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1、第三章第三章恒定磁场恒定磁场岳士弘2021.51.安培力定律安培力定律回想一些常用的磁回想一些常用的磁场力的情况力的情况.例如两根平行例如两根平行导线、电线旁旁边的指南的指南针、螺、螺线管等管等.判判别电荷受力荷受力:左手法那么左手法那么;判判别磁磁场方向方向:右手法那么右手法那么.安培力如下图安培力如下图1)单位正电荷在场中的某点以单位速度单位正电荷在场中的某点以单位速度向与磁场垂直方向运动时向与磁场垂直方向运动时(切割磁力线切割磁力线)所受的最大磁场力，为该点的磁感应强所受的最大磁场力，为该点的磁感应强度。度。1.2.磁感磁感应强度度毕萨定律定律单位：特斯拉单位：特斯拉T.2)毕萨定律毕萨
2、定律:线电流在空间恣意一点对于单位电流线电流在空间恣意一点对于单位电流强度的电流元，沿着矢量积垂直方向产生的力为强度的电流元，沿着矢量积垂直方向产生的力为对于磁场强度为对于磁场强度为B经过电流经过电流I或者经过带或者经过带电量电量q点电荷点电荷,那么遭到的磁场力为那么遭到的磁场力为(安培力定律安培力定律);(洛仑磁力洛仑磁力)留意：留意：1)该定理的其他方式该定理的其他方式(3-4)(3-5);2)B的计算不仅要得出大小还要留意方向的计算不仅要得出大小还要留意方向.3)磁场的分布可以用磁力线来描画磁场的分布可以用磁力线来描画.电偶偶极极子子磁磁偶偶极极子子例例题题3-1真真空空中中载载电电流流
3、为为I的的2L长长直直细细导导线线在在导导线线外任一点外任一点P所引起的磁感应强度所引起的磁感应强度.解：选择柱坐标系解：选择柱坐标系,直导线产生的磁场与直导线产生的磁场与角无关，角无关，当当时，时，得得例例3-2平平面面上上有有恒恒定定电电流流,求求其其产产生生的的磁磁感感应应强强度度.解解:把电流片上宽度为的一条把电流片上宽度为的一条，看成无限长线电，看成无限长线电流流.对于恣意一点对于恣意一点P，取，取y轴过该点利用上一题结论轴过该点利用上一题结论且让且让Z=0,那么总的合成磁感应强度为那么总的合成磁感应强度为1)方方向向:四四条条线线在在P点点产产生生的的磁磁感感应应强强度度方方向向都
4、都是垂直纸面向里是垂直纸面向里(如下图如下图).2)由由例例3-1,单单个个长长度度为为2l的的细细导导线线在在P点点产产生的磁感应强度为生的磁感应强度为:课本习题课本习题3-1-13-1-1及解答及解答2)方向方向:恣意元电流在恣意元电流在P点产生的磁感应强度的方点产生的磁感应强度的方向是垂直纸面向里向是垂直纸面向里,大小为大小为，所以，所以3)方向方向:磁感应强度方向都是垂直纸面向里磁感应强度方向都是垂直纸面向里.P点点磁磁场是两个半无限长的直线和一个半圆周共场是两个半无限长的直线和一个半圆周共同产生同产生,半圆周磁感应强度是整圆周的一半半圆周磁感应强度是整圆周的一半.4)4)类似于类似于
5、1),1),得得5)5)是两个半无限的载流导线和一个半圆周，所以产是两个半无限的载流导线和一个半圆周，所以产生的磁感应强为：生的磁感应强为： 习题习题 3-1-3 3-1-3 求两平行长的直线的单位长度的受力求两平行长的直线的单位长度的受力. . 产生的磁感应强度为：产生的磁感应强度为： 恒定电场与静电场一些典型几何图形的对比恒定电场与静电场一些典型几何图形的对比共同特征共同特征:(Y0)3-2安培环路定律安培环路定律留意到在间隔导线为留意到在间隔导线为处，处，进一步地得进一步地得:留意留意:1)与闭合曲线外部的电流无关；与闭合曲线外部的电流无关；2)电流的正负号按照右手法那么取；电流的正负号
