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1、热点题型探究第 课时几何综合题以几何知识为主体的综合题, 简称几何综合题, 主要研究图形中点与线之间的位置关系、 数量关系, 以及特定图形的判定和性质一般以相似为中心, 以圆为重点, 常常是圆与三角形、 四边形、 相似三角形、 锐角三角函数等知识的综合运用解答几何综合题应注意: () 注意观察、 分析图形, 把复杂的图形分解成几个基本图形, 通过添加辅助线补全或构造基本图形() 掌握常规的证题方法和思路; () 运用转化的思想解决几何证明问题, 运用方程的思想解决几何计算问题还要灵活运用其他的数学思想方法等为了复习方便, 我们将几何综合题分为: 几何计算型综合题; 几何论证型综合题; 几何计算
2、论证型综合题类型一几何计算型综合题典例( 浙江杭州)如图,A E切O于点E,A T交O于点M、N, 线段O E交A T于点C,O BA T于点B, 已知E A T ,A E ,MN () 求C O B的度数;() 求O的半径R;() 点F在O上(FME是劣弧) , 且E F, 把O B C经过平移、 旋转和相似变换后, 使它的两个顶点分别与点E、F重合在E
3、F的同一侧, 这样的三角形共有多少个? 你能在其中找出另一个顶点在O上的三角形吗? 请在图中画出这个三角形, 并求出这个三角形与O B C的周长之比【 解析】() 由切线的性质得到A EC E, 又O BA T, 再由一对对顶角相等, 可知E A T的度数就是C O B的度数;() 在R t A E C中, 由已知条件易求出C E的长, 在R t O C B中,O CRC E, 用R可表示出O B再根据MN的长求出MB的长在R t O BM中, 由半径OMR, 及MB的长, 以及O B的长列出关于R的方程, 求出方程的解得到半径R的值;() 根据平移、 旋转和相似变换的特征, 通过画图得到答案
4、其中顶点在圆上的三角形就是以E F为一边, 过点E或点F的直径为另一边的直角三角形, 分别求出这个三角形的和的O B C的周长即可求出两三角形的周长之比【 全解】()A E切O于点E,A EC E又O BA T,A E CC B O 又B C OA C E,A ,C O BA ()A E ,A ,在R tA E C中,t a nAt a n E CA E,即E CA Et a n O BMN,在R t O C B中,O CR,c o sB O Cc o s O BO CO BO C(R)由垂径定理知,B为MN的中点, 又MN ,MBMN 连接OM, 在R tMO B中,OMR,MB ,O B(
5、R) ,R( )(R)整理, 得R R , 即(R ) (R),解得R ( 舍去) 或R所以R() 在E F同一侧,C O B经过平移、 旋转和相似变换后,这样的三角形有个,如图, 每小图个, 顶点在圆上的三角形, 如图所示:延长E O交圆O于点D, 连接D F, 如图所示,E F, 直径E D , 可得出F D E ,F D 则CE F D ,由() 可得CC O B ,CE F DCC O B( )( )【 小结】几何计算型综合问题, 是以计算为主线综合各种几何知识的问题这类问题的主要特点是包含知识点多、 覆盖面广、 逻辑关系复杂、 解法灵活解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上
6、挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系, 在复杂的“ 背景” 下辨认、 分解基本图形, 或通过添加辅助线补全或构造基本图形, 并善于联想所学知识, 突破思维障碍, 合理运用方程等各种数学思想才能解决如本题
7、6;
8、6;考查了切线的性质, 垂径定理, 勾股定理, 相似三角形的判定与性质, 含 直角三角形的性质, 平移及旋转的性质, 以及锐角三角函数的定义, 熟练掌握定理及性质是解题的关键类型二几何论证型综合题典例
9、( 广东珠海)已知A B是O的直径, 点P在弧A B上( 不含点A、B) , 把A O P沿O P对折, 点A的对应点C恰好落在O上() 当点P、C都在A B上方时( 如图() ) , 判断P O与B C的位置关系( 只回答结果) ;() 当点P在A B上方而C在A B下方时( 如图() ) , ()中结论还成立吗? 证明你的结论;() 当点P、C都在A B上方时( 如图() ) , 过点C作C D直线A P于点D, 且C D是O的切线, 证明:A BP D()()()【 解析】() 根据折叠的特性, 以及圆的有关性质, 易得A O PC O P,BB C OA O CA
10、O P, 利用同位角相等两直线平行, 可得P OB C;() 同样地, 由折叠可知A P OC P O, 由O AO P, 得到AA P O, 因此AC P O, 又AP C B, 因此C O PA C B,利用内错角相等两直线平行, 可得P OB C;() 由已知条件易得A DC D,O CC D, 从而得到O CA D, 因此有A P OC O P, 再由折叠的性质得到A O PC O P, 所以A P OA O P从而可以确定A O P为等边三角形由此不难求出在R t P C D中,P C D ,P C P D, 而P C半径, 因此A B P D【 全解】()P O与B C的位置关系是
