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1、用绝对值的几何意义解题用绝对值的几何意义解题防城港市高级中学数学组 李铮在数轴上，在数轴上，表示原点表示原点到到a a的距离的距离表示数轴上表示数轴上某一个点到某一个点到a a的距离的距离表示数轴上表示数轴上某一个点到某一个点到-a-a的距离的距离例1 方程|x3|4的解为 一、解绝对值方程 4437-1几何意义：数轴上到3的距离等于4的点-1或或7方程方程| |a ax x-b-b| |=c=c怎么办？怎么办？221.53.5-0.5几何意义：数轴上到1.5的距离等于2的点-0.5或或3.5练习：方程|2x3|4的解为 |2x3|4练习：方程|x1|+|x2|4的解为 表示数轴上到1和-2的
2、距离之和等于4的点-2-21 13-2.521.5-2.5或或1.5二、求代数式的最值例2 、求|x2007|+|x2008|的最小值是 解：由绝对值的几何意义知，|x2007|+|x2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在20072008之间（包括这两个端点）取值，故|x2007|+|x2008|的最小值为1.200720081练习：|x2| x5| 的最大值是 ，最小值是 解：把数轴上表示x的点记为P由绝对值的几何意义知，|x2| x5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差，当P点在2的左边时，其差恒为3；当P点在5的右边时，其差恒
3、为3；当P点在25之间（包括这两个端点）时，其差在33之间（包括这两个端点）2 25 5-3-3333-36 7 8 96 7 8 9、三、解不等式例3、不等式|x|1的解集不等式|x|1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.不等式|x|1的解集为x|-1x10-11关键：先找到等于的点，再分析关键：先找到等于的点，再分析例4不等式|x-3|4的解是 447-13-1x7或或x-1关键：找到什么时候等于，关键：找到什么时候等于， 然后然后“大于在两边，小于在中间大于在两边，小于在中间”不等式不等式| |a ax x-b-b| |ccc是否也适用？是否也适用？方法方法一一: :利用利用| |x
4、 x-1|=0,|-1|=0,|x x+2|=0+2|=0的零点的零点, ,分段讨论去绝对值分段讨论去绝对值 解不等式解不等式| |x x-1|+|-1|+|x x+2|5+2|5这种解法体现了分类讨论的思想这种解法体现了分类讨论的思想原原不等式不等式的解集为的解集为x|x-3 x|x-3 或或 x2. x2.方法方法二二：通过构造函数，利用函数的图象求解通过构造函数，利用函数的图象求解 解不等式解不等式| |x x-1|+|-1|+|x x+2|5+2|5-3-31 12 2-2-2-2-2xy这种方法体现了函数与方程的思想这种方法体现了函数与方程的思想原原不等式不等式的解集为的解集为x|x-3 x|x-3 或或 x2. x2.例题：解不等式|x-1|+|x+2|5解得x2或x-11-2321-11表示数轴上到1的距离加上到2的距离大于等于5的点练习：不等式|x2|+|x3|7的解是 3-25分析：不等式表示数轴上到-2的距离加上到3的距离大于7的点。显然-2到3的距离就是5了，所以这些点在-2到3之间和之外都有。现在找到距离之和等于7的点，再分析。41-11-1x4作作 业业用绝对值的几何意义解下面的题用绝对值的几何意义解下面的题1 1. .解不等式解不等式1|21|2x x+1|3.+1|8.-3|8.
