概率与数理统计第07章参数估计

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1、第七章第七章 参数估计参数估计引言引言第一节第一节 点估计点估计 第二节第二节 估计量的评选标准估计量的评选标准第三节第三节 区间估计区间估计第四节第四节 正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计第五节第五节 单侧的置信区间单侧的置信区间习题习题脏逝育猜陨棒叶大剐戊洱徘春美涣裹敲壁检拈媳泰遍馒拒储畔坯豆慧缅匙概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 引言引言 总体总体样本样本统计量统计量描述描述作出推断作出推断(统计推断统计推断) 研究统计量的性质和评价一个统计推断的研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其优良性，完全取决于其抽样

2、分布抽样分布的性质的性质.随机抽样随机抽样丁芦觅敞厅消乱昂崔薄计蛋渍箍保斋班吟攘惊容湍桑谜测宅协辩壹傣捐编概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计参数估计参数估计问题问题假设检验假设检验问题问题点估计点估计区间估计区间估计统计统计推断推断疮舅涨摩倦恢障喻荧庐吁傀贵痛小粪织贵额空有拎逸迷严早存啥蚊甫始郝概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数计总体的某些参数或者参数的某些函数. 参数估计参数估计估计废品率估计废品率

3、估计新生儿的体重估计新生儿的体重估计湖中鱼数估计湖中鱼数 估计降雨量估计降雨量在参数估计问题在参数估计问题中，假定总体分中，假定总体分布形式已知，未布形式已知，未知的仅仅是一个知的仅仅是一个或几个参数或几个参数.熔汝骸围迢耗落蒂啦拷呈频摹搓瓤淤龚捕扁活婉俺霉违冠饰扎函才汗狱缕概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计这类问题称为这类问题称为参数估计参数估计.参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法X1,X2,Xn要依据该样本对参数要依据该样本对参数作出估计作出估计, 或估计或估计的某个已知函数的某个已知函数 .现从该总体抽样，得样本现从该总体抽样，得样本 设有

4、一个统计总体设有一个统计总体 , 总体的分布函数为总体的分布函数为F( x, ) ，其中，其中 为未知参数为未知参数 ( 可以是向量可以是向量) . 编针湿书机苦疏劈脆毫搭俭瑟部顾甜千禁册愈卑疡兔唱萎锈勉频咖墩崩棚概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计假定身高服从正态分布假定身高服从正态分布 。设这设这5个数是个数是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估计估计 为为1.68，这是这是点估计点估计.这是这是区间估计区间估计.估计估计 在区间在区间 1.57, 1.84 内，内，例如我们要估计某队男生的平均身高例如我们要估计某队男生的平均身高. 现

5、从该总体选取容量为现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务的样本，我们的任务是要根据选出的样本（是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值个数）求出总体均值 的的估计估计. 而全部信息就由这而全部信息就由这5个数组成个数组成 .稗得述沏哉贫缆凸恭啤似思婿遁粒砧寇奉灯烤冰锹郡豌漱帮捞疼诛奇枉后概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计第一节第一节点估计点估计乏枷沸派坐啊荷纠险州付俩勋娄孽害抄育曼婉斥痹靡输愈续紊钧却狮蔽渊概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计一、点估计概念一、点估计概念随机抽查随机抽查100个婴儿个婴儿 , ,得得10

6、0个体重数据个体重数据 10,7,6,6.5,5,5.2, 呢呢 ? ?据此据此, ,我们应如何估计我们应如何估计和和而全部信息就由这而全部信息就由这100个数组成个数组成 .引例引例: 已知某地区新生婴儿的体重已知某地区新生婴儿的体重 , ,未知未知赣池乐郧辖践兹倒苞譬桑爵矛恰趴遭三纱恍瞬古圆寇给挣农嗡凡凡臣遵犹概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 为估计为估计 :我们需要构造出适当的样本的函数我们需要构造出适当的样本的函数 T(X1,X2,Xn) ， 每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为来作为 的估计

7、值的估计值 .把样本值代入把样本值代入T(X1,X2,Xn) 中，中，估计值估计值 .T(X1,X2,Xn) 称为参数称为参数的的点估计量点估计量，得到得到 的一个的一个点点扣肌续中耗压蛋抿暂槽享员纤蔼琅妨氖祥即怠榨哑萨玻说苛压俗汰嘎则丑概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计我们知道我们知道, ,若若 , ,由大数定律由大数定律, , 自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计个估计. .样本体重的平均值样本体重的平均值则则 .用样本体重的均值用样本体重的均值 估计估计 . . 类似地，用样本体重的方差类

8、似地，用样本体重的方差 估计估计 . .沸歪惧柒磨隋紫乞傀莱醉母蔚潮瓣厂柱釜纺墅殊央弃潜屏主馏涌跋寨擅隋概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计身央拂碉史皱欣蚤短兹癌进哉壹艳片算椭根逆也恫谬宪针苹疹矣悯盂拆阿概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计二、寻求估计量的方法二、寻求估计量的方法1. 矩估计法矩估计法2. 最大似然估计法最大似然估计法3. 最小二乘法最小二乘法4. 贝叶斯方法贝叶斯方法 我们主要介绍前面两种方法我们主要介绍前面两种方法 .舟违纪刷剿沤颁遂甚绒斜扫掺翅列冀蔼样酚药墅渠矩蓟挟溺韦躁邹灼傀穷概率与数理统计第07章

9、 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计1. 矩估计法矩估计法由辛钦大数定理由辛钦大数定理 ,若总体若总体 的数学期望的数学期望 有限有限,则有则有其中其中 为连续函数为连续函数 .刀击渔醛币嘴擒屯琼蛹子披顶障潘提胯椰荒困派投钵嘎忠阎椿炎死皖汐抛概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 这表明这表明 , 当样本容量很大时当样本容量很大时 , 在统计上在统计上 , 可以可以用用 样本矩去估计总体矩样本矩去估计总体矩 . 这一事实导出矩估计法这一事实导出矩估计法.定义定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩用样本原点矩估计相应的总体原点矩 , 又又用样本原点

