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1、3.4 基本不等式基本不等式思考：这会标中含有怎思考：这会标中含有怎样的几何图形？样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？ab问问2 2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADERtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角是全等三角形，它们的面积和是形，它们的面积和是S S= =问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,设设AF=a,BF=b,AF=a,BF=b,则正方形的面积则正方形的面积为为S=S=，问问3 3：S S与与S S有什么样的关系有什么样的关系？ 从图形中易得，从图形中易
2、得，s ss s, ,即即问题问题1 1：s,s, S有相等的情况吗？有相等的情况吗？何时相等？何时相等？ 图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一个点，缩为一个点，这时有这时有 u形的角度形的角度u数的角度数的角度 当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=0结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式问题问题2 2：当当 a,ba,b为任意实数时，为任意
3、实数时， 成成 立吗？立吗？ 类类 比比 联联 想想 推推 理理 论论 证证 （特别的）如果（特别的）如果 也可写成也可写成 a0 ,b0 , 当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成号成立立 此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数a0 ,b0 ,当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成立号成立 此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式概念概念： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a，b，我们有，我们有当且仅当a=b时等号成立证明：证明：0特别的，如果a0，b0，我们用分别代替a，b，可得（ a0，b0）基本不等式基本不等式分
4、析法证明基本不等式分析法证明基本不等式要证只要证要证，只要证要证 ，只要证显然， 是成立的，当且仅当a=b时， 中的等号成立运用基本不等式证明：1. 基本不等式：基本不等式：a=b基本不等式的变形：基本不等式的变形：知识要点：知识要点：（当且仅当（当且仅当_时取时取“”号）号）（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“”号）号）如果如果a0，b0，那么，那么 重要变形重要变形2基础知识基础知识（由小到大）（由小到大）应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件： a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定
5、和最小积定和最小和定积最大和定积最大（ a0，b0）注意注意1、两个不等式的、两个不等式的适用范围适用范围不同不同;2、一般情况下若、一般情况下若“=”存在时，要存在时，要注明等注明等号成立的条件；号成立的条件；3、运用重要不等式时，要把一端化为、运用重要不等式时，要把一端化为常数常数（定值）。（定值）。一一正正 、二二定定 、三三相等相等（1）如果）如果a，b0，且，且abP（定值定值），那么），那么a+b有最有最_值值_(当且仅当当且仅当_时取时取“=”）.（2）如果）如果a，b0，且，且abS （定值定值），那么），那么ab有最有最_值值_(当且仅当当且仅当_时取时取“=”）.2. 利用
6、基本不等式求最值问题：利用基本不等式求最值问题：小小大大利用基本不等式求最值的条件：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。一正、二定、三相等。一知识要点一知识要点a=ba=b（1）把）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ab=36当a=b=6时，和a+b最小为12a+b=18当a=b=9时，积ab最大为81不等式不等式是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用，是一个基本
7、不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用，是解决是解决最大（小）值最大（小）值问题的有力工具。问题的有力工具。【应用练习】结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值一利用基本不等式证明不等式一利用基本不等式证明不等式二、利用基本不等式求函数的最值二、利用基本不等式求函数的最值例例: :某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, ,其容积为其容积为4800m4800m3 3, ,深为深为3m.3m.如果池底每平方米如果池底每平方米的造价为的造价为150150元元, ,池壁每平方米的造价为池壁每平方米的造价为120120元元, ,怎样设计
8、水池能使总造价最低怎样设计水池能使总造价最低? ?最低总造最低总造价是多少价是多少? ?分析分析: :水池呈长方体形水池呈长方体形, ,它的高是它的高是3m,3m,底面的长底面的长与宽没有确定与宽没有确定. .如果底面的长与宽确定了如果底面的长与宽确定了, ,水池的总造价也就确定了水池的总造价也就确定了. .因此应当考察底因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。面的长与宽取什么值时水池总造价最低。解解: :设底面的长为设底面的长为xm,xm,宽为宽为ym,ym,水池总造价为水池总造价为z z元元. .根据题意根据题意, ,有有: :由容积为由容积为4800m4800m3 3, ,可得
9、可得:3xy=4800:3xy=4800因此因此 xy=1600xy=1600由基本不等式与不等式的性质由基本不等式与不等式的性质, ,可得可得即即 当当x=y,x=y,即即x=y=40x=y=40时时, ,等号成立等号成立 所以所以, ,将水池的地面设计成边长为将水池的地面设计成边长为40m40m的正方形的正方形时总造价最低时总造价最低, ,最低总造价为最低总造价为297600297600元元. . 设计一副宣传画，要求画面面积为设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm4840cm2 2，画面，画面的宽与高的比为的宽与高的比为a(a1)a(a0， 0，若，若 是是 与与 的等比中的等比中项
10、，则得最小值为（得最小值为（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. （2009年天津理年天津理6）B2.（2009山东理山东理12T)设设 满足约束条件满足约束条件 若目标函数若目标函数 （ 0， 0）的最大的最大值为12，则 的最小的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 略解略解：xy02-22(4,6)A1. 1. 两个不等式两个不等式（1 1）（2 2） 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立注意：注意：1.1.两公式条件，前者要求两公式条件，前者要求a,ba,b为实数；后者要求为实数；后者要求a,ba,b为正数。为正数。 2.2.公式的正向、逆向使用的条件以及公式的正向、逆向使用的条件以及“= =”的成立条件。的成立条件。2.2.不等式的简单应用：主要在于不等式的简单应用：主要在于求最值求最值 把握把握 “七字方针七字方针” 即即 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等”3. 利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解。值，再利用基本不等式求解。4. 形如形如 这类函数，当不能利用基本不等式求这类函数，当不能利用基本不等式求最值时，可以借助函数单调性求解。最值时，可以借助函数单调性求解。
