《高考数学 4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算课件.ppt（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)平面向量基本定理平面向量基本定理: :基底基底: :平面内平面内_的向量的向量e1 1, ,e2 2叫做表示这一平面内所有向量的叫做表示这一平面内所有向量的一组基底一组基底. .定理定理: :如果如果e1 1, ,e2 2是同一平面内的两个不共线向量是同一平面内的两个不共线向量, ,那么对于这一平那么对于这一平面内的任意向量面内的任意向量a, ,有且只有一对实数有且只有一对实数1 1,2 2, ,使使a=_.=_.不共线不共线1 1e1 1+2 2e2 2(2)(2)
2、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示: :在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,分别取与分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i, ,j作为基底作为基底, ,该平面内的任一向量该平面内的任一向量a可表示成可表示成a=x=xi+y+yj, ,由于由于a与数对与数对(x,y)(x,y)是一一对应的是一一对应的, ,把有序数对把有序数对(x,y)(x,y)叫做向量叫做向量a的坐标的坐标, ,记作记作a= _,= _,其中其中a在在x x轴上的坐标是轴上的坐标是x,x,a在在y y轴上的坐标是轴上的坐标是y.y.(x,y)(x,y)(3)(3)平面向量的坐标运
3、算平面向量的坐标运算: :向量的加法、减法向量的加法、减法设设a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则a+ +b= _= _,_,a- -b= _= _向量的数乘向量的数乘设设a=(x,y),R,=(x,y),R,则则a= _= _向量坐标的求法向量坐标的求法设设O(0,0)O(0,0)，A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )，则，则 = _ = _ = _ = _(x(x1 1+x+x2 2, ,y y1 1+y+y2 2) )(x(x1 1-x-x2 2,y,y1 1-y-y2 2) )(x,y)(x,
4、y)(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1) )(4)(4)向量共线的坐标表示向量共线的坐标表示: :若若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab_=0,_=0,特别地特别地, ,若若x x2 2,y,y2 20,0,则则ab x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 12.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记若若 是平面内不共线的向量是平面内不共线的向量, ,则存在实数则存在实数1 1,2 2使使 则当则当1 1+2 2=1=1时时,A,B,C,A,B,C三点共线三点共
5、线. .特别地特别地, ,当当1 1=2 2= = 时时,C,C是是A A与与B B的中点的中点. .3.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :待定系数法待定系数法. .(2)(2)数学思想数学思想: :数形结合思想数形结合思想, ,函数与方程思想函数与方程思想. .【小题快练】【小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(.() )(2)(2)平面内任何两个不共线的向量均可作为一组基底平面内任何两个不共线的向量均可作为一组基
6、底.(.() )(3)(3)向量向量 与与 的夹角为的夹角为ABC.(ABC.() )(4)(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的.(.() )【解析】【解析】(1)(1)正确正确. .由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移, ,其坐标其坐标均为终点坐标减去起点坐标均为终点坐标减去起点坐标, ,故平移后坐标不变故平移后坐标不变. .(2)(2)正确正确. .由基底的定义可知由基底的定义可知, ,只要两向量不共线均可作为一组基底只要两向量不共线均可作为一组基底. .(3)(3)错误错误. .两向量的夹角两向量的夹角
