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1、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-1页电子教案电子教案第六章第六章 离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-2页电子教案电子教案本章主要内容：本章主要内容：第六章第六章 离散系统的离散系统的z z域分析域分析 z z变换变换( (定义、收敛域定义、收敛域) ) z z变换的性质变换的性质(9(9条条) ) 逆逆z z变换变换 z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-3页电子教案电子教案第六章第六章 离散系统的离散系统的z z域分析域
2、分析6.16.1 z z 变变 换换一、从拉氏变换到一、从拉氏变换到z变换变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号: 两边取双边拉普拉斯变换，得两边取双边拉普拉斯变换，得 令令z = esT，上式将成为复变量上式将成为复变量z的函数，用的函数，用F(z)表示；表示；f(kT) f(k) ，得，得信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-4页电子教案电子教案6.16.1 z z 变变 换换二、二、z 变变 换换如果有离散序列如果有离散序列f(k)，(k=0, 1, 2, )，z为复变量，为复变量，则则称为序列称为
3、序列f(k)的双边的双边z变换。单边变换。单边z变换表达式为：变换表达式为：若若f(k)为因果序列，则单边、双边为因果序列，则单边、双边z变换相等。本章统变换相等。本章统称为称为z变换。变换。F(z) = Zf(k) , f(k)= Z-1F(z) ；f(k)F(z)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-5页电子教案电子教案6.16.1 z z 变变 换换三、收敛域三、收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即收敛，即时，其时，其z变换才存在。上式称为变换才存在。上式称为绝对可和条件绝对可和
4、条件，它是，它是序列序列f(k)的的z变换存在的变换存在的充分必要条件充分必要条件。 对于序列对于序列f(k)，满足满足 所有所有z值组成的集合称为值组成的集合称为z变换变换的的收敛域收敛域。 q收敛域定义收敛域定义信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-6页电子教案电子教案例例1 1 求以下有限长序列的求以下有限长序列的z z变换。变换。 解解: 6.16.1 z z 变变 换换 (1) 单位抽样序列的单位抽样序列的z变换为：变换为：收敛域收敛域：整个：整个z平面平面 (2) 序列序列f(k)的的z变换为：变换为：收敛域收敛域：0 z 有限长序列的有限长序列
5、的z z变换收敛域一般为变换收敛域一般为00 z z a 收敛域收敛域信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-8页电子教案电子教案例例3 3 求反求反因果序列因果序列的的z变换变换。 解解: : 反因果序列收敛域为圆内区域。反因果序列收敛域为圆内区域。6.16.1 z z 变变 换换 反因果序列的反因果序列的z变换为：变换为：收敛域收敛域： z b 收敛域收敛域信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-9页电子教案电子教案6.16.1 z z 变变 换换例例4 4 求双边求双边序列序列的的z变换变换。 解解: : 双边序列的双边
6、序列的z变换为：变换为：收敛域收敛域： a z 1 指数序列指数序列 z a 6.16.1 z z 变变 换换单边正弦序列单边正弦序列单边余弦序列单边余弦序列 z 1 z 1 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-12页电子教案电子教案6.26.2 z z变换的性质变换的性质一、线性性质一、线性性质u例例 如：如：f1 (k) F1(z) ， 1 z 1若若：f2 (k) F2(z) ， 2 z 1 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-13页电子教案电子教案二、移位特性二、移位特性6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质
7、f(k m) z mF(z)， z 则则：f (k) F (z) ， z 0， 若若：q双边双边z z变换变换q单边单边z z变换变换f (k) F (z) ， z ，且有整数，且有整数m0， 若若：则则：f(k-1) z-1F(z) + f(-1)f(k-2) z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-14页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质q举举 例例f(k+1) zF(z) - f(0)zf(k+2) z2F(z) - f(0)z2 - f(1)z例：例：求周期为求周期为N N的有
8、始周期性单位序列的有始周期性单位序列的的z z变换。变换。 z 1解解: : 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-15页电子教案电子教案q 复复 习习z z变换的定义变换的定义几种典型序列的收敛域特点几种典型序列的收敛域特点常用信号的常用信号的z z变换变换z z变换的性质（线性、移位）变换的性质（线性、移位）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-16页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质三、三、z z域尺度变换域尺度变换( (序列乘序列乘a ak k) ) ak f(k) F(z/a)， a z a
9、 则则：f (k) F (z) ， z 0， 若若：例：例：求指数衰减正弦序列求指数衰减正弦序列 aksin( k)(k) 的的z z变换。变换。解解: : 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-17页电子教案电子教案四、卷积定理四、卷积定理 例例 求单边序列求单边序列 (k+1)ak(k)的的z变换，变换，(0a1)。解解：f1 (k) F1(z) ， 1 z 1若若：f2 (k) F2(z) ， 2 z 2f1(k) * f2(k) F1(z)F2(z)，则则：收敛域至少为收敛域至少为相交部分相交部分式式3.3-186.2 z6.2 z变换的性质变换的性
10、质信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-18页电子教案电子教案五、五、z z域微分（序列乘域微分（序列乘k k） f (k) F (z) ， z ，若若： z ，则则：6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-19页电子教案电子教案q举举 例例例：例：求下列序列的求下列序列的z z变换。变换。6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质解解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-20页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质六、六、z z域
