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1、制作：高中数学组制作：高中数学组 广西田林中学 梁万鹏1知识网络知识网络集合集合映射映射方程方程子集、空集、全集子集、空集、全集交集、并集、补集交集、并集、补集反函数反函数函数函数基本函数基本函数图象图象性质性质不等式不等式y取定值取定值y0y0广西田林中学 梁万鹏21.1集合的概念集合的概念1、集合的概念：、集合的概念：(1)把一些确定的对象看成一个整体，就形成一个把一些确定的对象看成一个整体，就形成一个集合。集合里的各个对象叫做集合的元素，元素集合。集合里的各个对象叫做集合的元素，元素与集合的关系用与集合的关系用或或表示。表示。(2)集合分为：有限集、无限集、空集。集合分为：有限集、无限集
2、、空集。(3)集合的三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的三大特性：确定性、互异性、无序性。(4)集合可用列举法、描述法、图示法表示。集合可用列举法、描述法、图示法表示。(5)注意注意N、Z、Q、Q+、R、R+等所表示的数集。等所表示的数集。广西田林中学 梁万鹏32、集合之间的关系、集合之间的关系(1)子集：若子集：若xA，则则 xB，集合集合A叫做集合叫做集合B的子集。的子集。表示为表示为 或或 。ABAB性质：性质： 若若 ， 则则 AACBCABAAAB(2)若若 ，且，且至少有一个至少有一个xB，但但 xA，集合集合A叫做集合叫做集合B的真子集。表示为的真子集。表示为 或或 。ABA
3、B(3)若若 且且 ，那么这两个集合相等。表示那么这两个集合相等。表示 为为AB。BAABACBCAAB性质：性质： 若若A则则 ； 若若 ， ，则，则广西田林中学 梁万鹏4方法小结方法小结1、明确集合中元素的确定性、互异性和、明确集合中元素的确定性、互异性和无序性，并注意此性质在解题中的应用。无序性，并注意此性质在解题中的应用。2、熟练掌握集合图形表示（韦恩图）、熟练掌握集合图形表示（韦恩图）、数轴表示等基本方法。数轴表示等基本方法。3、理解集合的基本概念、相互关系、术语、理解集合的基本概念、相互关系、术语符号等，能正确地表示出一些较简单的集符号等，能正确地表示出一些较简单的集合。合。4 4
4、、空集、空集、空集、空集 是一个特殊的集合，它是任何集合的子是一个特殊的集合，它是任何集合的子是一个特殊的集合，它是任何集合的子是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题中，若未集，是任何非空集合的真子集，在解题中，若未集，是任何非空集合的真子集，在解题中，若未集，是任何非空集合的真子集，在解题中，若未指明集合非空时要考虑到空集的可能性。指明集合非空时要考虑到空集的可能性。指明集合非空时要考虑到空集的可能性。指明集合非空时要考虑到空集的可能性。广西田林中学 梁万鹏55 5、常用的集合元素：、常用的集合元素：、常用的集合元素：、常用的集合元素：对于集合对于集合对于集合对
5、于集合A=x|xA=x|x2 2+x+x1=01=0中，中，中，中，A A即为方程的解。即为方程的解。即为方程的解。即为方程的解。对于集合对于集合对于集合对于集合A=x|x+13A=x|x+13xx中，中，中，中，A A即为不等式的解。即为不等式的解。即为不等式的解。即为不等式的解。对于集合对于集合对于集合对于集合A=y|y=xA=y|y=x2 22x+52x+5中，中，中，中，A A为函数的值域。为函数的值域。为函数的值域。为函数的值域。对于集合对于集合对于集合对于集合A=(x,y)|y=xA=(x,y)|y=x2 22x+52x+5中，中，中，中，A A为函数上所为函数上所为函数上所为函数
6、上所有点组成的集合，即为抛物线上所有点组成的集合。有点组成的集合，即为抛物线上所有点组成的集合。有点组成的集合，即为抛物线上所有点组成的集合。有点组成的集合，即为抛物线上所有点组成的集合。6 6、识记以下重要的结论：、识记以下重要的结论：、识记以下重要的结论：、识记以下重要的结论：ABABAB=A AB=A ，A AB=AB=AAB=AAB=AB B A AB=ABB=AB，广西田林中学 梁万鹏61.2集合的运算集合的运算1、交集：、交集：AB=x|xA且且xB2、并集：、并集：AB=x|xA或或xB3、全集：在研究集合与集合之间的关系时这些集合、全集：在研究集合与集合之间的关系时这些集合都是
7、某个集合的子集，这个给定的集合叫做全集。都是某个集合的子集，这个给定的集合叫做全集。4、补集：、补集：A=x|xI 且且xA性质：性质：AA=A，A=，AB=BA性质：性质：AA=A，A=A，AB=BA性质：性质：AA=I，A A = , A=A广西田林中学 梁万鹏7方法小结方法小结解解集合问题的基本思路是：读懂集合，弄清关系，集合问题的基本思路是：读懂集合，弄清关系，依据概念，结合图形，分步解决：依据概念，结合图形，分步解决：1、对于集合问题，要首先确定属于哪一类集合（数、对于集合问题，要首先确定属于哪一类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方集、点集或某类图形），然后确定处
8、理此类问题的方法。法。2、关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化、关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行运算。到最简形式，再进行运算。3、含参数的集合问题，多根据集合的互异性来处理、含参数的集合问题，多根据集合的互异性来处理有时需进行讨论。有时需进行讨论。4、集合的问题常与函数、方程、不等式有关，要、集合的问题常与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通。注意各类知识的融会贯通。广西田林中学 梁万鹏81 .3映射与函数映射与函数1、映射：对于集合、映射：对于集合A、B，存在某种对应法则存在某种对应法则f，使得集合使得集合A中的任何一个元素在集合中的任何一个元素