11、P OB C() () 中的结论P OB C成立, 理由:由折叠可知A P OC P O,A P OC P O又O AO P,AA P OAC P O又A与P C B都为P B所对的圆周角,AP C BC P OP C BP OB C()C D为圆O的切线,O CC D又ADC D,O CADA P OC O P由折叠可得A O PC O P,A P OA O P又O AO P,AA P OAA P OA O PA P O为等边三角形A O P 又O PB C,O B CA O P 又O CO B,B C O为等边三角形C O B P O C (A O PC O B) 又O PO C,P O
12、C也为等边三角形P C O ,P CO PO C又O C D ,P C D 在R t P C D中,PDP C,又P CO PA B,P DA B, 即A BPD【 提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目值得一提的是, 在近年各地的中考试题中, 几何论证型综合题的难度普遍下降, 出现了一大批探索性试题, 根据新课标的要求, 减少几何中推理论证的难度, 加强探索性训练, 将成为几何论证型综合题命题的新趋势本题考查了切线的性质,等边三角形的判定与性质, 含 直角三角形的性质, 折叠的性质, 圆周角定理, 以及平行线的判定与性质, 熟练掌握性质及判定是解本题的关键类型三几何计算论证型综合题典
13、例( 浙江湖州)如图, 已知在梯形A B C D中,点ADB C,D AD C, 以点D为圆心,D A长为半径的D与A B相切于A, 与B C交于点F, 过点D作D EB C, 垂足为E() 求证: 四边形A B E D为矩形;() 若A B,ADB C, 求C F的长【 解析】() 根据ADB C和A B切圆D于点A, 求出D A BAD ED E B , 即可推出结论;() 根据矩形的性质求出ADB EA BD E, 根据垂径定理求出C FC E, 设ADk, 则B Ck,B Ek,E Ck,D CADk, 在D E C中由勾股定理得出一个关于k的方程, 求出k的值,
14、即可求出答案【 全解】()D与A B相切于点A,A BAD&
15、#1051276;&
16、#1051276;&
17、#1051276;热点题型探究ADB C,D EB C,D EADDA BAD ED E B 四边形A B E D为矩形()四边形A B E D为矩形,D EA BD CD A,点C在D上D为圆心,D EB C,C FE CADB C, 设ADk(k) , 则B Ck,B Ek,E CB CB Ekkk,D CADk由勾股定理, 得D EE CD C,即k(k)kk,k C F
18、E C 【 提醒】本题考查了勾股定理, 切线的判定和性质, 矩形的判定, 垂径定理等知识点的应用, 通过做此题培养了学生的推理能力和计算能力, 用的数学思想是方程思想, 题目具有一定的代表性, 是一道比较好的题目
19、51276;( 江苏盐城)如图,A CA B,A B ,A C, 点D是以A B为直径的平面上一动点,D EC D交直线A B于点E, 设D A B( )() 当 时, 求B D的长;() 当 时, 求线段B E的长;() 若要使点E在线段B A的延长线上, 则的取值范围是( 直接写出答案)( 第题)( 湖北黄冈)如图, 在A B C中,B AB C, 以A B为直径作半圆O, 交A C于点D, 连接D B, 过点D作D EB C, 垂足为E() 求证:D E为O的切线;() 求证:B DA BB E( 第题)(
20、四川成都)如图,A B是O的直径, 弦C DA B于点H, 过C D延长线上一点E作O的切线交A B的延长线于点F切点为G, 连接A G交C D于点K() 求证:KEG E;() 若KGKDG E, 试判断A C与E F的位置关系, 并说明理由;() 在() 的条件下, 若s i nE,AK , 求F G的长( 第题)
21、
22、【 基础达标】( &
23、#1048945;福建厦门)如图, 已知在A B C中,C , 点D、E分别在边A B、A C上,D EB C,D E,B C() 求ADA B的值;() 若B D , 求s i n A的值( 第题)( 江 苏 宿 迁)如 图, 在 四 边 形A B C D中,D A BA B C ,C D与以A B为直径的半圆相切于点E,E FA B于点F,E F交B D于点G, 设ADa,B Cb() 求C D的长度; ( 用a,b表示)() 求E G的长度; ( 用a,b表示)() 试判断E G与F G是否相等, 并说明理由( 第题)( 湖南常德)如图, 已知A
24、 BA C,B A C , 在B C上取一点O, 以O为圆心,O B为半径作圆, 且O过点A,过点A作ADB C交O于点D求证:()A C是O的切线;() 四边形B O AD是菱形( 第题)【 综合拓展】( 湖南益阳)如图() , 已知在面积为的正方形A B C D中,E、F分别是边B C和C D上的两点,A EB F于点G, 且B E求证:()A B EB C F;() 求出A B E和B C F重叠部分( 即B E G) 的面积;() 现将A B E绕点A逆时针方向旋转到A B E ( 如图() ) , 使点E落在边C D上的点E 处, 问A B E在旋转前后与B C
25、F重叠部分的面积是否发生了变化? 请说明理由()()( 第题)( 内蒙古呼和浩特)如图, 已知A B为O的直径,P A与O相切于点A, 线段O P与弦A C垂直并相交于点D,O P与弧A C相交于点E, 连接B C() 求证:P A CB, 且P AB CA BC D;() 若P A ,s i nP, 求P E的长( 第题)⤐
