有限元复习与总结

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1、有限元方法的两大应用：1、科学计算2、数字设计/1/1、基本思想、基本思想： 先化整为零，再集零为整先化整为零，再集零为整。 即将原结构划分为许多小块即将原结构划分为许多小块( (单元），用单元），用这些这些离散单元的集合体代替原结构离散单元的集合体代替原结构用近用近似函数表示单元内的真实场变量，从而给似函数表示单元内的真实场变量，从而给出离散模型的数值解。能灵活处理和求解出离散模型的数值解。能灵活处理和求解各种复杂问题各种复杂问题, ,应用广泛应用广泛 /2/2、技术路线、技术路线1 1）标准化）标准化（理论研究：任意复杂问题（理论研究：任意复杂问题 标准化分解，标准化分解， 单元建模单元建

2、模 有限种标准单元）有限种标准单元）2 2） 规范化规范化（前处理：（前处理：CADCAD、力学建模、求解，后处理显示）、力学建模、求解，后处理显示）3 3）电算化）电算化 （标准程序、模块）（标准程序、模块）4 4）应用的规模化、普及性）应用的规模化、普及性 （可求解大型计算问题）（可求解大型计算问题）有限元法的基本推导过程是：假设单元的位移场模式 代入到几何方程得到 代入到物理方程得到 代入到虚功方程，得到单元刚度方程 叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程 3 3、有限单元法的特点、有限单元法的特点一、特点一、特点（1 1）概念简单，容易理解。）概念简单，容易理解。（2 2）适应性强，应用范围

3、广泛。）适应性强，应用范围广泛。 1 1）对于复杂几何形态构件的适应性。）对于复杂几何形态构件的适应性。（划分空间有一维梁杆单元，二维有三角形、四边形，三维（划分空间有一维梁杆单元，二维有三角形、四边形，三维单元有四面体、六面体单元有四面体、六面体 等）等） 2 2）对各种构型问题都有适应性。）对各种构型问题都有适应性。（杆件问题、弹塑性、粘弹性问题、动力问题，流体力学、（杆件问题、弹塑性、粘弹性问题、动力问题，流体力学、热力学、电磁学，复杂非线性问题热力学、电磁学，复杂非线性问题）（3 3）采用矩阵形式表达，有利于计算机引入）采用矩阵形式表达，有利于计算机引入, ,具有计算的高效性具有计算的

4、高效性. .（4 4）需编程，前后处理较麻烦。）需编程，前后处理较麻烦。6 6、有限单元法分类、有限单元法分类位移法：易于实现自动化，应用范围广。位移法：易于实现自动化，应用范围广。力法力法: :单元插值函数难求单元插值函数难求混合法混合法/7/7、有限单元法分析过程、有限单元法分析过程概述概述结构离散化单元分析整体分析变形体单元类型选择单元划分结点编码选择位移函数分析单元力学特征集成整体结点载荷向量集成整体刚度 方程引入边界求解8、有限元思路框图解综合方程K= P求结构节点位移计算结构内力和应力系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵K形成等价节点荷载P )离散（剖分）结构为若干单元单元分

5、析(建立单元刚度矩阵ke形成单元等价节点力)9 9、单元划分、单元划分（i）网格的加密： 网格划分越细，结点越多，计算结果越精确。（ii）单元形态应尽可能接近相应的正多边形或正多面体。如图1-1，1-2(iii)单元结点应与相邻单元相连接，不能置于相邻单元边界上，如图1-3示(iv)同一单元由同一种材料构成(v) 网格划分应尽可能有规律，以利于计算机自动生成网格(3)(3)结点编码结点编码：整体结点编码和单元节点编码。10、单元分析、单元分析(1)(1)选择位移函数选择位移函数 对结构离散化成单元的集合体后对结构离散化成单元的集合体后, ,对于单个单元对于单个单元, ,可以遵循某些基本准则，用

6、较之以整体为对象简可以遵循某些基本准则，用较之以整体为对象简单得多的方法设定一个简单的函数为位移的近似单得多的方法设定一个简单的函数为位移的近似函数函数, ,称为称为位移函数位移函数. .一般为多项式形式一般为多项式形式, ,有广义坐有广义坐标法和插值法标法和插值法. .(2)(2)分析单元的力学特征分析单元的力学特征 (i)(i)单元单元应变应变转换矩阵转换矩阵BB： 单元应变矩阵反映单元应变矩阵反映出单元节点位移位移与单元应变应变之间的转换关系，由几何学条件导出，由几何学条件导出. (ii)(ii)单元应力矩阵单元应力矩阵SS： 单元应力矩阵单元应力矩阵反映出单元结点位移与单元应力反映出单