9、在集合B中都有唯一中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到到集合集合B的映射，记为的映射，记为f：AB2、函数：、函数：(1)在某种变化过程中存在两个变量在某种变化过程中存在两个变量x，y，并且对于并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，都有唯一确定的值和它对应，那么那么y就是就是x的函数。的函数。(2)设设A、B都是非空数集，那么都是非空数集，那么A到到B的映射的映射f：AB就叫做就叫做A到到B的函数，记作的函数，记作y=f(x)3、函数的、函数
10、的“三要素三要素”：对应法则、定义域、值域。：对应法则、定义域、值域。只有只有“三要素三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。完全相同的两个函数才是同一函数。广西田林中学 梁万鹏9方法小结方法小结1、理解映射的概念、理解映射的概念A、B为非空数集；为非空数集；A中的中的元素必有象，但元素必有象，但B中的元素不一定有原象；中的元素不一定有原象；A中中的任一元素的象是唯一的，因此对应是的任一元素的象是唯一的，因此对应是“一对一一对一或多对一或多对一”。2、理解函数与映射的关系。函数的、理解函数与映射的关系。函数的“三要素三要素”是对应法则、定义域、值域。只有是对应法则、定义域、值域。只有“三要素三
11、要素”完完全相同的两个函数才是同一函数。全相同的两个函数才是同一函数。3、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。做分段函数。4、若、若y是是u的函数，的函数，u又是又是x的函数即的函数即y=f(u)，u=g(x)，x(a，b)，u(m，n)，那么那么y关于关于x的函数的函数y=f(g(x)，叫做叫做f和和g的复合函数。的复合函数。广西田林中学 梁万鹏101.4函数的定义域函数的定义域3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得、如果函数是由一些基本函数通过四则
12、运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。2、求函数的定义域的主要依据是：、求函数的定义域的主要依据是：分式的分母分式的分母不为不为0；偶次方根的被开方数非负；偶次方根的被开方数非负；对数的真对数的真数大于数大于0；指数、对数函数的底数大于指数、对数函数的底数大于0且不等于且不等于1；指数为指数为0或负数时，底数不为或负数时，底数不为0；实际问题实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义。实际意义。1、函数的定义域是指自变量的取值范围。、函数的定义域是指自变量的取值范围。广西
13、田林中学 梁万鹏11方法小结方法小结1、求解函数的定义域实际上是转化为求解不、求解函数的定义域实际上是转化为求解不等式或不等式组。等式或不等式组。2、已知、已知f(x)的的定义域为定义域为D，求，求fg(x)的定义的定义域时，可令域时，可令g(x) D解得解得x的的范围范围C，即为，即为fg(x)的定义域；已知的定义域；已知 fg(x)的定义域为的定义域为D，求，求f(x)定义域时，可先由定义域时，可先由xD，求出求出g(x) 的的范围范围C，即为即为f(x)定义域。定义域。广西田林中学 梁万鹏121.5函数的值域函数的值域函数的值域就是在对应法则函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量的作
14、用下，自变量x的值对应的的值对应的y值的集合。值的集合。方法小结方法小结1、求函数值域的常用方法有：、求函数值域的常用方法有：配方法：求形如配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值的函数值域问题域问题,要注意要注意f(x)的取值范围对值域的影响的取值范围对值域的影响.真分式法真分式法:求式函数求式函数求式函数求式函数f(x)= f(x)= 形函数的值域，形函数的值域，形函数的值域，形函数的值域，如如如如f(x)= f(x)= 转化为转化为转化为转化为f(x)=1f(x)=1 求值域求值域求值域求值域; ;2x2x1 12x2x3 3axaxb bcxcxd d5 5x x3
15、 3广西田林中学 梁万鹏13反函数法反函数法:求式函数求式函数求式函数求式函数f(x)= f(x)= 形函数的值域，形函数的值域，形函数的值域，形函数的值域，均可使用反函数法均可使用反函数法均可使用反函数法均可使用反函数法. .axaxb bcxcxd d判别式法：把函数转化成关于判别式法：把函数转化成关于x的二次方程的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根通过方程有实根,判别式判别式0,从而求得原函数的值域从而求得原函数的值域.形如形如y= (a1,a2不同时为不同时为0)的函数的值的函数的值域域常用此法但要注意函数的定义域不是常用此法但要注意函数的定义域不是R时还需要用二时还需要用二次方
16、程根的分布来求解次方程根的分布来求解.a a1 1x x2 2+b+b1 1x+cx+c2 2a a2 2x x2 2+b+b2 2x+cx+c2 2单调性法单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域上的单调性求出函数的值域.换元法换元法:运用代数或三角代换运用代数或三角代换,将所给函数化成值将所给函数化成值域容易求出的另一类函数域容易求出的另一类函数广西田林中学 梁万鹏143、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要告自己积累经验，掌握规律。要告自己积累经验，掌握规律。2、求函数的值域，不但要