11、积分（序列除域积分（序列除k+mk+m） f (k) F (z) ， z 0，若若：则则： z 0，则：，则： z 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-21页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质q举举 例例例：例：求序列求序列 的的z z变换。变换。解解：根据根据z域积分性质：域积分性质：即：即：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-22页电子教案电子教案七、七、k k域反转域反转 f (k) F (z) ， z ，若若：f( k) F(z-1) , 1/ z 1/ 则则：例：例：已知已知 ，求，求
12、的的z z变换。变换。解解：6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-23页电子教案电子教案八、部分和八、部分和 例例. . 求序列求序列 的的z z变换。变换。解解：f (k) F (z) ， z 2 对应的对应的f(kf(k) )为因果序列为因果序列分子、分母多项式按照分子、分母多项式按照z的降幂排列，利的降幂排列，利用长除法展成关于用长除法展成关于z的负幂级数。的负幂级数。例：例：已知象函数已知象函数 其收敛域如下，分别求其相对应的原序列其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)f(k)。 （1） |z| 2 (2
13、) |z| 1 (3) 1 |z| 2 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-31页电子教案电子教案 F(z) = 1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + f(k)=1，1，3，5， k=06.3 6.3 逆逆 z z 变变 换换长除法：长除法：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-32页电子教案电子教案6.3 6.3 逆逆 z z 变变 换换（2 2） |z| 1 对应的对应的f(kf(k) )为反因果序列为反因果序列分子、分母多项式分子、分母多项式按照按照z的升幂排列，的升幂排列，利用长除法展成关利用长除法展成关
14、于于z的正幂级数。的正幂级数。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-33页电子教案电子教案6.3 6.3 逆逆 z z 变变 换换（3 3） 1 1 |z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 22，f(k)为因果序列为因果序列 (2)(2)当当 z z 11，f(k)为反因果序列为反因果序列 (3)(3)当当11 z z 22，f(k)为双边序列为双边序列 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-37页电子教案电子教案6.3 6.3 逆逆 z z 变变 换换例例2 2：求已知象函数求已知象函数的逆的逆z z变换。变
15、换。 , 1 z 1 解解：首先展开象函数首先展开象函数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-41页电子教案电子教案6.3 6.3 逆逆 z z 变变 换换则得则得F(zF(z) )的逆变换为：的逆变换为：两个分式的系数分别为：两个分式的系数分别为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-42页电子教案电子教案3 3、F(zF(z) )有重极点有重极点若若F(z)在在z = a处有处有r重极点，则重极点，则系数由下式确定：系数由下式确定： K11=(z a)rF(z)/z|z=aK12=(d/dz)(z a)rF(z)/z|
16、z=a .6.3 6.3 逆逆 z z 变变 换换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-43页电子教案电子教案例：例：求已知象函数求已知象函数的逆的逆z z变换。变换。 z 1 解解：首先展开象函数首先展开象函数6.3 6.3 逆逆 z z 变变 换换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-44页电子教案电子教案6.3 6.3 逆逆 z z 变变 换换 z 1/2 ?则得则得F(zF(z) )的逆变换为：的逆变换为：z z域微分性质域微分性质信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-45页电子
17、教案电子教案6.1 6.1 z z变换变换6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质6.3 6.3 逆逆z z变换变换6.4 z6.4 z域分析域分析q 学习内容学习内容第六章第六章 离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-46页电子教案电子教案第六章第六章 离散系统的离散系统的z z域分析域分析q 复复 习习z z变换的性质（移位特性）变换的性质（移位特性）逆逆z z变换（常用函数）变换（常用函数）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-47页电子教案电子教案6.46.4 z z 域域 分
18、分 析析第六章第六章 离散系统的离散系统的z z域分析域分析较离散傅立叶变换，较离散傅立叶变换，z z变换的应用范围更为广泛。变换的应用范围更为广泛。且单边且单边z z变换可包含系统的初始状态，利于求解系变换可包含系统的初始状态，利于求解系统的各类响应。统的各类响应。一、差分方程的变换解一、差分方程的变换解 n n阶系统后向差分方程的一般形式为：阶系统后向差分方程的一般形式为： 单边单边z z变换变换f(k)在在k=0时接入时接入信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-48页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析整理得到：整理得到：解得系统全
19、响应：解得系统全响应：这里这里系统函数：系统函数：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-49页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析q举举 例例例例1 1：若某系统的差分方程为：若某系统的差分方程为 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2)已知已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系统的求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。 解解：对以上差分方程取单边对以上差分方程取单边z z变换变换整理得：整理得：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-50页电