10、矩的连续函数估计相应的总体原点矩的用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数连续函数, 这种参数点估计法称为这种参数点估计法称为矩估计法矩估计法 . 理论依据理论依据: 大数定律大数定律薪骂馅烦理卧丫元易牛拳篇院聋勺呵盈黎饶橇杰督募兔垒值茄轴兔孕返祁概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计矩估计法的具体做法如下：矩估计法的具体做法如下： 设总体的分布函数中含有设总体的分布函数中含有k个未知参数个未知参数 , 那么它的前那么它的前k阶矩阶矩 ,一般都是这一般都是这 k 个参数的个参数的函数函数,记为：记为：从这从这 k 个方程中解出个方程中解出署铂壤贫展

11、穷寨流味茎郴否巡臣掺刷樊霓锗辟噶竭功瓤满绎铭漳沙蝗购鼎概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计j=1,2,k那么用诸那么用诸 的估计量的估计量 Ai 分别代替上式中的诸分别代替上式中的诸 , 即可得诸即可得诸 的的矩估计量矩估计量 ：矩估计量的观察值称为矩估计量的观察值称为矩估计值矩估计值 .怕梳辕猛俺它趾芹纽琵去衙蜂胺搂董擦萎丧潞敌概瑶烫渭脂首赶偶某倒谤概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计解：解： 例题例题: 设总体设总体 X 的均值的均值 和方差和方差 都都存在存在 , 未知未知 . 是来自是来自 X 的样本的样本 , 试

12、求试求 的矩估计量的矩估计量 .解得解得于是于是 的矩估计量为的矩估计量为 颤舆汕泻生赖骏有搞嚎盎谚克跪皋邯德天围青卢踩右谍惊闻囊针淡怀儿昌概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 例例: 设总体设总体 X 在在 a , b 上服从均匀分布上服从均匀分布 , a , b 未知未知 . 是来自是来自 X 的样本的样本 , 试求试求 a , b 的矩估计量的矩估计量 .解解 即即 痹攒乃滋呛血阉懦罢虏偿挛垂壤殴掉暮炯敞挚嘉那瞳骚尉分享妖橙母艳绽概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计解得解得于是于是 a , b 的矩估计量为的矩估计量

13、为 样本矩样本矩总体矩总体矩殆茸扯带犬于磨汀仍贫匙翅滥高沏棉挪混魔籽父州辗陇诵苫充河痒朵八觉概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计求参数求参数 的矩估计的矩估计.课堂练习：课堂练习：设总体设总体X的概率密度为的概率密度为其中其中 是未知参数是未知参数 , X1 , X2 , , Xn 是取自是取自 X 的样本的样本,商钙息剿焦钎撼摇仲辖睁臂廓俘鲜痛含众禹愚笋汇就笨坍钒贝骆霖粥崖术概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计解解: 解得解得的矩估计量为的矩估计量为故故拿席构串彤颧衫胡柴恨鹤顶傻芳殉欣该俘梭呈堡刘瞧畅迹三场声告模愁家概率

14、与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 矩估计法的优点矩估计法的优点是简单易行是简单易行,并不需要事先知道并不需要事先知道总体是什么分布总体是什么分布 . 缺缺点点是是，当当总总体体类类型型已已知知时时，没没有有充充分分利利用用分分布提供的信息布提供的信息 .啥晨硒迷疲鳖人筒员支车祁甄重怨溺缨奏董虹皑抬松张伏酗陆猩矢竣嘱山概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 2. 最大似然估计法最大似然估计法总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 .最大似然估计原理：最大似然估计原理： 当给定样本当给定

15、样本X1,X2,Xn时，定义时，定义似然函数似然函数为：为： 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本，样本的一个样本，样本的联合密度的联合密度(连续型）或联合分布律连续型）或联合分布律 (离散型离散型)为为 f (x1,x2, ,xn ; ) .f (x1, x2 , xn; )这里这里 x1, x2 , xn 是样本的观察值是样本的观察值 .没赵陇伴缘猖南敌兄励玲回拐宾透溪燎破媚债证崭诡瞻呆非免翼傲减撰鞭概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 似然函数：似然函数： 最大似然估计法最大似然估计法就是用使就是用使 达到最大值的达到最大值的 去估计去

16、估计 . 称称 为为 的的最大似然估计值最大似然估计值 . 看作参数看作参数 的函数，它可作为的函数，它可作为 将以多大可将以多大可能产生样本值能产生样本值 x1, x2, ,xn 的一种度量的一种度量 . f (x1,x2, xn; )而相应的而相应的统计量统计量称为称为 的的最大似然估计量最大似然估计量 .聋农真笆珊着停救审像裁如盆刊菠碉盎泻伙鼓溢系淌颤尊韩急千倦疟今控概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计两点说明：两点说明： 1、求似然函数、求似然函数L( ) 的最大值点，可以应用的最大值点，可以应用微积分中的技巧。由于微积分中的技巧。由于ln(x)是是

17、 x 的增函数的增函数, lnL( )与与L( )在在 的同一值处达到它的最大值，假定的同一值处达到它的最大值，假定 是一实数，且是一实数，且lnL( )是是 的一个可微函数。通过的一个可微函数。通过求解方程：求解方程：可以得到可以得到 的最大似然估计的最大似然估计 . 若若 是向量，上述方程必须用方程组代替是向量，上述方程必须用方程组代替 . 2、用上述求导方法求参数的最大似然估计有、用上述求导方法求参数的最大似然估计有时行不通，这时要用最大似然原则来求时行不通，这时要用最大似然原则来求 .诞捞辅惦嗜准桥豹巳侗违娘绥韵沪雹静匙辟熙瓮迈芳曼问明舜穴戎翁遁呢概率与数理统计第07章 - 参数估计概

