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1、8 8 最小二乘估计最小二乘估计1 1、经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程；、经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程；2 2、知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程、知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程系数公式建立线性回归方程. .上节课上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性关系关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据法都缺少数学思想依据. .问题问题1 1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？、用什么样的线性关系刻
2、画会更好一些？想法：想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）. .最小二乘法就是基于这种想法最小二乘法就是基于这种想法. .问题问题2 2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效？、用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效？方法一方法一: :点到直线的距离公式点到直线的距离公式 方法二方法二: :问题问题3 3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？、怎样刻画多个点与直线的接近程度？先来讨论先来讨论3 3个样本点的情况个样本点的情况利用配方法可得利用配方法可得同样使用配方法可以得到，当同样使用配方法可以得到，当从而得到直线从而得到直线y=y
3、=+bx+bx的系数的系数 ，b b，且称直线，且称直线y=y=+bx+bx为这为这3 3个样个样本点的线性回归方程本点的线性回归方程. .用同样的方法我们可以推导出用同样的方法我们可以推导出n n个点的线性回归方程的系数：个点的线性回归方程的系数：思考思考: :如果样本点只有两个，如果样本点只有两个，用用最小二乘法得到的直线最小二乘法得到的直线与两点式求出的与两点式求出的直线直线一致吗？一致吗？解解: :是一致的是一致的. .与两点式相同与两点式相同. .例例1 1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6 6天卖出天卖出热茶的杯数（热茶的杯数（
4、y y）与当天气温（）与当天气温（x x）之间是线性相关的）之间是线性相关的. .数据如数据如下表下表气温（气温（x xi i） 26261818131310104 4-1-1杯数（杯数（y yi i）杯）杯202024243434383850506464(1)(1)试用最小二乘法求出线性回归方程试用最小二乘法求出线性回归方程. .(2)(2)如果某天的气温是如果某天的气温是3 3，请预测当天小卖部可能会卖出，请预测当天小卖部可能会卖出热茶多少杯热茶多少杯. .解：解：（1 1）先画出其散点图可以求得）先画出其散点图可以求得则线性回归方式为则线性回归方式为（2 2）当某天的气温是）当某天的气温
5、是33时，当天卖出热茶的杯数估计时，当天卖出热茶的杯数估计为：为：x x0 01 12 23 3y y1 13 35 57 71 1、 已知已知x x，y y之间的一组数据如下表，则之间的一组数据如下表，则y y与与x x的线性回归方的线性回归方程程y=y=a+bxa+bx必经过点必经过点 ( )( )（A A）（）（2 2，2 2） （B B）（）（1.51.5，0 0）（C C）（）（1 1，2 2） （D D）（）（1.51.5，4 4）D D商店名称商店名称A AB BC CD DE E销售额（销售额（x x）/ /千万元千万元3 35 56 67 79 9利润额（利润额（y y）/
6、/百万元百万元2 23 33 34 45 52 2、某连锁经营公司所属、某连锁经营公司所属5 5个零售店某月的销售额和利润额个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：资料如下表：（1 1）画出销售额和利润额的散点图；）画出销售额和利润额的散点图；（2 2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y y对销对销售额售额x x的线性回归方程的线性回归方程. .i ix xi iy yi ix xi i2 2x xi iy yi i1 13 32 29 96 62 25 53 3252515153 36 63 3363618184 47 74 44949282
7、85 59 95 581814545合计合计30301717200200112112解：解：（1 1）（2 2）数据如下表：可）数据如下表：可以求得以求得b=0.5b=0.5，a=0.4a=0.4线性回归方程为：线性回归方程为：/百万元百万元/千万元千万元1.1.列表、计算列表、计算. . 2.2.代入公式求代入公式求a,ba,b. .3.3.写出直线方程写出直线方程. .求线性回归方程的步骤求线性回归方程的步骤: : 利用试验数据进行拟合时，所用数据越多，拟合效果利用试验数据进行拟合时，所用数据越多，拟合效果越好越好. .但即使但即使选取相同的样本数，得到的直线方程也可能选取相同的样本数，得
8、到的直线方程也可能是不相同的，这是由样本的随机性造成的是不相同的，这是由样本的随机性造成的, ,样本量越大，样本量越大，所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系. .3.3.下面是两个变量的一组数据：下面是两个变量的一组数据：x x1 12 23 34 45 56 67 78 8y y1 14 49 916162525363647476464请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程1111244839927416166452525125636362167494934386464512合计3620
9、42041296思考：哪一个对呢？思考：哪一个对呢？y=-15+9x.y=-15+9x.所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图. .如如果散点图呈现一定的规律性果散点图呈现一定的规律性, ,我们再根据这个规律性进行拟我们再根据这个规律性进行拟合合. .如果散点图呈现出线性关系如果散点图呈现出线性关系, ,我们可以用最小二乘法估我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程计出线性回归方程; ;如果散点图呈现出其他的曲线关系如果散点图呈现出其他的曲线关系, ,我我们就要利用其他的工具进行拟合们就要利用其他的工具进行拟合. .2 2、线性回归方程的系数：、线性回归方程的系数：1 1、最小二乘法的思想最小二乘法的思想一切澎湃于心，让我们真正能够在心里有所酝酿的东西，都值得我们去努力.
