《《高等数学》例题解析-第十七讲 常数项级数的敛散性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》例题解析-第十七讲 常数项级数的敛散性（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十七讲： 常数项级数的敛散性 一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1若则常数项级数（ D ） lim0nnU1nnUA发散 B.条件收敛 C绝对收敛 D .不一定收敛 解：1lim0nn，但11nn发散；21lim0nn，但211nn收敛 选 D 12设收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ） 1nnUA1nnU B. 12008nnUC D10.001nnU11nuU 解：200812008nnU1nnU 1nnU收敛由性质收敛 12008nnU3下列级数中一定收敛的是( A ) A21014nn B10244nnnn C101nnnn D11123n 解：214nUn ，取0n
2、 21nn lim1nnnUV，且2101nn收敛，由比较法210n14n 收敛 4下列级数条件收敛的是（ C ） A11nnnn（1） B211nnn C11nnn D1312nnn 解： （1）1( 1)1nnnnn=1=发散 （112p ）（2）11nnn为莱布尼兹级数收敛，选 C 5 级数111 cosnnkn （k0） （ B ） A发散 B绝对收敛 C条件收敛 D敛散性与 K 相关 解：11( 1) (1 cos)1 cosnnnkknn 1 cosnkUn 取222knnlim1nnnUV且1nnV收敛，故选 B 6设正项极数!1limnnnnnUUpU若则（D） A.当 0p+
3、时，级数收敛 B.当 p1 时级数发散 D.当 p1 时级数发散 解：当 P1 时级数发散，当 P1 时失效。故选 D 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7若lim0nnU则常数项级数一定是 （发散） 1nnU解：若nn xU收敛，则。由逆否命题知：若lim0nnUlimn0nU 则1nnU发散 8当311pnn收敛时，则 P4 解：由 p 一级数的敛散性知，当 P3 1 时级数收敛，故 P4 29级数111nnn的前 9 项的和9S910 解:99111111nnnnnn1 1111112239101110910 10113nn的和 S=12 解：11311213qSq 11若数项
4、级数112nnnr收敛，则r的取值范围是 1r0） ，则 a 的取值范围是1a 解：111limlimnnnnnnUnaUaa11a 1a 收敛故 三、计算题（每小题 8 分，共 64 分） 13判别4421nnn 1的敛散性解： =nU4411nn 44211nn 取21nvnlim1nnnUV且211nn收敛 由比较法的极限形式知 4421nnn1 也收敛 14判别311arctan2nnn的敛散性 解： （1）当n时， 31arctan2n312n (2) limnnnUV 22nVn1 221arctan2lim12nnnn1，且2112nn收敛（p=21）由比较法的极限形式知，311
5、arctan2nnn也收敛 15判别12( 1)4nnn 的敛散性 解法：（1） 这是正项级数 2( 1)4nn 34n且134nn，收敛114q 由比较法非极限形式知12( 1)4nnn 收敛 解法（2）124nn收敛，1( 1)4nnn收敛 由性质知12( 1)4nnn 也收敛 16判别11 3 5(21)3!nnnn 的敛散性 解：这是正项级数 111 3(21)(21)limlim31 !nnnnnUnnUn 3!1 3(21)nnn 21lim3(1)nnn231 由此值判别法知11 3 5(21)3 !nnnn 也收敛 317判别12!nnnn 的敛散性 解： （1）这是正项级数且
6、含有,用比值法 !n2nnn（2）1limnnnUU221!lim(1)(1)nnnnnnn 2!nnnnlim2(1)nnnnn12lim1(1)nnn2e1由比值法知12!nnnn收敛 18判别21arctan3nnnn的敛散性 解： （1）arctan2n2arctan3nnn22 3nnnU 取22 3nnnV （2）判别212 3nnn的收敛性 1limnnnVV211lim3nnn23nn1ln(1)1n 故原级数条件收敛 四、综合题（每小题 10 分，共 20 分） 21 讨 论 级 数11(01nnaa)在0a1 三种条件下的敛散性 解： （1）当 0a1 时，limnnU1l
7、im1nna 级数111nna发散 01a 10（2）当 a1 时limnnU1lim1nna41101 12 级数发散 （3）当时1a1111nnnnUaaa111nnaa收敛由比较法111nna也收敛22讨论级数21(0nnaan)在 0a1三种条件下的敛散性解： （1） 当 0a1）由比较法知21nnan也收敛（2） 当 a=1 时，21nnan211nn收敛 （p21） （3）当 a1 时，112limlim1nnnnnUaUn22lim11nnnnaaan由此值判别法知21nnan发散 综合：当01 a 时21nnan收敛，当1a 时21nnan发散五、证明题（每小题 9 分，共 18 分） 23 若正项极数收敛， 证明：1nnU21nnU也收敛（反之不成立）证明： （1）收敛1nnUlim0nnU当 n 充分大时， 有： 00nU1nnU收敛， 且存在。证明0（提示：用反证法） limnnnulimnunn证：反证法：设lim01nnUn且存在 limnnun又11nn发散，由此比较法的极限形式知：1nnU也发散这与的题设矛盾1nnU故有0 limnnnu