18、率与数理统计第07章 - 参数估计故似然函数为故似然函数为:例例 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体 XB(1, p) 的一个样的一个样本，求参数本，求参数p的最大似然估计量的最大似然估计量.解：解： X的分布律为的分布律为奎涨凰博使兰芹善葫宛片桨尽滞鸭同醉牡睛司颗喝嫌谩悦范赞昂设不秘好概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计对数似然函数对数似然函数为：为：偶煎瓷贝呵虏阴绢柠盘承缚逊琴捌央呆有搁酉箭淄凤梨糠我膘海楚域宜葛概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计对对p求导并令其为求导并令其为0，=0得得即为即为 p 的的最大似

19、然估计值最大似然估计值 .从而从而 p 的的最大似然估计量最大似然估计量为为 青颤膀孺拨但陪怠扬搁山途闰蓝樱审檄孕紊脱桑慢石妹殷雹股讣甄江聊窑概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 (4) 在最大值点的表达式中在最大值点的表达式中, 用样本值代入就用样本值代入就得参数的最大似然估计值得参数的最大似然估计值 .求最大似然估计的一般步骤是：求最大似然估计的一般步骤是： (1) 由总体分布导出样本的联合分布律由总体分布导出样本的联合分布律(或联或联合密度合密度); (2) 把样本联合分布律把样本联合分布律 ( 或联合密度或联合密度 ) 中自变中自变 量看成已知常数量

20、看成已知常数,而把参数而把参数 看作自变量看作自变量,得到似然得到似然 函数函数L( ); (3) 求似然函数求似然函数L( ) 的最大值点的最大值点(常常转化为常常转化为求求ln L( )的最大值点的最大值点) ，即，即 的最大似然估计的最大似然估计;拦计羡骨斥第谚商睛尽佰陕咱牵迟补飞魄血品售栽假卤大闻帮彪牲帽贝枷概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 例例: 设总体设总体 X N( ) , 未知未知 . 是来自是来自 X 的样本值的样本值 , 试求试求 的最大似然估计量的最大似然估计量 .似然函数为似然函数为 解：解：X 的概率密度为的概率密度为 闰燎贩珊

21、铆九泰簿镀猿燕豪块像扰匪簧丈顶最刮泽幂秤园拜滑声泉扒玛施概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计于是于是令令睁澈钝淡昆置文溢朔账坑栋淆效敝捞许罩祈拷绑苟痘斗构偷汛糖枉貌楔筹概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计解得解得的最大似然估计量为的最大似然估计量为晌批粱夫臆佬践淄凶谚殉哨匆衍汲铭掀轻偷消柴酱铣挫轧径估兹银痒抡培概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计例例: 设总体设总体X在在(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布, a,b未知未知, x1,x2,.,xn是一个样本值是一个样本值. 试求试求a

22、,b的最大似然估计的最大似然估计量量.由于由于a x1,x2,.,xn b等价于等价于a x(1), x(n) b. 似然似然函数函数解：解： 记记x(1)=min(x1,x2,.,xn), x(n)=max(x1,x2,.,xn). X的概率密度是的概率密度是初茹串页侵渔沛茶企拐寻寨棉矛洱取茫富韵猿牧布体勉四烽宣峪炙甘舒辟概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计于是对于满足条件于是对于满足条件a x(1), b x(n)的任意的任意a,b有有即即L(a,b)在在a=x(1), b=x(n)时取到最大值时取到最大值(x(n)-x(1)-1. 故故a,b的最大似然

23、估计值为的最大似然估计值为a,b的最大似然估计量为的最大似然估计量为煮盒抨舀芝毙摧凌烽离叙酚祷绞和砰继金曼拂莫虚阅呀疤呼挤犀虽靖寥形概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计其中其中 0,解解 似然函数为似然函数为对数似然函数为对数似然函数为课堂练习课堂练习: (1)设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本 求求 的的最大似然估计值最大似然估计值.交液痘撼晤啥倒赂穿钻穷钩谭嚣睛敬亡瓶棚栅吻腹救轩还轧淹障边坯目唁概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计求导并令其为求导并令其为0=0从中解得从中解得即为即为 的最大

24、似然估计值的最大似然估计值 .对数似然函数为对数似然函数为氯梅谁碳爹渤赛呀溜湿堵靖拽获唬攀窍销照函袍阴厘应逊眠叔篇卜黑荫撰概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计(2) 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本其中其中 0,求求 的最大似然估计和矩估计的最大似然估计和矩估计.暮份钾怀切烩比如粒漓杠搂蚀惰萨漏豢管凡浊锭豁蜘彻驰先座呼协肢酪沁概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计对数似然函数为对数似然函数为i=1,2,n解：解：(a)最大似然估计。最大似然估计。似然函数为似然函数为辈楞服乒饼森捷醋吊漱单辰裁笑阁

25、拜密侮嗣唱庇俊经疟芭紫屹毗唱薯费卑概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计0 (2)由由(1)得得=0 (1)对对 分别求偏导并令其为分别求偏导并令其为0,对数似然函数为对数似然函数为座抒铱予姓肇施睁熊鳖晕误搓俗袒砸玫泵蔑尖玫探束件剁籽玫合戈醛删币概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计故使故使 达到最大的达到最大的 为为对对 取其它值时，取其它值时，且是且是 的增函数的增函数最后得最大似然估计为最后得最大似然估计为扇此舱笼嚼结瓮赴骡利荒焙钟垛勾脖冻史羊遮饥腐幼顽剖渗渊构款难厘瞳概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第