17、重视对应法则的作用，、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。而且要特别注意定义域对值域的制约作用。不等式法不等式法:利用基本不等式求函数值域利用基本不等式求函数值域,但要但要注意其使用的条件注意其使用的条件“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”。数形结合法数形结合法:利用函数所表示的几何意义利用函数所表示的几何意义,借助于借助于几何方法求出函数值域几何方法求出函数值域.广西田林中学 梁万鹏151.61.6函数的奇偶性函数的奇偶性函数的奇偶性函数的奇偶性l1、定义：如果对于函数、定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任一的定义域内的任一个个x,都有都有f
18、(x)= f(x)(或或 f(x)= f(x)），），那么那么 f(x)是是偶函数（或奇函数）。偶函数（或奇函数）。l2、图象特征：奇函数的图象关于原点对称；、图象特征：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称。轴对称。l3、奇偶函数的定义域一定关于原点对称。、奇偶函数的定义域一定关于原点对称。l4、函数可分为：奇函数、偶函数、非奇非偶、函数可分为：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数（函数、既是奇函数又是偶函数（f(x) = 0）。）。广西田林中学 梁万鹏16方法小结方法小结1、判断函数的奇偶性必须先考虑定义域是否关于、判断函数的奇偶性必须先考虑定义域
19、是否关于原点对称。原点对称。2、函数奇偶性的可用如下变形判定：、函数奇偶性的可用如下变形判定：奇函数：奇函数：f(x) + f(x)=0 或或f(x)f(x)=1偶函数：偶函数：f(x) f(x)=0 或或f(x)f(x)= 13、求函数中字母参数满足什么条件能使函数是、求函数中字母参数满足什么条件能使函数是奇函数或偶函数的方法有：奇函数或偶函数的方法有：根据恒等式性质，根据恒等式性质，利用待定系数法；利用待定系数法；利用特殊值法。特别是当奇利用特殊值法。特别是当奇函数在函数在x=0时有意义必有时有意义必有f(0)=0。（f(x)0）广西田林中学 梁万鹏171.7函数的单调性函数的单调性1、定
20、义：设函数、定义：设函数f(x)的定义域为的定义域为I：如果对于属于如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量定义域内某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当当 x1x2时，都有时，都有f(x1) f(x2) （ f(x1) f(x2) ），），那么就说那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数。在这个区间上是增（减）函数。2、注意定义的变形：设、注意定义的变形：设x1、x2a，bf(x1) f(x2)x1x20或或(x1x2)( f(x1) f(x2)0 f(x)为偶函数为偶函数f(x1) f(x2)x1x20或或(x1x2)( f(x1) f(x2)0 f(x)为奇函数为奇函数广西田林
21、中学 梁万鹏18几何意义：增（减）函数图象上任意两点连线几何意义：增（减）函数图象上任意两点连线的斜率都大于（小于）零。的斜率都大于（小于）零。3、熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数、熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性。函数、对数函数的单调性。两个两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减） 函数；函数；奇函数在对称的两个区间上有相同的单调奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性；性，偶函数在两个对称
22、的区间上有相反的单调性；y=f(x)与与y=f(x)有相反的单调性；有相反的单调性；当当 y=f(x)恒恒为正或恒为负为正或恒为负时，时， y=f(x)与与y=1/f(x)有有相反的单调性。相反的单调性。4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处：好处：广西田林中学 梁万鹏19方法小结方法小结1、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪个区间上递增或递减。明在哪个区间上递增或递减。2、根据定义证明函数单调性的方法：、
23、根据定义证明函数单调性的方法：设设x1、x2A，且设且设x1x2 ；作差：作差：f(x1)f(x2)，并变形（分解、配方、通分等）；并变形（分解、配方、通分等）；判断差的符判断差的符号，并作结论。号，并作结论。3、复合函数单调性的判断方法：设、复合函数单调性的判断方法：设y=f(u)，u=g(x)，x(a,b),u(m,n)，都是单调函数，则都是单调函数，则y=f(g(x)在在a,b上也是单调函数。若上也是单调函数。若y=f(u)是是(m , n)上的增（减）上的增（减）函数，则函数，则y=f(g(x)的增减性与的增减性与u=g(x)的的增减性相同增减性相同（相反）。也可概括为（相反）。也可概