7、元结点位移与单元应力之间的转换关系之间的转换关系，由物理学条件导出，由物理学条件导出. .(iii)(iii)单元刚度矩阵单元刚度矩阵KKe e 单元刚度矩阵单元刚度矩阵反映出单元结点位移反映出单元结点位移 与单元节点力与单元节点力 之间的关系之间的关系, ,由平衡条件由平衡条件导出，所得到的转换关系式称单元刚度方导出，所得到的转换关系式称单元刚度方程程思考题1.1.有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本思想是什么？2.2.有限元法的特点是什么？有限元法的特点是什么？3.3.单元的划分应注意哪些问题？单元的划分应注意哪些问题？4.4.有限元法中单元分析的内容是什么？有限元法中单元分析的内容是

8、什么？5.5.概述有限元方法的分析过程。概述有限元方法的分析过程。平面问题包括：平面应力、平面应变和轴对称平面平面应力力问题的基本特征：的基本特征：1）几何特征物体在一个方向（z)的尺寸远远小于其它两个方向（x,y)的尺寸。几何为均匀薄板。2）受力特征薄板的两个侧面上无载荷作用边缘上受到平行于板面且沿板厚均匀分布的面力作用；体力平行于板面且不沿板厚变化（x,y的函数）平面应变问题的基本特征：1）几何特征一个方向（z)尺寸远远大于其它两个方向（x,y)的尺寸,呈现为无限长等截面柱体。2）受力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿纵向不变化。通常用多项式函数作位移模式，对三节点三角形单元，有

9、6个待定节点位移分量，所以单元上的位移函数只能是含6个待定系数的完全一次多项式：1111、位、位 移移 首先，我们来分析一下三角形单元的力学特性，即建立以单元节点位移表示单元内各点位移的关系式。设单元e的节点编号为i、j、m，如图3-2所示。由弹性力学平面问题可知，每个节点在其单元平面内的位移可以有两个分量，所以整个三角形单元将有六个节点位移分量，即六个自由度。用列阵可表示为：其中的子矩阵（i，j，m 轮换） (a)式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。(5-7) 从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就确定了。但是，如果只知道弹

10、性体中某几个点的位移分量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接 在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，所以在其内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本方程在每个单元内部同样适用。起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种化繁为简、联合局部逼近整

11、体的思想，正是有限单元法的绝妙之处。 基于上述思想，我们可以选择一个单元位移模式，单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过插值而获得。线性函数是一种最简单的单元位移模式，故设(b)式中 1、2、6是待定常数。因三角形单元共有六个自由度，且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式，得：(c)由 (c) 式左边的三个方程可以求得 (d)其中(5-8) 从解析几何可知，式中的 就是三角形i、j、m的面积。为保证求得的面积为正值，节点i、j、m的编排次序必须

12、是逆时针方向，如图2-2所示。图2-2 平面三角形单元将 (d) 式代入 (b) 式的第一式，经整理后得到 (e)其中同理可得若令这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为（i , j , m轮换） (5-10)（i , j , m轮换） (5-9)(f) 式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形函数。矩阵 N 叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍为一条直线，即只要两单元在公共节点处保持位移相等。则公共边线变形后仍为密合。 (5-11)也可写成矩阵形式(5-12)三

13、、应三、应 变变有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程求得应变分量。将 (e) 、(f) 两式代入上式，即得：(g)可简写成其中 B 矩阵叫做单元应变矩阵，可写成分块形式而子矩阵由于和bi 、bj 、bm 、ci 、cj 、cm 等都是常量，所以矩阵B中的诸元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都是常量，通常称这种单元为常应变单元。 （i , j , m轮换） (3-15)(3-14)(3-13)四、应四、应 力力 求 得 应 变 之 后 ， 再 将 （ 3-13） 式 代 入 物 理 方 程 ，便可推导出以节点位移表示的应力。即(4-16)(h)(4-17)令则其中 S叫做应力矩

14、阵，若写成分块形式，有对于平面应力问题，弹性矩阵D为(4-18)(i)所以，S的子矩阵可记为（i , j , m轮换） (4-19) 对于平面应变问题，只要将 (i) 式中的E换成E/1-2 ，换成 /1-，即得到其弹性矩阵(j)（i , j , m轮换）(4-20)注意到（4-7）式，则有(4-21) 由（4-19）、（4-20）式不难看出，S中的诸元素都是常量，所以每个单元中的应力分量也是常量。 可见，对于常应变单元，由于所选取的位移模式是线性的，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单元的公共边界上应力和应变的值将会有突变，但位移却是连续的。在上节中，提出了形函数的概念，即其中（i

15、, j , m轮换）现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零，并注意到（4-9）式中的常数ai 、bi 、ci ，aj 、bj 、2-3 2-3 形函数的性质形函数的性质形函数的性质形函数的性质cj 和am 、bm 、cm 分别是行列式2的第一行、第二行和第三行各元素的代数余子式，我们有 形函数在各单元节点上的值，具有形函数在各单元节点上的值，具有“本点是本点是1 1、它点、它点为零为零”的性质的性质，即在节点i上，在节点j、m上，