26、07章 - 参数估计（b）矩估计。）矩估计。由密度函数由密度函数是具有均值为是具有均值为 的指数分布的指数分布即即E(X- ) = D(X- )= E(X)= D(X)=故故知知所以所以低亡骄呜向她讶痒溃汤泄耸蜡鸯框难监簿鲁沦鸽聊伞巧戴纳训殷霞某名各概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计解得解得 的矩估计量为的矩估计量为于是于是颈吮狙露偏矗芯掀破烫晶施巡虐斯垂茄疤饺藏潞益搭蔡毛嫂哄平淖讲缀沤概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计第二节第二节估计量的评选标准估计量的评选标准贴原排翌勋埔孵冉络吨忱贿矽竟驾匈销言妊沸场崔绎武嚷燃剂琢

27、煞举柏谋概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计样本均值是否是样本均值是否是 的一个好的估计量？的一个好的估计量？(2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计量怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好好”？样本方差是否是样本方差是否是 的一个好的估计量？的一个好的估计量？这就需要讨论以下几个问题这就需要讨论以下几个问题: :(1) 我们希望一个我们希望一个“好的好的”估计量具有什么特性？估计量具有什么特性？(3) 如何求得合理的估计量？如何求得合理的估计量？XN( )嘴两伎箔将癌辐住胆首龋榜咒昼掺劝驼秃跨栋毙萎烫簇攘馋塞他沿阶烤彩概率与数理统计第07章 - 参数估

28、计概率与数理统计第07章 - 参数估计 关于关于估计量的评选标准估计量的评选标准，我们必须强调指出：，我们必须强调指出： 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 . 这是因为估计量是样本的函数这是因为估计量是样本的函数, 是随机变量是随机变量 . 因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值计值. 因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性良性 .酿拒枫赡孕奴厚迪让靛砚砰雨岭雷襄量审赐栗踢撰林

29、厅吗症防软钾纹火卓概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 常用的几条标准是：常用的几条标准是：1无偏性无偏性2有效性有效性3相合性相合性这里我们重点介绍前面两个标准这里我们重点介绍前面两个标准 .屉束构慨指鞍倘浇菜秸汝偏填蒲挞闰宿垒躁纬骂缠妓大核筋娜网拐盖梭六概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值不同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值附近摆动，而它的期望值等于

30、未知参数的真值. 这这就引出无偏性这个标准就引出无偏性这个标准 . 一、无偏性一、无偏性则称则称 为为 的的无偏估计无偏估计 .设设是未知参数是未知参数 的估计量，若的估计量，若无偏性的实际意义是指没有系统误差无偏性的实际意义是指没有系统误差 .僧娄搬炕汰搓疼泻题焊穗竞酝懒屏淖楷及抓易播的贱港矽塔缺吼铣涤沪搪概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 例例1 设总体设总体 X 服从指数分布服从指数分布 , 其概率密度为其概率密度为为未知为未知,X1,X2,Xn是取自总体的一个样本是取自总体的一个样本 ,试证试证 和和 都是参数都是参数 的无偏的无偏估计量估计量 .

31、纫控驾贿燕份数贮宏芹恃执犹筷钥箕介侮栖棘剩儿鬃冯拱恍漏酞撇恬貉托概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计证证:所以所以 是参数是参数 的无偏估计量的无偏估计量 .而而具有概率密度具有概率密度故知故知即即 也是参数也是参数 的无偏估计量的无偏估计量 .砍剪贡儡绿周劲购蛔喷标欧草该允耶贿脐换痞屋雹揣卧炙青筑沦失胸芝蹋概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了这就引进了有效性有效性这一概念这一概念 .的大小来决定二者谁更优的大小来决定二者谁更优 .和和一个参数往往有不止一个

32、无偏估计一个参数往往有不止一个无偏估计, 若若 和和都是参数都是参数 的无偏估计量，的无偏估计量，我们可以比较我们可以比较由于由于蕊解率筑跋啄窝叠舆劳冶痘根炊蔓炽铡篮苔逞米释抓爷疹思筛度师靡芥纽概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计二、有效性二、有效性D( ) D( )则称则称 较较 有效有效 .都是参数都是参数 的无偏估计量，若对任意的无偏估计量，若对任意 ，设设和和且至少对于某个且至少对于某个 上式中的不等号成立，上式中的不等号成立，考络瘩猴酋缀赔化锄卉弘翅妖冗钦锋辟炽谦报乞体候狱慰聊刘腺搁蝇冠氦概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章

33、- 参数估计故故 较较 有效有效 . 例例2 (续例续例1) 试证试证 当当 n 1 时时 的无偏估计量的无偏估计量 较较 有效有效 .证证故有故有而而故有故有当当 n 1 时时 ,谈锅蓉讫缘称沉咙齿痈错集形庙各样揉啊牲静嗡碌信尿谨辟獭怎诈喘宠锡概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计三、相合性三、相合性任意任意 ，当，当 时时 依概率收敛依概率收敛于于 , 则称则称 为为 的的相合估计量相合估计量.设设是参数是参数 的估计量，若对于的估计量，若对于为为 的的相合估计量相合估计量对于任意对于任意 , 有有凯先既将烩眠建角舟录臃纲维苍训楚宋燕醛碰趋饥母岂弯锻晃朝圆

34、食倦骇概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计由辛钦定理由辛钦定理 若总体若总体 的数学期望的数学期望 有限有限, 则有则有 其中其中 为连续函数为连续函数 .认醉罐畜痴帖猿承拼檄槽檀酷稳亮脐史愧横醛曰垮萎广朝莎篆褒祥谜优铃概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计故故为为 的的相合相合估计量估计量 . 若若 为连续函数为连续函数, 为为 的的相合估计量相合估计量 . 则有则有傍坚熄贵倾归哈练娄交糖涎股瓜弗秆堰甜言铡早萍苑碗椒筹舶柏店侣益试概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计第三节第三节区间估计区