6、按照右手法那么取；3)即使闭合曲面不在一个平面内公式也适用即使闭合曲面不在一个平面内公式也适用例题例题 3-3 3-3 一根无限长同轴电缆的截面，芯线通有一根无限长同轴电缆的截面，芯线通有均匀分布的电流均匀分布的电流I, I, 外皮通有量值一样但方向相反外皮通有量值一样但方向相反的电流的电流, , 试求各部分的磁感应强度试求各部分的磁感应强度. .解解: : 当当 时，取一圆周时，取一圆周( (粉红色粉红色) )为积分回路，为积分回路， 那么穿过圆周的电流那么穿过圆周的电流 根据安培定律得根据安培定律得 当当 , ,穿过半径为穿过半径为 的圆面积的电流是的圆面积的电流是当当 时时, , 以以
7、为半径取一圆周为积分途径为半径取一圆周为积分途径当当 时时, , 留意留意: :1 1要分为四个区域计算，由于相应的穿过电流量要分为四个区域计算，由于相应的穿过电流量 的表达式不同；的表达式不同；2 2电流强度有正负号；电流强度有正负号； 例例 3-4 3-4 求具有恒定电流线密度求具有恒定电流线密度K0K0的无限长电流片的无限长电流片 所产生的磁感应强度所产生的磁感应强度. .解解: :取如下图的坐标系取如下图的坐标系. . 那么磁场强度的方向在那么磁场强度的方向在y0 y0 和和y0y0y0处媒处媒质质的磁导率的磁导率 ; ;在在y0y0处媒质的磁导率处媒质的磁导率 ; ; 设设已已知分界
8、面上无电流分布知分界面上无电流分布, , 且且 求求解解1 1： 而分界面上而分界面上K=0, K=0, 解解2:运用恒等式运用恒等式求解求解.这里这里余下参照书中答案余下参照书中答案(算矢量差乘时用行列式较好算矢量差乘时用行列式较好)思索：思索：1)假设外表有面电流假设外表有面电流K=5A时，重新计算上题。时，重新计算上题。2)假设表达式是三维的方式，那么只能用矢量式假设表达式是三维的方式，那么只能用矢量式了了补充例题：补充例题：( (运用安培环路定律求分区均匀的问题运用安培环路定律求分区均匀的问题) ) 同同轴轴电电缆缆的的内内导导体体半半径径为为R1, R1, 外外导导体体的的半半径径为
9、为R2, R2, 外外导体的半径可以忽略不计导体的半径可以忽略不计. . 内外导体之间对半填充内外导体之间对半填充两种不同的导磁媒质，求磁感应强度和磁场强度两种不同的导磁媒质，求磁感应强度和磁场强度. . 解解: :在两种媒质分解面两侧中在两种媒质分解面两侧中, , 一样一样 不同不同, , 且且当当 时时, , 当当 时时, , 利用两种媒质分界面上的衔接条件利用两种媒质分界面上的衔接条件: :联立立，得，得3.4.1磁矢位磁矢位(与与磁位磁位)复复习矢量分析几个矢量分析几个结论:散度散度为零零无源无源场;旋度旋度为零零无旋无旋场;都都为零零调和和场1)当当中中时由由称称为磁矢位。根据矢量恒
10、等式磁矢位。根据矢量恒等式:上面强加了关系上面强加了关系:(库仑规范条件库仑规范条件).现实上由比萨定律得现实上由比萨定律得,令令它是方程它是方程的解的解.留意留意:1这个方程其他方式参看课本这个方程其他方式参看课本(A与与J方向一样方向一样)；2称上述方程为矢量方式的泊松方程；称上述方程为矢量方式的泊松方程；3有电流存在的区域有电流存在的区域,只能选择磁矢位；只能选择磁矢位；4对比毕萨定理表达式，方式曾经简化。对比毕萨定理表达式，方式曾经简化。2)2)当当 中中J=0,J=0,必然存在标量函数必然存在标量函数 使得使得 称为磁位称为磁位. . 磁位与电位有类似但也有不同磁位与电位有类似但也有
11、不同, ,如两点间如两点间的磁压定义为：的磁压定义为： 必需选妨碍面等方法使磁位独一必需选妨碍面等方法使磁位独一 ( (看课本看课本P115).P115). 留意留意: :1) 1) 妨碍面是保证各点为单值的割平面；妨碍面是保证各点为单值的割平面；2) 2) 磁位也相应有第一三类边值问题；磁位也相应有第一三类边值问题；磁位函数的拉普拉斯方程。因此在空因此在空间媒媒质的磁的磁导率率为常数情况下常数情况下磁场的拉普拉斯方程磁场的拉普拉斯方程在磁场的无电流区域，即在磁场的无电流区域，即处处 磁场的独一性定理为：满足拉普拉斯方程，且满足一定边境条件的标量磁位函数是独一的。以磁位函数所表示的媒质交界面处