16、(a)(b)(c)类似地有(d) 在单元的任一节点上，三个形函数之和等于在单元的任一节点上，三个形函数之和等于1 1，即，即(e)简记为(5-22)这说明，三个形函数中只有二个是独立的。三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关、而与其它节点坐标无关。点坐标有关、而与其它节点坐标无关。例如，在i j 边上，有(5-23) 例如，对图5-3所示的单元jm和ijn ，具有公共边ij。这样，不论按哪个单元来计算，根据（5-11）式，公共边ij上的位移均由下式表示图 5-3由(5-23)式可知，在ij边上式中 Ni , Nj 的表达形式如

17、（5-23）式所示。(i) 利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。由此可见，在公共边上的位移u、v 将完全由公共边上的两个节点i、j 的位移所确定，因而相邻单元的位移是保持连续的。为了在以后讨论问题中能够比较方便地确定单元中任意一点处的形函数数值，这里引入面积坐标的概念。 在图2-4所示的三角形单元ijm中， 任意一点P(x , y)的位置可 以用 以下三个比值来确定图2-4 式中 为三角形单元ijm的面积，i 、j 、m 分别是三角形Pjm、Pmi、Pij的面积。这三个比值就叫做P点的面积坐标。 (2-24)显然这三个面积坐标并不是完全独立

18、的，由于所以有：而三角形pjm的面积为：故有：类似地有(2-25) (2-26) 由此可见，前述的三角形常应变单元中的形函数Ni 、Nj 、Nm 就是面积坐标Li 、Lj 、Lm 。 根据面积坐标的定义，我们不难发现，在平行jm边的直线上的所有各点，都有相同的坐标Li ，并且该坐标就等于“该直线至jm边的距离”与“节点i至jm边的距离”之比，图2-4中给出了Li 的一些等值线。 容易看出，单元三个节点的面积坐标分别为节点 i： Li =1 Lj =0 Lm =0节点 j： Li =0 Lj =1 Lm =0 节点m： Li =0 Lj =0 Lm =1不难验证，面积坐标与直角坐标之间存在以下变

19、换关系：(2-27)一一. . 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 为了推导单元的节点力和节点位移之间的关系，可应用虚位移原理对图5-2中的单元e进行分析。单元e是在等效节点力的作用下处于平衡的，而这种节点力可采用列阵表示为(a)假设在单元e中发生有虚位移，则相应的三个节点i、j、m 的虚位移为且假设单元内各点的虚位移为f *，并具有与真实位移相同的位移模式。2-4 2-4 刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵故有(c)参照（2-13）式，单元内的虚应变 *为于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为(d)(f)而单元内的应力在虚应变上所做的功为(g)这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d ）式及（

20、5-16）式代入上式，并将提到积分号的前面，则有根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程，即注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等，即得记(5-32)则有(5-33) 上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚度方程，ke就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的，那么矩阵D 中的元素就是常量，并且对于三角形常应变单元，B矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常量时，上式可以简化为ke =BT DBt (5-34)二二 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 讨论了单元的力学特性之后，就可转入结构的整体分析。假设弹性体被划分为N个单元和n个节点，对每个单元按前述方法进行分析计算

21、，便可得到N组形如（5-33）式的方程。将这些方程集合起来，就可得到表征整个弹性体的平衡关系式。为此，我们先引入整个弹性体的节点位移列阵 2n1 ，它是由各节点位移按节点号码以从小到大的顺序排列组成，即其中子矩阵(j) (i =1,2, , n ) (k) 是节点i的位移分量。 继而再引入整个弹性体的载荷列阵R2n1 ，它是移置到节点上的等效节点载荷依节点号码从小到大的顺序排列组成，即(l)其中子矩阵(i =1,2, , n ) (m)是节点i上的等效节点载荷。(q) 同样，将六阶方阵k加以扩充，使之成为2n阶的方阵 组装总刚k的一般规则：1. 当krs中r=s时，该点被哪几个单元所共有，则总

22、刚子矩阵krs就是这几个单元的刚度矩阵子矩阵krse的相加。2. 当krs中r s时，若rs边是组合体的内边，则总体刚度矩阵krs就是共用该边的两相邻单元单刚子矩阵krse的相加。3. 当krs中r和s不同属于任何单元时，则总体刚度矩阵krs=0。 图中有两种编码：一是节点总码：1、2、3、4；二是节点局部码，是每个单元的三个节点按逆时针方向的顺序各自编码为1，2，3。图中两个单元的局部码与总码的对应关系为： 单元1 ： 1，2，3 1，2，3 单元2 ： 1，2，3 3，4，1或： 单元1 ： 1，2，3 1，2，3 单元2 ： 1，2，3 1，3，4单元e的刚度矩阵分块形式为：三三 整体刚

