《数学中的十大悖论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学中的十大悖论（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 -人文人文1102班班 张燕燕张燕燕 学号：学号：3110102114数学中的十大悖论数学中的十大悖论N布尔巴基布尔巴基说过：说过：“古往今来，为数众多的古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。食粮。”什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为
2、真。由于严格性被公认为是数学的一个主要出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致会直接导致“数学危机数学危机”的产生。按照西方习惯的的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次
3、这样的数学危机。数学危机。三次数学危机三次数学危机n希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论与第一次数学危机n贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机 n罗素悖论与第三次数学危机罗素悖论与第三次数学危机 悖论一览悖论一览 n1 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ n如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发如果理发师给自己理发，则违背了自己
4、的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。这样，理发师陷入了两难的境地。 n2 芝诺悖论芝诺悖论阿基里斯与乌龟：公元前阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快比乌龟快10倍。比赛开
5、始，当阿基里斯跑了倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，米时，乌龟仍前于他乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个米；当阿基里斯跑了下一个100米时，米时，乌龟依然前于他乌龟依然前于他10米米所以，阿基里斯永远追不上乌龟。所以，阿基里斯永远追不上乌龟。 n说谎者悖论：公元前说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” n如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了
6、一句真话，但是却与他的真话真话，但是却与他的真话所有克里特人所说的每一句话都是谎话所有克里特人所说的每一句话都是谎话相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。两者又相悖。 n所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。 n公元前公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这我现在正在说的这句话是假
7、的。句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！同上，这又是难以自圆其说！ n说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：如：我预言：“你下面要讲的话是你下面要讲的话是不不，对不对？用，对不对？用是是或或不不是是来回答。来回答。” n又如，又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 n 跟无限相关的悖论：跟无限相关的悖论： n1，2，3，4，5，是自然数集：是自然数集： n1，4，9，16，25，是自然数平方的数集。是自然数平方的数集。
8、n这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？中有一样多的元素吗？ n 伽利略悖论：我们都知道整体大于部伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段分。由线段BC上的点往顶点上的点往顶点A连线，连线，每一条线都会与线段每一条线都会与线段DE(D点在点在AB上上,E点在点在AC上上)相交，因此可得相交，因此可得DE与与BC一样长，与图矛盾。为什么？一样长，与图矛盾。为什么？ n 预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试
9、，但五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。” n你能说出为什么这场考试无法进行吗？你能说出为什么这场考试无法进行吗？ n 电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要每
10、当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！让人烦死了！” n这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？可
11、为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？ n硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕n下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与n开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬n币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？n 宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会塌；抽两块砖，它也不会塌；塌；抽两块砖，它也不会塌；抽第抽第N块砖时，块砖时，塔塌了。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不塔塌了
12、。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不一样的是，抽第一样的是，抽第M块砖是，塔塌了。再换一个地块砖是，塔塌了。再换一个地方，塔塌时少了方，塔塌时少了L块砖。以此类推，每换一个地方，块砖。以此类推，每换一个地方，塔塌时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少塔塌时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢？块砖塔才会塌呢？ n n 谷堆悖论：显然，谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆；粒谷子不是堆； n如果如果1粒谷子不是堆，那么粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；粒谷子也不是堆； n如果如果2粒谷子不是堆，那么粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；粒谷子也不是堆； n n如果如果99999粒谷子不是
13、堆，那么粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；粒谷子也不是堆； n 悖论存在的意义悖论存在的意义n数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就不是完备的，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就不是完备的，我们不是去容忍悖论而是去消除悖论，在消除悖论的过程我们不是去容忍悖论而是去消除悖论，在消除悖论的过程中提高认知水平。中提高认知水平。悖论悖论有利于激发有利于激发我们我们对数学学习的兴趣；对数学学习的兴趣；有利于有利于学习学习重要的数学思路；有利于开发丰富多彩的数学重要的数学思路；有利于开发丰富多彩的数学学习活动；有利于帮助学习活动；有利于帮助我们我们洞察数学问题的解题过程；有洞察数学问题的解题过程；有利于培养辩证的、开创性的、批判性的思维方式；有利于利于培养辩证的、开创性的、批判性的思维方式；有利于提高提高现阶段我们对现阶段我们对对现代数学所具有的美妙、多样，甚至对现代数学所具有的美妙、多样，甚至幽默性质的鉴赏力。从这个意义上说，没有悖论的数学学幽默性质的鉴赏力。从这个意义上说，没有悖论的数学学习是危险的，没有悖论思想的数学是苍白的。数学家同时习是危险的，没有悖论思想的数学是苍白的。数学家同时也是悖论大师，悖论不是目的，以悖论为手段学会创新才也是悖论大师，悖论不是目的，以悖论为手段学会创新才是目标。是目标。谢谢！谢谢！