7、, ,关键要看起点与方向关键要看起点与方向, , 与与 的夹角应为的夹角应为ABCABC的补角的补角. .(4)(4)正确正确. .由平面向量基本定理可知存在唯一实数对由平面向量基本定理可知存在唯一实数对,使使a=e1 1+ +e2 2故其表现形式唯一故其表现形式唯一. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.教材改编教材改编 链接教材练一练链接教材练一练(1)(1)(必修必修4P984P98例例7 7改编改编) )已知已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,),A(-1,-1),B(1,3),C(2,),若若A,B,CA,B,C三点三点共线共线, ,则则=
8、. .【解析】【解析】由已知得由已知得 =(2,4), =(1,-3). =(2,4), =(1,-3).若若A,B,CA,B,C三点共线三点共线, ,则则2(-3)-14=0,2(-3)-14=0,即即2=10,2=10,得得=5.=5.答案答案: :5 5(2)(2)(必修必修4P994P99例例8 8改编改编) )设设P P是线段是线段P P1 1P P2 2上的一点上的一点, ,若若P P1 1(2,3),P(2,3),P2 2(4,7)(4,7)且且P P是是P P1 1P P2 2的一个四等分点的一个四等分点, ,则则P P的坐标为的坐标为. .【解析】【解析】由题意可知由题意可知
9、,P,P是是P P1 1P P2 2的一个四等分点有三种情况的一个四等分点有三种情况: :即即 = = 或或 =3 =3 或或 = , = ,设设P(x,y),P(x,y),则则 =(x-2,y-3), =(4-x,7-y), =(x-2,y-3), =(4-x,7-y),若若 = , = ,则则(x-2,y-3)= (4-x,7-y),(x-2,y-3)= (4-x,7-y),即即 得得若若 =3 , =3 ,则则(x-2,y-3)=3(4-x,7-y),(x-2,y-3)=3(4-x,7-y),即即 得得若若 = , = ,则则(x-2,y-3)=(4-x,7-y),(x-2,y-3)=(
10、4-x,7-y),即即 得得答案答案: : 或或 或或(3,5)(3,5)3.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(2014(1)(2014福建高考福建高考) )在下列向量组中在下列向量组中, ,可以把向量可以把向量a=(3,2)=(3,2)表示出来的表示出来的是是( () )A.A.e1 1=(0,0),=(0,0),e2 2=(1,2) B.=(1,2) B.e1 1=(-1,2),=(-1,2),e2 2=(5,-2)=(5,-2)C.C.e1 1=(3,5),=(3,5),e2 2=(6,10) D.=(6,10) D.e1 1=(2,-3),=(2,-3),e2
11、2=(-2,3)=(-2,3)【解析】【解析】选选B.B.只有只有B B选项两个向量不共线选项两个向量不共线, ,其他选项的向量都是共线的其他选项的向量都是共线的, ,不共线的向量方可成为基底不共线的向量方可成为基底, ,才可以表示向量才可以表示向量a. .(2)(2015(2)(2015南宁模拟南宁模拟) )在下列向量组中可以把在下列向量组中可以把a=(4,2)=(4,2)表示出来的是表示出来的是 ( () )A.A.b=(0,0),=(0,0),c=(3,2) B.=(3,2) B.b=(1,1),=(1,1),c=(-1,1)=(-1,1)C.C.b=(1,-1),=(1,-1),c=(
12、-1,1) D.=(-1,1) D.b=(2,4),=(2,4),c=(1,2)=(1,2)【解析】【解析】选选B.B.由已知由已知A A中中, ,b= =0, ,而而C,DC,D中两向量共线中两向量共线, ,不符合作为基底不符合作为基底的条件的条件, ,而而B B中中, ,a=3=3b- -c, ,所以选所以选B.B.(3)(2015(3)(2015成都模拟成都模拟) )在在 ABCDABCD中中,AC,AC为一条对角线为一条对角线, =(2,4), =, =(2,4), =(1,3),(1,3),则向量则向量 的坐标为的坐标为. .【解析】【解析】设设 =(x,y), =(x,y),因为因
