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1、二次函数的图像与性质二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴a 0性质x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随向上00，00，y轴x的增大而减小；x 0时，y有最小值0x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随a 0向下y轴x的增大而增大；x 0时，y有最大值0a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.y ax2c的性质：上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴a 0性质x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随向上c0，c0，y轴x的增大而减小；x 0时，y有最小值cx 0时，y随x的增大而
2、减小；x 0时，y随a 02向下y轴x的增大而增大；x 0时，y有最大值c3.y axh的性质：左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴a 0性质x h时，y随x的增大而增大；x h时，y向上0h，X=h随x的增大而减小；x h时，y有最小值0x h时，y随x的增大而减小；x h时，ya 02向下0h，X=h随x的增大而增大；x h时，y有最大值04.y axhk的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴a 0性质x h时，y随x的增大而增大；x h时，y向上h， kh， kX=h随x的增大而减小；x h时，y有最小值kx h时，y随x的增大而减小；x h时，ya 0向下X=h随x的增大而增大；x
3、 h时，y有最大值k二、二次函数图象的平移二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y axhk，确定其顶点坐标h， k； 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h， k处，具体平移方法如下：向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：y ax2bxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y ax2bxc变成y ax2bx c m（或y ax2bx
4、 c m）y ax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y ax2bxc变成y a(x m)2b(x m)c（或y a(x m)2b(x m)c）三、二次函数三、二次函数y axhk与与y ax2bxc的比较的比较从解析式上看，y axhk与y ax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配b 4acb2b4acb2方可以得到前者，即y ax，其中h ，k 2a4a2a4a222四、二次函数四、二次函数y ax2bx c图象的画法图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c化为顶点式y a(x h)2 k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
5、.一般我们c、以及0， c关于对称轴对称的点2h， c、选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，0，x2， 0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.与x轴的交点x1，画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.五、二次函数五、二次函数y ax2bxc的性质的性质b4ac b2b1. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x ，顶点坐标为，2a4a2a当x bbb时，y随x的增大而减小； 当x 时，y随x的增大而增大； 当x 2a2a2a4acb2时，y有最小值4ab4ac b2b2. 当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x ，顶点坐标为，当2a4a2ax
6、bbb时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y2a2a2a4acb2有最大值4a六、二次函数解析式的表示方法六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax2bx c（a，b，c为常数，a 0） ；2. 顶点式：y a(x h)2 k（a，h，k为常数，a 0） ；3. 两根式：y a(x x1)(x x2)（a 0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七
7、、二次函数的图象与各项系数之间的关系七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax2bxc中，a作为二次项系数，显然a 0 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在a 0的前提下，当b 0时，当b 0时，当b 0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线
8、对称轴在y轴的右侧2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，当b 0时，当b 0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴x b在y轴左边则ab 0，在y轴的右侧则ab 0，2a概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交
9、点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置b， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的总之，只要a，二次函数解析式的确定：二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式八、二次函数图象的对称八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种
10、情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称y ax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2bxc；y axhk关于x轴对称后，得到的解析式是y axhk；2. 关于y轴对称y ax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bxc；22y axhk关于y轴对称后，得到的解析式是y axhk；3. 关于原点对称y ax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bxc；y axhk关于原点对称后，得到的解析式是y axhk；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）2222b2y ax bxc关于顶点对称后，得到的解析式是y ax bxc；2a22y axhk关于顶点对称后，得到的解析式是y axhk22
