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1、数字推理1第一章第一章 基本知识与基本思维基本知识与基本思维2第一节 基础数列基础数列分六大类型：（1）常数数列（2）等差数列（3）等比数列（4）质（合）数数列（5）周期数列（6）简单递推数列3一、常数数列 由一个固定的常数构成的数列叫做常数数列。例如： 3，3，3，3，3，3， 6.5，6.5，6.5，6.5， 4二、等差数列 相邻两项之差（后项减去前项后项减去前项）等于定值的数列叫做等差数列。例如（1）3，5，7，9，11 相邻两项之差为2，这个差值2叫做等差数列的公差。 （2）1.5，1，0.5，0， -0.5 公差为-0.5的等差数列5三、等比数列 相邻两项之比（后项除以前项后项除以前
2、项）等于定值的数列叫做等差数列。例如（1）3，12，48，192，768，3072 相邻两项之比为4，这个比值4叫做等比数列的公比。 （2）4，-1，1/4，-1/16，1/64 公比为-1/4的等比数列。6四、质（合）数数列由质数构成的数列叫做质数数列 2，3，5，7，11，13，17，19，只能被1和自身整除的自然数叫做质数。由合数构成的数列叫做合数数列 4，6，8，9，10，12，14，15，除了1和质数外的其它的自然数叫做合数。注意：注意：1 1既不是质数，也不是合数。既不是质数，也不是合数。7五、周期数列 重复出现前面相同（相似）项的数列叫做周期数列。例如（1）2，8，9，2，8，9
3、 （2）6，11，6，11，6，11 （3）1，2，6，-1，-2，-6 一般说来，周期数列（包括未知项）至少应出现两个“3循环节”，或三个“2循环节”，所以要判断有无周期规律，加上未知项至少要有六项。8六、简单递推数列 数列中每一项等于其前两项的和、差、积或商。例如：（1）1，1，2，3，5，8，13 （简单递推和数列）（2）37，23，14，9，5，4 （简单递推差数列）（3）2，3，6，18，108，1944 （简单递推积数列）（4）256，32，8，4，2，2 （简单递推商数列）9 在公务员考试中，以上基础数列都相对比较简单，直接考查以上各种基础数列的题目也并不是很多，但要注意以下两点
4、：（1）在规律不变的前提下，可能只是由于数字稍加变化，规律就可能变得模糊。（2）作为复杂数列的中间数列，大家对基础数列一定要熟记于心。10第二节 数字敏感 单数字发散数字敏感 多数字发散11一、单数字发散 即从题目中所给的某一个数字出发，寻找与之相关的各个特征数字，从而找到解析试题的思维方式。基本思想：（1）分解发散 针对某个数，联系其各个因子（即约数）及其因子的表示形式（包括幂次形式、阶乘形式等），牢记典型质数与“典型形似质数”的分解方式。（2）相邻发散 针对某个数，联系与其相邻的各个具有特征的数字（即“基准数字”），将题干中数字与这些“基准数字”联系起来，从而洞悉解题的思想。12常用平方数
5、13常用立方数14常用多次方数15常用幂次数的记忆规律（1）很多数字的幂次数都是相通的，比如7299336272 2562844162等（2）“2129”的平方数是相联系的，以25为中心，24与26、23与27、22与28、21与29，它们的平方数分别相差100、200、300、400。16常用阶乘数定义：n的阶乘写作n！。 n!=1x2x3x4xx(n-1) xn数字1234567阶乘12624120720504017200以内质数表（特别留意划线部分）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
6、,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,173,179,181,191,193,197,199两点说明：（1）“2,3,5,7,11,13,17,19”这几个质数是质数数列的“旗帜”，公务员考试对于质数数列的考查往往集中在这几个数字上。（2）83,89,97是100以内最大的三个质数，特别要注意91是合数（91=7x13）。18像91这样较大的合数的“质因数分解”，也是考试中经常会设置的障碍。 常用经典因数分解91=7x13 111=3x37 119=7x17 133=7x1919 阶数26=4!+2单数字发散举例26 平方26