20、子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析从而得到系统的全响应：从而得到系统的全响应：代入初始状态代入初始状态y( 1)=2，y( 2)= ，及，及f(k)= (k) ：系统零输入响应系统零输入响应：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-51页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析系统零状态响应系统零状态响应：系统的全响应系统的全响应：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-52页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析例例2 2：某系统，已知当输入：某系统，已知当输入f(k)=
21、( 1/2)k (k)时，其零状时，其零状态响应态响应 求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。和描述系统的差分方程。解解：零状态响应的象函数为零状态响应的象函数为输入信号的象函数为输入信号的象函数为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-53页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析系统函数为系统函数为系统单位序列响应系统单位序列响应为为系统差分方程系统差分方程为为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-54页电子教案电子教案二、系统的二、系统的z z域框图域框图 6.4 z 6
22、.4 z 域域 分分 析析延迟单元延迟单元零状态响应零状态响应z域框图域框图加法器加法器数乘器数乘器信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-55页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析例例3 3 某系统的某系统的k k域框图如图，已知输入域框图如图，已知输入f(k)= (k)。(1) (1) 求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应和零状态响应yzs(k)。(2) (2) 若若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，求零输入响应求零输入响应yzi(k)。z-1z-1F(z)Yzs(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)解解
23、：(1)(1)画画z z域框图，域框图，设辅助变量设辅助变量X(z)X(z) = 3z-1X(z) 2z-2X(z) +F(z)Yzs(z) = X(z) 3z-1X(z)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-56页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析h(k) = 2 (2)k (k) yzs(k) = 2k + 3 2 (2)k (k)消去中间变量，得：消去中间变量，得：系统函数：系统函数：逆逆z z变换，得系统变换，得系统单位序列响应：单位序列响应：系统零状态响应：系统零状态响应：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信
24、息科学技术学院第1-57页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析(2) (2) 求解系统的零输入响应求解系统的零输入响应根据系统函数：根据系统函数：得到零输入响应满足齐次方程：得到零输入响应满足齐次方程：两端取两端取z z变换，得：变换，得：整理得：整理得：0 00.50.5信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-58页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析u时域求解零输入响应？时域求解零输入响应？零输入响应满足齐次差分方程：零输入响应满足齐次差分方程：特征方程为：特征方程为： 特征根为特征根为 1=1， 2=2，对应齐次解
25、为：对应齐次解为：由初始条件有由初始条件有信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-59页电子教案电子教案三、三、s s域与域与z z域的关系域的关系 s平面平面z平面平面=0虚轴虚轴=1单位圆单位圆0左半平面左半平面0右半平面右半平面1单位圆外单位圆外6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-60页电子教案电子教案us s平面与平面与z z平面的映射平面的映射s s平面平面z z平面平面6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术
26、学院第1-61页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析s平面平面z平面平面=0实轴实轴=0正实轴正实轴=0(常数常数)平行于实轴的直线平行于实轴的直线= 0T始于原点的射线始于原点的射线宽宽 的水平条带的水平条带整个整个z平面平面0以以s平面左半平面为例平面左半平面为例s s平面到平面到z z平面的映射平面的映射是多值映射。是多值映射。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-62页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析四、离散系统的频率响应四、离散系统的频率响应 由由s平面到平面到z平面的对应关系，有：平面的对应关系，有：若
27、若连续系统的连续系统的H(s)收敛域含虚轴，则连续系统频率响应收敛域含虚轴，则连续系统频率响应幅频响应幅频响应相频响应相频响应若离散系统若离散系统H(z)H(z)收敛域含单位圆，则离散系统的收敛域含单位圆，则离散系统的频频率响应率响应为为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-63页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析例例 图示为一横向数字滤波器，求滤波器的频率响应。图示为一横向数字滤波器，求滤波器的频率响应。Y(z)=F(z)+2z-1F(z)+2z-2F(z)+z-3F(z) 收敛域包含单位圆，则该滤波器具有频率响应，为收敛域包含单位圆
28、，则该滤波器具有频率响应，为解解：|z|0由系统框图得到由系统框图得到系统函数为：系统函数为：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-64页电子教案电子教案6.4 z 6.4 z 域域 分分 析析幅频响应：幅频响应：相频响应：相频响应：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-65页电子教案电子教案小小 结结q 单、双边单、双边z z变换的定义变换的定义q 几种典型序列的收敛域特点几种典型序列的收敛域特点q z z变换的性质（掌握变换的性质（掌握单边移位性质单边移位性质）q 逆逆z z变换（部分分式展开法）变换（部分分式展开法）q z z域分析方法（系统函数、系统响应）域分析方法（系统函数、系统响应）q s s域与域与z z域的关系、频率响应概念域的关系、频率响应概念第六章第六章 离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-66页电子教案电子教案q练练 习习1.1.已知描述离散时间系统的差分方程为已知描述离散时间系统的差分方程为 y(k) (3/4)y(k 1) +(1/8)y(k 2)= f(k)求此系统的系统函数求此系统的系统函数H(z)，单位序列响应，单位序列响应h(k)以及阶跃以及阶跃响应响应g(k)。
