世纪金榜二轮专题辅导与习专题二第三讲

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1、第三讲导数的简单应用一、主干知识一、主干知识1.1.导数的几何意义导数的几何意义: :(1)(1)函数函数y=y=f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f f (x(x0 0) )就是曲线就是曲线y=y=f(xf(x) )在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的斜率处的切线的斜率, ,即即_._.(2)(2)曲线曲线y=y=f(xf(x) )在点在点P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线方程为处的切线方程为_._.k=fk=f (x(x0 0) )y-f(xy-f(x0 0)=)=f f (x(x0 0)(x-x)(x-x0 0) )2.2.复合函

2、数的导数复合函数的导数: :复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的积间变量对自变量的导数的积. .即设即设y=y=f(u),uf(u),u= =g(xg(x),),则则y y x x= =y y u uu u x x. .3.3.函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系: :若函数若函数y=y=f(xf(x) )在某区间内可导在某区间内可导, ,则则(1)f(1)f (x)0(x)0f(x)f(x)为为_._.(2)f(2)f (x)0(x)0)=_(a0且且a1).a1).cosxcosx-

3、-sinxsinxa ax xlnalna(6)(6)若若f(xf(x)=e)=ex x, ,则则f f (x(x)=e)=ex x. .(7)(7)若若f(xf(x)=)=logloga ax x, ,则则f f (x(x)=_(a0)=_(a0且且a1).a1).(8)(8)若若f(xf(x)=)=lnxlnx, ,则f f (x(x)=_.)=_. 2.2.导数的四则运算法则：导数的四则运算法则：(1)(1)f(x)f(x)g(xg(x) )=_.=_.(2)(2)f(x)f(x)g(xg(x) )= _.= _.(3) =_.(3) =_.f(x)f(x)g(xg(x) )f(x)g(

4、x)+f(x)g(xf(x)g(x)+f(x)g(x) )1.(20131.(2013武威模拟武威模拟) )已知直线已知直线y=x+1y=x+1与曲线与曲线y=y=ln(x+aln(x+a) )相切，则相切，则a=_.a=_.【解析解析】设设y=y=f(xf(x)=)=ln(x+aln(x+a) )，切点为，切点为(x(x0 0,y,y0 0),),则则f(xf(x)=)=则则f(xf(x0 0)= =1,y)= =1,y0 0=x=x0 0+1,y+1,y0 0=ln(x=ln(x0 0+a),+a),得得x x0 0=-1,y=-1,y0 0=0,a=2.=0,a=2.答案：答案：2 22

5、.(20132.(2013新课标全国卷新课标全国卷改编改编) )已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+c,+bx+c,下下列结论列结论x x0 0R,f(xR,f(x0 0)=0;)=0;函数函数y=y=f(xf(x) )的图象是中心对称图形的图象是中心对称图形; ;若若x x0 0是是f(xf(x) )的极小值点的极小值点, ,则则f(xf(x) )在区间在区间(-,x(-,x0 0) )单调递减单调递减; ;若若x x0 0是是f(xf(x) )的极值点的极值点, ,则则f f (x(x0 0)=0.)=0.其中正确的为其中正确的为. .【解析解析】结合函

6、数与导数的基础知识进行逐个推导结合函数与导数的基础知识进行逐个推导. .对于对于, ,因为函数因为函数f(xf(x) )的值域为的值域为R,R,所以一定存在所以一定存在x x0 0RR，使，使f(xf(x0 0)=0,)=0,正确正确. .对于对于, ,假设函数假设函数f(xf(x)=x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+c+bx+c的对称中的对称中心为心为( (m,nm,n) )，按向量，按向量a=(-=(-m,-nm,-n) )将函数的图象平移，则所得函数将函数的图象平移，则所得函数y=y=f(x+m)-nf(x+m)-n是奇函数，所以是奇函数，所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0

7、f(x+m)+f(-x+m)-2n=0，化简得，化简得(3m+a)x(3m+a)x2 2+m+m3 3+am+am2 2+bm+c-n=0.+bm+c-n=0.上式对上式对xRxR恒成立，故恒成立，故3m+a=0,3m+a=0,得得m= n=mm= n=m3 3+am+am2 2+bm+c= +bm+c= 所以函数所以函数f(xf(x)=x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+c+bx+c的对的对称中心为称中心为 故故y=y=f(xf(x) )的图象是中心对称图形，的图象是中心对称图形，正正确确. .对于对于, ,由于由于f(xf(x)=3x)=3x2 2+2ax+b+2ax+b是二次函数，是