24、括为“同增、同减为增，一增一减同增、同减为增，一增一减为减为减”。广西田林中学 梁万鹏201.8反函数反函数3、反函数的求法：、反函数的求法：由由y=f（x）解出解出x=f1（y）；）；将将x=f1（y） 中的中的x、y互换，得互换，得y=f1（x） ；由由 y =f（ x ） 的的值域，写出值域，写出 y =f1（ x ）的）的定义域。定义域。1、定义：函数、定义：函数y=f(x)(xA)中，设它的值域为中，设它的值域为C，由，由y=f(x)解出解出x=f1(y)，如果对于如果对于y在在C中的任何一个值，中的任何一个值，由由x=f1(y) ，x在在A中都有唯一的值和它对应，那么中都有唯一的值
25、和它对应，那么x=f1(y)就表示就表示x是是y的函数，则函数的函数，则函数x=f1(y)就叫做就叫做y=f(x)的反函数。习惯上把的反函数。习惯上把y看成函数，将看成函数，将x、y调换，调换， y=f(x)的反函数表示为的反函数表示为y=f1(x)。2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。互为反函数的两个图象关于直线和定义域。互为反函数的两个图象关于直线y=x对称。对称。广西田林中学 梁万鹏21方法小结方法小结1、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。因此，定义域上的单调函数必有反数
26、才有反函数。因此，定义域上的单调函数必有反函数；偶函数一般不存在反函数，但偶函数函数；偶函数一般不存在反函数，但偶函数f(x)=1(x=0)有反函数；奇函数不一定存在反函数；有反函数；奇函数不一定存在反函数；周期函数不存在反函数。周期函数不存在反函数。2、若原函数是奇函数，则反函数也一定是奇函数。、若原函数是奇函数，则反函数也一定是奇函数。3、若原函数过点、若原函数过点(a , b)，则反函数过点则反函数过点(b, a) ，即若即若f（a）=b，则，则f1（b）=a。4、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。广西田林中学 梁万鹏221.9正、反比例函数、
27、一次、二次函数正、反比例函数、一次、二次函数1、正比例函数：、正比例函数：y=kx（k0）xyok0xyok0图象图象性质性质性质性质:1:1、定义域为、定义域为、定义域为、定义域为R R； 2 2、值域为值域为值域为值域为R R； 3 3、是奇函数；是奇函数；是奇函数；是奇函数； 4 4、单调性：、单调性：、单调性：、单调性： k k0 0时为增函数时为增函数时为增函数时为增函数, , K K0 0时为减函数。时为减函数。时为减函数。时为减函数。广西田林中学 梁万鹏23图象图象2、反比例函数：、反比例函数：y= （k0）kxxyok0xyok0性质性质性质性质: : 1 1、定义域：、定义域
28、：、定义域：、定义域：( ( ,0),0)(0,(0, ); ); 2 2、值域：、值域：、值域：、值域： ( ( ,0),0)(0,(0, ) )； 3 3、是奇函数；、是奇函数；、是奇函数；、是奇函数； 4 4、k k0 0时，在时，在时，在时，在( ( ,0),0)或或或或(0,(0, ) ) 上是增函数；上是增函数；上是增函数；上是增函数； k k0 0在在在在( ( ,0),0)或或或或(0,(0, ) ) 上是减函数。上是减函数。上是减函数。上是减函数。 广西田林中学 梁万鹏243、一次函数：、一次函数：y=kxb（k0）xyok0xyok0图象图象性质性质性质性质: : 1 1、
29、定义域为、定义域为、定义域为、定义域为R R； 2 2、值域为值域为值域为值域为R R； 3 3、b=0b=0是奇函数；是奇函数；是奇函数；是奇函数；b0b0时为非时为非时为非时为非奇非偶函数；奇非偶函数；奇非偶函数；奇非偶函数； 4 4、k k0 0时为增函数时为增函数时为增函数时为增函数, , K K0 0时为减函数。时为减函数。时为减函数。时为减函数。广西田林中学 梁万鹏254、二次函数：、二次函数：y=ax2+bx+c（a0）oxy4 4、图象开口往上，对称轴为、图象开口往上，对称轴为、图象开口往上，对称轴为、图象开口往上，对称轴为x=x= ，有最小值，有最小值，有最小值，有最小值，在
30、（在（在（在（ ， 为减函数，在为减函数，在为减函数，在为减函数，在 ，+)+)为增为增为增为增函数。函数。函数。函数。b b2a2ab b2a2ab b2a2a4ac4acb b2 24a4a性质：性质：性质：性质：1 1、定义域：、定义域：、定义域：、定义域：R R；2 2、值域：值域：值域：值域： ，+);+);3 3、当、当、当、当b=0b=0时为偶函数，当时为偶函数，当时为偶函数，当时为偶函数，当b0b0时为非奇非偶函数。时为非奇非偶函数。时为非奇非偶函数。时为非奇非偶函数。a a0 0时的图时的图时的图时的图象与性质象与性质象与性质象与性质广西田林中学 梁万鹏26oxy4 4、图象
31、开口往下、图象开口往下、图象开口往下、图象开口往下，对称轴为对称轴为对称轴为对称轴为x=x= ，有最大值，有最大值，有最大值，有最大值，在（在（在（在（ ， 为增函数，在为增函数，在为增函数，在为增函数，在 ，+)+)为减为减为减为减函数。函数。函数。函数。b b2a2ab b2a2ab b2a2a4ac4acb b2 24a4a性质：性质：性质：性质：1 1、定义域：、定义域：、定义域：、定义域：R R；2 2、值域：（值域：（值域：（值域：（ ， ; ;3 3、当、当、当、当b=0b=0时为偶函数，当时为偶函数，当时为偶函数，当时为偶函数，当b0b0时为非奇非偶函数。时为非奇非偶函数。时为