23、度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质 由总刚度方程可知： 欲使弹性体的某一节点在坐标轴方向发生单位位移，而其它节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点力。 刚度矩阵K中每一列元素的物理意义为： 由（5-41）式可以看出，令节点1在坐标轴x方向的位移u1 =1，而其余的节点位移v1 = u2 = v2 = u3 = v3 = = u2n = v2n =0，这样就可得到节点载荷列阵等于K的第一列元素组成的列阵，即即表示： 是在j节点有单位位移时，而在I节点所需施加的力。(s) 刚度矩阵K中主对角元素总是正的。 例如，刚度矩阵K中的元素k33 是表示节点2在x方向产生单位位移，而其它位移均为零

24、时，在节点2的x方向上必须施加的力，很显然，力的方向应该与位移方向一致，故应为正号。刚度矩阵K是一个对称矩阵，即Krs = Ksr T。由（5-32）、（5-36）式得所以，可以只存储上三角或下三角矩阵。(t) 刚度矩阵K是一个稀疏矩阵。 如果遵守一定的节点 编号规则，就可使矩阵的非零元素都集中在主对角线附 近呈带状。 前面在讨论总刚子矩阵的计算时曾指出，总刚中第r双行的子矩阵Krs ，有很多位置上的元素都等于零，只有当第二个下标s等于r或者s与r同属于一个单元的节点号码时才不为零，这就说明，在第r双行中非零子矩阵的块数，应该等于节点r周围直接相邻的节点数目加一。可见，K的元素一般都不是填满的

25、，而是呈稀疏状（带状）。 以图5-6a所示的单元网格为例，其整体刚度矩阵中的非零子块（每个子块为2行2列）的分布情况如图5-6b所示。 刚度矩阵K是一个奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵。 弹性体在R的作用下处于平衡，R的分量应该满足三个静力平衡方程。这反映在整体刚度矩阵K中就意味着存在三个线性相关的行或列，所以K是个奇异阵，不存在逆矩阵。 在在上上节节讨讨论论整整体体刚刚度度矩矩阵阵时时已已经经指指出出，（5-5-3737）式式中中的的载载荷荷列列阵阵 R R ，是是由由弹弹性性体体的的全全部部单单元元的的等等效效节节点点力力集集合合而而成成，而而其其中中单单元元的的等等效效节节点点力力

26、 R R e e 则则是是由由作作用用在在单单元元上上的的集集中中力力、表表面面力力和和体体积积力力分分别别移移置置到到节节点点上上，再再逐逐点点加加以以合合成成求求得得。根根据据虚虚位位移移原原理理，等等效效节节点点力力的的大大小小，应应按按其其所所做做的的功功与与作作用用在在单单元元上上的的三三种力在任何虚位移上所做的功相等这一原则来确定。即种力在任何虚位移上所做的功相等这一原则来确定。即 上上式式中中等等号号的的左左边边表表示示单单元元的的等等效效节节点点力力 R R e e 所所做做的的虚虚功功；等等号号右右边边的的第第一一项项是是集集中中力力 G G 所所做做的的虚虚功功、第第二二项

27、项的的积积分分是是沿沿着着单单元元的的边边界界进进行行，表表示示面面力力qq所所做做的的虚虚功功、第第三三项项的的积积分分则则是是遍遍及及整整个个单单元元，表表示体积力示体积力pp所做的虚功；所做的虚功；t t为单元的厚度，假定为常量。为单元的厚度，假定为常量。(a)5-5 5-5 等效节点力载荷矩阵等效节点力载荷矩阵等效节点力载荷矩阵等效节点力载荷矩阵根据前面的讨论，现以三角形常应变单元为例来说明应用有限元法求解弹性力学平面问题的具体步骤。力力学学模模型型的的确确定定根据工程实际情况确定问题的力学模型，并按一定比例绘制结构图、注明尺寸、载荷和约束情况等。将将计计算算对对象象进进行行离离散散化

28、化，即弹性体划分为许多三角形单元，并对节点进行编号。确定全部节点的坐标值，对单元进行编号，并列出各单元三个节点的节点号。 计算载荷的等效节点力计算载荷的等效节点力（要求的输入信息）。 由由各各单单元元的的常常数数bi 、ci 、bj 、cj 、bm 、cm 及行列式2 ，计算单元刚度矩阵。 组集整体刚度矩阵组集整体刚度矩阵，即形成总刚的非零子矩阵。 处理约束，消除刚体位移处理约束，消除刚体位移。5-6 5-6 5-6 5-6 有限元分析的实施步骤有限元分析的实施步骤有限元分析的实施步骤有限元分析的实施步骤 求解线性方程组求解线性方程组，得到节点位移。 计计算算应应力力矩矩阵阵，求得单元应力，并

29、根据需要计算主应力和主方向。 整理计算结果整理计算结果（后处理部分）。4.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述一、柱坐标系一、柱坐标系 由于轴对称性质，采用由于轴对称性质，采用柱坐标系（柱坐标系（ r、z ）分析分析轴对称问题轴对称问题4.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述a:a:通过对称轴的任一平面通过对称轴的任一平面都是对称平面都是对称平面b:b:子午面子午面通过对称轴的通过对称轴的任一平面（任一平面（r-zr-z平面）平面）c: c: 如果以对称轴为如果以对称轴为z z轴，轴，则位移、应变、应力都仅则位移、应变、应力都仅为为r r、z z