8、二次函数，f(xf(x) )有极小值有极小值点点x x0 0, ,必定有一个极大值点必定有一个极大值点x x1 1, ,且且x x1 1x x0 0，则，则f(xf(x) )在区间在区间(-,x(-,x0 0) )上不单调递减上不单调递减,错误错误. .对于对于, ,若若x x0 0是极值点，则一定有是极值点，则一定有f(xf(x0 0)=0.)=0.答案：答案：3.(20133.(2013广东高考广东高考) )若曲线若曲线y=axy=ax2 2lnln x x在点在点(1,a)(1,a)处的切线平处的切线平行于行于x x轴，则轴，则a=_a=_【解析解析】设设y=y=f(xf(x)=ax)=

9、ax2 2lnxlnx求导得求导得f(xf(x)=2ax)=2ax 而平行于而平行于x x轴的直线斜率为轴的直线斜率为0 0，所以在点，所以在点(1,a)(1,a)处切线的斜率为处切线的斜率为f(1)=2af(1)=2a1=01=0，解得，解得答案：答案：4.4.已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x4 4+ax+ax3 3+2x+2x2 2+b(a,bR)+b(a,bR)，若函数，若函数f(xf(x) )仅在仅在x=0x=0处有极值，则处有极值，则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】因为因为f(xf(x)=x)=x4 4+ax+ax3 3+2x+2x2 2+b+b，所以，所以

10、f(xf(x)=4x)=4x3 3+3ax+3ax2 2+4x+4x=x(4x=x(4x2 2+3ax+4)+3ax+4)，又因为函数，又因为函数f(xf(x) )仅在仅在x=0x=0处有极值，所以处有极值，所以(3a)(3a)2 2-4-44 44040，即，即- a .- a .答案答案: :- - a a 热点考向热点考向 1 1 导数的几何意义导数的几何意义【典例典例1 1】(1)(2013(1)(2013郑州模拟郑州模拟) )直线直线y= y= x+bx+b是曲线是曲线y=y=lnln x(xx(x0)0)的一条切线，则实数的一条切线，则实数b=_.b=_.(2)(2013(2)(2

11、013广东高考广东高考) )若曲线若曲线y=y=kx+lnkx+ln x x在点在点(1,k)(1,k)处的切线平行于处的切线平行于x x轴，则轴，则k=_.k=_. 【解题探究解题探究】(1)(1)解答本题如何求切点坐标？解答本题如何求切点坐标？提示：提示：切点未知，根据切线斜率和切点在曲线上求解切点未知，根据切线斜率和切点在曲线上求解. .(2)(2)本题切点坐标是本题切点坐标是_, ,切线斜率是切线斜率是_. .(1(1，k)k)0 0【解析解析】(1)(1)设切点坐标为设切点坐标为(x(x0 0,y,y0 0) )，则则f(xf(x0 0)=)=所以所以x x0 0=2=2，y y0

12、0= =lnln 2 2，又切点也在直线，又切点也在直线y= y= x+bx+b上，则上，则b=b=lnln 2-1. 2-1.答案：答案：lnln 2-1 2-1(2)(2)对对y=y=kx+lnkx+ln x x求导得求导得y=y=因为因为x x轴的斜率为轴的斜率为0 0，所以在点，所以在点(1(1，k)k)处切线的斜率处切线的斜率解得解得k=-1.k=-1.答案：答案：-1-1【互动探究互动探究】若题若题(1)(1)条件不变，求过切点且与切线条件不变，求过切点且与切线y= y= x+bx+b垂垂直的直线直的直线. .【解析解析】由题由题(1)(1)解析可知切点为解析可知切点为(2(2，l

13、nln 2) 2)，又因为直线与切线垂直，所以斜率又因为直线与切线垂直，所以斜率k=-2k=-2，所以直线方程为所以直线方程为y-lny-ln 2=-2(x-2), 2=-2(x-2),即即2x+y-ln 2-4=0.2x+y-ln 2-4=0.【方法总结方法总结】利用导数几何意义解题的转化关系及求参思路利用导数几何意义解题的转化关系及求参思路(1)(1)转化关系：利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切转化关系：利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化点坐标、切线斜率之间的关系来转化. .(2)(2)求参思路：以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数求参思路：