7、251幂次 立方26271262x13 质数20练习：对126单数字发散126126=125+1126=128-2126=121+5幂次分解因子是7的倍数是9的倍数126=2x63阶数126=120+6=5!+3!21例1 4，6，10，14，22，（ ） A.30 B.28 C.26 D.24解析 原数列分别是2,3,5,7,11,(13)质数数列的两倍答案 C22例2 2，3，10，15，26，（ ） A.29 B.32 C.35 D.37 解析 敏感数字26 2=12+1;3=22-1;10=32+1;15=42-1; 26=52+1;(35)=62-1答案 C23例3 3，4，8，26
8、，122，（ ） A.722 B.727 C.729 D.731解析 敏感数字26和122 3=1!+2;4=2!+2;8=3!+2;26=4!+2; 122=5!+2;(722)=6!+2 答案 A 24二、多数字联系 即从题目中所给的某些数字组合出发，寻找之间的联系，从而找到解析试题的思维方式。 经研究，大约75%的情况下考虑“三个数片段”的多数字联系；20%的情况下考虑“两个数片段”的多数字联系；在数列较长的情况下，偶尔考虑“四个数片段”的多数字联系。基本思想：（1）共性联系：把握数字之间的共性性质。（2）递推联系：把握数字之间的递推关系。25多数字联系举例 50、41、32 数字共性
9、12、22、32 1，4，9 9=4x2+1 递推关系 9=4+1x5 9=(4-1)2 9=(4-1)x326例1 4，9，25，49，121，（ ） A.144 B.169 C.196 D.225解析 原数列的平方根是质数数列 22，32，52，72，112，（132）答案 B27例2 1，4，9，15，18，（ ） A.9 B.33 C.48 D.51解析 从第三项开始，每一项等于前面两项差的3倍答案 A28第三节 思维步骤数字推理题一般分为两步：（1）判断类型（2）按类型使用具体方法判断类型是解题的前提和关键。按类型使用具体方法是解题的基本能力和得分途径。29 数字推理六大题型1.多级
10、数列：数列中相邻项通过四则运算，得到的结果形成某种特定的规律。2.多重数列：数列中数字通过交叉或分组，形成某种特定的规律。3.分式数列：数列中的数通过自然分隔，形成某种特定的规律。4.幂次数列：数列中有基于平方、立方或其它乘方的规律。5.递推数列：数列中前面的项通过某种特定的运算，得出后一项从而形成规律。6. *图形数阵：借助几何图形，构建数字之间平面二维关系的数字推理类型。30第二章第二章 多级数列多级数列基本知识点：1.多级数列是指对数列相邻两项进行“加、减、乘、除”运算从而形成规律的数列。2.多级数列多考的题型是做差数列，而做和和做积数列一般出现不多。3.以做差数列为主体内容的多级数列是
11、五大题型中最基础、最重要、最常见的数列。4.运算后得到的次生数列可能是等差、等比数列，也可能是其他特殊数列，包括质数数列、周期数列、幂次数列、递推数列等。31第一节 二级等差数列例1 11，12，15，20，27，（ ） A.32 B.34 C.36 D.38解析 11 12 15 20 27 （36） 1 3 5 7 （9）答案 C32例2 0，8，24，48，80，（ ） A.120 B.116 C.108 D.100解析 0 8 24 48 80 （120） 8 16 24 32（40）答案 A33第二节 二级等比数列例1 3，8，33，158，（ ） A.219 B.378 C.512
12、 D.783解析 3 8 33 158 （783） 5 25 125 （625）答案 D34例2 8，6，2，-6，（ ） A.-8 B.-10 C.-20 D.-22解析 8 6 2 -6 （-22） -2 -4 -8 （-16）答案 D35第三节 二级特殊数列基本类型：1.二级质数数列2.二阶周期数列3.二级幂次数列4.二级递推数列5.其他二级特殊数列36例1 20，22，25，30，37，（ ） A.39 B.45 C.48 D.51解析 20 22 25 30 37 （48） 2 3 5 7 （11） 质数数列答案 D37例2 2，7，13，20，25，31，（ ） A.35 B.36