32、非奇非偶函数。时为非奇非偶函数。a a0 0时的图象与性质时的图象与性质时的图象与性质时的图象与性质广西田林中学 梁万鹏2700=0图象图象xx1=x2yoxx1x2yoyxoax2+bx+c=0(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)x=x1 或或x=x2x=x1 =x2=b2ax|xx2x|x1 xx2b2ax|x OOR无实根无实根5 5、二次函数与二次不等式、二次函数与二次不等式、二次函数与二次不等式、二次函数与二次不等式广西田林中学 梁万鹏28方法与小结方法与小结方法与小结方法与小结1 1、解决分式函数、解决分式函数、解决分式函数、解决分式函数f(x)= f(x)= ，
33、可转化为反比例函可转化为反比例函可转化为反比例函可转化为反比例函数来解决。如数来解决。如数来解决。如数来解决。如f(x)= f(x)= 转化为转化为转化为转化为f(x)=2f(x)=2 ; ;2x2x1 1x x3 3axaxb bcxcxd d5 5x x3 32 2、解决二次函数有关问题关键是通过配方，得出顶、解决二次函数有关问题关键是通过配方，得出顶、解决二次函数有关问题关键是通过配方，得出顶、解决二次函数有关问题关键是通过配方，得出顶点点点点( ( , ) , ) ，由此可知函数的图象、，由此可知函数的图象、，由此可知函数的图象、，由此可知函数的图象、对对对对称轴、单调区间、判别式、最
34、值等。称轴、单调区间、判别式、最值等。称轴、单调区间、判别式、最值等。称轴、单调区间、判别式、最值等。4ac4acb b2 24a4ab b2a2a3 3、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：f(x)=af(x)=a(x(xk)k)2 2mm，零点式：零点式：零点式：零点式：f(x)=a(xf(x)=a(xx x1 1)(x)(xx x2 2) )。广西田林中学 梁万鹏294 4、二次函数、二次函数、二次函数、二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+b
35、x+c当当当当=b=b2 24ac4ac0 0时时时时, ,图象与图象与图象与图象与x x轴有两个交点轴有两个交点轴有两个交点轴有两个交点M(xM(x1 1,0) , N(x,0) , N(x2 2,0),0),并且并且并且并且|MN|=|x|MN|=|x1 1x x2 2|= |= 。|a|a| 5 5、二次函数隐含着二次项系数不为、二次函数隐含着二次项系数不为、二次函数隐含着二次项系数不为、二次函数隐含着二次项系数不为0 0的条件，的条件，的条件，的条件，但如果题中没有指明是二次函数，则要分二次但如果题中没有指明是二次函数，则要分二次但如果题中没有指明是二次函数，则要分二次但如果题中没有指
36、明是二次函数，则要分二次项系数为项系数为项系数为项系数为0 0和不为和不为和不为和不为0 0两种情况进行讨论。两种情况进行讨论。两种情况进行讨论。两种情况进行讨论。6 6、二次方程根的分布问题一般情况下从三个方面、二次方程根的分布问题一般情况下从三个方面、二次方程根的分布问题一般情况下从三个方面、二次方程根的分布问题一般情况下从三个方面考虑：考虑：考虑：考虑：判别式；判别式；判别式；判别式；区间端点函数值的正负；区间端点函数值的正负；区间端点函数值的正负；区间端点函数值的正负；对称轴与区间端点的关系。对称轴与区间端点的关系。对称轴与区间端点的关系。对称轴与区间端点的关系。7 7、二次函数在区间
37、、二次函数在区间、二次函数在区间、二次函数在区间mm，nn上的最值一般分上的最值一般分上的最值一般分上的最值一般分 mm，mm n n 和和和和 n n三种情况进行讨论。三种情况进行讨论。三种情况进行讨论。三种情况进行讨论。b b2a2ab b2a2ab b2a2a广西田林中学 梁万鹏301.101.10幂函数幂函数幂函数幂函数1 1、定义：形如、定义：形如、定义：形如、定义：形如y=y=x xn n（n n是常数）叫做幂函数。是常数）叫做幂函数。是常数）叫做幂函数。是常数）叫做幂函数。2 2、在高考中、在高考中、在高考中、在高考中n n限于在集合限于在集合限于在集合限于在集合 ，1 1， ，
38、 ， ，1 1，2 2，3 3 中取值。中取值。中取值。中取值。1 12 21 12 21 13 33 3、图象与性质：、图象与性质：、图象与性质：、图象与性质：n n0 0n n1 1n n1 10 0n n1 1x xy yo o定义域、值域、奇偶性：定义域、值域、奇偶性：定义域、值域、奇偶性：定义域、值域、奇偶性： 视视视视n n的情况而定；的情况而定；的情况而定；的情况而定；当当当当n n0 0时在时在时在时在(0,(0, ) )为增函数，当为增函数，当为增函数，当为增函数，当n n0 0时在时在时在时在(0,(0, ) )为减函数；为减函数；为减函数；为减函数；当当当当n n0 0时
39、图象都过时图象都过时图象都过时图象都过(0,0)(0,0)和和和和(1,1)(1,1)点点点点; ; 当当当当n n0 0时过时过时过时过(1,1)(1,1)点点点点. .广西田林中学 梁万鹏31方法小结方法小结方法小结方法小结1 1、根据奇偶性及第一象限的图象可以得到幂函数、根据奇偶性及第一象限的图象可以得到幂函数、根据奇偶性及第一象限的图象可以得到幂函数、根据奇偶性及第一象限的图象可以得到幂函数的图象；的图象；的图象；的图象；2 2、当、当、当、当x x1 1时，幂函数的指数越大，图象越高，时，幂函数的指数越大，图象越高，时，幂函数的指数越大，图象越高，时，幂函数的指数越大，图象越高，当当
40、当当0 0x x1 1时，幂函数的指数越大，图象越低；时，幂函数的指数越大，图象越低；时，幂函数的指数越大，图象越低；时，幂函数的指数越大，图象越低；3 3、应用幂函数知识解题时，要重视数形结合，、应用幂函数知识解题时，要重视数形结合，、应用幂函数知识解题时，要重视数形结合，、应用幂函数知识解题时，要重视数形结合，由条件及幂函数性质作出示意图，再出图形得由条件及幂函数性质作出示意图，再出图形得由条件及幂函数性质作出示意图，再出图形得由条件及幂函数性质作出示意图，再出图形得出进一步结论，使问题得到解决。出进一步结论，使问题得到解决。出进一步结论，使问题得到解决。出进一步结论，使问题得到解决。广西