14、以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值的值, ,则根据平行、垂直与斜率之间的关系则根据平行、垂直与斜率之间的关系, ,进而和导数联系起进而和导数联系起来求解来求解. .【变式备选变式备选】1.(20131.(2013天津模拟天津模拟) )已知点已知点P P在曲线在曲线 上，上，为曲线在点为曲线在点P P处的切线的倾斜角，则处的切线的倾斜角，则的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】y= y= 即切线的斜率为即切线的斜率为所以所以因为因为所以所以-1k-1k0 0，即，即-1tan -1tan 0 0，所以，所以135135180180，即即的取值范围是的取值范围是1351351801

15、80. .答案：答案：1351351801802.(20132.(2013南京模拟南京模拟) )已知函数已知函数f(xf(x) )在在R R上满足上满足f(xf(x)=2f(2-x)-)=2f(2-x)-x x2 2+8x-8+8x-8，则曲线，则曲线y=y=f(xf(x) )在点在点(1(1，f(1)f(1)处的切线方程是处的切线方程是_._.【解析解析】方法一：在等式方法一：在等式f(xf(x)=2f(2-x)-x)=2f(2-x)-x2 2+8x-8+8x-8中将中将x x全部换成全部换成2-x2-x得：得：f(2-x)=2f(x)-(2-x)f(2-x)=2f(x)-(2-x)2 2+

16、8(2-x)-8+8(2-x)-8，联立两式解得：，联立两式解得：f(xf(x)=x)=x2 2, ,所以曲线所以曲线y=y=f(xf(x) )在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程为处的切线方程为y-1=2(x-1),y-1=2(x-1),即即2x-y-1=0.2x-y-1=0.方法二：在等式方法二：在等式f(xf(x)=2f(2-x)-x)=2f(2-x)-x2 2+8x-8+8x-8中，令中，令x=1x=1得：得：f(1)=1f(1)=1，对等式对等式f(xf(x)=2f(2-x)-x)=2f(2-x)-x2 2+8x-8+8x-8两端求导得：两端求导得：f(xf(x)=-2f

17、(2-x)-2x+8)=-2f(2-x)-2x+8，令，令x=1x=1得：得：f(1)=2,f(1)=2,所以曲线所以曲线y=y=f(xf(x) )在点在点(1(1，f(1)f(1)处的切线方程是处的切线方程是y-1=2(x-1)y-1=2(x-1)，即即2x-y-1=0.2x-y-1=0.答案：答案：2x-y-1=02x-y-1=0热点考向热点考向 2 2 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性【典例典例2 2】已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x3 3+ax+ax2 2+x+1+x+1，aRaR(1)(1)讨论函数讨论函数f(xf(x) )的单调区间的单调区间. .(2)(2

18、)设函数设函数f(xf(x) )在区间在区间 上单调递减，求上单调递减，求a a的取值范围的取值范围【解题探究解题探究】(1)(1)求单调区间的三个步骤：求单调区间的三个步骤：求导：求导：f(xf(x)=)=_. .求根：求求根：求f(xf(x)=0)=0的根，表达式中含有参数的根，表达式中含有参数a,a,此时正确的处此时正确的处理方式为：理方式为：_. .判断：要确定单调区间，主要是判断区间内的判断：要确定单调区间，主要是判断区间内的_. .(2)(2)第第(1)(1)题所求出的单调递减区间和区间题所求出的单调递减区间和区间 应满足什么应满足什么关系？关系？提示：提示：区间区间 是第是第(1

19、)(1)题所求出的单调递减区间的子集题所求出的单调递减区间的子集. .3x3x2 2+2ax+1+2ax+1分类讨论分类讨论导数符号导数符号【解析解析】(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3+ax+ax2 2+x+1+x+1求导得：求导得：f(xf(x)=3x)=3x2 2+2ax+1+2ax+1，令，令3x3x2 2+2ax+1=0,=4a+2ax+1=0,=4a2 2-12=4(a-12=4(a2 2-3),-3),当当a a2 233时，时，00，f(x)0f(x)0，且不恒为零，所以，且不恒为零，所以f(xf(x) )在在R R上上单调递增，单调递增，当当a a2 23 3，求得两