13、 C.37 D.38解析 2 7 13 20 25 31 （38） 5 6 7 5 6 （7）周期数列答案 D38例3 16，17，19，22，27，（ ），48 A.35 B.34 C.36 D.37解析 16 17 19 22 27（35） 48 1 2 3 5 （8）（13）递推数列答案 A39例4 17，18，22，31，47，（ ） A.54 B.63 C.72 D.81解析 17 18 22 31 47 （72） 1 4 9 16 （25）平方数列答案 C40第四节 三级数列三级等差数列例题 5，12，21，34，53，80，（ ） A.121 B.115 C.119 D.117解
14、析 5 12 21 34 53 80（117） 二级 7 9 13 19 27（37） 三级 2 4 6 8（10） 答案 D 41三级等比数列例题 0，1，3，8，22，63，（ ） A.163 B.174 C.185 D.196解析 0 1 3 8 22 63 （185） 二级 1 2 5 14 41（122） 三级 1 3 9 27（81）答案 C42三级特殊数列例题 -8，15，39，65，94，128，170，（ ） A.180 B.210 C.225 D.256解析 -8 15 39 65 94 128 170（225） 二级 23 24 26 29 34 42（55） 三级 1
15、2 3 5 8 （13）递推数列答案 C43第五节 做商多级数列基本特征：数字之间倍数关系比较明显三大趋势： （1）数字分数化，小数化 （2）两两做商得到一个“非等差形式”简单数列 （3）两两做商得到一个“非整数形式”简单数列44例1 3，3，6，18，72，（ ） A.360 B.350 C.288 D.260解析 3 3 6 18 72 （360） 做商 1 2 3 4 （5）答案 A45例2 2，6，30，210，2310，（ ） A.30160 B.30030 C.40300 D.32160解析 2 6 30 210 2310（30030） 做商 3 5 7 11 （13） 质数数列答
16、案 B46第六节 题型拓展基本知识点：1.多级数列近年来在考查形式上，出现了少量两两做和两两做和与两两做积两两做积的类型。2.多级数列的拓展还可能出现“级层深度化”（比如四级数列）、“运算灵活化”（不一定是相邻项的运算）的趋势。47例1 3，5，22，42，83，（ ） A.133 B.156 C.163 D.164解析 3 5 22 42 83 （133） 做和 8 27 64 125（216）立方数列答案 A48例2 1/3，3，1/12，4/3，3/64，（ ） A.13/84 B.64/75 C.3/52 D.3/32解析 1/3 3 1/12 4/3 3/64（64/75） 做积 1
17、/1 1/4 1/9 1/16（1/25）分式数列答案 B49第三章 多重数列数列基本特征：（1）数列较长：多重数列加上未知项，一般8项或8项以上。（2）两个括号：如果数列含有两个未知项，那么几乎可以判定这一定是多重数列。数列基本类型：（1）交叉数列：数列的奇数项与偶数项分别呈现规律。（2）分组数列：数列中数字两两分组，然后组内进行运算。50第一节 交叉数列基本解题思想：1.一般交叉数列中，奇数项与偶数项独立成规律，分别是两个较简单的数列。2.在交叉数列中，如果奇数项规律明显而偶数项规律不明显，那么偶数项的规律可能依赖于奇数项的规律，反之亦然。51例1 1，4，8，12，15，20，22，（
18、） A.28 B.25 C.30 D.26解析 连括号共8个数字，奇偶项单独成规律，典型的多重数列。 奇数项 1，8，15，22 等差数列 偶数项 4，12，20，（28）等差数列答案 A52例2 5，4，10，8，15，16，（ ），（ ） A.20，18 B.18，32 C.20，32 D.18，64解析 数列含有 两个未知项，具备典型多重数列的特征。 奇数项 5，10，15，（20） 等差数列 偶数项 4，8，16，（32） 等比数列答案 C53例3 64，2，27，（ ），8， ，1，1A.2B.C.2D.解析 连选项共8个数字，又有根号很难与相邻的数有联系，明显给出了交叉多重数列的信
