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1、余弦函数的周期性引入: 三角函数是刻画圆周的数学模型三角函数是刻画圆周的数学模型,那么那么“周而复始周而复始”的基本特征必定蕴含在的基本特征必定蕴含在三角函数的性质之中三角函数的性质之中.三角函数到底有那些性质呢三角函数到底有那些性质呢? 由单位圆中的三角函数线可由单位圆中的三角函数线可知知,正余弦函数值的变化呈现出周正余弦函数值的变化呈现出周期现象期现象.每当角增加每当角增加(或减少或减少)2,所所得角的终边与原来的终边相同得角的终边与原来的终边相同.故故两角的正弦、余弦函数值也分别两角的正弦、余弦函数值也分别相同相同.即有即有: sin(2+x)=sinxcos(2+x)=cosx诱导公式
2、诱导公式sin(x+2sin(x+2) =sinx,) =sinx,的几何意义的几何意义xyoXX+2XX+2正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的oyx48xoy612 若记若记f(x)=sinx,则对于任意则对于任意x R,都有都有f(x+2)=f(x) 这样的函数具有什么样的特点这样的函数具有什么样的特点?如何用数学语言刻画这类函数如何用数学语言刻画这类函数?定义：定义：对于函数对于函数f(x)，如果存在一个非零，如果存在一个非零常数，使得当常数，使得当x取定义域内的每一个值取定义域内的每一个值时，都有时，都有f(x+T)f(x)，那么函数，那么
3、函数f(x)就叫就叫做做周期函数周期函数非零非零常数常数T叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期4.4.一般情况下，如果一般情况下，如果T T是函数是函数f(x)f(x)的周期，的周期，则则kT(kNkT(kN) )也是也是f(xf(x) )的周期的周期. .1.x1.x及及x+Tx+T都应在函数的定义域内都应在函数的定义域内注意注意: :2.T03.f(x+T)=f(x)(x是定义域内任意的是定义域内任意的) 对于一个周期函数对于一个周期函数f(x),f(x),如果在它的所如果在它的所有正周期中存在一个最小的正数，那么这有正周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做个最小的正数就叫做f
4、(x)f(x)的最小正周期的最小正周期1 1、正弦函数、余弦函数都是周期函数，、正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k2k(kZ(kZ且且k0)k0)是它们的周期，最小正是它们的周期，最小正周期是周期是2.2.xoy41268210 是不是周期函数？是不是周期函数？为什么？为什么？等式等式sin( + )=sin sin( + )=sin 是否成立？是否成立？如果成立，能否说明如果成立，能否说明 是正弦函数是正弦函数y=sinx,xRy=sinx,xR的一个周期？为什么？的一个周期？为什么？解解(1)(1)例例1 1: :求求下下列列函函数数的的周周期期：( (1 1)y)y= =3 3c co
5、 os sx,x,x xR R;( ;(2 2)y)y= =sisin n2 2x,x,x xR R; ;( (3 3)y)y= =2 2sisin n( ( ), ),x xR.R.是以是以2 2 为周期的周期函数为周期的周期函数. .所以所以y=sin2xy=sin2x是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数. .2)y=sin2x,xR;2)y=sin2x,xR;满足满足f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)(3)y=2sin(x/2-/6)是以是以为周期的周期函数为周期的周期函数 注意：（）的特点，（）注意：（）的特点，（）的结构的结构利用定义证明利用定义证明y=Asin(y=
6、Asin(x+),xRx+),xR及函及函数数y=Acos(x+),xRy=Acos(x+),xR( (其中其中A,A,为常数为常数, ,且且A0,0)A0,0)的周期的周期T=2/.T=2/. 根据上述例题的做法根据上述例题的做法,你能完成下面你能完成下面的证明吗的证明吗? 一般地，函数一般地，函数y=Asin(y=Asin(x+),xRx+),xR及函数及函数y=Acos(y=Acos(x+),xRx+),xR( (其中其中A,A,为常数为常数, ,且且A0,0)A0,0)的周期的周期 T=2/.T=2/.思考：思考：若（）的周期为，则（若（）的周期为，则（）的周期为多少？的周期为多少？巩
7、固练习：巩固练习：求下列函数的周期：求下列函数的周期：巩固练习：巩固练习：求下列函数的周期：求下列函数的周期：判断下列函数的周期性：判断下列函数的周期性：正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx,xR的图象24-3-99正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质-1-1因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在， 与y=sinx,x0,2的图象相同-1-1正弦函数的图象余弦函数的图象因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在， 与y=cosx,x0,2的图象相同正弦曲线余弦曲线例2:(1) 已知函数y=2sin(kx+/3)的周期为T,T(1,3
8、),则正整数 k=3,4,5,6.3/2(0,4小结：小结： 1 1、 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)f(x)，如果存在一个，如果存在一个非零常数，使得当非零常数，使得当x x取定义域内的每一个值取定义域内的每一个值时，都有时，都有f(x)f(x)f(x+T)f(x+T)，那么函数，那么函数f(x)f(x)就叫做周就叫做周期函数非零常数期函数非零常数T T叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期2 2、由周期函数的定义知：、由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)的两端的两端作用的是相同的对应法则作用的是相同的对应法则f. f. 3 3、 函数函数y=Asin(y=Asin(x+),xRx+),xR及函数及函数y=Acos(y=Acos(x+),xR(x+),xR(其中其中A,A,为常数，且为常数，且A0,0)A0,0)的周期的周期T=2/.T=2/.