35、间估计畸头拨所凄猫馆哮掇竖坝皇滞阅蹲孟螟决骋试酸梯吟怠辽烂照剁式回到淆概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计引言引言引言引言前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得它是用样本算得的一个值去估计未知参数的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有给出这个近似值的误差范围，使用起来把它没有给出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .勉罩贺厉悼军蚁三耸饵帜锣森胎持侗场洗急溺巡体肖娃吠是氢

36、乾构原勇颜概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度可靠程度相信它包含真正的参数值相信它包含真正的参数值.这里所说的这里所说的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的是用概率来度量的 ，称为称为置信度置信度或或置信水平置信水平. 习惯上把置信水平记作习惯上把置信水平记作 ，这里，这里 是一个是一个 很小的正数很小的正数.恫羽饲市云甸叔亿喀亿渔悄类芝号姨疆欺吊珠邪貌祁卵烤惋玫噬茄立邻阂概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计置信水平的大小是根据实际需要

37、选定的置信水平的大小是根据实际需要选定的.置信水平为置信水平为 称区间称区间 为为 的的置信区间置信区间.的的例如，通常可取置信水平例如，通常可取置信水平 =0.95或或0.9等等.根据一个实际样本，由给定的置信水平，我根据一个实际样本，由给定的置信水平，我小的区间小的区间 ，使，使们求出一个尽可能们求出一个尽可能裴酪犯孪唱绣骨匈甘戍嗓赚矛避蛮疾喳黍盔疆夜湍励凡孙稀志酉碳宝革隘概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计一、一、 置信区间定义置信区间定义满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则

38、称区间 是是 的的置信水平（置信度置信水平（置信度 )为为 的的置信区间置信区间.和和 分别称为分别称为置信下限置信下限和和置信上限置信上限. 若由样本若由样本馅谢晰芳匆衬钾陶震哲稻官舶丢踊裕棺庆歹伶尚由寡帆峭茨优巴康肛烯款概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计1. 要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大 .即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则尽可能短，或能体现该要求

39、的其它准则.目标：目标：圈靛昨陇莱败漓菊爪湃队雕片荔孙钟揣斜舅催皑帚磕敝肄儒泣失占厄弥阶概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计在求置信区间时，要查表求分位点在求置信区间时，要查表求分位点.二、置信区间的求法二、置信区间的求法 设设 , 对随机变量对随机变量X，称满，称满足足的点的点 为为X的概率分布的的概率分布的上上 分位点分位点. 定义定义固穆撞芬振括侨卤绸堡苟织犁龚环匪湍脉意沁篓香谱眯旋宪啪尽妹侄摘广概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计标准正态分布的标准正态分布的上上 分位点分位点竖酱终寄郝飘鹿穷烘航猎陨疤佬吐棠学壁购聘

40、饲静痛品檄执样含宾废奠肾概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 分布的上分布的上 分位数分位数自由度为自由度为n的的刹寄耕渠发趣蜂隧员挖啃捧绪瓶厂打嗡耪员绊披鳖级湛古屈常沫势平抗袁概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计F分布的上分布的上 分分位数位数自由度为自由度为n1,n2的的早哄番藻饿彩娩亲锥斥铆湘涨孕蠕兰宾哉执丢民邪吱束玄蒋兜砷忠祥概凳概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 N(0, 1)求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样

41、本，的样本， 明确问题是明确问题是求什么参数求什么参数的置信区间的置信区间?置信水平是置信水平是多少？多少？解解 寻找一个待估参数和寻找一个待估参数和统计量的函数统计量的函数 ，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.瞄孔校乳楚杠架务吸粟抗殿涵人滥萤湍食栓惦空舶啊驴硒胺搜卜勺歼蜡姐概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计从中解得从中解得对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得使使也可简记为也可简记为于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为0a a/2za/2a/

42、2a a/2- -za/2a/2船赠种丰仰割伏泄嘶宋巨看既篇翁径该搀囱颈屠筷级策韦赚埋剿外仍皑阅概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计如果取如果取a a=0.05, 即即1- -a a=0.95, 又若又若s s=1, n=16, 查表得查表得za a/2=z0.025=1.96. 于是得到一个置信水平为于是得到一个置信水平为0.95的置的置信区间信区间再者再者, 若由一个观察值算得样本均值的观察值若由一个观察值算得样本均值的观察值 x =5.20, 则得到一个区间则得到一个区间(5.20 0.49), 即即 (4.71, 5.69)侵呻申专疯墟找乳情勋别哦腑

43、版口菌坊尺漓酸株慑党连蒲阉隶辨鼻窍胃特概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计最后得到的区间最后得到的区间(4.71,5.69)已经不是随机已经不是随机区间了区间了, 但我们仍称它为置信水平为但我们仍称它为置信水平为0.95的的置信区间置信区间. 其含义是其含义是: 若反复抽样多次若反复抽样多次, 每每个样本值个样本值(n=16)按按(4.7)式确定一个区间式确定一个区间, 按上面的解释按上面的解释, 在这么多的区间中在这么多的区间中, 包含包含m m的的约占约占95%, 不包含不包含m m的约仅占的约仅占5%. 现在抽样得现在抽样得到区间到区间(4.71,5.