30、的函数而与的函数而与无关无关 空间的三维问题化为平面的二维问题，即空间的三维问题化为平面的二维问题，即空间域回转体简化为定义在回转体的某个空间域回转体简化为定义在回转体的某个子午面平面域上的物体。子午面平面域上的物体。 本章小结：本章小结： (1)(1)由于轴对称性质由于轴对称性质, ,轴对称问题可简化为二维问题轴对称问题可简化为二维问题处理处理, ,只分析其一子午面只分析其一子午面, ,并在子午面离散并在子午面离散. .(2) (2) 与与平平面面问问题题中中的的三三结结点点三三角角形形平平面面单单元元不不同同，在在本本章章对对轴轴对对称称问问题题的的分分析析中中，采采用用的的单单元元类类型

31、型为为三三结结点点三三角角形形环环状状的的实实体体单单元元，采采用用的的坐坐标标系系为为柱柱坐坐标标系系. .在在单单刚刚及及等等效效载载荷荷的的计计算算中中采采用用的的近近似似积积分分方方式式是是相相当当简简单单也也相相当当有有效效的的，且且三三结结点点三三角角形形环环状实体单元不是常应变单元或常应力单元。状实体单元不是常应变单元或常应力单元。 (3)(3)轴对称问题有限元法中轴对称问题有限元法中, ,刚体位移仅为轴向移动刚体位移仅为轴向移动. .第五章 二维单元本章内容一、矩形单元二、二次四边形单元三、线性三角形单元四、二次三角形单元五、轴对称单元六、等参单元七、ANSYS中的二维单元二、

32、二次四边形单元8节点二次四边形单元：4节点四边形单元的高阶单元。与线性单元相比，对于同样数目的单元，二次单元的结果更精确。适合对曲线形边界问题建模。六、等参单元在一维问题中存在一个现象：使用单一一组参数（如形函数）定义u，v，T等未知变量，并使用同样的参数（同一形函数）表示几何关系-等参单元、等参公式对于二维单元也存在相似情况。6.2 平面四节点等参单元1 1、局部坐标系与位移模式、局部坐标系与位移模式建建立立位位移移模模式式时时的的新新问问题题：如如果果直直接接用用x x，y y坐坐标标系系下下的的双双线线性性位位移移模模式式，由由于于任任意意四四边边形形单单元元的的边边界界与与坐坐标标轴轴

33、不不平平行行，因因此此位位移移沿边界呈二次函数变化，单元在公共边界上不满足协调性。沿边界呈二次函数变化，单元在公共边界上不满足协调性。l 下图为一个4节点任意四边形单元，单元有8个自由度。将矩形单元 放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。6.2 平面四节点等参单元称称-平平面面内内的的正正方方形形单单元元为为基基本本单单元元或或母母单单元元。x-yx-y平平面面内内的的任任意意四四边边形形单单元元称称为为实实际际单单元元或或子子单单元元。显显然然，母母单单元元的的节节点点对对应应于不同的于不同的x x，y y坐标就得到不同的任意四边形单元。坐标就得到不同的任意四边形单元。该该局局部部坐坐标

34、标系系使使得得在在x-yx-y平平面面上上的的任任意意四四边边形形与与-平平面面上上的的正正方方形形之之间间形形成成了了1-11-1对对应应的的映映射射。正正方方形形的的4 4个个顶顶点点对对应应任任意意四四边边形形单单元元的的四四个个节节点点； 4 4条条边边对对应应任任意意四四边边形形单单元元的的4 4条条边边；正正方方形形内内任一点任一点p(,)p(,)对应于任意四边形内一点对应于任意四边形内一点p(x,y)p(x,y)。6.6 等参单元评价1)等等参参单单元元形形状状、方方位位任任意意，容容易易构构造造高高阶阶单单元元，适适应应性性好好，精精度度高。高。2)等等参参单单元元列列式式具具

35、有有统统一一的的形形式式，规规律律性性强强，采采用用数数值值积积分分计计算算，程序处理方便。程序处理方便。3)由由于于等等参参单单元元涉涉及及单单元元几几何何形形状状的的变变换换，对对实实际际单单元元的的形形态态有有一一定定要要求求。单单元元形形态态好好坏坏影影响响计计算算结结果果的的精精度度。单单元元形形态态应应满满足足：单单元元各各方方向向的的尺尺寸寸尽尽量量接接近近；单单元元边边界界不不能能过过于于曲曲折折，不不能能有有拐拐点点和折点，尽量接近直线或抛物线；和折点，尽量接近直线或抛物线；边之间夹角接近直角。边之间夹角接近直角。4)高高阶阶等等参参元元精精度度高高，描描述述复复杂杂边边界界