20、根为，求得两根为即即f(xf(x) )在在 上递增，上递增，在在 上递减，上递减，在在 上递增上递增. .(2)(2)由题知，由题知，解得：解得：a2.a2.【方法总结方法总结】1.1.导数与单调性之间的关系导数与单调性之间的关系(1)(1)导数大导数大( (小小) )于于0 0的区间是函数的单调递增的区间是函数的单调递增( (减减) )区间区间. .(2)(2)函数函数f(xf(x) )在在D D上单调递增上单调递增xD,f(x)0xD,f(x)0，且，且f(xf(x) )在在区间区间D D的任何子区间内都不恒为零；的任何子区间内都不恒为零；函数函数f(xf(x) )在在D D上单调递减上单

21、调递减xD,f(x)0xD,f(x)0，且，且f(xf(x) )在区在区间间D D的任何子区间内都不恒为零的任何子区间内都不恒为零. .2.2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)(1)求求f(xf(x).).(2)(2)将单调性转化为导数将单调性转化为导数f(xf(x) )在该区间上满足的不等式恒成在该区间上满足的不等式恒成立问题求解立问题求解. . 【变式训练变式训练】(2013(2013玉溪模拟玉溪模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=ax+lnax+ln x(aRx(aR) )，(1)(1)若若a=-1a=-1，求曲线，求曲线y=y=f

22、(xf(x) )在点在点x= x= 处的切线的斜率处的切线的斜率. .(2)(2)求求f(xf(x) )的单调区间的单调区间. .【解析解析】因为因为f(xf(x)=)=ax+lnax+ln x(aRx(aR) )，所以所以x(0x(0，+)+)， (1)(1)若若a=-1a=-1，则切线的斜率，则切线的斜率k=f( )=1.k=f( )=1.(2)(2)当当a0a0时，时，f(xf(x) )0 0恒成立，所以恒成立，所以f(xf(x) )在在(0(0，+)+)上单调上单调递增递增. . 当当a a0 0时，令时，令f(xf(x) )0 0，解得：，解得：0 0x x令令f(xf(x) )0

23、0，解得：，解得：x x所以所以f(xf(x) )在在 上单调递增，在上单调递增，在 上单调递减上单调递减. .综上：当综上：当a0a0时时, ,f(xf(x) )的单调递增区间为的单调递增区间为(0(0，+)+)；当当a a0 0时，时，f(xf(x) )的单调递增区间为的单调递增区间为 ，单调递减区间为，单调递减区间为 热点考向热点考向 3 3 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值( (最值最值) )问题问题【典例典例3 3】(2012(2012广东高考广东高考) )设设0 0a a1 1，集合，集合A=A=xR|xxR|x00，B=xR|2xB=xR|2x2 2-3(1+a)x+

24、6a0-3(1+a)x+6a0，D=AB.D=AB.(1)(1)求集合求集合D(D(用区间表示用区间表示).).(2)(2)求函数求函数f(xf(x)=2x)=2x3 3-3(1+a)x-3(1+a)x2 2+6ax+6ax在在D D内的极值点内的极值点. .【解题探究解题探究】(1)(1)集合集合B B的求解思路：的求解思路：方程方程2x2x2 2-3(1+a)x+6a=0-3(1+a)x+6a=0的判别式的判别式=_. .集合集合B B的不等式中含参数的不等式中含参数a a，应分类讨论，如何确定分类标，应分类讨论，如何确定分类标准？准？提示：提示：根据判别式化简后的结果确定分类标准根据判别

25、式化简后的结果确定分类标准. .3(a-3)(3a-1)3(a-3)(3a-1)(2)(2)求函数极值的两个关键：求函数极值的两个关键：求导：求导：f(xf(x)=)=_. .判断：判断判断：判断f(xf(x) )在某点取得极大值或极小值在某点取得极大值或极小值. .6(x-1)(x-a)6(x-1)(x-a)【解析解析】(1)(1)对于方程对于方程2x2x2 2-3(1+a)x+6a=0-3(1+a)x+6a=0，判别式判别式=9(1+a)=9(1+a)2 2-48a=3(a-3)(3a-1).-48a=3(a-3)(3a-1).因为因为0a10a1，所以，所以a-30.a-30.当当 a1