13、为所以所以(1,3)=(2,4)+(x,y),(1,3)=(2,4)+(x,y),所以所以 即即 所以所以 =(-1,-1), =(-1,-1),所以所以 =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5). =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).答案答案: :(-3,-5)(-3,-5)考点考点1 1 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015广州模拟广州模拟) )设设a是已知的平面向量且是已知的平面向量且a0, ,关于向关于向量量a的分解的分解, ,有如下四个命题有如下四个命题: :给定向量给定向量b, ,总存在向量总存在向量c,
14、 ,使使a= =b+ +c; ;给定向量给定向量b和和c, ,总存在实数总存在实数和和,使使a=b+c; ;给定单位向量给定单位向量b和正数和正数,总存在单位向量总存在单位向量c和实数和实数,使使a=b+c; ;给定正数给定正数和和,总存在单位向量总存在单位向量b和单位向量和单位向量c, ,使使a=b+c. .上述命题中的向量上述命题中的向量b, ,c和和a在同一平面内且两两不共线在同一平面内且两两不共线, ,则真命题的个则真命题的个数是数是( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4(2)(2015(2)(2015泉州模拟泉州模拟) )在在ABCABC中中, ,点点P P是是
15、ABAB上一点上一点, ,且且Q Q是是BCBC的中点的中点,AQ,AQ与与CPCP的交点为的交点为M,M,又又 试求试求t t的值的值. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)利用平面向量基本定理来逐一判断利用平面向量基本定理来逐一判断. .(2)(2)首先利用条件确定首先利用条件确定P P点的位置点的位置, ,再利用平面向量基本定理确定基底再利用平面向量基本定理确定基底, ,从而联立方程得从而联立方程得t.t.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.对于对于因为因为a与与b给定给定, ,所以所以a- -b一定存在一定存在, ,可表示为可表示为c, ,即即c= =a- -b, ,故故
16、a= =b+ +c成立成立,正确正确; ;对于对于,因为因为b与与c不共线不共线, ,由平面向量基本定理可知由平面向量基本定理可知正确正确; ;对于对于,以以a的终点为圆心的终点为圆心, ,以以为半径作圆为半径作圆, ,这个圆必须和向量这个圆必须和向量b有有交点交点, ,这个不一定满足这个不一定满足, ,故故错误错误; ;对于对于,由向量加法的三角形法则由向量加法的三角形法则( (不共线两边的和大于第三边不共线两边的和大于第三边),),即必即必有有|b|+|+|c|=+|=+|a|,|,而给定的而给定的和和不一定满足此条件不一定满足此条件, ,所以所以是假命题是假命题. .(2)(2)因为因为
17、所以所以即即所以所以即即P P为为ABAB的一个三等分点的一个三等分点( (靠近靠近A A点点),),又因为又因为A,M,QA,M,Q三点共线三点共线, ,设设所以所以= =又又= =故故 解得解得 故故t t的值是的值是 . .【易错警示】【易错警示】解答本例题解答本例题(1)(1)有两点容易出错有两点容易出错. .(1)(1)对于对于中判断易直接利用平面向量基本定理而不会变换为中判断易直接利用平面向量基本定理而不会变换为c= =a- -b去去判断从而误解判断从而误解. .(2)(2)对于对于判断时易忽视向量加法的几何意义判断时易忽视向量加法的几何意义, ,及平面向量基本定理及平面向量基本定
18、理的理解而误解的理解而误解. .【互动探究】【互动探究】题题(2)(2)中若条件和所求不变中若条件和所求不变, ,再附加一问再附加一问:M:M在在AQAQ的什么位的什么位置置? ?如何求解如何求解. .【解析】【解析】由由(2)(2)的解析的解析 及及= , = , 知知, ,因此点因此点M M是是AQAQ的中点的中点. .【规律方法】【规律方法】应用平面向量基本定理的关键点应用平面向量基本定理的关键点(1)(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量. .(2)(2)选定基底后选定基底后, ,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件通
