《平面几何中的向量方法实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面几何中的向量方法实用教案（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、向量的相关概念(ginin)及其形式定义形式定义形式坐标形式坐标形式数量积数量积运算运算向量的向量的模模向量的向量的夹角夹角垂直垂直的判定的判定共线共线的判定的判定相等相等的判定的判定a=b第1页/共19页第一页，共20页。 向量在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的条件用向量平行（共线）的条件 ab . (2)证明垂直问题证明垂直问题,常用向量垂直的条件常用向量垂直的条件ab .第2页/共19页第二页，共20页。利用夹角利用夹角(ji jio)公式公式 (3)求夹角问题求夹角问题(wnt) ， (4)求线段的长度，可以用
2、向量的线性运算，向量的模求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|= 或或|AB|=|AB|= .第3页/共19页第三页，共20页。ABCD问题问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，如图， 你能发现对角你能发现对角线线AC的长度与邻边的长度与邻边AB、AD的长度之间的关系吗？的长度之间的关系吗？对角线对角线DB？对角线的长度对角线的长度(chngd)与两条邻边与两条邻边长度长度(chngd)之间有何关系？之间有何关系？涉及到长度问题常常考虑(kol)向量的数量积AB AC AD DB 第4页/共19页第四页，共20页。ABCDA
3、B = a AD = b 设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b，分析(fnx)：AC =AC+AC=(a+b) (a-b)=a a+a b+b a+b b= a +2a b+ b DB = a - 2a b+ b 同理DB =AC +2( a + b )AB + AD = 2 ( )平行四边形两条对角线长的平方和等于(dngy)两条邻边长的平方和的两倍.第5页/共19页第五页，共20页。利用向量利用向量(xingling)法解决平面几何问题的基本思路法解决平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何）建立平面几何(j h)与向量的联系，用向量表与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何
4、示问题中涉及的几何(j h)元素，将平面几何元素，将平面几何(j h)问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、夹角等问题；夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何成几何(j h)元素。元素。第6页/共19页第六页，共20页。ABCDEFRT例例2 如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD 、 DC边的边的中点，中点，BE 、 BF分别与分别与AC交于交于R 、 T两点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？第7页/共19页第七页，共20
5、页。故AT=RT=TCABCDEFRT第8页/共19页第八页，共20页。 在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度(jiod)解释这种现象吗？第9页/共19页第九页，共20页。在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释(jish)这种现象吗？GFF1F2第10页/共19页第十页，共20页。GFF1F2即F1、F2之间的夹角(ji jio)越大越费力，夹角(ji jio)越小越省力当当由由0180逐渐增大
6、时，逐渐增大时， 由由090逐渐增大，而逐渐增大，而 的值逐渐缩小，因此的值逐渐缩小，因此 逐渐增大逐渐增大解：解：设设 则由向量的平行四边则由向量的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知形法则、力的平衡及直角三角形的知识可知识可知第11页/共19页第十一页，共20页。GFF1F2 当当=0， 最小，最小值是最小，最小值是当当 时，时， 例3. 在日常生活中，你是否有这样的经验(jngyn)： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？第12页/共19页第十二页，共20页。例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=50
7、0m,一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度 ，水流速度 ，问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1min) 第13页/共19页第十三页，共20页。例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度 ，水流速度 ，问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1min) 思考：要使船行驶的时间最短，所用(su yn)时间是多少？ABCD第14页/共19页第十四页，共20页。例例3 证明证明(zhngmng)直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角ABCO已知：如图所示，已知已知：如图所示，已知 O，AB为为直径，直径，C为为 O上任意上任意(
8、rny)一点。一点。求证：求证：ACB=90证明证明(zhngmng)：即即 ，ACB=90思考：思考：能否用向量坐标形式证明？能否用向量坐标形式证明？xy第15页/共19页第十五页，共20页。已知直线已知直线(zhxin)l：mx2y60，向量，向量(1m，1)与与l平行平行则实数则实数m的值为的值为 （ ）A.-1 B.1 C.2 D.-1或或2D利用向量证明：菱形利用向量证明：菱形(ln xn )的两条对角线互相垂直的两条对角线互相垂直ABCD第16页/共19页第十六页，共20页。练习练习(linx)1、一船从某河的一岸驶向对岸，船速为一船从某河的一岸驶向对岸，船速为 ，水速为，水速为已
9、知船可垂直到达对岸，则（已知船可垂直到达对岸，则（ ）2、已知作用在已知作用在A点的三个力点的三个力 ，A(1，1)则合力则合力 的终点坐的终点坐标是（标是（ ）A.(8,0) B.(9,1) C.(-1,9) D.(3,1)BB第17页/共19页第十七页，共20页。3、一个物体受到两个相互垂直的力、一个物体受到两个相互垂直的力 的作用，两边的作用，两边大小大小(dxio)都为都为 ，则两个力的合力的大小，则两个力的合力的大小(dxio)为（为（ ）4、三个力三个力 同时作用于点同时作用于点O且处于平衡状态，且处于平衡状态，已知已知 的夹角为的夹角为120，又，又 ，则，则C20N第18页/共19页第十八页，共20页。谢谢(xi xie)大家观赏！第19页/共19页第十九页，共20页。内容(nirng)总结向量的相关概念及其形式。(2)证明垂直问题(wnt),常用向量垂直的条件。（2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、夹角等问题(wnt)。故AT=RT=TC。在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，。在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力。即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力。思考：要使船行驶的时间最短，所用时间是多少。已知：如图所示，已知O，AB为。谢谢大家观赏第二十页，共20页。