36、和和形形状状的的能能力力强强，所所需需单单元元少少，在结构应力分析中应用最广泛。在结构应力分析中应用最广泛。等参单元的总体评价：等参单元的总体评价：七、ANSYS中的二维单元ANSYS提供了许多二维单元，这些单元大多数基于线性、二次四边形和三角形形函数。二维结构力学单元：PLANE2PLANE42PLANE821.该选杆单元（该选杆单元（Link）还是梁单元）还是梁单元(Beam)？这个比较容易理解。杆单元只能承受沿着杆件方向的拉力或者压力，杆单元不能承受弯矩，这是杆单元的基本特点。梁单元则既可以承受拉，压，还可以承受弯矩。如果你的结构中要承受弯矩，肯定不能选杆单元。对于梁单元，常用的有bea

37、m3,beam4,beam188这三种，他们的区别在于：1)beam3是2D的梁单元，只能解决2维的问题。2)beam4是3D的梁单元，可以解决3维的空间梁问题。3)beam188是3D梁单元，可以根据需要自定义梁的截面形状。2.对于薄壁结构，是选实体单元还是壳单元对于薄壁结构，是选实体单元还是壳单元？对于薄壁结构，最好是选用shell单元，shell单元可以减少计算量，如果你非要用实体单元，也是可以的，但是这样计算量就大大增加了。而且，如果选实体单元，薄壁结构承受弯矩的时候，如果在厚度方向的单元层数太少，有时候计算结果误差比较大，反而不如shell单元计算准确。 实际工程中常用的shell单

38、元有shell63,shell93。shell63是四节点的shell单元(可以退化为三角形)，shell93是带中间节点的四边形shell单元(可以退化为三角形),shell93单元由于带有中间节点，计算精度比shell63更高，但是由于节点数目比shell63多，计算量会增大。对于一般的问题，选用shell63就足够了。除了shell63,shell93之外，还有很多其他的shell单元，譬如shell91,shell131，shell163等等，这些单元有的是用于多层铺层材料的，有的是用于结构显示动力学分析的，一般新手很少涉及到。通常情况下，shell63单元就够用了。课堂总结二维线性矩

39、形单元和线性三角形单元及其形函数，以及它们的性质和局限性； 二维二次三角形单元和二次四边形单元及其形函数，以及它们各自的性质和相对线性单元的优点； 轴对称单元的概念；等参单元和公式的意义；ANSYS中的二维单元的例子。一、典型分析过程1. 前处理创建有限元模型 1）单元属性定义（单元类型、实常数、材料属性） 2）创建或读入几何实体模型 3）有限元网格划分 4）施加约束条件、载荷条件2. 施加载荷进行求解 1）定义分析选项和求解控制 2）定义载荷及载荷步选项 2）求解 solve3. 后处理 1）查看分析结果 2）检验结果ANSYS的分析方法(续)ANSYS GUI中的功能排列按照一种动宾结构，

40、以动词开始（如Create), 随后是一个名词 (如Circle).菜单的排列，按照由前到后、由简单到复杂的顺序，与典型分析的顺序相同. 二、 ANSYS文件及工作文件名一些特殊的文件 数据库文件jobname.db二进制Log 文件jobname.log文本结果文件jobname.rxx二进制图形文件jobname.grph 二进制 ANSYS的数据库，是指在前处理、求解及后处理过程中，ANSYS保存在内存中的数据。数据库既存储输入的数据，也存储结果数据:输入数据 - 必须输入的信息 (模型尺寸、材料属性、载荷等).结果数据 - ANSYS计算的数值 (位移、应力、应变、温度等).ANSYS

41、窗口Objective1-2. ANSYS GUI中六个窗口的总体功能输入显示提示信息，输入ANSYS命令，所有输入的命令将在此窗口显示。主菜单包含ANSYS的主要功能，分为前处理、求解、后处理等。输出显示软件的文本输出。通常在其他窗口后面，需要查看时可提到前面。应用菜单包含例如文件管理、选择、显示控制、参数设置等功能.工具条将常用的命令制成工具条，方便调用.图形显示由ANSYS创建或传递到ANSYS的图形.ANSYS 有两个后处理器:通用后处理器 (即 “POST1”) 只能观看整个模型 在 某 一 时 刻 的 结 果 (如 ： 结 果 的 照 相 “snapshot”). 时间历程后处理器

42、 (即 “POST26”) 可观看模型在不同时间的结果。 但此后处理器只能用于处理瞬态和/或动力分析结果。Objective静力分析结果后处理的步骤主要包括:1. 绘变形图2. 变形动画3. 支反力列表4. 应力等值线图5. 网格密度检查GuidelinesObjective介绍静力分析结果后处理的五个步骤第三章 ANSYS补充说明一、坐标系1. 工作平面坐标系wpcs：类似于绘图图板，缺省时总与总体坐标系重合，能以网格捕捉形式显示，并可相对当前激活总体坐标系移动或旋转，其编号永远为“4”2. 总体坐标系 global cs：包括三种形式 总体直角坐标系（x , y , z) 编号为“0” 总