41、田林中学 梁万鹏321.111.11指数式与对数式指数式与对数式指数式与对数式指数式与对数式1 1、各种有理数指数的定义：、各种有理数指数的定义：、各种有理数指数的定义：、各种有理数指数的定义：正整数指数幂：正整数指数幂：正整数指数幂：正整数指数幂：a an n=aaa=aaa（n nN N）；）；）；）；零指数幂：零指数幂：零指数幂：零指数幂：a a0 0=1=1（a0a0）负整数指数幂：负整数指数幂：负整数指数幂：负整数指数幂：a an n= = （a0a0，n nN N）正分数指数幂：正分数指数幂：正分数指数幂：正分数指数幂：a = a = （a0a0，n n1 1，mm、n nN N）
42、负分数指数幂：负分数指数幂：负分数指数幂：负分数指数幂：a a = = （a a0 0，n n1 1，mm、n nN N）1 1a an nmmn nmmn nn na ammn na amm1 12 2、幂的运算法则：、幂的运算法则：、幂的运算法则：、幂的运算法则：a amma an n=a=ammn n a ammaan n=a=ammn n （a0a0）（a amm）n n= =a amnmn （abab）mm= =a ammb bmm广西田林中学 梁万鹏333 3、对数：如果、对数：如果、对数：如果、对数：如果a ab b=N=N，那么那么那么那么b b叫做以叫做以叫做以叫做以a a为
43、底为底为底为底N N的对数，的对数，的对数，的对数，记为记为记为记为b=b=logloga aN N。 a ab b=N b=N b=logloga aN N。（。（。（。（a a0 0且且且且a1a1）logloga aN N4 4、对数恒等式：、对数恒等式：、对数恒等式：、对数恒等式：a = Na = N（a a0 0且且且且a1a1，N N0 0）5 5、对数的性质：、对数的性质：、对数的性质：、对数的性质：0 0和和和和1 1没有对数；没有对数；没有对数；没有对数；logloga a1=01=0； logloga aa a=1=1。6 6、对数的运算法则：、对数的运算法则：、对数的运算
44、法则：、对数的运算法则：logloga a (MN)= (MN)= logloga aMM logloga aN N （MM，N N0 0）logloga aMMn n=n =n logloga aMM （MM0 0） logloga a = = logloga aMM logloga aN N （MM，N N0 0）MMN N广西田林中学 梁万鹏347 7、对数的换底公式：、对数的换底公式：、对数的换底公式：、对数的换底公式：logloga aN N= =loglogb bN Nloglogb ba a重要推论：重要推论：重要推论：重要推论： logloga ab b loglogb ba
45、a=1=1， logloga a b bn n= = logloga ab bm m mmn n8 8、常用对数：、常用对数：、常用对数：、常用对数：lgxlgx1010n n=n=nlgxlgx=n=n正的纯小数正的纯小数正的纯小数正的纯小数(1x(1x1010，n n是整是整是整是整数数数数) )以以以以1010为底的对数叫做常用对数。为底的对数叫做常用对数。为底的对数叫做常用对数。为底的对数叫做常用对数。以以以以e e为底的对数叫做自然对数。为底的对数叫做自然对数。为底的对数叫做自然对数。为底的对数叫做自然对数。广西田林中学 梁万鹏35方法小结方法小结方法小结方法小结1 1、根式的运算常
46、常化成幂的运算来进行。、根式的运算常常化成幂的运算来进行。、根式的运算常常化成幂的运算来进行。、根式的运算常常化成幂的运算来进行。2 2、对数运算中出现不同底数时，应考虑同换底公、对数运算中出现不同底数时，应考虑同换底公、对数运算中出现不同底数时，应考虑同换底公、对数运算中出现不同底数时，应考虑同换底公式统一底，再进行运算，运算中注意逆用运算法则。式统一底，再进行运算，运算中注意逆用运算法则。式统一底，再进行运算，运算中注意逆用运算法则。式统一底，再进行运算，运算中注意逆用运算法则。3 3、指数、对数的互相转化是解决指数、对数问题、指数、对数的互相转化是解决指数、对数问题、指数、对数的互相转化
47、是解决指数、对数问题、指数、对数的互相转化是解决指数、对数问题常用方法。常用方法。常用方法。常用方法。4 4、在式的变形、求值过程中，要注意动用方程观、在式的变形、求值过程中，要注意动用方程观、在式的变形、求值过程中，要注意动用方程观、在式的变形、求值过程中，要注意动用方程观点处理问题。通过方程（组）来求值，用换元法转点处理问题。通过方程（组）来求值，用换元法转点处理问题。通过方程（组）来求值，用换元法转点处理问题。通过方程（组）来求值，用换元法转化方程求解等。化方程求解等。化方程求解等。化方程求解等。广西田林中学 梁万鹏361.121.12指数函数与对数函数指数函数与对数函数指数函数与对数函
48、数指数函数与对数函数1 1、指数函数、指数函数、指数函数、指数函数y=ay=ax x(a(a0 0且且且且a1)a1)的图象和性质：的图象和性质：的图象和性质：的图象和性质：a10a1图象性质xR； y(0,+); 过定点过定点(0,1)当当x0时时,y1, x0时时,0y1当当x0时时, 0y1, x0时时, y1 在在R上是增函数上是增函数.在在R上是减函数上是减函数.x xo oy yx xo oy y广西田林中学 梁万鹏37x xo oy yx xo oy y2 2、对数函数、对数函数、对数函数、对数函数y=y=logloga ax(ax(a0 0且且且且a1)a1)的图象和性质：的图