19、过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件, ,把相关向量用这一组基底表示出来把相关向量用这一组基底表示出来. .(3)(3)强调几何性质在向量运算中的作用强调几何性质在向量运算中的作用, ,用基底表示未知向量用基底表示未知向量, ,常借助常借助图形的几何性质图形的几何性质, ,如平行、相似等如平行、相似等. .提醒提醒: :在基底未给出的情况下在基底未给出的情况下, ,合理地选取基底会给解题带来方便合理地选取基底会给解题带来方便. .【变式训练】【变式训练】如图如图, ,已知已知OCBOCB中中,A,A是是CBCB的中点的中点,D,D是将是将 分成分成2121的一个内分点的一个内分点,DC,
20、DC和和OAOA交于点交于点E,E,设设 = =a, =, =b. .(1)(1)用用a和和b表示向量表示向量 , . , .(2)(2)若若 = , = ,求实数求实数的值的值. .【解析】【解析】(1)(1)由题意知由题意知,A,A是是BCBC的中点的中点, ,且且 由平行四边形法由平行四边形法则则, ,得得所以所以 =2 =2a- -b, , =(2 =(2a- -b)- )- b=2=2a- - b. .(2)(2)由题意知由题意知, ,故设故设因为因为 =(2 =(2a- -b)-)-a=(2-)=(2-)a- -b, =2, =2a- - b, ,所以所以(2-)(2-)a- -b
21、=x(2=x(2a- - b).).因为因为a与与b不共线不共线, ,由平面向量基本定理由平面向量基本定理, ,得得 解得解得 故故= .= .【加固训练】【加固训练】1.1.若若a与与b不共线不共线, ,已知下列各组向量已知下列各组向量a与与-2-2b; ;a+ +b与与a- -b; ;a+ +b与与a+2+2b; ;a- - b与与 a- - b. .其中可以作为基底的是其中可以作为基底的是( (只填序号即可只填序号即可).).【解析】【解析】因为因为a与与b不共线不共线, ,所以所以, ,对于对于,显然显然a与与-2-2b不共线不共线; ;对于对于,假设假设a+ +b与与a- -b共线共
22、线, ,则存在实数则存在实数,使使a+ +b=(=(a- -b),),则则=1=1且且-=1,-=1,由此得由此得=1=1且且=-1=-1矛盾矛盾, ,故假设不成立故假设不成立, ,即即a+ +b与与a- -b不共线不共线; ;同理同理, ,对对于于,a+ +b与与a+2+2b也不共线也不共线; ;对于对于, , a- - b= (= (a- - b),),故故a- - b与与 a- - b共线共线. .由基向量的定义知由基向量的定义知,都可以作为基底都可以作为基底,不可以不可以. .答案答案: :2.(20152.(2015武汉模拟武汉模拟) )如图所示如图所示, ,已知已知 = =a, =
23、, =b, ,= =c, ,以以a, ,b为基底试表示为基底试表示c. .【解析】【解析】由由 得得 即即即即c= = b- - a. .考点考点2 2 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算【典例【典例2 2】(1)(2015(1)(2015临沂模拟临沂模拟) )在在ABCABC中中, ,点点P P在在BCBC上上, ,且且 =2 , =2 ,点点Q Q是是ACAC的中点的中点, ,若若 =(4,3), =(1,5), =(4,3), =(1,5),则则 等于等于( () )A.(-6,21) B.(-2,7)A.(-6,21) B.(-2,7)C.(6,-21) D.(2,-7)C.(6,-
24、21) D.(2,-7)(2)(2013(2)(2013北京高考北京高考) )向量向量a, ,b, ,c在正方形网格中的位置如图所示在正方形网格中的位置如图所示, ,若若c=a+b(,R),(,R),则则 = =. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)利用已知求得利用已知求得 的坐标即可求的坐标即可求 的坐标的坐标. .(2)(2)结合图形建立适当的平面直角坐标系结合图形建立适当的平面直角坐标系, ,利用平面向量的坐标运算及利用平面向量的坐标运算及平面向量基本定理列方程组求解平面向量基本定理列方程组求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.如图如图, =(1,5)-(4,3)