26、76;⤐
27、76;⤐
28、76;第 课时几何综合题【 当堂过关】() 连接O D, ,D O B A B ,O的半径为B D的长为 ()A B为O的直径,( 第题() )AD B ,B
29、A CA B,D EC D,C A BC D E C AD ,B C ADBC DAAD EAD EB E D ,C DAB E DA C DB E DA CB EADB DA B , ,B DA B ADA BB DB EB E () 如图, 当点E与点A重合时,( 第题() )A B是直径,ADC D,AD BAD C 点C、D、B共线A CA B,在R t A B C中,A B ,A C t a n A B CA B C DA B A B C 当点E 在B A的延长线上时, 如图, 可得D A BD A E , ,的取值范围是 () 连接O D、B D, 则AD B ( 圆周角定理) ,
30、( 第题)B AB C,C DAD( 三线合一)O D是A B C的中位线O DB CD E B ,O D E , 即O DD E故可得D E为O的切线()B E DB D C,B DB CB EB D又A BB C,B DA BB EB D故B DA BB E() 如图() , 连接O GE G为切线,KG EO G A C DA B,AKHO A G 又O AO G,O G AO A GKG EAKHG KEKEG E()()()( 第题)()A CE F理由:连接G D, 如图() 所示KGKDG E, 即KGKDG EKG,KGG EKDKG又KG EG KE,G
31、KDE G KEA G D又CA G D,ECA CE F() 连接O G、O C, 如图() 所示s i nEs i n A CH, 设AHt, 则A Ct,CHt,KEG E,A CE F,C KA CtHKC KCHt在R t AHK中, 根据勾股定理, 得AHHKAK,即(t)t( ), 解得t 设O的半径为r, 在R t O CH中,O Cr,OHrt,CHt,由勾股定理, 得OHCHO C,即(tt)(t)r, 解得r t E F为切线,O G F为直角三角形在R t O G F中,O Gr ,t a n O F G t a n C AHCHAH,F GO Gt a n O F G
32、 【 课后精练】()D EB C,AD EA B C, 即ADA BD EB C又D E,B C,ADA B() 根据()ADA BD EB C, 得ADADB DD EB C,B D ,D E,B C,ADAD ADA B s i n AB CA B ()A B为半圆的直径,D A BA B C ,DA、B C为半圆O的切线又C D与以A B为直径的半圆相切于点E,D EDAa,C EC BbC Dab()E FA B,E GB CE GB CD ED C, 即E GbaabE Ga bab()E G与F G相等理由如下:E GB C,D GD BE GB C, 即E GbD GD B 又G
33、 FAD,F GADB GB D, 即F GaB GB D , 得E GbF GaD GB DB GB D,而E Ga bab,aabF GaF Ga babE GF G()A BA C,B A C ,A B CC( B A C) O AO B,A B OB A O O A C ,即O AA CO A为O的半径,A C是O的切线() 连接A E,( 第题)A O BCO A C ,由圆周角定理, 得A E BA O B D、B、E、A四点共圆,DA E B AD B ADB C,DA OB O A DA O D B O ,即DB O A,D B ODA O四边形B O AD是平行四边形O AO
34、 B,平行四边形B O AD是菱形()四边形A B C D是正方形,A B EB C F ,A BB CA B FC B F A EB F,A B FB A E B A EC B F在A B E和B C F中,A B EB C F,A BB C,B A EC B F,A B EB C F()正方形的面积为,A B 在B G E与A B E中,G B EB A E,E G BE B A ,B G EA B ESB G ESA B EB EA E()又B E,A EA BB ESB G EB EA ESA B E() 没有变化理由:A B ,B E, t a n B A E,B A E A B A
35、D,A B E AD E ,A E A E ,R t A B ER t A B E R t AD E DA E B A E B A E A B 与A E在同一直线上, 即B F与A B 的交点是G设B F与A E 的交点为H,则B A GHA G ,而A G BA GH ,A GA G,B A GHA GS四边形G HE B SA B E SA GHSA B ESA B GSB G EA B E在旋转前后与B C F重叠部分的面积没有变化()P A是O的切线,A B是直径,P A O ,C P A CB A C ,BB A C P A CB又O PA C,AD PC P ADA B CA PA BADB C在O中,ADO D,ADC DA PA BC DB CP AB CA BC D()s i nP, 且A P ,ADA PADA CAD 在R t AD P中,P DA PAD,又P ADA B C,A PA BP DA CA B A O 在R tA P O中,根 据 勾 股 定 理,得O PA PO A ,P EO PO E