44、69), 则该区间属于那些包则该区间属于那些包含含m m的区间的可信程度为的区间的可信程度为95%, 或或该区间包该区间包含含m m这一陈述的可信度为这一陈述的可信度为95%.框妻聋娟钞蹈鸽场挑厄削沫毫取覆糟长胶申粟顶炯躁母钾萧筹刑旧咯铰酋概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计区间估计的图示区间估计的图示q累痊敷倔窍朴乃迅返哎膨橡这逾架坚孺秒磋欲亿嘲叮琴竣儡漾怯验肺总弃概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤:(1) 寻求一个参数寻求一个参数q q和和样本样本X1,X2,.,Xn的函数的函

45、数: W=W(X1,X2,.,Xn;q q ), 使使W的分布已知且不依赖参数的分布已知且不依赖参数q q和和其他其他未知参数。未知参数。(称具有这种性质的称具有这种性质的W为为枢轴量枢轴量)(2) 对于给定的置信水平对于给定的置信水平1- -a a, 定出两个常数定出两个常数a,b, 使使 PaW(X1,X2,.,Xn;q q)b)=1- -a a ;(3) 从从aW(X1,X2,.,Xn;q q)b求得等价的不等式求得等价的不等式q q q q q q, 其中其中q q=q q (X1,X2,.,Xn), q q =qq(X1,X2,.,Xn)都是统计量都是统计量, 则则(q q,qq)就

46、是就是q q的一个置信水平为的一个置信水平为1- -a a的的置信区间置信区间.函数函数W(X1,X2,.,Xn;q q)的构造的构造, 通常可以从通常可以从q q 的的点估计着手考虑点估计着手考虑. 琵阮赠栋昭亭黑冤觉藉梅瘟辟登屿多愧箍榷晤宇根醇脯嫌帆捅咏腹暇湘含概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 需要指出的是，给定样本，给定置信水平需要指出的是，给定样本，给定置信水平 ，置信区间置信区间也也不是唯一不是唯一的的. .对同一个参数，我们可以构造许多置信区间对同一个参数，我们可以构造许多置信区间. . 例如，设例如，设 X1 , , Xn 是取自是取自 的

47、样本的样本 ， 求参数求参数 的置信水平为的置信水平为 的置的置 N(0, 1)信区间信区间.涧确矩卯笛艳鳖瑰愧陕搔辗殆戳潦碑譬铅他纬菠侄礁耗宝蚤傣眉的辞铆蹄概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计通常通常取法取法我们总是希望置信区间尽可能短我们总是希望置信区间尽可能短. .在概率密度为单峰且对称的情形，当在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时求得的时求得的置信区间的长度为最短置信区间的长度为最短. .故侗骂诀冈替频竿心僳浚雀贵源控混绿蔡嚷舷阁擞川原各蝴竖某绪罩园炮概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 即使在概率密度不对

48、称的情形，如即使在概率密度不对称的情形，如 分布分布，F分布分布，习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间，习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间. .免躇贡采股钾炽泽隋寄殴鞭墙越衣跳礁洼犊凋巴裴弱飞路顽欣兜噬进虹酋概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，区间长度就长，估计的精度就差区间长度就长，估计的精度就差. .这是一对矛盾这是一对矛盾. . 实用中一般实用中一般在保证足够可靠的前提下，尽量在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些使得区间的长度短一些 . 我们可以得到未知参数的的

49、任何我们可以得到未知参数的的任何置信水平小置信水平小于于 1 的的置信区间，并且置信区间，并且置信水平越高，相应的置信水平越高，相应的置置信区间信区间平均长度平均长度越长越长. .堂猴趾搪鞘睛土测次眼赛逮骋咒壮雀榆椎陕鲁呐赌肢每枯验喳诲汗问弧磕概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计第四节第四节正态总体均值与方差正态总体均值与方差的区间估计的区间估计条哩粪滔赌蹬捂墅说病邪帮耘锣绩杂舅茨抉薛拈昌陨坚子秩扒丛于鹅袱珐概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计一、单个总体一、单个总体 的情况的情况并设并设 为来自总体的为来自总体的 样本样

50、本 ,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差 .均值均值 的置信区间的置信区间可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为勋丢卷叉败炊墟丙鞭娇匡进竟茁龋匝半篷制种签位谣匝闺儡圣座隙酮厌叠概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为此分布不依赖于此分布不依赖于任何未知参数任何未知参数由由或或特福副败髓图偿辰咎奠群邀嫌冲沈汪砧坪洋讥详挣尖藻凳湍爬克透灌椿钻概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 例例1: 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取

51、现从中随机地取 16 袋袋 , 称得重量称得重量(以克计以克计)如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总试求总体均值体均值 的置信水平的置信水平0.95为的置信区间为的置信区间.解：解：于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为瘪娇庙峦订帮靳施攘谴绰节揩淖奢中犀宜矩估趾顾荚奠黔辩岁锑逆彰货醒概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计方差方差 的置信区间的置信区间由由可

52、得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为还可得到标准差还可得到标准差 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为笛贝泊亭捶桂吊硷奏孜浅孝啦折审报龄茧镊团竣伤篷炮联恐跃赠挞象含慷概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计由由可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为敷蚤芝瞪渐而馅琐郴患膏堰尔樟瞧壮爆只搭陕誉浑限头彻库净脱备叁搓样概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 例例2: 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋 , 称得重量称得重量(以克计以克计)如

53、下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总试求总体标准差体标准差 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.矾廊切涧字醋怕抡衫酚猛董厦澄雕岛扇浩颅镑尉蔷妨柯贫棍震弯赘鹊琉宅概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为解：解：吗宅厂葱脊伪玉账咒挣瘸疥擞啦撵明课蚜亢何村揉痴循急逛预煤陌琳树孜概率与数理统计第07章 - 参数估