25、=(-3, =(1,5)-(4,3)=(-3,2), =(1,5)+(-3,2)=(-2,7), =3 =(-6,21).2), =(1,5)+(-3,2)=(-2,7), =3 =(-6,21).(2)(2)以向量以向量a, ,b的交点为原点的交点为原点, ,原点向右的方向为原点向右的方向为x x轴正方向轴正方向, ,正方形网正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系格的边长为单位长度建立直角坐标系, ,则则a=(-1,1),=(-1,1),b=(6,2),=(6,2),c=(-1,=(-1,-3),-3),根据根据c=a+b得得(-1,-3)=(-1,1)+(6,2),(-1,-3)=(-1
26、,1)+(6,2),即即 解得解得=-2,=- ,=-2,=- ,所以所以 =4. =4.答案答案: :4 4【互动探究】【互动探究】在本例在本例(2)(2)中中, ,试用试用a, ,c表示表示b. .【解析】【解析】建立本例建立本例(2)(2)规范解答中的平面直角坐标系规范解答中的平面直角坐标系, ,则则a=(-1,1),=(-1,1),b=(6,2),=(6,2),c=(-1,-3),=(-1,-3),设设b=x=xa+y+yc, ,则则(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3),(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3),即即 解得解得 故故b=-4=-4a-2-2c. .【规律方法
27、】【规律方法】平面向量坐标运算的技巧平面向量坐标运算的技巧(1)(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解求解, ,若已知有向线段两端点的坐标若已知有向线段两端点的坐标, ,则应先求向量的坐标则应先求向量的坐标. .(2)(2)解题过程中解题过程中, ,常利用向量相等则其坐标相同这一原则常利用向量相等则其坐标相同这一原则, ,通过列方程通过列方程( (组组) )来进行求解来进行求解. .【变式训练】【变式训练】已知向量已知向量a=(6,4),=(6,4),b=(0,2), =(0,2), =a+b,O,O为坐标原点
28、为坐标原点, ,若点若点C C在函数在函数y=sin y=sin 的图象上的图象上, ,求实数求实数的值的值. .【解析】【解析】因为因为 = =a+b=(6,4)+(0,2)=(6,4+2),=(6,4)+(0,2)=(6,4+2),所以点所以点C C的坐标为的坐标为(6,4+2).(6,4+2).又点又点C C在函数在函数y=sin y=sin 的图象上的图象上, ,故故4+2=sin =1,4+2=sin =1,所以所以=- .=- .【加固训练】【加固训练】1.1.已知点已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,
29、0),给出下面的给出下面的结论结论: :直线直线OCOC与直线与直线BABA平行平行; 其中正确结论的个数是其中正确结论的个数是( () )A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个【解析】【解析】选选C.C.由题意得由题意得 =(-2,1), =(2,-1), =(-2,1), =(2,-1),故故 , ,又又 无公共点无公共点, ,故故OCBA,OCBA,正确正确; ;因为因为 故故错误错误; ;因为因为 =(0,2)= , =(0,2)= ,故故正确正确; ;因为因为 -2 =(-4,0), =(-4,0), -2 =(-4,0), =(-4,0),故故正确正确.
30、.所以选所以选C.C.2.2.已知点已知点A(-1,2),B(2,8)A(-1,2),B(2,8)以及以及 求点求点C,DC,D的坐的坐标和标和 的坐标的坐标. .【解析】【解析】设点设点C,DC,D的坐标分别为的坐标分别为(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2),),得得 =(x =(x1 1+1,y+1,y1 1-2), =(3,6),-2), =(3,6), =(-1-x =(-1-x2 2,2-y,2-y2 2), =(-3,-6).), =(-3,-6).因为因为所以有所以有 和和 解得解得 和和所以点所以点C,DC,D的坐标分别是的坐标分别是(0,4),(