26、a1时，时，00，此时，此时B=RB=R，所以所以D=A=(0,+).D=A=(0,+).当当a= a= 时，时，=0=0，此时，此时，B=x|x1,B=x|x1,所以所以D=(0,1)(1,+).D=(0,1)(1,+).当当0a 0a00，设方程设方程2x2x2 2-3(1+a)x+6a=0-3(1+a)x+6a=0的两根为的两根为x x1 1,x,x2 2且且x x1 1xx2 2，则则B=B=x|xx|xxxxx2 2,x x1 1+x+x2 2= (1+a)0= (1+a)0，x x1 1x x2 2=3a0=3a0，所以所以x x1 10,x0,x2 200，此时，此时，D=(0,

27、xD=(0,x1 1)(x)(x2 2,+)=,+)=综上可知，当综上可知，当0a 0a 时，时，当当 a1a1时，时，D=(0,+).D=(0,+).(2)f(x)=6x(2)f(x)=6x2 2-6(1+a)x+6a=6(x-1)(x-a)(0a1),-6(1+a)x+6a=6(x-1)(x-a)(0a1),由由f(xf(x)0)0ax1,ax0)0xax1,x1,所以函数所以函数f(xf(x) )在区间在区间(-,a)(-,a)和和(1,+)(1,+)上单调递增，在区间上单调递增，在区间(a,1)(a,1)上单调递减上单调递减. .当当 a1a1时，因为时，因为D=(0,+)D=(0,+

28、)，所以，所以f(xf(x) )在在D D内有极大值点内有极大值点x=ax=a和极小值点和极小值点x=1x=1；当当a= a= 时，时，D=(0,1)(1,+)D=(0,1)(1,+)，所以，所以f(xf(x) )在在D D内有极大值点内有极大值点x= x= ；当当0a 0a 时，时，因为因为所以所以f(xf(x) )在在D D内有极大值点内有极大值点x=a.x=a.综上可知：当综上可知：当0a 0a 时，时，f(xf(x) )在在D D内有一个极大值点内有一个极大值点x=a,x=a,没有没有极小值点；极小值点；当当 a1a1.x1.所以函数所以函数g(xg(x) )在在(0,1)(0,1)上

29、单调递增，在上单调递增，在(1,+)(1,+)上单调递减上单调递减. . 所以所以g(xg(x) )的极大值为的极大值为g(1)=-2.g(1)=-2.(2)(2)由由(1)(1)知知g(xg(x) )在在(0,1)(0,1)上单调递增，在上单调递增，在(1,+)(1,+)上单调递减，上单调递减，令令(x(x)=)=g(x)-gg(x)-g( ),( ),所以所以(1)=g(1)-g( )(1)=g(1)-g( )0 0，取，取x x1 1=e=e1,1,则则(e(e)=)=g(e)-gg(e)-g( )=( )=lnln e-(e+1)-ln +( +1)=- e-(e+1)-ln +( +

30、1)=-e+lne+ln 2+ 2+ 0,0,故存在故存在x x0 0(1,e)(1,e)使使(x(x0 0)=0)=0，即存在，即存在x x0 0(1,+)(1,+)使使g(xg(x0 0)= )= g( ).g( ).( (说明：说明：x x1 1的取法不唯一，只要满足的取法不唯一，只要满足x x1 11 1，且，且(x(x1 1) )0 0即可即可) )(3)(3)设设F(xF(x)=)=h(x)-f(xh(x)-f(x)= x)= x2 2-eln -eln x(xx(x0),0),则则F(xF(x)=)=则当则当0 0x x 时，时，F(xF(x) )0 0，函数，函数F(xF(x)

31、 )单调递减；单调递减；当当x x 时，时，F(xF(x) ) 0 0，函数，函数F(xF(x) )单调递增单调递增. .所以所以x= x= 是函数是函数F(xF(x) )的极小值点，也是最小值点的极小值点，也是最小值点, ,所以所以F(x)F(x)minmin= F( )=0.= F( )=0.所以函数所以函数f(xf(x) )与与h(xh(x) )的图象在的图象在x= x= 处有公共点处有公共点设设f(xf(x) )与与h(xh(x) )存在存在“分界线分界线”且方程为且方程为y- e=y- e=k(xk(x- )- )，令函数令函数u(xu(x)=)=kxkx+ + e-ke-k . .