19、号。 奇数项 64，27，8，1 立方数列偶数项，1 平方根数列答案 D54例4 1，4，3，5，2，6，4，7，（ ） A.1 B.2 C.3 D.4解析 明显多重数列特征，偶数项有明显规律，奇数项无明显规律，就要寻找奇数项与偶数项的联系。奇数项 1 3 2 4（3） 寻找与偶数项的联系偶数项 4 5 6 7 等差数列答案 C55练习1. 11,12,12,18,13,28,（ ）,42,15,（ ） A.15,55 B.14,60 C.14,55 D.15,602. 1,3,3,5,7,9,13,15,（ ）,（ ） A.19,21 B.19,23 C.21,23 D.27,30答案1.B
20、 （奇数项等差数列，偶数项二级等差数列） 2.C （奇偶数项都是二级等差数列）56第二节 分组数列基本解题思想：（1）分组数列一般只有两两分组的情况，所以包括未知项一般是8或10项。（2）两两分组后进行组内运算，这是分组数列的基本解题思路。（3）大量的多重数列，既可以看成交叉数列，也可以看成分组数列，得到的结果相同。57例1 2，-1，4，0，6，3，8，8，10，（ ） A.12 B.13 C.14 D.15解析 两两分组后可以尝试多种运算方法解一 2,-1 4,0 6,3 8,8 10,(15) 组内做和 1 4 9 16 25 平方数列解二 2,-1 4,0 6,3 8,8 10,(15
21、) 组内做差 -3 -4 -3 0 5 二级等差数列解三 2,-1 4,0 6,3 8,8 10,(15) 组内做商 -0.5 0 0.5 1 1.5 等差数列解四 奇数项 2,4,6,8,10 等差数列 偶数项 -1,0,3,8,(15) 二级等差数列58例2 1，3，13，15，27，29，35，（ ） A.36 B.37 C.38 D.39解析 1,3 13,15 27,29 35,(37) 组内做差 2 2 2 2 常数数列答案 B59例3 5，24，6，20，( )，15，10，( ) A. 7，15 B. 8，12 C. 9，12 D. 10，10解析 5，24 6，20 (8)，
22、15 10，(12)组内做积 120 120 120 120答案 B60例4 1，2，3，10，5，26，7，50，9，（ ） A.62 B.72 C.82 D.92解析 解一 分组数列 1,2 3,10 5,26 7,50 9,(82) 每组内前一个数的平方加1，等于后一个数。 解二 交叉数列 奇数项 1，3，5，7，9 等差数列 偶数项 2，10，26，50，(82) 二级等差数列答案 C61第四章 分数数列基本知识点：1.经典分数数列是以数列当中各分数的分子与分母为研究对象的数列形式。2.当数列中含有少量非分数形式，常常需要以整数化分数的方式将其形式统一。3.当数列中含有少量分数，一般是
23、以下三种题型：（1）负幂次形式（2）做积商多级数列（3）递推积商数列。62第一节 基本分数数列基本分数数列解题思路：1.观察特征，各分数的分子与分母之间存在一个直观的简单规律。2.分组观察，分子与分母分别为一个简单数列。63例1，（ ）A.B.C.D.解析 从第二项开始数列中每个数的分子为前一个数分子、分母之和，分母为前一个数分母与自身分子之和。答案 A64例2（ ） ，A.-1B.C.D.1解析 分子是等差数列，分母是等比数列。答案 C 65例3（ ），0，A.12 B.13C.D.解析 0是一个万能变化项，可以根据需要把0这项的分母变成想要的任何数。 分母是等差数列，分子是二级等差数列。答
24、案 D66例4，（ ）A.B.C.D.解析 分子是明显的等差数列，分母是二级等比数列。答案 C67第二节 典型解题技巧典型解题技巧分类：（1）经典约分（2）经典通分（3）分子通分（4）分母/分子有理化68一、经典约分：当分数的分子与分母含有相同因子时，应将其化成最简式。例题 133/57,119/51,91/39,49/21,（ ）,7/3 A.28/12 B.21/14 C.28/9 D.31/15解析 所有分数都可约分变成7/3答案 A69二、经典通分：当分数的分母很容易化为一致时，将其化为相同数。例1 1/4，3/10，（ ），2/5 A.23/50 B.17/40 C.11/30 D.
