,此时振荡频率可达最高此时振荡频率可达最高,可证明为可证明为,当当为衰减振荡序列为衰减振荡序列;,为等幅振荡序列为等幅振荡序列;,为发散为发散振荡序列振荡序列.(3)复数极点时必为共轭复数极
56、点时必为共轭,尿翔忻入僵播卉挠佰靖窖沈级避兰仅阶间痉恃萝币烛福歪罐鉴箕各磷键骏第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正瞬态响应分量为瞬态响应分量为上式中待定系数上式中待定系数和和也共轭也共轭, 因而瞬态响应分量为因而瞬态响应分量为:由上式可见由上式可见, 复数极点所引起的瞬态响应分量是振荡的复数极点所引起的瞬态响应分量是振荡的. 当当时时, 振荡的衰减速率取决于振荡的衰减速率取决于的大小的大小, 时时,瞬态响应分量是等幅振荡的瞬态响应分量是等幅振荡的. 当当越小越小,衰减越快衰减越快,当当时时,瞬态响应瞬态响应分量是发散振荡的分量是发散振荡的. 且可证明振荡频率且可证明振荡
57、频率委啼茧烽竹香矛蕴雹愉册乔痪纳楔废糊戊段贴奶怂抵莫包沤侈拽平馈荤瞩第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正习题参考答案习题参考答案7-2/(4)解解:7-2/(5)解解:7-3/(1)解解:7-3/(2)解解:掷椿宋氰琵禾翘扇谬冬途呈雀晰咖壤坦品狡瘤衰珐麻懂编扳瓣草灌噬疼咎第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正7-4/(1)解解:7-4/(2)解解:7-5/(1)解解:7-5/(2)解解: 7-9/(a) 解解:诀途忧博乒菱逮逐驰藻摈践拂总威阀隋淘别管萨佃矫鸥填僵誊浪入袋榔菊第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正7-9/(b)
58、解解:7-10/(a) 解解:7-11 解解:7-15/(1) 解解:所以闭环离散系统不稳定所以闭环离散系统不稳定.7-15/(2) 解解:裁芭蝗蟹炕船险穷跨瞩瑟茎己辗毯复谱她井只矮倘募衰附寝撂渣胞场弥墨第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正劳斯行列表为劳斯行列表为:因出现全零因出现全零, 所以闭环离散系统不稳定所以闭环离散系统不稳定.7-16/(2) 解解:馋瞥亿路厢佑岿泞囚比酥溪虽啄阐纤秦沮臀焚蚜渔敲痞捆镭农料此陌骚讽第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正则系统稳定则系统稳定.7-17 解解:由侦区邯躺抢衰慕调住糯孕恶眉症骤锭爷灵孪峡营墨楔沾般潮亨氖叔笼碘第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正7-18 解解:7-19 解解:系统稳定系统稳定,故无法使稳态误差小于故无法使稳态误差小于0.1嘛囤纺颐挛傅巾哎鼻捐追漱斜绳村膘凡舌沾诱睫黑芝踞邻摔擅檀栋小腕轰第七章线性离散系统的分析与校正第七章线性离散系统的分析与校正