32、由由h(x)u(xh(x)u(x) )，得，得 x x2 2kx+ kx+ e-ke-k 在在xRxR上恒成立，即上恒成立，即x x2 2-2kx-e+2k 0-2kx-e+2k 0在在xRxR上恒成立，所以上恒成立，所以=4k=4k2 2-4(-e+2k )-4(-e+2k )00，即，即4(k- )4(k- )2 200，所以所以k= k= ，故，故u(xu(x)= x- e.)= x- e. 下面说明：下面说明：f(x)u(xf(x)u(x) )，即，即elneln x x- x x- e(xe(x0)0)恒成立恒成立. .设设V(xV(x)=)=elneln x- x+ e x- x+

33、 e，则则V(xV(x)= )= 因为当因为当0 0x x 时，时，V(xV(x) )0,0,函数函数V(xV(x) )单调递增，单调递增，当当x x 时，时，V(xV(x) ) 0,0,函数函数V(xV(x) )单调递减，单调递减，所以当所以当x= x= 时，时，V(xV(x) )取得最大值取得最大值0 0，V(x)V(x)V(x)V(x)maxmax=0.=0.所以所以elneln x x- x x- e(xe(x0)0)成立成立. . 综合综合知知h(x) x- eh(x) x- e，且，且f(x) x- ef(x) x- e，故函数，故函数f(xf(x) )与与h(xh(x) )存在存

34、在“分界线分界线”y= x- ey= x- e，此时，此时k= k= ，b=- e.b=- e.【典例典例】已知某厂生产已知某厂生产x x件产品的成本为件产品的成本为c c25 00025 000200x200x ( (元元) )(1)(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)(2)若产品以每件若产品以每件500500元售出，要使利润最大，应生产多少件产元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？品？导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用【解题探究解题探究】(1)(1)平均成本指的是什么？平均成本指的是什么？提示：提示：平均成本平均成本= =总成本总

35、成本产品件数产品件数. .(2)(2)利润和销售件数有什么关系？利润和销售件数有什么关系？提示：提示：利润利润= =每件产品的利润每件产品的利润销售件数销售件数. .利润、收入、成本三者之间有什么关系？利润、收入、成本三者之间有什么关系？提示：提示：利润收入利润收入- -成本成本【解析解析】(1)(1)设平均成本为设平均成本为y y元，则元，则y yyy令令yy0 0，得，得x x1 11 0001 000，x x2 21 000(1 000(舍去舍去) )当当0x1 0000x1 000时，时，y0y1 000x1 000时，时，y0y0；故当故当x x1 0001 000时，时，y y取得

36、极小值取得极小值由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产此要使平均成本最低，应生产1 0001 000件产品件产品(2)(2)利润函数为利润函数为L L所以所以LL300300令令LL0 0，得，得x x6 000.6 000.当当x6 000x0L0；当当x6 000x6 000时，时，L0L0，故当，故当x x6 0006 000时，时，L L取得极大值取得极大值由于函数只有一个使由于函数只有一个使L L0 0的点，且函数在该点有极大值，的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值因此，要

37、使利润最大，应生产那么函数在该点取得最大值因此，要使利润最大，应生产6 0006 000件产品件产品 【方法总结方法总结】经济生活中优化问题的解题思路经济生活中优化问题的解题思路经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动分析、研究、指导生产活动. .【变式备选变式备选】某工厂每天生产某种产品最多不超过某工厂每天生产某种产品最多不超过4040件，并且件，并且在生产过程中产品的正品率在生产过程中产品的正

38、品率P P与每日生产量与每日生产量x(xNx(xN* *) )件之间的件之间的关系为关系为 每生产一件正品盈利每生产一件正品盈利4 0004 000元，每出现一元，每出现一件次品亏损件次品亏损2 0002 000元元( (注：正品率产品中的正品件数注：正品率产品中的正品件数产品产品总件数总件数100%)100%)(1)(1)将日利润将日利润y(y(元元) )表示成日产量表示成日产量x(x(件件) )的函数的函数. .(2)(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值的最大值【解析解析】 (1) (1)由题意得由题意得y y所