12、边境条件为例例3-7运用磁矢位分析真空中磁偶极子的电场运用磁矢位分析真空中磁偶极子的电场.解解:留意到讨论的区域留意到讨论的区域J=0,并且题中运用的是圆周并且题中运用的是圆周1)磁矢位方向与同圆周上电流元电流方向一致；磁矢位方向与同圆周上电流元电流方向一致；2)例例3-8: 3-8: 空空气气中中有有一一长长度度为为l, l, 截截面面积积为为S, S, z z轴轴上上的短的短铜线铜线. .电流密度电流密度J J沿沿ezez方向方向. .设电流是均匀分布的设电流是均匀分布的, ,求求离铜线较远处离铜线较远处( )( )的磁场其强度的磁场其强度( (这里不是线这里不是线). ). 解解: :选
13、择坐标系原点在铜线中心选择坐标系原点在铜线中心, , 根据对称性，有根据对称性，有 由由A A泊松方程的积分解得泊松方程的积分解得由磁矢位的定义可知由磁矢位的定义可知: 磁矢位与磁位表示的边境衔接条件磁矢位与磁位表示的边境衔接条件1)1)磁矢位磁矢位: : 特别对平行平面磁场特别对平行平面磁场, ,得得: :2)2)磁位：磁位： 留意留意: :1)1)由形如由形如 和和 导出的分别是导出的分别是n n和和t t方向方向. .2)2)当电流只需一个方向时当电流只需一个方向时, , 磁矢位也只需一磁矢位也只需一个方向个方向, ,在这种情况下在这种情况下, , 运用磁矢位较为简运用磁矢位较为简单单.
14、 .例例3-9一半径为一半径为a的长直圆柱导体通有电流的长直圆柱导体通有电流,电流密电流密度度.求求导导体体内内外外的的磁磁矢矢位位(内内外外磁磁导导率率均均为为)解解:由对称性可知由对称性可知，Az仅仅为仅仅为的函数且满足的函数且满足方程方程(是平行平面矢量场是平行平面矢量场).边值问题为边值问题为方程积分后得方程积分后得运用前面的四个条件确定四个参数后得运用前面的四个条件确定四个参数后得补充例题补充例题 1 1 两根无限长细直导线，相距为两根无限长细直导线，相距为2a, 2a, 导导线线通有相反的电流通有相反的电流I, I, 求空间恣意一点的磁矢位求空间恣意一点的磁矢位. .解解: :电流
15、仅电流仅 z z方向方向, ,是平行平面矢量场是平行平面矢量场( (仿照例仿照例3-3-1).1). 同理同理当当 时时, , 习题习题3-5-1标题请阅读书标题请阅读书,如下图如下图.解解:在在内有恒定电流内有恒定电流,不能运用磁位函数不能运用磁位函数,而在其他区域建立磁位函数如下：而在其他区域建立磁位函数如下：边境条件边境条件:四个条件可以确定四个系数，最后得四个条件可以确定四个系数，最后得注注:零磁位的选择比零电位宽松零磁位的选择比零电位宽松.补充例题补充例题2有一个载电流有一个载电流I的无限长直导线的无限长直导线,求图中求图中A,P两点磁压两点磁压.解解:留意到留意到,并且磁压计算中的
16、积分并且磁压计算中的积分与途径无关与途径无关,因此选择因此选择如下图便于计算的如下图便于计算的积分途径，得积分途径，得P109利用磁矢位可以计算经过恣意曲面利用磁矢位可以计算经过恣意曲面S磁通量：磁通量：磁场与静电场也有比较关系如下磁场与静电场也有比较关系如下: 无电流区域恒定磁场 无自在电荷区域静电场 所以对应关系为：在边境条件类似情况下, 我们求得某一静电场结果之后, 把相应的结果按照上述关系转换，就得到恒定问题的结果.留意: 请大家再结合恒定电场比较关系及其对应量归纳. 3-6 恒定磁场中的镜像法有两种媒质，磁导率分别为 和 , 在媒质1内置有电流为I的无限长直导线, 且平行于分界面,