31、-2,0),(0,4),(-2,0),从而从而 =(-2,-4). =(-2,-4).考点考点3 3 平面向量共平面向量共线的坐的坐标表示及运算表示及运算 知知考情考情 以平面向量的共线为载体考查三角函数问题及利用平面向量共线以平面向量的共线为载体考查三角函数问题及利用平面向量共线的坐标运算求参数的范围的坐标运算求参数的范围, ,是高考考查的一个重要考向是高考考查的一个重要考向, ,常以选择题、常以选择题、填空题的形式出现填空题的形式出现. . 明明角度角度命题角度命题角度1:1:利用向量共线的坐标运算求三角函数的值或角利用向量共线的坐标运算求三角函数的值或角【典例【典例3 3】(2014(2
32、014陕西高考陕西高考) )设设0 ,0 ,向量向量a=(sin2,cos),=(sin2,cos),b=(cos,1),=(cos,1),若若ab, ,则则tan=tan=. .【解题提示】【解题提示】根据向量平行的坐标表示及三角函数化简即可得解根据向量平行的坐标表示及三角函数化简即可得解. .【解析】【解析】由由ab得得sin2-cossin2-cos2 2=0,=0,即即2sincos=cos2sincos=cos2 2,又又0 ,cos0,0 ,cos0,所以所以2sin=cos2sin=cos可得可得tan= .tan= .答案答案: :命题角度命题角度2:2:利用向量共线的坐标运算
33、求参数的值利用向量共线的坐标运算求参数的值【典例【典例4 4】(2013(2013陕西高考陕西高考) )已知向量已知向量a=(1,m),=(1,m),b=(m,2),=(m,2),若若ab, ,则则实数实数m m等于等于( () )( (本题源于教材必修本题源于教材必修4P101T5)4P101T5)A.- B. C.- A.- B. C.- 或或 D.0 D.0【解题提示】【解题提示】利用平面向量共线的坐标表示列方程求解利用平面向量共线的坐标表示列方程求解. .【规范解答】【规范解答】选选C.C.因为因为a=(1,m),=(1,m),b=(m,2),=(m,2),ab, ,所以所以12-m1
34、2-m2 2=0,=0,即即m m2 2=2,=2,故故m= .m= .悟悟技法技法1.1.根据向量共线的坐标运算求参数的值根据向量共线的坐标运算求参数的值: :利用向量共线转化为含参数的方程利用向量共线转化为含参数的方程, ,解方程可求参数解方程可求参数. .2.2.利用向量共线的坐标运算求三角函数值利用向量共线的坐标运算求三角函数值: :利用向量共线的坐标运算转化为三角方程利用向量共线的坐标运算转化为三角方程, ,再利用三角恒等变换求解再利用三角恒等变换求解. . 通通一类一类1.(20151.(2015沈阳模拟沈阳模拟) )已知向量已知向量a=(1-sin,1),=(1-sin,1),b
35、=( ,1+sin),=( ,1+sin),若若ab, ,则锐角则锐角等于等于( () )A.30 B.45 C.60 D.75A.30 B.45 C.60 D.75【解析】【解析】选选B.B.由由ab得得,(1-sin)(1+sin)-1 =0,(1-sin)(1+sin)-1 =0,解得解得sin= .sin= .又又为锐角为锐角, ,所以所以=45.=45.2.(20152.(2015攀枝花模拟攀枝花模拟) )已知向量已知向量a=(1,2),=(1,2),b=(1,0),=(1,0),c=(3,4).=(3,4).若若为为实数实数,(,(a+b)c, ,则则=(=() )A. B. C.
36、1 D.2A. B. C.1 D.2【解析】【解析】选选B.B.因为因为a+b=(1,2)+(1,0)=(1+,2),=(1,2)+(1,0)=(1+,2),c=(3,4),=(3,4),又又( (a+ +b)c, ,所以所以4(1+)-23=0.4(1+)-23=0.解得解得= .= .3.(20153.(2015郑州模拟郑州模拟) )已知向量已知向量 =(k,12), =(4,5), =(-k, =(k,12), =(4,5), =(-k,10),10),且且A,B,CA,B,C三点共线三点共线, ,则则k k的值是的值是( () )A.- B. C. D.A.- B. C. D.【解析】
37、【解析】选选A. =(4-k,-7),A. =(4-k,-7), =(-2k,-2). =(-2k,-2).因为因为A,B,CA,B,C三点共线三点共线, ,所以所以 共线共线, ,所以所以-2(4-k)=-7(-2k),-2(4-k)=-7(-2k),解得解得k=- .k=- .创新体验创新体验3 3 以向量坐标运算为载体的创新问题以向量坐标运算为载体的创新问题【创新点拨】【创新点拨】 高考考情高考考情: :以向量的坐标运算为载体的创新问题是近几年高考命以向量的坐标运算为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点题的一个热点, ,综合考查向量与函数等知识综合考查向量与函数等知识, ,考查学生的