43、体柱坐标系 （r , , z) 编号为“1” 总体球坐标系 （r , , )编号为“2”3. 局部坐标系 local cs：局部坐标系是在任意位置的用户定义坐标系，即不一定与总体坐标系平行或重合，可以是任意方向，编号为大于等于“11”FEM坐标系4. 节点坐标系 node cs：所有的力及其他方向的与节点相关的载荷都是在节点坐标系下进行的，例如力的方向等只与节点坐标系相关 节点坐标系上可以输入力和力矩；位移约束；耦合及约束过程5. 单元坐标系 element cs：即材料坐标系，例如弹性模量在材料为各向异性时每一方向将不同，此时则根据单元坐标系输入不同方向的 E 6. 结果坐标系：结果的输出形

44、式位移，支反力，力矩等都是与结果坐标系相关的，结果坐标系即当前激活坐标系，同节点坐标系一样，二者可以是任何一种当前激活坐标系 三、网格划分器自由式 free：对复杂的拓扑结构无限制， 形状不定映射式 mapped：拓扑结构有限制，只适用规则的体 形状，如四，六面体等，可通过global set 进行密度设置扫略 sweep：适用于柱体形状，同mapped一样可控制密度Smart size：智能尺寸是根据几何模型的形状，确定网格密度，适于free划分，可通过滑杆确定网格密度网格划分原则网格划分的单元形状四方和六方的没有可比性Sweep扫略网格须上下面即对应面完全一致能用mapped,sweep划

45、分网格最好先用之，不行再用自由式free网格划分最好按线，面， 体的顺序分配单元属性千万不能分配错误面尽量用四边形的网格，体尽量用六面体的网格关心应力结果的区域须进行详细网格划分仅关心位移结果的地方网格可以粗糙些四、ANSYS求解器类型用于求解表征结构自由度的线性方程组 直接消去求解器波前求解器： 最稳定，速度慢，小内存时用sparse求解器：速度快，非线性最适合 迭代求解器PCG：预条件共轭梯度求解器ICCG：不完全的乔里斯基共轭梯度求解器JCG：雅可比共轭梯度求解器 位置在求解器/solu中的求解选项analysis options，包括求解精度公差更改六、Animate菜单 Mode s

46、hape：变形模态系列Deformed shape：结构变形动画Deformed result：结构变形等值线Over time：随时间变化的变形等值线动画Over result：某一子步范围结果的顺序等值线动画Q-slice contours：变形等值线切片云图动画Q-slice vectors：变形等值线切片云图动画Isosurfaces：变形等势面云图动画Partice flow：粒子流动或带电粒子运动的动画系列第九章 ANSYS程序简介-动力学分析ANSYS动力学分析是用来确定惯性力和阻尼力不可忽略时的系统动力学特性，研究固有频率，振动，减振及瞬态特性动力学控制方程： MU+CU+KU

47、=f(t) 其中 U U U 为节点位移，速度，加速度 M为质量矩阵 C 为阻尼矩阵 K 为刚度矩阵模态分析即f(t)=0的解谐响应分析的f(t),u(t)都为谐函数，如xsint瞬态动力学的f(t)为时间历程载荷动力学建模原则必须定义密度和弹性模量单位制要严格统一，如使用英制单位，要定义质量密度而不是重力密度静力学关于形状和网格的规定，动力学一样遵循关心应力结果的区域须进行详细网格划分，仅关心位移结果的区域网格可以粗糙些非线性问题在完全瞬态动力学分析中允许使用，在所有其他动力学分析类型中，非线性将被忽略，也就是说最初的非线性问题将一直保持不变瞬态动力学时间积分步长T设置原则： T 即两个时间

48、点间的时间增量 ，它决定求解的精确度，必须采用相应的值才能得到分析现象。通常在每个循环子步中， T 至少有20个时刻点应是足够的 即 T=1/20(f) f是所关心的最高响应频率，而施加阶梯载荷时，为紧紧跟随载荷的阶跃变化， T也许要小到和1/180f相近接触分析中T =1/30(fc) fc为接触频率 fc=1/2(k/m)1/2 m 为有效质量 k 为间隙刚度 各分析类型的简要叙述模态分析：分析有/无阻尼系统或液固耦合自由振动，哪个方向的刚度最小，就最先出现模态有预应力时，做静力分析和模态分析必须打开预应力开关，即读入预应力矩阵 位置在求解器Analysis options对话框中pres

49、tress on 开关区分分析类型原则如果在相对较长时间内载荷是一个常数，则选择静力分析，否则为动态分析如果激励频率小于结构最低阶固有频率的1/3，则可以进行静力分析线性分析是假设忽略载荷对结构刚度变化的影响。典型特征是小变形，弹性范围内的应变和应力，无诸如两物体接触或分离时的刚度突变等，即应力及应变为线性变化如加载引起结构刚度的显著变化必须进行非线性分析，典型因素有应变超过弹性范围（塑性）；大变形；两体间接触等第九章 ansys基本应用-非线性分析接触非线性接触分类：刚体对柔体-刚度差别较大，如金属成型柔体对柔体-表面刚度差不多，如螺栓，法兰联接等接触协调条件 两个表面须建立关系，防止表面相