17、如图.求两种导磁媒质中的磁场.利用比较关系并参照静电场两种不同介质中点电荷引起电场的计算公式, 得两种特别情况:1)假设第一种媒质是空气, 第二种媒质是铁磁性物质,载流导线置于空气中,那么 I=I I=02)反之，位置对调后得： I=I I=2I课本课本p144习题习题312，求图中的镜像电荷，求图中的镜像电荷求解时留意有效区域，以及详细的方向求解时留意有效区域，以及详细的方向第四节第四节自感与互感自感与互感3.1.磁链磁链(全磁通全磁通)及其计算及其计算穿过导线回路所围成面积的磁通量称磁链穿过导线回路所围成面积的磁通量称磁链,用用表示表示.对于密绕线圈对于密绕线圈N=3:当穿当穿过单线圈磁通
18、是圈磁通是时,它的磁它的磁链是是N=1:当穿当穿过单线圈磁通是圈磁通是时,它的磁它的磁链是是N=I/I,当穿当穿过单线圈磁通是圈磁通是时,它的磁它的磁链磁通是用运用面磁通是用运用面积定定义的的,而磁而磁链是在磁通的根底是在磁通的根底上根据上根据线圈的匝数定圈的匝数定义的的.磁磁链的的计算是根据算是根据计算算感感应电动势引入的引入的规定定.最后一个也称最后一个也称为分数匝分数匝.由于在一个由于在一个导线回路中回路中电流流I产生的磁生的磁链为所以所以与与I成正比成正比,即即称称为自感系数或自感自感系数或自感补充例题补充例题1:矩形截面环形螺线管矩形截面环形螺线管,共有共有N匝，设线匝，设线圈中通有
19、电流圈中通有电流I,求穿过整个螺线管的磁链求穿过整个螺线管的磁链.分析：由于线圈是密绕的分析：由于线圈是密绕的,所以磁场都集中在螺环所以磁场都集中在螺环内内,又又由由于于磁磁场场的的对对称称性性,那那么么磁磁感感应应线线必必然然是是以以O点点为中心的同心圆族为中心的同心圆族.在环内任选一条半径为在环内任选一条半径为的的B线作为积分途径线作为积分途径,由安培定律得由安培定律得补充例题补充例题2:设有一根半径为设有一根半径为a的无限长导体圆柱的无限长导体圆柱,如下图如下图.圆柱中通有电流圆柱中通有电流I,求穿过圆柱内的沿轴求穿过圆柱内的沿轴向单位长度的磁链向单位长度的磁链.解解:圆柱内任一点磁感应
20、强度为圆柱内任一点磁感应强度为穿过宽度为穿过宽度为,沿轴向长度为沿轴向长度为l1矩形面积元磁通是矩形面积元磁通是留意到所交链电流留意到所交链电流阐明：阐明：1)上上面面分分别别计计算算内内磁磁链链和和外外磁磁链链().按按照照内内外外磁磁链链分分别别获获得得内内自自感感和和外外自自感感(),即即.2)计算外磁链别忘了匝数计算外磁链别忘了匝数,内磁链别忘是部分电流内磁链别忘是部分电流.例例3-12计算如下图长为计算如下图长为l的同轴电缆的自感的同轴电缆的自感.解解:留意到留意到,分三部分计算：分三部分计算：1)2)3)由补充例题由补充例题2结论得结论得2)3)由例题3-3， 例题3-13 求二线
21、传输线的自感. 解:在间隔做导线x处,磁场强度 .穿过元面积磁通为得到外自感为 两导线的内自感为3.7.2互互感感对于回路对于回路1和和2(课本图课本图),定义：定义：可以证明：可以证明：例题例题3-14求如下图的传输线的互感，这里求如下图的传输线的互感，这里AB表表示一对输电线示一对输电线,CD表示一对输电线表示一对输电线,设设AB上电流上电流方向如图中方向如图中.解解:导线导线A的产生的磁场穿的产生的磁场穿过过CD回路的磁链是回路的磁链是同理同理,总的互感磁通总的互感磁通3.7.3聂以曼公式聂以曼公式利用磁矢位计算互感和自感的普通公式利用磁矢位计算互感和自感的普通公式,如下图如下图所以互感
22、的计算为：所以互感的计算为：自感的计算为自感的计算为例题例题3-13运用聂以曼公式求解运用聂以曼公式求解解解:在矩形回路上分为四段计算：在在矩形回路上分为四段计算：在ab和和cd上的矢上的矢量磁位分别是：量磁位分别是：于是外磁链可以表示为于是外磁链可以表示为而内自感直接得到，所以，而内自感直接得到，所以，作课本思索题作课本思索题3-23-6.3-8磁场的能量和力磁场的能量和力电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供应的. 法拉第定律(假设没有其它能量损耗)：闭合回路中感应电动势等于回路中磁链对于时间的变化率根本思想根本思想:磁场的能量等于建立该磁场所耗的功。磁场的能量等于建立该磁场所耗的功。