25、7/20解析 通分为5/20，6/20，（7/20），8/20答案 D例2 8/9，-2/3，1/2，-3/8，（ ） A.9/32 B.5/72 C.8/32 D.9/32解析 通分为64/72，-48/72，36/72，-27/72 分子是公比为-3/4的等比数列 答案 A70三、分子通分：当分数的分子很容易化为一致时，将其化为相同的数。例1 1，3/8，1/5，1/8，3/35，（ ） A.1/12 B.1/16 C.1/18 D.1/24解析 分母的公倍数较大不易通分，选择分子通分得到3/3,3/8,3/15,3/24,3/35,(3/48) 分母为二级等差数列答案 B71例2 2/3
26、，1/4，2/15，1/12，2/35，（ ） A.1/32 B.3/32 C.1/24 D.5/26解析 分母不易通分，通分分子得到 2/3，2/8，2/15，2/24，2/35，(2/48) 分母为二级等差数列答案 C72四、分母/分子有理化：当分数中含有根式时，对其进行分母（或分子）有理化。例题（国家2005二类31），（ ）A.B.2C.D.解析解一分母有理化解二分子有理化答案 A，73第三节 反约分型数列基本知识点：1.反约分是指同时扩大数列当中某些分数的分子与分母（分数大小不变），从而使得分数的分子数列与分母数列形成简单数列。2.反约分数列变化形式的选择很多，很具有技巧，也是分数数
27、列出题的主要方向。74例1 0，1/6，3/8，1/2，1/2，（ ） A.5/13 B.7/13 C.5/12 D.7/12解析 出现两个一样是分数是明显的反约分信号。0也提供多种变化可能。 反约分得0/5,1/6,3/8,6/12,10/20,(15/36)答案 C75例2 4，3，8/3，5/2，（ ） A.13/5 B.12/5 C.11/5 D.14/5解析 整数变分数是很有技巧的，第三，四项的分母也有迷惑，分母若由大变小尝试一下就可排除，则分母是由小变大 反约分得4/1,6/2,8/3,10/4,(12/5)答案 B76例3 3/15，1/3，3/7，1/2，（ ） A.5/8 B
28、.4/9 C.15/27 D.-3解析 原数列中第一项未约分是设置迷惑，此题中15与3，7应考虑把15化简。反约分得1/5,2/6,3/7,4/8,(5/9)答案 C77练习1. 1/16，2/13，2/5，8/7，4，（ ） A.19/3 B.8 C.16 D.322. 4，3/2，20/27，7/16，36/125，（ ） A.39/144 B.11/54 C.68/196 D.73. 1，2/3，5/9，（ ），7/15，4/9 A.1/2 B.3/4 C.2/13 D.3/7 答案1.D 2.B 3.A78练习4. 1/2，1，7/8，5/8，13/32，（ ） A.1/4 B.15/
29、64 C.11/64 D.7/645. 2，1，6/7，4/5，10/13，（ ） A.4/3 B.3/4 C.7/15 D.7/16答案1.A 2.B79第四节 题型拓展三种类型的拓展：（1）带分数数列（2）小数数列（3）根式数列80一、带分数数列（整数部分和分数部分分别具有一定规律）例题，（ ）A.B.C.D.解析 整数、分子、分母都是等差数列答案 B81二、小数数列（整数部分与小数部分分别具有一定规律）例1 1.04，4.08，7.16，（ ），13.64 A.8.62 B.9.36 C.10.32 D.10.28解析 分组观察 整数1，4，7，（10），13 等差数列 小数04，08，