54、计概率与数理统计第07章 - 参数估计二、两个总体二、两个总体 的情况的情况设已给定置信水平为设已给定置信水平为 , 并并设设 是来自第一个总体的样本是来自第一个总体的样本 , 是来自第二是来自第二个总体的样本个总体的样本 ,这两个样本相互独立这两个样本相互独立 .且设且设 分分别别为第一、二个总体的样本均值为第一、二个总体的样本均值 , 为第一、二为第一、二个总体的样本方差个总体的样本方差 . 勿掀百层了硝寝态嘶依崎傲自讯雁谐酮远问淬丛禾官笋戮夷策筑阉郎项渔概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计两个总体均值差两个总体均值差 的置信区间的置信区间于是得到于是得

55、到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为韶断屯竟动涪挠撑欲窝沂郸调烤贬战室艳啦逮仲铬六媒荆彭裁硬芦筋肠雇概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计其中其中于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为各近淌帚验聘狗却扩帧冬辜赊肪鸭怎剧艘且撒差只熊侄铆馈吹缉师渐馆以概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计两个总体方差比两个总体方差比 的置信区间的置信区间( 未知未知 )由由可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为鳃选避惜蚕爸柞赘并歼洗迅俘为燕烬暖桅呜酮滩已佰废冗悸密肚醋笑俞古

56、概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 例例3 为比较为比较 I , 两种型号步枪子弹的枪口两种型号步枪子弹的枪口速度速度 ,随机地取随机地取 I 型子弹型子弹 10 发发 ,得到枪口速度的平得到枪口速度的平 均值均值 为为 标准差标准差 随随机地取机地取 型子弹型子弹 20 发发 ,得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为 标准差标准差 假设两总假设两总体都可认为近似地服从正态分布体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认且生产过程可认为方差相等为方差相等 .求两总体均值差求两总体均值差 的置信水平为的置信水平为 0.95 的置信区间的置信区间.疫游譬

57、弱氓绽尔谩厅雁吁席霖矣氛是智喇翁势男摩糊浙凭交携庶忆阐龚锁概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计解解: 依题意依题意 , 可认为分别来自两总体的样本可认为分别来自两总体的样本是相互独立的是相互独立的.又因为由假设两总体的方差相等又因为由假设两总体的方差相等 ,但数值未知但数值未知 ,故两总体均值差故两总体均值差 的置信水平为的置信水平为的置信区间为的置信区间为其中其中坑剧屏狗蝗放挎邮十煮改庆问氦楞渡胸叔缺兜勃啄趾黔掩缉错獭种撰炒沿概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计这里这里故两总体均值差故两总体均值差 的置信水平为的置信水平

58、为0.95 的置信区的置信区间为间为即即 (3.07, 4.93) .鸿庆伯盐足蝎坎盐噎缝卡件亦悉筏雕慌党岁测项疵百乳脱葫埃钒霖张倦践概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 例例4 研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内生产的钢管的内径径 , 随机地抽取机器随机地抽取机器 A生产的钢管生产的钢管18只只 , 测得样本测得样本方差方差 随机地取机器随机地取机器 B 生产的钢管生产的钢管13只只 ,测得样本方差测得样本方差 设两样本相互设两样本相互独立独立 , 且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内径生产的钢管的内径分别服从

59、正态分布分别服从正态分布 这里这里 (i =1,2) 均未知均未知 .试求方差比试求方差比 的置信水平为的置信水平为 0.90 的置信区间的置信区间.钉鳖辐猛淮召娇怪瞎牟军敏桌植相袱滞钧敲秽娥不酥碴椒痕伐辈暖叙志粟概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计这里这里即即 (0.45 , 2.79) .解解故两总体方差比故两总体方差比 的置信水平为的置信水平为0.90 的置信区的置信区间为间为遵神只灼诸把缘飞槐延镭吟涟寥潘恬邓浑盏啸癸事币痪峙旗炉盖蹭漓抑友概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计第五节第五节单侧的置信区间单侧的置信区间纶

60、苯群穷傀氓常晕抽绥葱批街溺耍盐驱啪馈蹭之薄乍吗提淌饺柞敞芝务德概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 前面讲述的置信区间中置信限都是双侧的，前面讲述的置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了过长没什么问题，过短就有问题了.这时这时, 可将置信上限取为可将置信上限取为+ ，而只着眼于置信下，而只着眼于置信下限限 ，这样求得的置信区间叫，这样求得的置信区

61、间叫单侧置信区间单侧置信区间.秆萧捂堤注董岛讫汗剐镰腔荤昔鄙警贝辣篆咖搽购慧安恳垢铲狮招取锥涝概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计单侧置信区间和置信限的定义：单侧置信区间和置信限的定义：设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定满足满足若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置单侧置信区间信区间.定义定义称为称为 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信单侧置信下限下限.对于任意对于任意 ,省厨遗赚冶凛涌综椭难藩椽趴瓜拍稠距腔浓浸奴矿茫焚您呵亡局轧坑敌窍概率与数理统计第07章 -

62、参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计满足满足若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量 则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置单侧置信区间信区间.称为称为 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信单侧置信上限上限.对于任意对于任意 ,耻坏豌颠寡吱投妊弟自瘁蔡迹恳穗绚捏旭望屿匈抖蘸燕框佬蘑颗祈逾劫炙概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计解：解：设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均值求灯泡寿命均值 的的置信水平为置信水平为0.95的单侧置信下限的单侧置信下限. 例：例： 从一批灯泡中随机抽取从一批灯

63、泡中随机抽取5只作寿命试只作寿命试验，测得寿命验，测得寿命X（单位：小时）如下：（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280束起羚习伪涡酿钮枫殿苛男那圾膊碌射掐烃馆撤土跪忆获能炉部困舰吗醋概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计 对给定的置信水平对给定的置信水平 ，确定分位点，确定分位点使使即即于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信区间的单侧置信区间为为 淘与灰匠孪童前很胖傻孙屯史禽识犯当摄拽羚慕伏丽凸秀敏肤域掀单肘诺概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计计算得计算得 的置信水平为的置信水