39、以所求的函数关系式是所以所求的函数关系式是(2)(2)显然显然yy3 6003 6004x4x2 2. .令令yy0 0，解得，解得x x30.30.所以当所以当1x301x0y0；当；当30x4030x40时，时，y0.y0)= 0，所以所以f(xf(x) )的单调增区间为的单调增区间为(0,+)(0,+)，此时此时f(xf(x) )无极值无极值. .3 3分分()()当当a a0 0时，令时，令f(x)=0f(x)=0，得，得x= x= 或或x=- (x=- (舍去舍去).).f(xf(x) )的单调增区间为的单调增区间为 单调减区间为单调减区间为所以所以f(xf(x) )有极大值为有极大

40、值为f( )=-f( )=-lnln a a，无极小值，无极小值. .6 6分分()()当当a a0 0时，令时，令f(xf(x)=0)=0，得得x= (x= (舍去舍去) )或或x=- ,x=- ,所以所以f(xf(x) )的单调增区间为的单调增区间为 单调减区间为单调减区间为所以所以f(xf(x) )有极大值为有极大值为无极小值无极小值. .9 9分分(2)(2)由由(1)(1)可知：可知：()()当当a=0a=0时，时，f(xf(x) )在区间在区间(1,+)(1,+)上单调递上单调递增，不合题意增，不合题意. .1010分分()()当当a a0 0时，时，f(xf(x) )的单调减区间

41、为的单调减区间为依题意，得依题意，得 得得a1.a1.1111分分()()当当a a0 0时，时，f(xf(x) )的单调减区间为的单调减区间为依题意，得依题意，得 ，得，得a a 1313分分综上，实数综上，实数a a的取值范围是的取值范围是 1,+).1,+).1414分分【点题点题】规避误区，失分警示规避误区，失分警示 失分点一失分点一题中题中处容易在确定分类标准时出错处容易在确定分类标准时出错失分点二失分点二忽略忽略处讨论导致分类讨论不全面致误处讨论导致分类讨论不全面致误失分点三失分点三处列不等式组时对端点确定出错处列不等式组时对端点确定出错【变题变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力

42、迁移(2013(2013北京模拟北京模拟) )已知已知f(xf(x)=x)=x3 3+ax+ax2 2-a-a2 2x+2x+2(1)(1)若若a=1a=1，求曲线，求曲线y=y=f(xf(x) )在点在点 (1,f(1)(1,f(1)处的切线方程处的切线方程. .(2)(2)若若a0a0，求函数，求函数f(xf(x) )的单调区间的单调区间. .【解析解析】(1)(1)因为因为a=1,a=1,所以所以f(xf(x)=x)=x3 3+x+x2 2-x+2,-x+2,所以所以f(xf(x)=3x)=3x2 2+2x-1.+2x-1.所以所以k=f(1)=4.k=f(1)=4.又又f(1)=3f(

43、1)=3，所以切点坐标为，所以切点坐标为(1,3),(1,3),所以所求切线方程为所以所求切线方程为y-3=4(x-1)y-3=4(x-1)，即即4x-y-1=0.4x-y-1=0.(2)f(x)=3x(2)f(x)=3x2 2+2ax-a+2ax-a2 2=(x+a)(3x-a),=(x+a)(3x-a),由由f(x)=0,f(x)=0,得得x=-ax=-a或或x= .x= .当当a0a0时，由时，由f(x)0f(x)0，得，得-ax .-ax0f(x)0，得，得x-ax ,x ,此时此时f(x)f(x)的单调减区间为的单调减区间为 单调增区间为单调增区间为(-,-a)(-,-a)和和当当a0a0时，由时，由f(xf(x)0)0，得，得 x-ax0f(x)0，得，得x x-a.x-a.当当a0a0时，由时，由f(xf(x)0)0，得，得 x-ax0f(x)0，得，得x x-a.x-a.此时此时f(x)f(x)的单调减区间为的单调减区间为 单调增区间为单调增区间为 和和(-a,+).(-a,+).综上：当综上：当a0a0时，时，f(x)f(x)的单调减区间为的单调减区间为 单调增区间为单调增区间为(-,-a)(-,-a)和和 当当a0a0时，时，f(x)f(x)的单调减区间为的单调减区间为 单调增区间为单调增区间为 和和(-a,+).(-a,+).