38、应变能力与创考查学生的应变能力与创新能力新能力. .【新题快递】【新题快递】1.(20151.(2015贵阳模拟贵阳模拟) )在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,若若O O为坐标原点为坐标原点, ,则则A,B,CA,B,C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数,使得使得 = =+(1-) +(1-) 成立成立, ,此时称实数此时称实数为为“向量向量 关于关于 和和 的终的终点共线分解系数点共线分解系数”.”.若已知若已知P P1 1(3,1),P(3,1),P2 2(-1,3),P(-1,3),P1 1,P,P2 2,P,P3 3三点共线且向
39、三点共线且向量量 与向量与向量a=(1,-1)=(1,-1)共线共线, ,则则“向量向量 关于关于 和和 的终点共的终点共线分解系数线分解系数”为为( () )A.-3 B.3 C.1 D.-1A.-3 B.3 C.1 D.-1【解析】【解析】选选D.D.由由 与向量与向量a=(1,-1)=(1,-1)共线共线, ,可设可设 =(t,-t)(t0), =(t,-t)(t0),由由 = +(1-) = +(1-) 得得(t,-t)=(3,1)+(1-)(-1,3)=(4(t,-t)=(3,1)+(1-)(-1,3)=(4-1,3-2),-1,3-2),所以所以 两式相加得两式相加得2+2=0,2
40、+2=0,所以所以=-1.=-1.2.(20152.(2015杭州模拟杭州模拟) )将一圆的六个等分点分成两组将一圆的六个等分点分成两组相间的三点相间的三点, ,它们所构成的两个正三角形扣除内部六它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星条线段后可以形成一正六角星, ,如图所示的正六角星如图所示的正六角星是以原点是以原点O O为中心为中心, ,其中其中x, ,y分别为原点分别为原点O O到两个顶点到两个顶点的向量的向量, ,若将原点若将原点O O到正六角星到正六角星1212个顶点的向量个顶点的向量, ,都写成都写成a ax+b+by的形式的形式, ,则则a+ba+b的最大值为
41、的最大值为( () )A.2 B.3 C.4 D.5A.2 B.3 C.4 D.5【解析】【解析】选选D.D.欲求欲求a+ba+b的最大值的最大值, ,只需考虑图中只需考虑图中6 6个顶点的向量即可个顶点的向量即可, ,讨讨论如下论如下: :(1)(1)因为因为 = =x, ,所以所以(a,b)=(1,0);(a,b)=(1,0);(2)(2)因为因为 = =y+3+3x, ,所以所以(a,b)=(3,1);(a,b)=(3,1);(3)(3)因为因为 = =y+2+2x, ,所以所以(a,b)=(2,1);(a,b)=(2,1);(4)(4)因为因为 = =y+ +x+ =+ =y+ +x+
42、(+(y+2+2x)=2)=2y+3+3x, ,所以所以(a,b)=(3,2);(a,b)=(3,2);(5)(5)因为因为 = =y+ +x, ,所以所以(a,b)=(1,1);(a,b)=(1,1);(6)(6)因为因为 = =y, ,所以所以(a,b)=(0,1).(a,b)=(0,1).所以所以a+ba+b的最大值为的最大值为3+2=5.3+2=5.3.(20133.(2013北京高考北京高考) )已知点已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域若平面区域D D由由所有满足所有满足 (12,01) (12,01)的点的点P
43、P组成组成, ,则则D D的面的面积为积为. .【解析】【解析】设设P(x,y),P(x,y),则则(x-1,y+1)=(2,1)+(1,2),(x-1,y+1)=(2,1)+(1,2),所以所以 解得解得 所以所以 即即在平面直角坐标系中作出区域在平面直角坐标系中作出区域D,D,可求得面积为可求得面积为3.3.答案答案: :3 3【备考指导】【备考指导】1.1.准确转化准确转化: :解决向量创新问题解决向量创新问题, ,一定要读懂题目的本质含义一定要读懂题目的本质含义, ,紧抓题紧抓题目所给条件进行恰当地转化目所给条件进行恰当地转化. .2.2.方法选取方法选取: :对向量的创新问题对向量的创新问题, ,准确转化后准确转化后, ,要观察题目特点要观察题目特点, ,合理选合理选取解题的办法取解题的办法, ,如函数的最值求法如函数的最值求法, ,线性规划的可行域线性规划的可行域, ,新型概念的融新型概念的融合等合等. .