49、象和性质：的图象和性质：的图象和性质：a10a1图象性质x (0,+) ； y R; 过定点过定点(1, 0)当当x 1时时,y 0, 0 x 1时时, y 0当当x 1时时, y 0, 0 x 1时时, y 0在在R上是增函数上是增函数.在在R上是减函数上是减函数.广西田林中学 梁万鹏38方法小结方法小结方法小结方法小结1 1、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要函数，其函数性质受底数函数，其函数性质受底数函数，其函数性质受底数函数，其函数性质受底数a a的影响，
50、所以分类讨论的影响，所以分类讨论的影响，所以分类讨论的影响，所以分类讨论思想表现得更为突出思想表现得更为突出思想表现得更为突出思想表现得更为突出 ，同时两类函数的函数值变化，同时两类函数的函数值变化，同时两类函数的函数值变化，同时两类函数的函数值变化情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征。情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征。情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征。情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征。2 2、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重
51、视不等式知识及函数单调性在这类问题上型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。的应用。的应用。的应用。3 3、熟记以下几个结论：、熟记以下几个结论：、熟记以下几个结论：、熟记以下几个结论：logloga ab b0 (a0 (a1)(b1)(b1)1)0;0;logloga ab b0 (a0 (a1)(b1)(b1)1)0 0当当0a1时时，mn0 logamlogan当当a1时时，mn0 logamlogan广西田林中学 梁万鹏39 1.131.13指数方程与对数方程指数方程与对数方程指数方程
52、与对数方程指数方程与对数方程1、定义：在指数里含有未知数的方程叫做指、定义：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。做对数方程。2、解指数方程、对数方程的基本思想方法是：、解指数方程、对数方程的基本思想方法是：利用指数函数、对数函数的性质，将它们化为利用指数函数、对数函数的性质，将它们化为代数方程来解。代数方程来解。3、解对数方程一定要注意验根。、解对数方程一定要注意验根。广西田林中学 梁万鹏40方法小结方法小结方法小结方法小结1 1、指数方程主要类型及其解法：、指数方程主要类型及其解法：、指数方程主要类型及其解
53、法：、指数方程主要类型及其解法：化为同底：化为同底：化为同底：化为同底：a af f(x)(x)= =a ag g(x)(x)，化为化为化为化为f(x)=g(x),f(x)=g(x),再求解。再求解。再求解。再求解。指、对数互化：指、对数互化：指、对数互化：指、对数互化： a af f(x)(x)=b=b，化为化为化为化为f(x)=f(x)=logloga ab b。换元换元换元换元法：法：法：法：a a2f(x)2f(x)+ +babaf f(x)(x)+c=0,+c=0,设设设设y=y=a af f(x)(x)化为二次方程求解。化为二次方程求解。化为二次方程求解。化为二次方程求解。a af
54、 f(x)(x)= =b bg g(x)(x), ,两边取对数两边取对数两边取对数两边取对数, ,化为化为化为化为f(x)f(x)loglogc ca a=g(x)=g(x)loglogc cb b图象法图象法图象法图象法: :含有指数、对数的混合型方程，常用图象含有指数、对数的混合型方程，常用图象含有指数、对数的混合型方程，常用图象含有指数、对数的混合型方程，常用图象法求近似解或求解的个数。法求近似解或求解的个数。法求近似解或求解的个数。法求近似解或求解的个数。广西田林中学 梁万鹏412 2、对数方程主要类型及其解法：、对数方程主要类型及其解法：、对数方程主要类型及其解法：、对数方程主要类型
55、及其解法：化为同底：化为同底：化为同底：化为同底：logloga af f(x)=(x)=logloga ag g(x)(x)，化为化为化为化为f(x)=g(x),f(x)=g(x),再求解再求解再求解再求解, ,要注意验根要注意验根要注意验根要注意验根。指、对数互化：指、对数互化：指、对数互化：指、对数互化： logloga af f(x)=b(x)=b，化为化为化为化为f(x)=f(x)=a ab b, ,要要要要验根验根验根验根。换元换元换元换元法：法：法：法：logloga a2 2f(x)+f(x)+blogbloga af f(x)+c=0,(x)+c=0,设设设设y=y=logl
56、oga af f(x),(x),化为二次方程求解化为二次方程求解化为二次方程求解化为二次方程求解, ,要验根要验根要验根要验根. .图象法图象法图象法图象法: :含有指数、对数的混合型方程，常用图象含有指数、对数的混合型方程，常用图象含有指数、对数的混合型方程，常用图象含有指数、对数的混合型方程，常用图象法求近似解或求解的个数。法求近似解或求解的个数。法求近似解或求解的个数。法求近似解或求解的个数。不同底对数方程不同底对数方程不同底对数方程不同底对数方程: :通过换底公式通过换底公式通过换底公式通过换底公式, ,化为同底求解化为同底求解化为同底求解化为同底求解. .广西田林中学 梁万鹏42 1
57、.141.14函数的图象函数的图象函数的图象函数的图象1 1、作图：、作图：、作图：、作图：利用描点作图法：利用描点作图法：利用描点作图法：利用描点作图法：确定函数的定义域；确定函数的定义域；确定函数的定义域；确定函数的定义域；化简化简化简化简函数解析式；函数解析式；函数解析式；函数解析式；讨论函数的性质讨论函数的性质讨论函数的性质讨论函数的性质( (奇偶性、单调性、奇偶性、单调性、奇偶性、单调性、奇偶性、单调性、周期性周期性周期性周期性) )；画出函数的图象。画出函数的图象。画出函数的图象。画出函数的图象。利用基本函数图象的作图变换：利用基本函数图象的作图变换：利用基本函数图象的作图变换：利