50、互渗透。即建立接触面和目标面。防止穿透标准为判断接触面的节点是否进入目标面积分点，如进入目标范围则称之接触接触单元分类节点对节点：指接触的最终位置是已知的节点对面：接触位置不定，并允许大滑动面对面：接触位置不定，并允许大滑动，最好用之。过程是用接触面和目标面形成接触对，但目标面ANSYS要求为刚性，称为刚性目标面第9章第7次课 APDL基础APDL是ANSYS参数化设计语言的 的缩写，它是一种允许使用参数并能完成一系列任务的强大的程序语言。使用APDL，可以：用参数而不是用数值输入模型尺寸，材料类型等用参数而不是用数值输入模型尺寸，材料类型等从从ANSYS数数据据库库中中获获取取信信息息, 比

51、比如如节节点点位位置置或或最最大应力大应力在参数中进行数学运算，包括矢量和矩阵运算在参数中进行数学运算，包括矢量和矩阵运算把常用的命令或宏定义成缩写形式把常用的命令或宏定义成缩写形式建建立立一一个个宏宏使使用用if-then-else分分支支和和do循循环环等等来来执行一系列任务执行一系列任务1、拓扑优化实例FINISH/CLEAR,START/TRIAD,OFF !关闭三角符号H=200 !设置基础参数每个单元有以下与之相关的属性:单元类型 (TYPE)实常数 (REAL)材料特性 (MAT)1、拓扑优化实例1、拓扑优化实例/PREP7ET,1,SHELL93ET,2,SHELL93MP,E

52、X,1,6.89E10MP,NUXY,1,0.3MP,DENS,1,7.8E-3R,1,5R,2,40K,1,H,H,0,K,2,-H,H,0,K,4,H,-H,0,K,3,-H,-H,0,K,5,H/2,H/2,H,K,6,-H/2,H/2,H,K,8,H/2,-H/2,H,K,7,-H/2,-H/2,H,A,2,6,7,3,A,1,5,6,2,A,1,5,8,4,A,7,8,4,3,A,5,6,7,8,1、拓扑优化实例ESIZE,10SMRTSIZE, ,0.2,0.5,2,7,15,1.4,0,1,4,1 AMESH,ALLALLSELFINISH/SOLUDK,1,ALL ! 对节点

53、1 的自由度全部施加约束DK,2,ALL ! 对节点 4 的自由度全部施加约束DK,3,ALL ! 对节点 5 的自由度全部施加约束DK,4,ALL ! 对节点 8 的自由度全部施加约束FK,5,FZ,-66725*4 ! 对节点 5 施加竖向荷载FK,6,FZ,-66725*4 ! 对节点 4 施加竖向荷载FK,7,FZ,-66725*4 ! 对节点 5 施加竖向荷载FK,8,FZ,-66725*4 ! 对节点 8 施加竖向荷载ALLSELLSWRITE,1!填写载荷工况FDEL,ALLF,244,FX,206725 ! 对节点 244 施加竖向荷载F,244,FY,206725 ! 对节点

54、 244 施加竖向荷载ALLSELLSWRITE,2!填写载荷工况FDEL,ALLTOCOMP,SCOMP,MULTIPLE,2, !定义拓扑优化函数TOVAR,SCOMP,OBJ, !定义拓扑优化目标函数TOVAR,VOLUME,CON,80 !定义拓扑优化约束函数及约束方法；TOTYPE,OC !指定求解方法 TODEF,0.01 !初始化拓扑优化过程TOLOOP,50,1 !执行不多于50次迭代1、对于图示划分为三角形单元平面结构，对于图示划分为三角形单元平面结构，写出整体刚度矩阵的表达式。（即只组集写出整体刚度矩阵的表达式。（即只组集总体刚度矩阵，不计算单元刚度矩阵）总体刚度矩阵，不计

55、算单元刚度矩阵）有了本门课程的有限元分析技术基础，如有了本门课程的有限元分析技术基础，如果以后涉足土木工程专业相关有限元分析，果以后涉足土木工程专业相关有限元分析，你觉得应从哪些方面深化学习和开展工作，你觉得应从哪些方面深化学习和开展工作，具体采用哪些方式？具体采用哪些方式？1、有了本门课程的有限元分析技术基础，有了本门课程的有限元分析技术基础，如果以后涉足土木工程专业相关有限元分如果以后涉足土木工程专业相关有限元分析，你觉得应从哪些方面深化学习和开展析，你觉得应从哪些方面深化学习和开展工作，具体采用哪些方式？工作，具体采用哪些方式？2、 什么是模态分析？模态分析都有什么功什么是模态分析？模态分析都有什么功能？能？ANSYS的模态分析有哪几种方法？的模态分析有哪几种方法？