30、16，（32），64 等比数列答案 C82例299.01，-81.03，63.05，-45.07，27.09，（） A.9.01 B.-9.11 C.-11.01 D.11.11解析 正负交替，整数部分和小数部分分别成等差数列答案 B83三、根式数列（底数部分与指数部分分别具有一定规律）例1A.，3，（ ）B.C.D.解析 都化为平方根后，底数为立方数加1答案 C84第五章 幂次数列基本类型：（1）基础幂次数列，平方数列，立方数列，变幂次数列等。（2）幂次修正数列，平方修正数列，立方修正数列，变幂次修正数列等。重点方向：（1）熟悉所有以常用幂次数和幂次变换法则。（2）熟悉幂次数附近相关数的数字
31、特征。85第一节 基础幂次数列幂次变换法则：（1）普通幂次数：平方表、立方表、多次方表要熟记。（2）普通数变换：a=a1（3）负幂次变换：1/a=a-1（4）负底数变换：a2N=(-a)2N（5）非唯一变换：当一个数字有多种变换分式时，做题要先从其它数字着手。86例1 343，216，125，64，27，（ ） A.8 B.9 C.10 D.12答案 A例2 16，81，256，625，（ ） A.1296 B.1725 C.1449 D.4098 答案 A例3 1，4，27，（ ），3125 A.70 B.184 C.256 D.351答案 C87 常用非唯一变换（1）数字0的变换：0=0N
32、（N0）（2）数字1的变换：1=a0=1N=(-1)2N（a0）（3）特殊数字变换： 16=24=42；64=26=43=82；81=34=92； 256=28=44=162；512=29=83； 729=93=272=36；1024=210=45=322 用电脑或U盘的大小来记2的幂次88例1 1，4，3，1，1/5，1/36，（ ） A.1/92 B.1/124 C.1/262 D.1/343解析 注意1的变换，入手点是1/5和1/36 13，22，31，40，5-1，6-2，（7-3）答案 D例2 1，32，81，64，25，（ ），1 A.5 B.6 C.10 D.12解析 16，25
33、，34，43，52，（61），70答案 B89例3 9，1，（ ），9，25，49 A.1 B.2 C.4 D.5解析 平方数列，底数为-3,-1,(1),3,5,7答案 A例4 9，16，36，100，（ ） A.144 B.256 C.324 D.361解析 平方数列，底数为3,4,6,10,(18)二级等比数列 答案 C90第二节 幂次修正数列一、修正项为常数的情形例1 0，7，26，63，124，（ ） A.209 B.215 C.224 D.262解析 很多敏感数字 13-1，23-1，33-1，43-1，53-1，（63-1） 立方数列，修正项为-1答案 B91例2 1/9，1/2
34、8，（ ），1/126 A.1/55 B.1/54 C.1/65 D.1/75解析 分母为立方数加1答案 C例3 5，10，26，65，145，（ ） A.197 B.226 C.257 D.290解析 平方数加1，平方数的底数为二级等差数列 答案 D92二、修正项正负交错的情形例1 2，3，10，15，26，（ ），50 A.32 B.35 C.38 D.42解析 有平方数的影子，从10，15，50入手 得到平方数列，修正项是1，-1交替答案 B93例2 -1，10，25，66，123，（ ） A.214 B.218 C.238 D.240解析 66与123是解题入手点，而25是迷惑项 立方数列，修正项为-2，2交替答案 B94三、修正数列成等差数列的情形 此类题型有难度，一般从相邻的两个有特征的数入手，猜测数列及修正项的可能。例题 0，2，24，252，（） A.625 B.1024 C.2860 D.3120解析 0和2变化很多，不易入手，只能做检验项。从24和252入手，易想到27和256。 11-1，22-2，33-3，44-4，（55-5）答案 D95