58、用基本函数图象的作图变换：平移变换：平移变换：平移变换：平移变换：y=f(x)y=f(x)h h0,0,右移右移y=f(xy=f(x) )h h0, 0, 左移左移y=f(x)y=f(x)y=f(x)+ky=f(x)+kk k0, 0, 上移上移k k0,0,下移下移广西田林中学 梁万鹏43伸缩变换伸缩变换y=f(xy=f(x) )y=f(x)y=f(x)0 01,1,伸伸伸伸1,1,缩缩缩缩y=f(xy=f(x) )y=y=AfAf(x)(x)0 0A A1,1,缩缩缩缩A A1,1,伸伸伸伸对称变换对称变换对称变换对称变换y=f(xy=f(x) )y=y=f(x)f(x)作作作作x x轴对
59、称轴对称轴对称轴对称y=f(xy=f(x) )y=f(y=f(x)x)作作作作y y轴对称轴对称轴对称轴对称广西田林中学 梁万鹏44y=f(xy=f(x) )y=f(2ay=f(2ax)x)作作作作关于直线关于直线关于直线关于直线x=ax=a对称对称对称对称y=f(xy=f(x) )y=fy=f1 1(x)(x)作作作作关于直线关于直线关于直线关于直线y = xy = x对称对称对称对称y=f(xy=f(x) )y=y=f( f(x)x)作作作作关于原点对称关于原点对称关于原点对称关于原点对称y=f(x)y=f(x)y=f(|x|)y=f(|x|)保留保留保留保留y y轴右边图象轴右边图象轴右
60、边图象轴右边图象, ,去掉去掉去掉去掉y y轴左边图象轴左边图象轴左边图象轴左边图象并作其并作其并作其并作其关于关于关于关于y y轴对称图象轴对称图象轴对称图象轴对称图象y=f(xy=f(x) )y=|f(x)|y=|f(x)|保留保留保留保留x x轴上方图象轴上方图象轴上方图象轴上方图象并将并将并将并将x x轴下方图象翻折上去轴下方图象翻折上去轴下方图象翻折上去轴下方图象翻折上去广西田林中学 梁万鹏452 2、识、识、识、识图图图图对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下对于给定的函数图象，要能从图象的左右
61、、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象中特殊点的作用。图象中特殊点的作用。图象中特殊点的作用。图象中特殊点的作用。3 3、用图、用图、用图、用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量函数图象形象地显示了函
62、数的性质，为研究数量关系问题提供了关系问题提供了关系问题提供了关系问题提供了“ “形形形形” ”的直观性，它是探求解题的直观性，它是探求解题的直观性，它是探求解题的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法。合解题的思想方法。合解题的思想方法。合解题的思想方法。广西田林中学 梁万鹏46方法小结方法小结方法小结方法小结1 1、证明函数图象的对称性，即证明其图象上任一点关、证明函数图象的对称性，即证明其图象上任一点关、证明函数图象的对称性
63、，即证明其图象上任一点关、证明函数图象的对称性，即证明其图象上任一点关于对称中心或对称轴的对称点仍在图象上。要熟悉一于对称中心或对称轴的对称点仍在图象上。要熟悉一于对称中心或对称轴的对称点仍在图象上。要熟悉一于对称中心或对称轴的对称点仍在图象上。要熟悉一些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数图象些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数图象些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数图象些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数图象关于原点对称，偶函数的图象关于关于原点对称，偶函数的图象关于关于原点对称，偶函数的图象关于关于原点对称，偶函数的图象关于y y轴对称，一个函数轴对称，一个函数轴对
64、称，一个函数轴对称，一个函数的反函数是它本身时，其图象关于直线的反函数是它本身时，其图象关于直线的反函数是它本身时，其图象关于直线的反函数是它本身时，其图象关于直线y=xy=x对称等等。对称等等。对称等等。对称等等。2 2、证明曲线、证明曲线、证明曲线、证明曲线C C1 1与与与与C C2 2的对称性，即要证的对称性，即要证的对称性，即要证的对称性，即要证C C1 1 上任一点关上任一点关上任一点关上任一点关于对称中心或对称轴的对称点在于对称中心或对称轴的对称点在于对称中心或对称轴的对称点在于对称中心或对称轴的对称点在C C2 2上，反之亦然。上，反之亦然。上，反之亦然。上，反之亦然。3 3、
65、方程、方程、方程、方程f(x)=g(x)f(x)=g(x)的解的个数可以转化为函数的解的个数可以转化为函数的解的个数可以转化为函数的解的个数可以转化为函数y=f(x)y=f(x)与与与与y=g(x)y=g(x)的的的的图象的交点个数图象的交点个数图象的交点个数图象的交点个数. .4 4、不等式、不等式、不等式、不等式f(x)f(x)g(x)g(x)的解集为的解集为的解集为的解集为f(x)f(x)的图象位于的图象位于的图象位于的图象位于g(x)g(x)的的的的图象上方的那部分点的横坐标的取值范围图象上方的那部分点的横坐标的取值范围图象上方的那部分点的横坐标的取值范围图象上方的那部分点的横坐标的取值范围. .广西田林中学 梁万鹏47广西田林中学 梁万鹏48