23、1)对于单个回路流入电流时对于单个回路流入电流时,所以所以该式阐明该式阐明,磁场的能量仅仅与电流的最终形状有关磁场的能量仅仅与电流的最终形状有关,与建立过程无关与建立过程无关.2)对于两个回路对于两个回路,它们的电流分别为它们的电流分别为，对于任何时辰对于任何时辰m:对于整个空间对于整个空间 3)对于对于n个回路个回路,从从3.8.2磁场的能量分布及其密度磁场的能量分布及其密度由于由于，代入上式，代入上式得得换算成体电流得公式换算成体电流得公式:由于由于因此因此 定义磁场能量密度定义磁场能量密度: :例例3-15求长度为求长度为l，内外导体半径分别为，内外导体半径分别为R1和和R2得同轴电缆得
24、同轴电缆,通有电流通有电流I时时,电缆所具有磁场能量电缆所具有磁场能量解解:根据定义：根据定义：当当时时,当当时时,当当时时,留意留意: :利用磁场能量可算自感系数利用磁场能量可算自感系数 补充例题：半径为补充例题：半径为a a的长直实心圆柱导体均匀分布的长直实心圆柱导体均匀分布的电流的电流I,I,另有一个半径为另有一个半径为b b的长直薄导电圆柱的长直薄导电圆柱, ,筒壁筒壁厚度趋于零厚度趋于零, , 并且通有均匀分布的电流并且通有均匀分布的电流I,I,电流的流电流的流向均沿圆柱轴线方向向均沿圆柱轴线方向, ,假设要使两种情况下假设要使两种情况下, ,单位长单位长度储能相等度储能相等, ,试
25、求这两个圆柱体的半径之比试求这两个圆柱体的半径之比. . 解解:要要计计算算能能量量,先先要要求求出出两两个个圆圆柱柱体体内内外外的的磁磁场场分分布布.根据安培定律根据安培定律,得得实心导体：实心导体：空心圆柱：空心圆柱：3.8.3磁场力磁场力回想几个可以直接计算的问题回想几个可以直接计算的问题,如下图：如下图：共轴圆环共轴圆环平行汇流线平行汇流线载流导线的线圈载流导线的线圈磁场力的主要计算公式：磁场力的主要计算公式：原原那那么么上上,上上式式处处理理了了载载流流导导体体在在磁磁场场中中的的受受力力问问题题.但但是是从从数数学学的的可可解解性性而而言言，只只需需少少数数的的情情况况下下可可以以
26、求求解解.例例如如,在在上上述述几几种种图图形形中中,是是沿沿着着位位移移的的垂垂直直分分量量(通通常常必必需需坚坚持持点点乘乘的的定定角角),才有能够求解才有能够求解.因此更普通的方法是虚位移法因此更普通的方法是虚位移法.实现虚功原理的功能转换关系为实现虚功原理的功能转换关系为: :回想广义力和广义坐标回想广义力和广义坐标: : 电源提供的能量等于磁场电源提供的能量等于磁场的能量的增量加上磁场力所作的功的能量的增量加上磁场力所作的功. . 这里这里 分两种情况讨论：分两种情况讨论：1)1)假定各个回路中的电流坚持不变假定各个回路中的电流坚持不变, ,即即Ik=Ik=常量常量, ,得得 2)假
27、定与各个回路相交的磁链坚持不变假定与各个回路相交的磁链坚持不变,常量，常量，=0,即外源提供的能量为零即外源提供的能量为零,例题例题3-16求载流平面线圈在均匀的外磁场中遭到求载流平面线圈在均匀的外磁场中遭到的力矩的力矩.设线圈中的电流为设线圈中的电流为I1,线圈的面积为线圈的面积为S,其其法法线方向与外磁场线方向与外磁场B的夹角为的夹角为.解：该系统的相互作用能为解：该系统的相互作用能为选选为广义坐标，对应的广义力是力矩，得为广义坐标，对应的广义力是力矩，得例题例题3-17求如下图的电磁铁的起重力求如下图的电磁铁的起重力解解:磁场能量为磁场能量为法拉第的观念：法拉第的观念：磁场中的矢量管满足侧面与磁场中的矢量管满足侧面与正面的单位面积的受力相等，正面的单位面积的受力相等，详细运用见课本公式：详细运用见课本公式：