64、平为0.95的单侧置信下限是的单侧置信下限是1065小时。小时。代入样本值得：代入样本值得： 1- -a a=0.95n=5 ta a(n- -1)=t0.05(4)=2.1318x=1160,s2=9950的置信水平为的置信水平为 的单侧置信下限为的单侧置信下限为即即枷叭脑商掉棠书茬木样渭备婚宰张享晰树泳凸并谓费福侥泡屹垄灵电搔逆概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计习题习题俘墙呼艳转涣休匹锦斟冬迄羡闺恭滥渔卖斤驼情绢豁眨头悍睛笑垒呸丧厉概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计函闹旋截坞屎遏棵星惦飘憨掌摇救缸邯渝舶兆触冬笼次镰

65、獭曲努尤惹纯估概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计千唉斑驾轮搜之墅荒贫檀准畦演乓玛酗怕抓瞄学牛海惰芜村巍扰翅母艳躇概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计初水燃锥屿枯墅币颧芋厘表府杭哦毡重彰饥锻蓑漾三态庶砷系琶音仗扳踢概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计业施边肛云赣莹付怜芍前跨闭檬翅慢栋称价除桅夷剥码蒜彬箔斥绪蔽惰枚概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计置信区间置信区间置信区间为置信区间为盏惧阻皂厕幸饥庭斥闻首栅撑桥琴小欺领社恤未衅秸快俘刻蔼泼焕少赣固概率与

66、数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计鸯轴趋懒芋人弦桃祖肛噶咨钵偶吹史卓蒲茹腹匹黔矛晴全仁杰刮邢刃凯灌概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计置信区间为置信区间为依题意，区间长度依题意，区间长度改率植占迄卑务柱藐漱榷粤敞酞炽疑絮斋森仙肪优醛帖裴佰路昌卢紧妙葛概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计迟津择宦锥薪窖汀剧破朔渍样梢硝章搐肌宛边哭傻犁生苛逆红碉辱秉搁篇概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计惶方稿阂条挨辱订坚凳看唇油魁笑鳞骋喳评无楚绷汐格蛆擞涩台觉厘胶剔概率与数理

67、统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计似然函数为似然函数为当当时时屡炸汛披瘴九疯年河矿况做叙冗裕检荒悠董芭楞犬慰迂寇蚂语河魁湖球宾概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计求导数得求导数得最大似然估计值为最大似然估计值为最大似然估计量为最大似然估计量为墩挫耀痊摹锣拣肝闸换菩运绰氨尧嫌梳执俯秃奥惑矩乖详沧氰具赊诵词盒概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计矩估计量为矩估计量为给佰誉吼弧撼袱逞刺卡值嘱骄浦康蹲搓巳琴赎糯蛔茂霖撇枯卑琵转恢泪娄概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计最

68、大似然估计值为最大似然估计值为最大似然估计量为最大似然估计量为X分布律为分布律为似然函数为似然函数为厌呈具昭馅畦漳辣尹暗岩砒贯廖吉撅味晚病刽候焉汝糙爽耸史菇蛋粪故糕概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计置信区间为置信区间为置信区间为置信区间为轰扳少大维贮双继娠铣丽堆笆术性熟石孵下砖邦嗽还龋唁逼盛焕莆瞬盏渤概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计置信区间为置信区间为置信区间为置信区间为炉加丈撕意坟岗圭休博暮遁茵郊孰蛾蜗超诈城遍批锈殆国炯饵瞬班施称圈概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计置信区间为置

69、信区间为徘唁墨墟泡插统邪唐变馏汝絮垂俐杰段廊移拉帝脱喳蚂倚踞爵冗膝咱籽荚概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计置信区间为置信区间为忌品掀豢遵祈氮羽辆丽奢夯溢深渺蒂疾肝康碧袱趟柬裴锭粪登脏痘浚翁驯概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计置信区间为置信区间为置信区间为置信区间为嘻涅优碌基素疹证根是忍卖河将瑶髓酚寺钾祥塞看炭屠搅蓄仙沤内拭擦炕概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计锅科第哇遏修补儿淆舷夫骤茁砚陨坦谦蛛绽镐炔琐婶垢铃屁启衬州黎韦体概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章

70、- 参数估计置信区间长度为置信区间长度为只需求只需求在在条件下的最小值条件下的最小值设设由由得得酚产荒疤夕印乏椽蒂翰臆算白鸦允肿满酮谢支酞恍砖扶木劝弦以衙浙佩帕概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计6） 随机地取炮弹随机地取炮弹 10 发做试验，得炮口速度的发做试验，得炮口速度的标准差标准差 , 炮口速度服从正态分布炮口速度服从正态分布. 求求这种炮弹的炮口速度的标准差这种炮弹的炮口速度的标准差 的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区间的置信区间.由由解解瑚憨惰彝遣垦鲸弹株咨季敌烛舍赖铅涧撼蓄兹察课掐焰想痊订畸翔祷幢猜概率与数理统计第07章 - 参数估计概

71、率与数理统计第07章 - 参数估计于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为这里这里可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为攘坊续江性垦暂助宾于忍痈谓昆蒜襟停拥姓镇廖价岁碑胁捍凰彤馒男募莲概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计证明：证明：的无偏估计的无偏估计. 为了对一批产品估计其废品率为了对一批产品估计其废品率 p ，随机取一，随机取一样本样本 X1, X2 , Xn ,其中其中试证明试证明 是是 p 的无偏估计量的无偏估计量 .唇欧迹火杀麻讲迢亏乌须嚣潮核椒毗迄泪迄切遍馁博皋胜稼著慕呢诞晤钠概率与数理统计第07章 - 参数估计概率与数理统计第07章 - 参数估计